高中向量教案

空間向量及其運(yùn)算。

空間向量及其運(yùn)算

●考試目標(biāo)主詞填空
1.空間向量基本定理及應(yīng)用
空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=xa+yb+zc.
2.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：
設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
則a+b=.
a-b=.
ab=.
若a、b為兩非零向量，則a⊥bab=0=0.
?
●題型示例點(diǎn)津歸納
【例1】已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是
MN的中點(diǎn).
求證：OG⊥BC.
【解前點(diǎn)津】要證OG⊥BC，只須證明即可.
而要證,必須把、用一組已知的空間基向量來(lái)表示.又已知條件為∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可選為已知的基向量.
【規(guī)范解答】連ON由線段中點(diǎn)公式得：
又,
所以)
=().
因?yàn)?
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【解后歸納】本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識(shí)證線線垂直的能力.

【例2】在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.
【解前點(diǎn)津】利用，求出向量與的夾角〈,〉，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.
【規(guī)范解答】因?yàn)?
所以
=
因?yàn)锳B⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，例2圖
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．
【解后歸納】求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須會(huì)把所求向量用空間的一組基向量來(lái)表示.
【例3】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
別是BB1、DC的中點(diǎn).
(1)求AE與D1F所成的角；
(2)證明AE⊥平面A1D1F.
【解前點(diǎn)津】設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且=e1，
=e2，=e3，以e1，e2,e3為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,
則：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(xiàn)(0，，0)，D1(0，0，1)，
所以=(0,1,),=(0,,-1).
所以=(0,1),(0,,-1)=0.
所以⊥，即AE與D1F所成的角為90°．
(2)又=(1,0,0)=，
且=(1,0,0)(0,1,)=0.
所以AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后歸納】本題考查應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.
【例4】證明：四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分(此點(diǎn)稱為四面體的重心).
【規(guī)范解答】∵E,G分別為AB,AC的中點(diǎn),
∴EG,同理HF，∴EGHF.
從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對(duì)角線EF,
GH相交于一點(diǎn)O,且O為它們的中點(diǎn),連接OP,OQ.
只要能證明向量=-就可以說(shuō)明P,O,Q三點(diǎn)共線且O
為PQ的中點(diǎn),事實(shí)上,,而O為GH的中點(diǎn),例4圖
∴CD,QHCD,
∴
∴==0.
∴=,∴PQ經(jīng)過(guò)O點(diǎn),且O為PQ的中點(diǎn).
【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點(diǎn)O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點(diǎn),然后證明兩向量共線,從而說(shuō)明P、O、Q三點(diǎn)共線進(jìn)而說(shuō)明PQ直線過(guò)O點(diǎn).

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升
一、基礎(chǔ)夯實(shí)
1.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是()
A.B.
C.D.
2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是()
A.B.
C.D.
3.若向量｛a，b，c｝是空間的一個(gè)基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是()?
A.aB.b?C.cD.2a?
4.a、b是非零向量，則〈a，b〉的范圍是()?
A.(0，)B.［0，］?C.(0，π)?D.［0，π］?
5.若a與b是垂直的，則ab的值是()?
A.大于0B.等于零??C.小于0D.不能確定
6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b()
A.相交B.垂直?C.平行?D.以上都不對(duì)
7.A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長(zhǎng)度是()?
?A.1?B.2?C.3?D.4
8.m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，則a+b的值為()
?A.0?B.C.D.8
9.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為()?
?A.0?B.6?C.-6?D.±6
10.A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝，b＝，則a+b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()
?A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)?C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)
11.a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為()
?A.arccos?B.?C.D.90°
12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則是a與b同向或反向的()
?A.充分不必要條件B.必要非充分條件?
?C.充要條件D.不充分不必要條件

二、思維激活
13.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4.則ab+bc+ca=.?
14.已知|a|＝2，|b|＝，ab＝-，則a、b所夾的角為.
15.已知空間三點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點(diǎn)P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.
16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為.

三、能力提高
17.已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且與α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.

18.長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點(diǎn)，若AB＝BC＝2，AA1＝4，試用向量法求：
(1)的夾角的大小.
(2)直線A1E與FC所夾角的大小.

19.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DC的中點(diǎn)，求證：D1F⊥平面ADE.

20.如圖所示,已知ABCD,O是平面AC外的一點(diǎn),,求證:A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面.

空間向量及其運(yùn)算習(xí)題解答

1.C由向量共線定義知.?
2.C設(shè)此向量為(x,y),∴，?∴
3.C
4.D根據(jù)兩向量所成的角的定義知選D.
5.B當(dāng)a⊥b時(shí)，ab=0(cos〈a,b〉=0)?
6.Ca=(1,2,-2)=-b∴a∥b.
7.C|AB|==3.?
8.C∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，?
∴k=故a=,b=8,∴a+b=+8=
9.B∵a⊥b∴1m+52-2(m+2)=0.∴m=6.
10.B=(-1,0,-2),=(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.Ccos(ab)==-.
12.A?若，則a與b同向或反向，反之不成立.
13.-13∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,?
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.
14.?cos〈a,b〉=.∴a,b所夾的角為.
15.(-8,6,0)由向量的數(shù)量的積求得.
16.9S=|a||b|sin〈a,b〉求得.
17.如圖，由AC⊥α，知AC⊥AB.?
過(guò)D作DD′⊥α，D′為垂足，則∠DBD′＝30°，
〈〉＝１２０°，
∴|CD|2=
＝
＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2.
∴CD＝
點(diǎn)評(píng)：本題把線段轉(zhuǎn)化成向量表示，然后利用向量進(jìn)行運(yùn)算.
18.如圖，建立空間坐標(biāo)系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由題設(shè)可知E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，4).
(1)令的夾角為θ，?
則cosθ＝.
∴的夾角為π-arccos.
(2)∴直線A1E與FC的夾角為arccos
19.如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k，
以i、j、k的坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，
則＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?
＝(-1，0，0)(0，，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又＝(0，1，)，＝(0，，-1)，
∴＝(0，1，)(0，，-1)＝-＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A，∴D1F⊥平面ADE.
點(diǎn)評(píng)：利用向量法解決立體幾何問(wèn)題，首先必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
20.證明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面.

精選閱讀

§3.1.1空間向量及加減其運(yùn)算

§3.1.1空間向量及加減其運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程科學(xué)等方面也有著廣泛的應(yīng)用。在人教A版必修四中，讀者已經(jīng)認(rèn)知了平面向量，現(xiàn)在，學(xué)習(xí)空間向量時(shí)要注意與平面向量的類比，體會(huì)空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的作用。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法
（2）過(guò)程與方法：通過(guò)高一學(xué)習(xí)的平面向量的知識(shí)，引申推廣，理解和掌握向量的加減法
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)，運(yùn)用向量的概念和運(yùn)算解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)拓創(chuàng)新能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的概念和加減運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的應(yīng)用
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．情景引入
（1）一塊均勻的正三角形的鋼板所受重力為500N，在它的頂點(diǎn)處分別受力F，F(xiàn)，F(xiàn)，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，這塊鋼板在這些力的作用下將會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力至少多大時(shí)，才能提起這塊鋼板？
（2）八抬大轎中每個(gè)轎夫?qū)I子的支持力具有怎樣的特點(diǎn)？？從實(shí)際生活的例子出發(fā)，使學(xué)生對(duì)不共面的向量有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)。說(shuō)明不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量是隨處可見(jiàn)的。
二．新舊知識(shí)比較讓我們將以前學(xué)過(guò)的向量的概念和運(yùn)算回顧一下，看它們是只限于平面上呢？還是本來(lái)就適用于空間中。
請(qǐng)學(xué)生自行閱讀空間向量的相關(guān)概念：空間向量定義、模長(zhǎng)、零向量、單位向量、相反向量、相等向量。
請(qǐng)學(xué)生比較與平面向量的異同。
向量概念的關(guān)鍵詞是大小和方向，所以它應(yīng)既適用于平面上的向量，也適合于空間中的向量，二者的區(qū)別僅僅在于：在空間中比平面上有更多的不同的方向。因此平面幾何中的向量概念和知識(shí)就可以遷移到空間圖形中。
（1）空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量。通過(guò)比較，既復(fù)習(xí)了平面向量的基本概念，又加強(qiáng)了對(duì)空間向量的認(rèn)識(shí)，注重類比學(xué)習(xí)，提高學(xué)生舉一反三的能力。
三．類比推廣、探求新知如圖，對(duì)于空間任何兩個(gè)向量，可以從空間任意一點(diǎn)O出發(fā)作，即用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示
（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過(guò)三角形和平行四邊形法則，同樣對(duì)于空間任意兩個(gè)向量都看作同一平面內(nèi)的向量，它們的加法、減法當(dāng)然都可以按照平面上的向量的加法和減法來(lái)進(jìn)行，不需要補(bǔ)充任何新的知識(shí)，具體做法如下：
讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，這是數(shù)學(xué)中向量與物理中矢量的最大區(qū)別。
如圖，可以從空間任意一點(diǎn)O出發(fā)作，并且從出發(fā)作，則.

探索1：空間三個(gè)以上的非零向量能否平移至一個(gè)明面上？
探索2：多個(gè)向量的加法能否由兩個(gè)向量的加法推廣？
（3）思考《選2-1》課本P85探究題
歸納：向量加（減）法滿足交換律和結(jié)合律。空間三個(gè)或更多的向量相加，不能同時(shí)將這些向量都用同一個(gè)平面上的有限線段來(lái)表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來(lái)表示，得到它們的和。比如：三個(gè)向量的和,一般地,空間中多個(gè)依次用首尾相接的有向線段相加的結(jié)果等于起點(diǎn)和終點(diǎn)相連的有向線段。我們常常把向量的這種性質(zhì)簡(jiǎn)稱為“封口向量”。

四．練習(xí)鞏固1．課本P86練習(xí)1-3
2．如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，
化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
鞏固知識(shí)，注意區(qū)別加減法的不同處.
五．小結(jié)1．空間向量的概念：
2．空間向量的加減運(yùn)算反思?xì)w納
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（1）、（2）

練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1．舉出一些實(shí)例，表示三個(gè)不在同一平面的向量。
2．說(shuō)明數(shù)字0與空間向量0的區(qū)別與聯(lián)系。
答：空間向量0有方向，而數(shù)字0沒(méi)有方向；空間向量0的長(zhǎng)度為0。
3．三個(gè)向量a,b,c互相平行，標(biāo)出a+b+c.
‘解：分同向與反向討論（略）。
4．如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，
化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
（中等題）
5．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，試用向量表示和
解：
。

6．在上題圖中，試用向量表示和
解：==，

§3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

§3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運(yùn)算共有4個(gè)知識(shí)點(diǎn)：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節(jié)是全章的重點(diǎn)，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎(chǔ)，我們就很容易把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間向量由于本教材學(xué)習(xí)空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問(wèn)題，所以例習(xí)題的編排也主要是立體幾何問(wèn)題當(dāng)我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認(rèn)識(shí)空間向量的兩個(gè)最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然后由這兩個(gè)定理推出空間直線和平面的向量表達(dá)式有了這兩個(gè)表達(dá)式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問(wèn)題
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（2）過(guò)程與方法：進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，會(huì)用空間向量的運(yùn)算意義和運(yùn)算律解決立幾問(wèn)題
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：會(huì)用平面的向量表達(dá)式解決共面問(wèn)題
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
【教學(xué)難點(diǎn)】：
用向量解決立幾問(wèn)題
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新1、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，其模長(zhǎng)是的倍
（1）當(dāng)時(shí)，與同向
（2）當(dāng)時(shí)，與反向
2、空間向量的數(shù)乘分配律和結(jié)合律
（1）分配律：
（2）結(jié)合律：
3、共線向量或平形向量
類似于平面向量共線，對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使
以數(shù)乘向量及其運(yùn)算律為突破口，與平面向量進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，為下面引出共面向量作鋪墊。
二．新課講授1、方向向量
如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量.
在上取，則上式可化為
證明：對(duì)于空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，三點(diǎn)共線
由此可見(jiàn)，可以利用向量之間的關(guān)系判斷空間任意三點(diǎn)共線，這與利用平面向量判斷平面內(nèi)三點(diǎn)共線是一樣的。
回顧平面向量的基本定理：
共面向量定理如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得，這就是說(shuō)，向量可以由不共線的兩個(gè)向量線性表示。
由此可以得到空間向量共面的證明方法
2、空間平面ABC的向量表示式
空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y使得：，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有：。

方向向量的引入是為了更好的說(shuō)明三點(diǎn)共線的向量充要條件，作為特色班，可以根據(jù)實(shí)際情況補(bǔ)充證明過(guò)程。

回顧平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，平面中的基底理論成了空間向量關(guān)系的一種特殊情況——共面的證明方法，這正是由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的一種推廣，對(duì)今后理解空間向量的基底理論也是有一定輻射作用的。

推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面的充要條件是
證明：略本探究可以在老師的啟發(fā)下，給學(xué)生自己證明，不同層次可以酌情考慮是否證明。
三．典例講練例1．一直平行四邊形ABCD，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O做射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且使，
求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明，，共面。下面我們利用，，共面來(lái)證明。
證明：因?yàn)?，所?br> ，，，，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因此，
由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
進(jìn)一步：請(qǐng)學(xué)生思考如何證明：面AC//面EG
四．練習(xí)鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。
（1）
（2）
（3）
鞏固知識(shí)，注意向量運(yùn)算律的使用.3、略解：（1）
（2）

2、課本P89練習(xí)2-3
3、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向量方法證明（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，則AC∥平面EFGH
五．小結(jié)1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
2．空間向量的運(yùn)算意義和運(yùn)算律解決立幾問(wèn)題
3．平面的向量表達(dá)式解決共面問(wèn)題歸納知識(shí)反思方法，特點(diǎn)。
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（3）、（4），第2題
練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等題）
2、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長(zhǎng)向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．

§3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

§3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
本小節(jié)首先把平面向量數(shù)量積運(yùn)算推廣到空間向量數(shù)量積運(yùn)算學(xué)生已有了空間的線、面平行和面、面平行概念，這種推廣對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)已無(wú)困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時(shí)刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間一個(gè)向量已是空間的一個(gè)平移，要讓學(xué)生在空間上一步步地驗(yàn)證向量的數(shù)量積運(yùn)算這樣做，一方面復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律
（2）過(guò)程與方法：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)和使用，掌握立體幾何中的三垂線定理及其逆定理的證明
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量法在證明立體幾何中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)拓創(chuàng)新能力和舉一反三的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新1、平面向量的數(shù)量積
（1）設(shè)是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝
（2）夾角：．
（3）運(yùn)算律
；；
復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為新知識(shí)做鋪墊，讓學(xué)生可以非常容易的接收空間向量的數(shù)量積概念。
二．新課講授1、夾角
定義：是空間兩個(gè)非零向量，過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作
規(guī)定：
注意夾角的表示方法和意義，垂直的表示。

特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。
2、數(shù)量積
（1）設(shè)是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝
（2）夾角：．
（3）運(yùn)算律
；
；
思考：
1、若，是否有成立？
2、若，是否有，或成立？
3、向量數(shù)量積是否有結(jié)合律成立？
注意向量運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算的差別。
三．典例講練例1．在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
已知：PO，PA分別是平面的垂線，斜線，AO是PA在平面內(nèi)的射影，且，
求證：
證明：取直線的方向向量，同時(shí)取向量，。
因?yàn)?，所以?br> 因?yàn)椋遥?br> 因此。
注重向量在垂直、共面中的使用的意識(shí)的培養(yǎng)。
又因?yàn)椋?br> 所以
這個(gè)命題叫做三垂線定理，思考其逆定理如何證明
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)德一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

例2．，是平面內(nèi)的兩條相交直線，如果，，求證：
證明：在內(nèi)作任一直線個(gè)，分別在，，，，上取非零向量，，，。
因?yàn)榕c相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要條件知，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，
使
將上式兩邊與向量作數(shù)量積，
得
因?yàn)?，?br> 所以
所以，即
這就證明了直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，
所以

四．練習(xí)1．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）
（A）（B）
（C）（D）
注意的使用

2、如圖，在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的
長(zhǎng)。

鞏固
3、如圖，線段AB，BD在平
面內(nèi)，BDAB，線段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D間的距離。

五．小結(jié)（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運(yùn)算律
（2）三垂線定理及其逆定理
（3）夾角、距離的求法回顧方法
六．作業(yè)課本P97，習(xí)題3.1A組，第3題、第4題、第5題

練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)。求證OG⊥BC
分析：要證OG⊥BC，只需證明。
把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示
略解：
（中等題）
２．已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60
（1）證明CC1⊥BD
（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？并證明
分析：取為運(yùn)算的基向量，則。
注意向量間的方向?qū)A角的影響
略證（2）設(shè)，菱形邊長(zhǎng)為a，則
，解得
當(dāng)時(shí)，

§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，幫助教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓教案寫(xiě)的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

§3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【學(xué)情分析】：
平面向量有座標(biāo)表示，空間向量也有座標(biāo)表示，在上一節(jié)中，單位正交分解就能夠完成向量坐標(biāo)向空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化?，F(xiàn)在，通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們可以將向量的地定性公式定量化，在解題特別是在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，可以大大簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識(shí)與技能：能用坐標(biāo)表示空間向量
（2）過(guò)程與方法：由平面坐標(biāo)運(yùn)算類別空間坐標(biāo)運(yùn)算，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比，運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)拓能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
二．新課講授1．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律
（1）若，，則，
，
，
（2）若，，則．
一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。注重類比學(xué)習(xí)，舉一反三，在平面向量中有坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量中也有，運(yùn)
2．?dāng)?shù)量積：即=
3．夾角：．
4．模長(zhǎng)公式：若，
則．
5．平行與垂直：
6．距離公式：若，，
則，
或．
算規(guī)律和結(jié)論的本質(zhì)是一樣的。
三．典例例1．如圖，在正方體中，，分別是，的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值。
解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，
，，
將空間向量的運(yùn)算與向量的坐標(biāo)表示結(jié)合起來(lái)，不僅可以解決夾角和距離的計(jì)算問(wèn)題，而且可以使一些問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單。
講練所以，
因此，與所成角的余弦值是
例2．如圖，正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，求證：
證明：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，又，，所以，
所以，
因此，即

四．練習(xí)鞏固課本P97練習(xí)1，2，3
五．拓展與提高1．如圖在正方體AC1中，M、N分別是AA1、BB1的中點(diǎn)，求直線CM與D1N所成的角。

學(xué)習(xí)注意觸類旁通，舉一反三，引進(jìn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算式把定性的向量定量化的有效辦法。這樣可以把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)
2．已知三角形的頂點(diǎn)A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），這個(gè)三角形的面積是（）
A.B.C.2D.
題。
六．小結(jié)1．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律
2．?dāng)?shù)量積與夾角
3．模長(zhǎng)與距離
4．平行于垂直
七．作業(yè)課本P98習(xí)題3.1，A組第8、9、11題

練習(xí)與測(cè)試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知向量的夾角為（）
A．0°B．45°C．90°D．180°
2．已知（）
A．B．5，2C．D．-5，-2

（中等題）
3.已知，，求：
（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；
（2）到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)是線段的中點(diǎn)，則．
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)是，
．
（2）∵點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，
則,
化簡(jiǎn)得：,
所以，到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是．
點(diǎn)評(píng)：到兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面，若將點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量，發(fā)現(xiàn)與共線。
4,已知三角形的頂點(diǎn)是，，，試求這個(gè)三角形的面積。
分析：可用公式來(lái)求面積
解：∵，，
∴，，
，
∴，
∴所以．
5．已知，則向量與的夾角是（）
A．90°B．60°C．30°D．0°
6．已知，則的最小值是（）
A．B．C．D．
7．已知，則的取值范圍是（）
A.B.C.D.