高中向量教案
發(fā)表時間：2020-11-12§3.1.1空間向量及加減其運(yùn)算。
§3.1.1空間向量及加減其運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程科學(xué)等方面也有著廣泛的應(yīng)用。在人教A版必修四中，讀者已經(jīng)認(rèn)知了平面向量，現(xiàn)在，學(xué)習(xí)空間向量時要注意與平面向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法
（2）過程與方法：通過高一學(xué)習(xí)的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法
（3）情感態(tài)度與價值觀：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)，運(yùn)用向量的概念和運(yùn)算解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的開拓創(chuàng)新能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的概念和加減運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的應(yīng)用
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖
一．情景引入
（1）一塊均勻的正三角形的鋼板所受重力為500N，在它的頂點(diǎn)處分別受力F，F(xiàn)，F(xiàn)，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是60，且|F|=|F|=|F|=200N，這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運(yùn)動？這三個力至少多大時，才能提起這塊鋼板？
（2）八抬大轎中每個轎夫?qū)I子的支持力具有怎樣的特點(diǎn)？？從實(shí)際生活的例子出發(fā)，使學(xué)生對不共面的向量有一個更深刻的認(rèn)識。說明不同在一個平面內(nèi)的向量是隨處可見的。
二．新舊知識比較讓我們將以前學(xué)過的向量的概念和運(yùn)算回顧一下，看它們是只限于平面上呢？還是本來就適用于空間中。
請學(xué)生自行閱讀空間向量的相關(guān)概念：空間向量定義、模長、零向量、單位向量、相反向量、相等向量。
請學(xué)生比較與平面向量的異同。
向量概念的關(guān)鍵詞是大小和方向，所以它應(yīng)既適用于平面上的向量，也適合于空間中的向量，二者的區(qū)別僅僅在于：在空間中比平面上有更多的不同的方向。因此平面幾何中的向量概念和知識就可以遷移到空間圖形中。
（1）空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量。通過比較，既復(fù)習(xí)了平面向量的基本概念，又加強(qiáng)了對空間向量的認(rèn)識，注重類比學(xué)習(xí)，提高學(xué)生舉一反三的能力。
三．類比推廣、探求新知如圖，對于空間任何兩個向量，可以從空間任意一點(diǎn)O出發(fā)作，即用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示
（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四邊形法則，同樣對于空間任意兩個向量都看作同一平面內(nèi)的向量，它們的加法、減法當(dāng)然都可以按照平面上的向量的加法和減法來進(jìn)行，不需要補(bǔ)充任何新的知識，具體做法如下：
讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，與向量的起點(diǎn)無關(guān)，這是數(shù)學(xué)中向量與物理中矢量的最大區(qū)別。
如圖，可以從空間任意一點(diǎn)O出發(fā)作，并且從出發(fā)作，則.
探索1：空間三個以上的非零向量能否平移至一個明面上？
探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？
（3）思考《選2-1》課本P85探究題
歸納：向量加（減）法滿足交換律和結(jié)合律。空間三個或更多的向量相加，不能同時將這些向量都用同一個平面上的有限線段來表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來表示，得到它們的和。比如：三個向量的和,一般地,空間中多個依次用首尾相接的有向線段相加的結(jié)果等于起點(diǎn)和終點(diǎn)相連的有向線段。我們常常把向量的這種性質(zhì)簡稱為“封口向量”。
四．練習(xí)鞏固1．課本P86練習(xí)1-3
2．如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，
化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
鞏固知識，注意區(qū)別加減法的不同處.
五．小結(jié)1．空間向量的概念：
2．空間向量的加減運(yùn)算反思?xì)w納
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（1）、（2）
練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．舉出一些實(shí)例，表示三個不在同一平面的向量。
2．說明數(shù)字0與空間向量0的區(qū)別與聯(lián)系。
答：空間向量0有方向，而數(shù)字0沒有方向；空間向量0的長度為0。
3．三個向量a,b,c互相平行，標(biāo)出a+b+c.
‘解：分同向與反向討論（略）。
4．如圖，在三棱柱中，M是的中點(diǎn)，
化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
（中等題）
5．如圖，在長方體中，，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，試用向量表示和
解：
。
6．在上題圖中，試用向量表示和
解：==，（djz525.cOm 勵志的句子）
相關(guān)知識
空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助教師更好的完成實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？下面是小編幫大家編輯的《空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。
題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算高考要求
要使學(xué)生理解空間向量、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘的坐標(biāo)表示以及兩點(diǎn)間的距離、夾角公式通過解題，會應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點(diǎn)歸納
1空間直角坐標(biāo)系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；
（2）在空間選定一點(diǎn)和一個單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；
2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：
在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．
3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：
（1）若，，
則，
，
，
，，
．
（2）若，，則．
一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
4模長公式：若，，
則，．
5．夾角公式：．
6．兩點(diǎn)間的距離公式：若，，
則，
或
題型講解
例1已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設(shè)面ABC的法向量，
則⊥且⊥，即=0，且=0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴=z（，－1，1），單位法向量=±（，－，）
點(diǎn)評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解
例2已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；
（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件
解：（1）設(shè)P（x，y，z）是AB的中點(diǎn)，
則=（+）=［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1，），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1，），
dAB==
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則=
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標(biāo)就是方程中x,y,z的系數(shù)），即為P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件
點(diǎn)評：空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點(diǎn)為（，，），且|P1P2|=
例3棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)存在點(diǎn)P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴=0，=0
∴－a2+az=0∴z=a，即點(diǎn)P與D1重合
∴點(diǎn)P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，
得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），
∴=（2，，－2），=（－2，，0）
（1）∵=0，∴SC⊥BC
（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，
∵=（0，，0），=4，||||=4，
∴cosα=，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點(diǎn)C作CD∥AB，過點(diǎn)A作AD∥BC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD===5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即為所求
點(diǎn)評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法題（2）的解法一應(yīng)用向量的數(shù)量積直接計(jì)算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩，但需建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；解法二雖然避免了建系，但要選點(diǎn)、平移、作輔助線、解三角形
例5如圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)
（1）求的長；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標(biāo)系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），
∴=3，｜｜=，｜｜=
∴cos〈，〉==
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（，，2），
∴=（－1，1，－2），=（，，0），
∴=0，∴A1B⊥C1M
例6如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵=（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵=（0，2，1）（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵=（2，2，1）（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點(diǎn)評：①通過建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用三維坐標(biāo)表示，向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)行向量的運(yùn)算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線一個需要經(jīng)過嚴(yán)密推理論證的問題就這樣被簡單機(jī)械的運(yùn)算代替了
②本題是高考題，標(biāo)準(zhǔn)答案的解法較為復(fù)雜，而運(yùn)用代數(shù)向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數(shù)化方法研究幾何圖形的優(yōu)越性，這應(yīng)作為立體幾何復(fù)習(xí)的一個重點(diǎn)去掌握通過坐標(biāo)法計(jì)算數(shù)量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點(diǎn)
例7如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為a
建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；⑵求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0）B（0，a,0）
A1（0，0，a),C1（-a,)
(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點(diǎn)M，
于是M（0，），連結(jié)AM，MC1
則有
，，
∴，，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角
，，
,而|
由cos=,=30°
解法二：，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：
=
∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°
例8棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點(diǎn)，（1）求EF長度；（2）求；3）求點(diǎn)A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點(diǎn)有關(guān)的問題，建立空間直角坐標(biāo)系比較方便，適當(dāng)建立坐標(biāo)系后，正確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量然后進(jìn)行運(yùn)算即可得解
解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）
由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）
=（1，0，-2），||=2，||=，=-4,=1-2=-1，
所以
（1）=
（2）cos==-,所以=-arccos
(3)在上的射影的數(shù)量cos==
A到EF的距離=
點(diǎn)評：點(diǎn)到直線的距離的向量求法，就是先求出該點(diǎn)與直線上某點(diǎn)連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應(yīng)的距離
例9平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點(diǎn)，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B—AC—G的大小
解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
（1）證明：，
，
設(shè)平面AGC的法向量為，
設(shè)平面BGC的法向量為，
∴即∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量，得
∴二面角B—AC—G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）
設(shè)平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設(shè)平面BGC的方程為：
則∴平面BGC的法向量為
點(diǎn)評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應(yīng)坐標(biāo)就是0；
②平面經(jīng)過原點(diǎn)時平面方程中的常數(shù)項(xiàng)等于0；
③平面法向量的兩種求法的區(qū)別
小結(jié)：
1運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題時，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論
2本節(jié)知識是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，以通過向量運(yùn)算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn)利用兩個向量（非零）垂直數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點(diǎn)面距、線面角、異面直線的距離等
學(xué)生練習(xí)
1若=（2x，1，3），=（1，－2y，9），如果與為共線向量，則
Ax=1，y=1Bx=，y=－Cx=，y=－Dx=－，y=
解析：∵=（2x，1，3）與=（1，－2y，9）共線，故有==
∴x=，y=－應(yīng)選C答案：C
2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），下列敘述中正確的個數(shù)是①點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P1（x，－y，z）②點(diǎn)P關(guān)于yOz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P2（x，－y，－z）③點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是P3（x，－y，z）④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是P4（－x，－y，－z）
A3B2C1D0
解析：P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P1（x，－y，－z），關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)為P2（－x，y，z），關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P3（－x，y，－z）故①②③錯誤答案：C
3已知向量=（1，1，0），=（－1，0，2），且k＋與2－互相垂直，則k值是
A1BCD
解析：k+=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2－=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：D
4設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG=3GG1，若=x+y+z，則（x，y，z）為
A（，，）B（，，）
C（，，）D（，，）
解析：∵==（+）=+［（+）］=+［（－）+（－）］=++，而=x+y+z，∴x=，y=，z=
答案：A
5在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為
AarccosBarccosCarccosDarccos
解：建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），
=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）
故=0×1+×0+1×=，
||==，||==
∴cosα===∴α=arccos答案：D
6已知空間三點(diǎn)A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則與的夾角θ的大小是_________
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉===－，
∴θ=〈，〉=120°答案：120°
7已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則||的值是__________
解析：設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），則由=2，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則||==答案：
8設(shè)點(diǎn)C（2a+1，a+1，2）在點(diǎn)P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）
根據(jù)共面向量定理，設(shè)=x+y（x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點(diǎn)確定的平面方程，然后代入求a的值
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點(diǎn)，且|PQ|=，建立坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、、方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當(dāng)B1Q⊥D1P時，求二面角C1—PQ—A的大小
解：（1）設(shè)BP=t，則CQ=，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－，2，0），
∴=（，－2，2），=（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于=0，
即－2－2（2－t）+2×2=0，
整理得=t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1—PQ—A的大小是π－arctan2
10已知三角形的頂點(diǎn)是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）試求這個三角形的面積
解：S=|AB||AC|sinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S=||||
=||||=
在本題中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9，
||2=（－2）2+02+（－3）2=13，
=1（－2）+20+（－2）（－3）=－2+6=4，
∴S==
11證明正三棱柱的兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因?yàn)楫惷鎸蔷€OA⊥BC=0（a，a，b）（0，2a，－b）=2a2－b2=0b=a，即2a∶b=∶1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為∶1
12如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈，〉的值；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求||的值；
（3）求二面角P—BC—D的大小
解：（1）選取AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，0）
∴=（a，，0），=（0，，－a），
則cos〈，〉=
==
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，
∴E（a，－，0），F(xiàn)（0，，a）
則||==a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結(jié)PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P—BC—D的平面角
在Rt△PBO中，PO=a，BO=a，
∴tan∠PBO===1則∠PBO=45°
故二面角P—BC—D的大小為45°
課前后備注
§3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
§3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
本節(jié)，空間向量的數(shù)乘運(yùn)算共有4個知識點(diǎn)：空間向量的數(shù)乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節(jié)是全章的重點(diǎn)，有了第一節(jié)空間向量加減法的基礎(chǔ)，我們就很容易把平面向量及其運(yùn)算推廣到空間向量由于本教材學(xué)習(xí)空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習(xí)題的編排也主要是立體幾何問題當(dāng)我們把平面向量推廣到空間向量后，很自然地要認(rèn)識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然后由這兩個定理推出空間直線和平面的向量表達(dá)式有了這兩個表達(dá)式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（2）過程與方法：進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，會用空間向量的運(yùn)算意義和運(yùn)算律解決立幾問題
（3）情感態(tài)度與價值觀：會用平面的向量表達(dá)式解決共面問題
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
【教學(xué)難點(diǎn)】：
用向量解決立幾問題
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新1、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，其模長是的倍
（1）當(dāng)時，與同向
（2）當(dāng)時，與反向
2、空間向量的數(shù)乘分配律和結(jié)合律
（1）分配律：
（2）結(jié)合律：
3、共線向量或平形向量
類似于平面向量共線，對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使
以數(shù)乘向量及其運(yùn)算律為突破口，與平面向量進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，為下面引出共面向量作鋪墊。
二．新課講授1、方向向量
如果為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量.
在上取，則上式可化為
證明：對于空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，三點(diǎn)共線
由此可見，可以利用向量之間的關(guān)系判斷空間任意三點(diǎn)共線，這與利用平面向量判斷平面內(nèi)三點(diǎn)共線是一樣的。
回顧平面向量的基本定理：
共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得，這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。
由此可以得到空間向量共面的證明方法
2、空間平面ABC的向量表示式
空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得：，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有：。
方向向量的引入是為了更好的說明三點(diǎn)共線的向量充要條件，作為特色班，可以根據(jù)實(shí)際情況補(bǔ)充證明過程。
回顧平面向量的基本定理可以發(fā)現(xiàn)，平面中的基底理論成了空間向量關(guān)系的一種特殊情況——共面的證明方法，這正是由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜的一種推廣，對今后理解空間向量的基底理論也是有一定輻射作用的。
推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面的充要條件是
證明：略本探究可以在老師的啟發(fā)下，給學(xué)生自己證明，不同層次可以酌情考慮是否證明。
三．典例講練例1．一直平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O做射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且使，
求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
分析：欲證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明，，共面。下面我們利用，，共面來證明。
證明：因?yàn)?，所?br>
，，，，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，因此，
由向量共面的充要條件知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面
進(jìn)一步：請學(xué)生思考如何證明：面AC//面EG
四．練習(xí)鞏固1、如圖，已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。
（1）
（2）
（3）
鞏固知識，注意向量運(yùn)算律的使用.3、略解：（1）
（2）
2、課本P89練習(xí)2-3
3、已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向量方法證明（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面（2）AC∥平面EFGH
得EF∥AC，AC平面EFGH，則AC∥平面EFGH
五．小結(jié)1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
2．空間向量的運(yùn)算意義和運(yùn)算律解決立幾問題
3．平面的向量表達(dá)式解決共面問題歸納知識反思方法，特點(diǎn)。
六．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1，A組第1題（3）、（4），第2題
練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：
（1）；AD
（2）；AG
（3）．MG
（中等題）
2、在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）
A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長向量C．共面向量D．不共面向量
3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（）
A．B．C．D．
§3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
§3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【學(xué)情分析】：
本小節(jié)首先把平面向量數(shù)量積運(yùn)算推廣到空間向量數(shù)量積運(yùn)算學(xué)生已有了空間的線、面平行和面、面平行概念，這種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間一個向量已是空間的一個平移，要讓學(xué)生在空間上一步步地驗(yàn)證向量的數(shù)量積運(yùn)算這樣做，一方面復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律
（2）過程與方法：類比學(xué)習(xí)，注重類比、推廣等思想方法的學(xué)習(xí)和使用，掌握立體幾何中的三垂線定理及其逆定理的證明
（3）情感態(tài)度與價值觀：進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量法在證明立體幾何中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的開拓創(chuàng)新能力和舉一反三的能力。
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖
一．溫故知新1、平面向量的數(shù)量積
（1）設(shè)是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝
（2）夾角：．
（3）運(yùn)算律
；；
復(fù)習(xí)舊知識，為新知識做鋪墊，讓學(xué)生可以非常容易的接收空間向量的數(shù)量積概念。
二．新課講授1、夾角
定義：是空間兩個非零向量，過空間任意一點(diǎn)O，作，則叫做向量與向量的夾角，記作
規(guī)定：
注意夾角的表示方法和意義，垂直的表示。
特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作。
2、數(shù)量積
（1）設(shè)是空間兩個非零向量，我們把數(shù)量叫作向量的數(shù)量積，記作，即＝
（2）夾角：．
（3）運(yùn)算律
；
；
思考：
1、若，是否有成立？
2、若，是否有，或成立？
3、向量數(shù)量積是否有結(jié)合律成立？
注意向量運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算的差別。
三．典例講練例1．在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
已知：PO，PA分別是平面的垂線，斜線，AO是PA在平面內(nèi)的射影，且，
求證：
證明：取直線的方向向量，同時取向量，。
因?yàn)?，所以?br>
因?yàn)?，且，所?br>
因此。
注重向量在垂直、共面中的使用的意識的培養(yǎng)。
又因?yàn)椋?br>
所以
這個命題叫做三垂線定理，思考其逆定理如何證明
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)德一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。
例2．，是平面內(nèi)的兩條相交直線，如果，，求證：
證明：在內(nèi)作任一直線個，分別在，，，，上取非零向量，，，。
因?yàn)榕c相交，所以向量，不平行，由向量共面的充要條件知，存在惟一的有序?qū)崝?shù)對，
使
將上式兩邊與向量作數(shù)量積，
得
因?yàn)?，?br>
所以
所以，即
這就證明了直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，
所以
四．練習(xí)1．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）
（A）（B）
（C）（D）
注意的使用
2、如圖，在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，BAD=，BAA’=DAA’=，求A’C的
長。
鞏固
3、如圖，線段AB，BD在平
面內(nèi)，BDAB，線段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D間的距離。
五．小結(jié)（1）夾角、空間向量數(shù)量積、運(yùn)算律
（2）三垂線定理及其逆定理
（3）夾角、距離的求法回顧方法
六．作業(yè)課本P97，習(xí)題3.1A組，第3題、第4題、第5題
練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1．已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)。求證OG⊥BC
分析：要證OG⊥BC，只需證明。
把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示
略解：
（中等題）
２．已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60
（1）證明CC1⊥BD
（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？并證明
分析：取為運(yùn)算的基向量，則。
注意向量間的方向?qū)A角的影響
略證（2）設(shè)，菱形邊長為a，則
，解得
當(dāng)時，
向量的加減法運(yùn)算
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“向量的加減法運(yùn)算”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
向量的加減法運(yùn)算
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題向量的加減法運(yùn)算
授課時間撰寫人劉艷宏時間
學(xué)習(xí)重點(diǎn)用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和與差向量
學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解向量加減法的定義.
學(xué)習(xí)目標(biāo)⑴掌握向量加法的定義
⑵會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量
⑶理解向量加法的運(yùn)算律
教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
向量的三角形及平行四邊形法則
向量的反向量
向量加法與減法的幾何意義
二師生互動
例1如圖5，O為正六邊形的中心，試作出下列向量：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）
例2在中，是重心，、、分別是、、的中點(diǎn)，化簡下列兩式：
⑴；
⑵
練習(xí)。設(shè)，，，試用表示.
三鞏固練習(xí)
1.平行四邊形中，，，則等于（）.
A.B.C.D.
2.下列等式不正確的是（）.
A.B.
C.
D.
3.在中，等于（）.
A.B.C.D.
4.=；
=.
5.已知向量、滿足且，則=.
6.在中，，則等于（）.
A.B.C.D.
7.化簡的結(jié)果等于（）.
A.B.C.D.
8.在正六邊形中，，，則=.
9.已知、是非零向量，則時，應(yīng)滿足條件.
四課后反思
五課后鞏固練習(xí)
1.已知是的對角線與的交點(diǎn)，
若，，，
試證明：.
2.在菱形中，，，求的值.
