小學(xué)三角形教案

高中數(shù)學(xué)必修四3.2.2三角恒等變換---化簡、求值、應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案。

3．2．2三角恒等變換---化簡、求值、應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．能夠進(jìn)行基本的三角函數(shù)式的化簡、求值，初步掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法。并應(yīng)用三角變換解決某些實(shí)際問題。
2．進(jìn)一步認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化、換元、方程等數(shù)學(xué)思想解決問題的能力，提高解題中化簡、推理、運(yùn)算能力。
【新知自學(xué)】
知識回顧：
1、三角變換的基本特點(diǎn)：①注意式子的結(jié)構(gòu)特征；②注意角之間的變換。
2、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和差倍角公式。
新知梳理：
1、化簡要求：
(1)能求出值的就求出值；
(2)使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；
(3)使項(xiàng)數(shù)盡量少；
(4)盡量使分母不含三角函數(shù)；
(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．
2．化簡常用方法：
(1)能直接使用公式時就用公式(包括正用、逆用、變形用)；
(2)常用切化弦、異名化同名、異角化同角等．

3、化簡常用技巧：、
(1)注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化；
(2)注意利用代數(shù)上的一些恒等變形法則和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；
(3)注意利用角與角之間隱含關(guān)系；
(4)注意利用“1”的恒等變形．
4．靈活運(yùn)用角的變形和公式變形，如2=(+)+(-)，
tan±tan=tan(±)(1tantan)等．
5．要重視角的范圍對三角函數(shù)值的影響，因此要注意角的范圍的討論．
6．形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin()的函數(shù)，使問題得到簡化．
對點(diǎn)練習(xí)：
1、已知cos-cos=，sin-sin=，則cos(-)=．
2、設(shè)－3π＜α＜－，化簡．
【合作探究】
典例精析：
例1、已知sin()=，0，
求的值．

變式練習(xí)：已知-x0,sinx+cosx=．
(1)求sinx-cosx的值；
(2)求的值．
例2、．已知函數(shù)f(x)＝3sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．

規(guī)律總結(jié)：利用asinx+bcosx=Asin(ωx+φ)的變化，將多個三角函數(shù)的和差轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)值的形式，方便研究其有關(guān)性質(zhì)．

變式練習(xí)：求函數(shù)
的最小值，并求其單調(diào)區(qū)間。

例3、課本（例4），對于實(shí)際應(yīng)用問題，適當(dāng)?shù)倪x擇變量，方便問題的求解。

規(guī)律總結(jié)：運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。

【課堂小結(jié)】
知識、方法、思想

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、已知sin-cos=sincos，則sin2的值為()．
(A)-l(B)l-
(c)2-2(D)2-2

2、已知α為鈍角、β為銳角且sinα=，sinβ=，則的值為____________．

3、已知函數(shù)f(x)=2asinxcosx+2bcosx，且f(0)=8,f()=12．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的值．
【課時作業(yè)】
1、在△ABC中，若sinAsinB=cos2，則△ABC是（）
A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形

2、已知為第三象限角，且sin(-)cos-cos(-)sin=,則的值為()．
(A)2(B)
(C)或2(D)1或3

*3、在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=l，則C的大小是()．
(A)(B)
(c)或(D)或

4、若π＜α＜π，sin2α=－，求tan________________

5、化簡．

*6、求3tan12°－3sin12°4cos212°－2的值．

7、已知、為銳角，tan=,sin=，求+2的值．
8、已知、∈(0，)，且sin=sincos(+)．
(1)求證：tan=；
(2)將tan表示成tan的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求tan的最大值，并求當(dāng)tan取得最大值時tan(+)的值．

【延伸探究】
已知sinα=，sin（α+β）=，α與β均為銳角，求．

相關(guān)推薦

高中數(shù)學(xué)必修四第三章三角恒等變換章末小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

第三章三角恒等變換章末小結(jié)

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】
進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明：
【知識與方法】
1、熟練記憶三角恒等變換公式：

2、三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即:
（1）找差異：角、名、形的差別；
（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個公式聯(lián)系起來；
（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式。
如：升降冪公式；
；
；
tan±tan=tan(±)(1tantan)；
1=sin2+cos2（1的代換）；
拆角cos=coscos(-)-sinsin(-)；
切化弦等。

3．a(chǎn)sin＋bcos＝sin(＋φ)，其中cosφ＝___，sinφ＝___，即tanφ＝ba.

【題型總結(jié)】
題型1、化簡求值：綜合使用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、公式，求出三角函數(shù)式的值。
化簡要求：________、________、__________、__________、__________、__________；
1、化簡（1）；

（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。

2、求值：

題型2、條件求值：綜合考慮要求值的式子和條件式的關(guān)聯(lián)，對于已知條件式的應(yīng)用及其變形是解決此類問題的關(guān)鍵。
3、已知=，=，求的值。
4.已知
求的值。
題型3、知值求角：
（1）先求角的某一個三角函數(shù)值：要注意象限角的范圍與三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系；
（2）盡量小的確定角的范圍：通過已知的角的范圍及其函數(shù)值的大小。
5．已知在中，
求角的大小。

6.設(shè)、為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求證：+2=。

題型4、恒等式的證明：是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等。
7．已知，
求證：

8．求證

題型5、化成一個角的形式：
9.函數(shù)有最大值，最小值，則實(shí)數(shù)____，___。

10．函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（）
A.B.
C.D.

題型6、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，
11．已知△ABC的內(nèi)角滿足，若，且滿足：，，為的夾角.求。

12．如圖所示，某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠，為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面。若水渠斷面面積設(shè)計(jì)為定值m，渠深8米。則水渠壁的傾角應(yīng)為多少時，方能使修建的成本最低？

【課時練習(xí)】
1．當(dāng)時,函數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，，則△ABC為）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．無法判定
3．函數(shù)的最小正周期是()
A．B．
C．D．
4．已知那么的值為,的值為

5．已知，，則=__________。

6．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

7．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br> （1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且，當(dāng)為何值時，為偶函數(shù)．

8.已知函數(shù)
（1）求取最大值時相應(yīng)的的集合；
（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到的圖象
【延伸探究】
9．已知函數(shù)
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)設(shè)，的最小值是，最大值是，求實(shí)數(shù)的值．

高中數(shù)學(xué)必修四3.2.1簡單的三角恒等式的證明導(dǎo)學(xué)案

3.2簡單的三角恒等變換
3.2.1簡單的三角恒等式的證明
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.加深對三角函數(shù)的概念、公式的理解，把握三角恒等變換的基本特點(diǎn)。
2.以已有公式為依據(jù)，以推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，培養(yǎng)提高學(xué)生推理、運(yùn)算能力。
【新知自學(xué)】
知識回顧：回顧復(fù)習(xí)以下公式并填空：
=________________
=________________
對點(diǎn)練習(xí)：
1、已知sinsin=1，那么cos(+)的值為()．
(A)-l(B)0(C)1(D)±l
2．已知tan=，且∈(,)，則sin(+)的值是()．
(A)-(B)
(c)(D)-
3．

【合作探究】
典例精析：
例1．試用表示，，
討論展示：在前面學(xué)習(xí)的二倍角公式中，2角是的二倍，大家體會一下：這里角與可以有什么關(guān)系？進(jìn)一步體會二倍角公式中，倍角的相對性。
解答：

規(guī)律總結(jié)：
1、本題的結(jié)果可以表示成：，，，并稱之為半角公式（不要求記憶），其中的符號由_____來確定。
2、思考：代數(shù)變換與三角變換有什么不同？（答案見課本）

變式練習(xí)1：
求證：（優(yōu)點(diǎn)：避免選擇符號）
例2．求證：
(1)；
(2)．
討論展示：①兩角和與差的正弦、余弦公式兩邊有什么特點(diǎn)？②它們與本例在結(jié)構(gòu)形式上有什么聯(lián)系？③如何完成本題的證明？

思考感悟：
①本題證明過程中，體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？_____、________
②在本例證明過程中，如果不用（1）的結(jié)果，如何證明（2）？

變式練習(xí)2：
已知，，求證：

【課堂小結(jié)】
三角變換的特點(diǎn)：
換元法、方程思想的運(yùn)用

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、求證：=cos2x．

2、求證：

3、求證：
【課時作業(yè)】
1、已知cos（α+β）cos（α－β）=，則cos2α－sin2β的值為（）
A．－B．－
C．D．
2、求證：1+2cos2θ－cos2θ=2．

*3、求證：tanπ4＋αcos2α2cos2π4－α=1

4、求證：4sinθcos2=2sinθ+sin2θ．

5、求證：證明sinα＋sin2α1＋cosα＋cos2α＝

6、證明：(1)sinθ(1＋cos2θ)＝sin2θcosθ；
(2)tanα＋tanβtanα－tanβ＝sinα＋βsinα－β.

【延伸探究】
證明：

高中數(shù)學(xué)必修四1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．
2.讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力。
【新知自學(xué)】
知識回顧：
1．三角函數(shù)的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的性質(zhì)
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________確定，其中周期T可觀察圖象獲得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一個確定φ的值．
3．三角函數(shù)模型的應(yīng)用
三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中________現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．

新知梳理：
1、創(chuàng)設(shè)情境、激活課堂
生活中普遍存在著周期性變化規(guī)律的現(xiàn)象，晝夜交替四季輪回，潮漲潮散、云卷云舒，情緒的起起落落，庭前的花開花謝，一切都逃不過數(shù)學(xué)的眼睛！這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)如何用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。

2、結(jié)合三角函數(shù)圖象的特點(diǎn)，思考后寫出下列函數(shù)的周期．
(1)y＝|sinx|的周期是________；
(2)y＝|cosx|的周期是________；
(3)y＝|tanx|的周期是________；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|(Aωk≠0)的周期是__________；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|(Aω≠0)的周期是__________．

對點(diǎn)練習(xí)：
1、如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回擺動，離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin100πt＋π6，那么單擺來回擺動一次所需的時間為()
A.150sB.1100s
C．50sD．100s

2．若函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)對任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，則fπ6等于()
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3

3.如圖所示，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在圓上按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的弧AP的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致是()

【合作探究】
典例精析：
題型一、由圖象探求三角函數(shù)模型的解析式
例1．如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)．
（1）求這一天6～14時的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式

變式練習(xí)：
某動物種群數(shù)量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其總量在此兩值之間變化，且總量與月份的關(guān)系可以用函數(shù)來刻畫，試求該函數(shù)表達(dá)式。

題型二、由解析式作出圖象并研究性質(zhì)
例2．畫出函數(shù)的圖象并觀察其周期．

變式練習(xí)：
的周期是．
的周期是．
的周期是．

規(guī)律總結(jié)：
利用圖象的直觀性，通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識，是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法；本題也可用代數(shù)方法即周期性定義驗(yàn)證：
∴的周期是．（體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想?。?/p>

題型三、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題
例3．如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是．當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值．
如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？

變式練習(xí)：
交流電的電壓E(單位：伏)與時間t(單位：秒)的關(guān)系可用E＝2203sin100πt＋π6來表示，求：
(1)開始時的電壓；(2)最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；
(3)電壓的最大值和第一次取得最大值的時間．

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1、據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2的模型波動(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為()
A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)
2、如圖所示為一個觀覽車示意圖，該觀覽車半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h.
(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式．
3、如圖表示電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期內(nèi)的圖象．
(1)據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)為使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段1100的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？

【課時作業(yè)】
1、函數(shù)y＝2sinm3x＋π3的最小正周期在23，34內(nèi)，則正整數(shù)m的值是________．

2．設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，則此人每分鐘心跳的次數(shù)是________．

3．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式時s＝3cosglt＋π3，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1s時，線長l等于________．

4、如圖所示，一個摩天輪半徑為10m，輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同)時開始計(jì)時．
(1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式；
(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m.

5.如圖，一個水輪的半徑為4m，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時間．
(1)將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；
(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時間？

【延伸探究】
如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,23)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動員的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？

高中數(shù)學(xué)必修四導(dǎo)學(xué)案1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（小結(jié)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解正弦、余弦和正切的誘導(dǎo)公式；
2.能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)；
3.會解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題.
預(yù)習(xí)課本P23---26頁，理解記憶下列公式
【新知自學(xué)】
知識梳理：
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；
公式五：sin(90)=cos,
cos(90)=sin.
公式六：sin(90+)=cos,
cos(90+)=sin.
記憶方法：“正變余不變，符號看象限”；
注意：①公式中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
感悟：用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是：
(1)______________；(2)________________；(3)_______________
對點(diǎn)練習(xí)：
1.化簡的結(jié)果是（）
A．B．
C．D．
2.sin（－）=_______________
3．若，則=________

題型一：利用誘導(dǎo)公式求值
例1.計(jì)算:.

變式1.求值：

題型二：利用誘導(dǎo)公式化簡
例2.化簡：（）．
變式2.化簡：

題型三：利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式
例3.在△ABC中，求證:
.

變式3.在△ABC中，求證:

【課堂小結(jié)】
知識----方法---思想

【當(dāng)堂練習(xí)】
1．求下列三角函數(shù)值：
（1）；（2）；

2.已知tanα=m，則

3.若α是第三象限角，則
=_________．
4.化簡
【課時作業(yè)】
1．設(shè)，且為第二象限角，則的值為（）
A．B．－
C．D．－
2．化簡：得（）
A.sin2+cos2B.cos2-sin2
C.sin2-cos2D.±(cos2-sin2)
3．下列三角函數(shù)值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函數(shù)值與的值相等的是（）
A．①②B．①③④
C．②③⑤D．①③⑤

4.設(shè)A、B、C是三角形的三個內(nèi)角，下列關(guān)系恒成立的是（）
A．cos（A+B）=cosC
B．sin（A+B）=sinC
C．tan（A+B）=tanC
D．sin=sin
5.已知sin(+α)=，則sin(-α)值為（）
A.B.—C.D.—

6.已知值

7.已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，則
的值是．

8.若，則。

9.已知，求
的值．

【延伸探究】
1.已知函數(shù)求的值。

2．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．