高中三角函數(shù)教案

高二數(shù)學三角恒等變換34。

第三章三角恒等變換

一、課標要求：
本章學習的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換.
三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數(shù)學中的一些應(yīng)用.
1.了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；
2.理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；
3.運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導(dǎo)學生推導(dǎo)半角公式，積化和差、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應(yīng)用.
二、編寫意圖與特色
1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)：“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關(guān)知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受；
2.本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；
3.本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發(fā)展推理和運算的能力，因此在本章全部內(nèi)容的安排上，特別注意恰時恰點的提出問題，引導(dǎo)學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數(shù)學思想方法指導(dǎo)設(shè)計變換思路的意識；
4.本章在內(nèi)容的安排上貫徹“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末葉的內(nèi)容”的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習.
三、教學內(nèi)容及課時安排建議
本章教學時間約8課時，具體分配如下：
3.1兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式約3課時
3.2簡單的恒等變換約3課時
復(fù)習約2課時

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
一、課標要求：
本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會和認識公式的特征及作用.
二、編寫意圖與特色
本節(jié)內(nèi)容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用.
三、教學重點與難點
1.重點：引導(dǎo)學生通過獨立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎(chǔ)；
2.難點：兩角差的余弦公式的探索與證明.

3.1.1兩角差的余弦公式

一、教學目標
掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).
二、教學重、難點
1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；
2.教學難點：探索過程的組織和適當引導(dǎo)，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已經(jīng)具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.
三、學法與教學用具
1.學法：啟發(fā)式教學
2.教學用具：多媒體
四、教學設(shè)想：
（一）導(dǎo)入：我們在初中時就知道，，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式
（二）探討過程：
在第一章三角函數(shù)的學習當中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點為，等于角與單位圓交點的橫坐標，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）
展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索與、、、之間的關(guān)系，由此得到，認識兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).
思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？
提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？
2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公式得到探索結(jié)果？
展示多媒體課件
比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.
思考：，，再利用兩角差的余弦公式得出
（三）例題講解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、構(gòu)造成兩個特殊角的和、差.
點評：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學會靈活運用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因為，由此得
又因為是第三象限角，所以
所以
點評：注意角、的象限，也就是符號問題.
（四）小結(jié)：本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.
（五）作業(yè)：

相關(guān)知識

高二數(shù)學下冊《三角恒等變換》知識點

高二數(shù)學下冊《三角恒等變換》知識點

知識結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點：通過探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡單的三角恒等變換

重點：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會三角變換的特點

難點：公式的靈活應(yīng)用

三角函數(shù)幾點說明：

1.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計算，熟練配角和sin和cos的計算.

3.已知三角函數(shù)值求角問題，達到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱點、特殊點和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

簡單的三角恒等變換

3.2簡單的三角恒等變換（三）
教學目標
（一）知識與技能目標
熟練掌握三角公式及其變形公式．
（二）過程與能力目標
抓住角、函數(shù)式得特點，靈活運用三角公式解決一些實際問題．
（三）情感與態(tài)度目標
培養(yǎng)學生觀察、分析、解決問題的能力．
教學重點
和、差、倍角公式的靈活應(yīng)用．
教學難點
如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式的進行三角式化簡、求值、證明．
教學過程
例1：教材P141面例4
例1.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP＝a，求當角a取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

例2：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）
解：（1）如圖，設(shè)矩形長為l，則面積，
所以當且僅當
即時，取得最大值，此時S取得最大值，矩形的寬為
即長、寬相等，矩形為圓內(nèi)接正方形.
（2）設(shè)角為自變量，設(shè)對角線與一條邊的夾角為，矩形長與寬分別為
、，所以面積.
而，所以，當且僅當時，S取最大值，所以當且僅當即時，S取最大值，此時矩形為內(nèi)接正方形.
變式：已知半徑為1的半圓，PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖，問P點在什么位置時，矩形的面積最大，并求最大面積時的值．
解：設(shè)則
故S四邊形PQRS
故為時，

課堂小結(jié)
建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實際問題.

課后作業(yè)
1.閱讀教材P.139到P.142;2.《習案》作業(yè)三十五.

高中數(shù)學必修四3.2三角恒等變換小結(jié)導(dǎo)學案

3.2三角恒等變換小結(jié)
【學習目標】
1．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
2．能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式進行簡單的恒等變換。
【知識梳理】
1．熟練掌握公式：
兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．幾個公式變形：
=__________=_______________
tan±tan
=tan(±)(1tantan)
；

3．形如asinα＋bcosα的化簡：
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝_____，sinφ＝______，
即tanφ＝ba.

【自學探究】
一、兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用
例1:在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB的值為()．
A．14B．13C．12D．53

例2：化簡：.

思考感悟：要熟練、準確地運用和、差、倍角公式，同時要熟悉公式的逆用及變形。
二、角的變換
例3、已知sin＝－34，則sin2x＝__________.

例4、已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos＝35，sin＝513，求sin(α＋β)的值．

思考感悟：
1．應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，把“所求角”用“已知角”來表示，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式．
2．常見的配角技巧：
α＝(α＋β)－β；π4＋α＝π2－；α＝12；β＝12；
三、三角函數(shù)式的化簡、求值
例5：化簡：(π＜α＜2π)．
例6：已知34π＜α＜π，，求的值．

思考感悟：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則．
(1)一看“角”，找到之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理拆分；
(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱間的差異與聯(lián)系，常見有“切化弦”；
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，可以幫我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等．
四、三角恒等式的證明
例7：求證：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.

例8：已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，證明：α＋β＝π4.

思考感悟：
1．證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的的化繁為簡、左右歸一。
2．三角恒等式的證明主要有兩種類型：絕對恒等式與條件恒等式．
(1)證明絕對恒等式要根據(jù)兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，變更論證，化異為同．
(2)條件恒等式的證明則要比較已知條件與求證等式間的聯(lián)系，選擇適當途徑．常用代入法、消元法、兩頭湊等方法．

【課堂小結(jié)】

【當堂達標】
1．化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.

2．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________.

3．已知sinβ＝msin(2α＋β)(m≠1)，求證：tan(α＋β)＝1＋m1－mtanα.

【課后作業(yè)】
1．cos2π8－12的值為()
A.1B.12C.22D.24

2．cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12的值等于()
A.62B.32
C.54D.1＋34

3．已知π＜α＜3π2，且sin(3π2＋α)＝45，則tanα2等于()
A.3B.2
C.－2D.－3

4．如果tanα2＝13，那么cosα的值是()
A.35B.45
C.－35D.－45

5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，則此三角形為()
A.等邊三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6．已知sinα＝13，2π＜α＜3π，那么sinα2＋cosα2＝_____.

7．cos5π8cosπ8＝_____.

8．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.

9．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.

10．已知sin(x－3π4)cos(x－π4)＝－14，求cos4x的值.
【延伸探究】
11．已知函數(shù)
（1）求的最小正周期；
（2）當時，求的最小值及取得最小值時的集合．

12．把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）

2012屆高考數(shù)學知識梳理復(fù)習三角恒等變換教案

學生們有一個生動有趣的課堂，離不開老師辛苦準備的教案，大家開始動筆寫自己的教案課件了。用心制定好教案課件的工作計劃，才能更好地安排接下來的工作！你們會寫教案課件的范文嗎？請您閱讀小編輯為您編輯整理的《2012屆高考數(shù)學知識梳理復(fù)習三角恒等變換教案》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

教案42三角恒等變換
一、課前檢測
1.若為第三象限角，且，則等于__________。答案：

2.函數(shù)的最大值是____________。答案：3

3.函數(shù)的值域是___________。答案：

二、知識梳理
1．基本公式
解讀：

2．二倍角切化弦公式

解讀：

3．降冪公式

解讀：

三、典型例題分析
例1．已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－β∈(0，π)
得β∈(,π)①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝α∈(0，π)
得0＜α＜∴0＜2α＜π
由tan2α＝＞0∴知0＜2α＜②
∵tan(2α－β)＝＝1
由①②知2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－
(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)

變式訓練：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面積．
解：∵sinA＋cosA＝①
∵2sinAcosA＝－
從而cosA＜0A∈()
∴sinA－cosA＝
＝②
據(jù)①②可得sinA＝cosA＝
∴tanA＝－2－
S△ABC＝

小結(jié)與拓展：

例2．求證：＝
證明：左邊＝
＝＝右邊

變式訓練：化簡sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.
解方法一（復(fù)角→單角，從“角”入手）
原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)
=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-
=sin2sin2+cos2sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二（從“名”入手，異名化同名）
原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2
=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2cos2
=cos2-sin2cos2-cos2cos2
=cos2-cos2
=-cos2
=-cos2=.
方法三（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）
原式=+-cos2cos2
=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.

方法四（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）
原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2
=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2
=cos2(+)-cos(2+2)
=cos2(+)-［2cos2(+)-1］=.

小結(jié)與拓展：

四、歸納與總結(jié)（以學生為主，師生共同完成）

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯點：

4.教學反思（不足并查漏）：