高中三角函數(shù)教案

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案。

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》復(fù)習(xí)學(xué)案

三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)：

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點(diǎn)：通過(guò)探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換

重點(diǎn)：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會(huì)三角變換的特點(diǎn).

難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用.

三角函數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

1.對(duì)弧長(zhǎng)公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計(jì)算，熟練配角和sin和cos的計(jì)算.

3.已知三角函數(shù)值求角問(wèn)題，達(dá)到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、特殊點(diǎn)和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習(xí)，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習(xí)題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

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高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》知識(shí)點(diǎn)

高二數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角恒等變換》知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點(diǎn)：通過(guò)探索和討論交流，導(dǎo)出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡(jiǎn)單的三角恒等變換

重點(diǎn)：掌握三角變換的內(nèi)容、思路和方法，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)

難點(diǎn)：公式的靈活應(yīng)用

三角函數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

1.對(duì)弧長(zhǎng)公式只要求了解，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，不必在應(yīng)用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關(guān)系證明三角恒等式和求值計(jì)算，熟練配角和sin和cos的計(jì)算.

3.已知三角函數(shù)值求角問(wèn)題，達(dá)到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、特殊點(diǎn)和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習(xí)，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習(xí)題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據(jù)已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

簡(jiǎn)單的三角恒等變換

3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（三）
教學(xué)目標(biāo)
（一）知識(shí)與技能目標(biāo)
熟練掌握三角公式及其變形公式．
（二）過(guò)程與能力目標(biāo)
抓住角、函數(shù)式得特點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角公式解決一些實(shí)際問(wèn)題．
（三）情感與態(tài)度目標(biāo)
培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)
和、差、倍角公式的靈活應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
如何靈活應(yīng)用和、差、倍角公式的進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明．
教學(xué)過(guò)程
例1：教材P141面例4
例1.如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP＝a，求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

例2：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）
解：（1）如圖，設(shè)矩形長(zhǎng)為l，則面積，
所以當(dāng)且僅當(dāng)
即時(shí)，取得最大值，此時(shí)S取得最大值，矩形的寬為
即長(zhǎng)、寬相等，矩形為圓內(nèi)接正方形.
（2）設(shè)角為自變量，設(shè)對(duì)角線與一條邊的夾角為，矩形長(zhǎng)與寬分別為
、，所以面積.
而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取最大值，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，S取最大值，此時(shí)矩形為內(nèi)接正方形.
變式：已知半徑為1的半圓，PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖，問(wèn)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大，并求最大面積時(shí)的值．
解：設(shè)則
故S四邊形PQRS
故為時(shí)，

課堂小結(jié)
建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問(wèn)題.

課后作業(yè)
1.閱讀教材P.139到P.142;2.《習(xí)案》作業(yè)三十五.

三角恒等變形復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)課2
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
（一）兩角和與差公式
（二）倍角公式
2cos2α=1+cos2α2sin2α=1-cos2α
注意：倍角公式揭示了具有倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，可實(shí)現(xiàn)函數(shù)式的降冪的變化。
注：（1）兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類(lèi)基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題。
（2）對(duì)公式會(huì)“正用”，“逆用”，“變形使用”；
（3）掌握“角的演變”規(guī)律，
（4）將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用。
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：幾組三角恒等式的應(yīng)用
難點(diǎn)：靈活應(yīng)用和、差、倍角等公式進(jìn)行三角式化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式
【精典范例】
例1已知
求證：
例2已知求的取值范圍
分析難以直接用的式子來(lái)表達(dá)，因此設(shè)，并找出應(yīng)滿足的等式，從而求出的取值范圍.

例3求函數(shù)的值域.
例4已知
且、、均為鈍角，求角的值.
分析僅由，不能確定角的值，還必須找出角的范圍，才能判斷的值.由單位圓中的余弦線可以看出，若使的角為或若則或
【選修延伸】
例5已知
求的值.
例6已知，
求的值.

例7已知
求的值.

例8求值：（1）（2）

【追蹤訓(xùn)練】
1．等于（）
A．B．C．D．
2．已知，且
，則的值等于（）
A．B．C．D．
3．求值：=.

4．求證：（1）

高中數(shù)學(xué)必修四3.2三角恒等變換小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

3.2三角恒等變換小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
2．能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。
【知識(shí)梳理】
1．熟練掌握公式：
兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式

2．幾個(gè)公式變形：
=__________=_______________
tan±tan
=tan(±)(1tantan)
；

3．形如asinα＋bcosα的化簡(jiǎn)：
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，
其中cosφ＝_____，sinφ＝______，
即tanφ＝ba.

【自學(xué)探究】
一、兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用
例1:在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB的值為()．
A．14B．13C．12D．53

例2：化簡(jiǎn)：.

思考感悟：要熟練、準(zhǔn)確地運(yùn)用和、差、倍角公式，同時(shí)要熟悉公式的逆用及變形。
二、角的變換
例3、已知sin＝－34，則sin2x＝__________.

例4、已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos＝35，sin＝513，求sin(α＋β)的值．

思考感悟：
1．應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，把“所求角”用“已知角”來(lái)表示，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式．
2．常見(jiàn)的配角技巧：
α＝(α＋β)－β；π4＋α＝π2－；α＝12；β＝12；
三、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值
例5：化簡(jiǎn)：(π＜α＜2π)．
例6：已知34π＜α＜π，，求的值．

思考感悟：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則．
(1)一看“角”，找到之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分；
(2)二看“函數(shù)名稱(chēng)”，看函數(shù)名稱(chēng)間的差異與聯(lián)系，常見(jiàn)有“切化弦”；
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，可以幫我們找到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”等．
四、三角恒等式的證明
例7：求證：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.

例8：已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，證明：α＋β＝π4.

思考感悟：
1．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的的化繁為簡(jiǎn)、左右歸一。
2．三角恒等式的證明主要有兩種類(lèi)型：絕對(duì)恒等式與條件恒等式．
(1)證明絕對(duì)恒等式要根據(jù)兩邊的特征，化繁為簡(jiǎn)，左右歸一，變更論證，化異為同．
(2)條件恒等式的證明則要比較已知條件與求證等式間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)途徑．常用代入法、消元法、兩頭湊等方法．

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．化簡(jiǎn)：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.

2．求值：sin50°(1＋3tan10°)＝__________.

3．已知sinβ＝msin(2α＋β)(m≠1)，求證：tan(α＋β)＝1＋m1－mtanα.

【課后作業(yè)】
1．cos2π8－12的值為()
A.1B.12C.22D.24

2．cos25π12＋cos2π12＋cos5π12cosπ12的值等于()
A.62B.32
C.54D.1＋34

3．已知π＜α＜3π2，且sin(3π2＋α)＝45，則tanα2等于()
A.3B.2
C.－2D.－3

4．如果tanα2＝13，那么cosα的值是()
A.35B.45
C.－35D.－45

5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，則此三角形為()
A.等邊三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6．已知sinα＝13，2π＜α＜3π，那么sinα2＋cosα2＝_____.

7．cos5π8cosπ8＝_____.

8．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.

9．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sinα、tanα.

10．已知sin(x－3π4)cos(x－π4)＝－14，求cos4x的值.
【延伸探究】
11．已知函數(shù)
（1）求的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)的集合．

12．把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量）