小學教案比的應用

勾股定理的應用。

3勾股定理的應用

1．長方體(或正方體)面上的兩點間的最短距離
長方體(或正方體)是立體圖形，但它的每個面都是平面．若計算同一個面上的兩點之間的距離比較容易，若計算不同面上的兩點之間的距離，就必須把它們轉(zhuǎn)化到同一個平面內(nèi)，即把長方體(或正方體)設法展開成為一個平面，使計算距離的兩個點處在同一個平面中，這樣就可以利用勾股定理加以解決了．所以立體圖形中求兩點之間的最短距離，一定要審清題意，弄清楚到底是同一平面中兩點間的距離問題還是異面上兩點間的距離問題．
談重點長方體表面上兩點間最短距離
因為長方體的展開圖不止一種情況，故對長方體相鄰的兩個面展開時，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時的多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況——前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可．
【例1－1】如圖①是一個棱長為3cm的正方體，它的6個表面都分別被分成了3×3的小正方形，其邊長為1cm.現(xiàn)在有一只爬行速度為2cm/s的螞蟻，從下底面的A點沿著正方體的表面爬行到右側(cè)表面上的B點，小明把螞蟻爬行的時間記錄了下來，是2.5s．經(jīng)過簡短的思考，小明先是臉上露出了驚訝的表情，然后又露出了欣賞的目光．
你知道小明為什么會佩服這只螞蟻的舉動嗎？
解：如圖②，在Rt△ABD中，AD＝4cm，BD＝3cm.
由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32＋42＝25，AB＝5cm，∴螞蟻的爬行距離為5cm.
又知道螞蟻的爬行速度為2cm/s，
∴它從點A沿著正方體的表面爬行到點B處，需要時間為52＝2.5s.
小明通過思考、判斷，發(fā)現(xiàn)螞蟻爬行的時間恰恰就是選擇了這種最優(yōu)的方式，所以他感到驚訝和佩服．
【例1－2】如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示)，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
解：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式，分別展成平面圖形如下：
如圖①，在Rt△ABC1中，
AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.
故AC1＝5.
如圖②，在Rt△ACC1中，
AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.
如圖③，在Rt△AB1C1中，
AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.
∵25＜29＜37，
∴沿圖①的方式爬行路線最短，最短的路線是5.
點技巧巧展長方體
求解此類問題時只需對長方體進行部分展開，畫出局部的展開圖，若將長方體全部展開，不僅沒有必要反而會擾亂視線．
2．圓柱體(或圓錐體)面上的兩點間的最短距離
圓柱體(或圓錐體)是立體圖形，從其表面看兩點之間的連線絕大部分是曲線，那么怎樣確定哪一條是最短的呢？解決問題的方法是將圓柱(或圓錐)的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，應用勾股定理解決，而不能盲目地憑感覺來確定．
【例2】如圖①所示，一只螞蟻在底面半徑為20cm，高為30πcm的圓柱下底的點A處，發(fā)現(xiàn)自己正上方圓柱上邊緣的B處有一只小昆蟲，便決定捕捉這只小昆蟲，為了不引起這只小昆蟲的注意，它故意不走直線，而繞著圓柱，沿一條螺旋路線，從背后對小昆蟲進行突然襲擊，結(jié)果螞蟻偷襲成功，得到了一頓美餐．根據(jù)上述信息，請問螞蟻至少爬行多少路程才能捕捉到小昆蟲？
分析：解此題的關鍵是把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短和勾股定理作答．
解：假設將圓柱體的側(cè)面沿AB剪開鋪平如圖②，則對角線AB即為螞蟻爬行的最短路線．
在Rt△ACB中，AC＝40πcm，BC＝30πcm.
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，
∴AB＝50πcm.
∴螞蟻至少爬行50πcm才能捕捉到小昆蟲．
談重點圓柱體兩點間的最短距離
本題文字敘述較多，要求在閱讀的基礎上提煉有用的信息，具體解題時先將圓柱沿AB剪開，將側(cè)面展開成一矩形，會發(fā)現(xiàn)對角線AB即為螞蟻爬行的最短路線，再運用勾股定理即可求得．
3．生活中兩點間的最短距離
用勾股定理解決實際問題的關鍵是從實際問題中構建數(shù)學模型——直角三角形，再正確利用兩點之間線段最短解答．
【例3】如圖①是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為5dm,3dm和1dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？
分析：由于螞蟻是沿臺階的表面由A爬行到B，故需把三個臺階展開成平面圖形(如圖②)．
解：將臺階展開成平面圖形后，可知AC＝5dm，BC＝3×(3＋1)＝12dm，∠C＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝52＋122＝132，
∴AB＝13dm.
故螞蟻爬到B點的最短路程是13dm.
4．如何正確利用勾股定理及其逆定理解決生活中的問題
利用勾股定理及其逆定理解決生活中的實際問題，重要的是將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型(直角三角形模型)，將實際問題中的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為定理中的“形”，再轉(zhuǎn)化為“數(shù)”．解題的關鍵是深刻理解題意，并畫出符合條件的圖形．
解決幾何體表面上兩點之間的最短距離問題的關鍵是要設法把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，具體步驟是：
(1)把立體圖形展成平面圖形；
(2)確定點的位置；
(3)確定直角三角形；
(4)分析直角三角形的邊長，用勾股定理求解．
【例4】如圖①，圓柱形玻璃容器的高為18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點S處有一只蜘蛛，在與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距上口1cm的點F處有一只蒼蠅，急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛需要爬行的最短距離是__________cm.
解析：將圓柱的側(cè)面展開得到它的側(cè)面展開圖(如圖②)，CD∥AB，且AD＝BC＝12底面周長，BS＝DF＝1cm.則蜘蛛所走的最短路線的長度即為線段SF的長度．過S點作SM⊥CD，垂足為M，由條件知，SM＝AD＝12×60＝30cm，MC＝SB＝DF＝1cm，所以MF＝18－1－1＝16cm，在Rt△MFS中，由勾股定理得SF2＝162＋302＝342，所以SF＝34cm.故蜘蛛需要爬行的最短距離是34cm.
答案：34
5．勾股定理與方程相結(jié)合的應用
方程思想是一種重要的數(shù)學思想．所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式．而勾股定理反映的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．故勾股定理的許多問題的解決都要跟方程相結(jié)合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
【例5】如圖，有一張直角三角形狀紙片ABC，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？
解：設CD＝xcm，由題意知DE＝xcm，BD＝(8－x)cm，AE＝AC＝6cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10cm.
于是BE＝10－6＝4cm.
在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
故CD的長為3cm.

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《勾股定理的應用》學案

《勾股定理的應用》學案

教學內(nèi)容：教材第13至15頁，勾股定理的應用
教學目標：
1、知識目標：運用勾股定理及勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題；
2、能力目標：培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的意識，增強學生的數(shù)學應用能力。通過與同伴交流，培養(yǎng)協(xié)作與交流的意識；
3、情感目標：通過創(chuàng)設問題情境讓學生主動參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣。增強學數(shù)學的自信心。
教學重點：
探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.
教學難點：
勾股定理及逆定理的靈活運用
教學方法與教學手段：
1、情境探究、師生互動
2、自主探索、分層推進
3、教具演示、直觀形象
教學過程：
一．情景導入
從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說明理由。（多媒體展示如下圖片，讓學生回憶“兩點之間，線段最短”的性質(zhì)）
1.3wbr勾股定理的應用教案
設計意圖：通過回憶線段的性質(zhì)，為探究一的學習打基礎，有助于學生對教材內(nèi)容的進一步學習
二．教學新知
（一）探究活動一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離問題
教師用多媒體展示如下內(nèi)容：
1.3wbr勾股定理的應用教案如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少？
首先，多媒體展示下面問題：
1你認為螞蟻沿圓柱側(cè)面從A點到B點有幾條線路可走？你覺得
哪條線路最短？
3.將右圖的圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，A,B兩點分別在
長方形的什么位置?從A點到B點的路線有幾條？哪條最短？
3.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。
4.想一想，你是如何將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的？
接下來，學生分為4人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結(jié)出最短路線．
學生討論之后，總結(jié)出4種方案（多媒體展示）
1.3wbr勾股定理的應用教案

讓學生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數(shù)學解決實際問題的方法．通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．
最后，在學生自主求出AB之間的最短距離后，總結(jié)出計算立體圖形中不在同一平面內(nèi)的兩點之間的最短距離的方法：
(1)將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；
(2)找出原立體圖形中兩點在展開的平面圖形中的具體位置；
(3)構造出直角三角形，并求出直角三角形中的相關邊長.
（4）利用勾股定理求出兩點之間的最短距離。
設計意圖：通過學生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解。在活動中體驗數(shù)學建摸，培養(yǎng)學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．
（二）探究活動二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？
教師用多媒體出示課本上的“做一做”，并提出問題：
D
C
1.3wbr勾股定理的應用教案李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
A
B
（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，
BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？
（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
給出問題后，給學生留有充分的思考時間，對于完成情況，教師做出判斷，對有創(chuàng)新精神的同學給予表揚。
最后，總結(jié)出判斷兩直線垂直的方法。
設計意圖：鍛煉學生應用所學知識解決問題的能力，同時進一步掌握勾股定理的逆定理在實際生活中的簡單應用，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生理解實際問題的能力。
（三）探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用
多媒體出示例題
例.圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.
1.3wbr勾股定理的應用教案
思考：
1.求滑道AC的長的問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學問題？
2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。
教師引導后，讓學生自主完成本題的解題過程，并指名板演。之后，教師反饋訂正，規(guī)范書寫。
設計意圖：通過這道例題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；體會方程的思想的重要性并利用勾股定理建立方程．
（四）新知應用
1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．
1103643727
2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）
1.3wbr勾股定理的應用教案
設計意圖：第1題旨在對探究點一“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側(cè)面的最短距離問題到臺階中的最短距離問題都是將空間問題平面化；第2題是對課本例2的鞏固，旨在考查勾股定理中的方程思想在實際生活中的應用，讓學生進一步認識了方程思想的重要性。
（五）課堂小結(jié)：本節(jié)課你學到了什么？（學生針對本節(jié)課暢所欲言）
設計意圖：通過學生對本節(jié)課所學內(nèi)容的歸納、總結(jié)，加深了“用勾股定理來解決實際問題”的實質(zhì)是構造直角三角形，既是找等量關系解決實際問題，形成解決實際問題的一般性策略。
通過老師的小結(jié)以及框圖概述，使學生認識到“用勾股定理解決實際問題”是建立“數(shù)學模型”解決問題的具體過程，培養(yǎng)數(shù)學建模思想。
（六）作業(yè)布置：習題1.41，3，4題
設計意圖：及時鞏固本節(jié)課所學知識
板書：
小結(jié)：
方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．

《勾股定理的應用》教案

《勾股定理的應用》教案

【學習目標】
能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.
【學習重點】
勾股定理及直角三角形的判別條件的運用.
【學習重點】
直角三角形模型的建立.
【學習過程】
一.課前復習
勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別
二.新課學習
探究點一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路徑問題
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？
思考：
1.利用學具，嘗試從A點到B點沿圓柱側(cè)面畫出幾條線路，你認為
這樣的線路有幾條？可分為幾類？
2.將右圖的圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，B點在什么位置？從
A點到B點的最短路線是什么?你是如何畫的?
3.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。
4.你是如何將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的？

小結(jié)：
你是如何解決圓柱體側(cè)面上兩點之間的最短距離問題的？

探究點二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？
D
C
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，
但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
A
B
（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，
BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？
（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

小結(jié)：通過本道例題的探索，判斷兩線垂直，你學會了什么方法？
探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用
例圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.
1.3wbrwbr勾股定理的應用學案
思考：
1.求滑道AC的長的問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學問題？
2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。

小結(jié)：
方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．
四．課堂小結(jié)：本節(jié)課你學到了什么？
三．新知應用
1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．
1103643727
2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）
wpsA62A
五．作業(yè)布置：習題1.41，3，4題

勾股定理的應用學案

學習目標:
1.能利用勾股定理和直角三角形的判定方法（即勾股定理的逆定理）解決生活中的數(shù)學問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“轉(zhuǎn)化”思想，進一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會數(shù)學的應用價值；
重點、難點：經(jīng)歷運用勾股定理及其逆定理的數(shù)學化過程，體會數(shù)學的應用價值.
學習過程
一.【預學提綱】初步感知、激發(fā)興趣
1.用如圖所示的硬紙板，拼成一個能證明勾股定理的圖形，畫出圖形，加以說明.
2.說明以a=m-n,b=2mn,c=m-n為邊的三角形是直角三角形.

二.【預學練習】初步運用、生成問題
1.甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，甲往東走了8km，乙往南走了6km后甲、乙兩人相距_____km.
2.如圖，一塊長方形水泥操場，一學生要從A角走到C角，至少走米．

3.一個三角形的三邊的比為5：12：13，它的周長為60cm,則它的面積是________.
4.以下列三個數(shù)為邊長的三角形能組成直角三角形的個數(shù)是（）
①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.
A.1B.2C.3D.4
5.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3、4，那么第三邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（ab=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正確的是（）
A、①②B、①③C、①④D、②④
三.【新知探究】師生互動、揭示通法
問題1.如圖，長為10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.
（1）求梯子的底部距離墻角的水平距離BC；

（2）如果梯子的頂端下滑1m,那么它的底端那么它的底端是否也滑動1m?

（3）如果梯子的頂端下滑2m，那么梯子的底端滑動多少米?
從上面所獲的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？有人說,在滑動過程中,梯子的底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大,你贊同嗎?

問題2.如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？

四.【解疑助學】生生互動、突出重點
問題3.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里水深.

五.【變式拓展】能力提升、突破難點
1.一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm？

2.在一個長為2米寬為1米的矩形場地上，如右圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長與場地寬AD邊平行且大于AD，且木塊正面視圖是邊長為0．2米的正方形，求一只螞蟻從工A處到達C處需要走的最短路程是多少米？

六.【回扣目標】學有所成、悟出方法
1.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題中，感受“轉(zhuǎn)化”思想，把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把立體圖形轉(zhuǎn)化為________，把解斜三角形問題轉(zhuǎn)化為________問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“建?！彼枷耄褜嶋H問題看成一個_________問題.