小學(xué)教案比的應(yīng)用

勾股定理的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案。

2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（10）
2.7勾股定理的應(yīng)用(1)
2012-9-13
班級(jí)學(xué)號(hào)姓名
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．能運(yùn)用勾股定理解決生活中與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題；
2．能從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)滲透方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。
3．進(jìn)一步發(fā)展有條理思考和有條理表達(dá)的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值
【學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)】
重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題
【新知預(yù)習(xí)】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長(zhǎng).
【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】
一、情境創(chuàng)設(shè)
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計(jì)算各條拉索的長(zhǎng)？
二、探索活動(dòng)
活動(dòng)一如圖，起重機(jī)吊運(yùn)物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長(zhǎng).

活動(dòng)二在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？

活動(dòng)三一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖所示的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過(guò)70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀的正前方30m處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？

2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測(cè)得內(nèi)部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問(wèn)吸管需要多長(zhǎng)？

【反饋練習(xí)】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個(gè)直角三角形的模具，量得其中兩邊的長(zhǎng)分別為5cm，3cm，則第三邊的長(zhǎng)是______;
(3)甲乙兩人同時(shí)從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時(shí)甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是()
A．20cmB．10cmC．14cmD．無(wú)法確定

3.如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？
【課后作業(yè)】P67習(xí)題2.71、4題
JAB88.CoM

相關(guān)知識(shí)

《勾股定理的應(yīng)用》學(xué)案

《勾股定理的應(yīng)用》學(xué)案

教學(xué)內(nèi)容：教材第13至15頁(yè)，勾股定理的應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)目標(biāo)：運(yùn)用勾股定理及勾股定理的逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。通過(guò)與同伴交流，培養(yǎng)協(xié)作與交流的意識(shí)；
3、情感目標(biāo)：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境讓學(xué)生主動(dòng)參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣。增強(qiáng)學(xué)數(shù)學(xué)的自信心。
教學(xué)重點(diǎn)：
探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn)：
勾股定理及逆定理的靈活運(yùn)用
教學(xué)方法與教學(xué)手段：
1、情境探究、師生互動(dòng)
2、自主探索、分層推進(jìn)
3、教具演示、直觀形象
教學(xué)過(guò)程：
一．情景導(dǎo)入
從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說(shuō)明理由。（多媒體展示如下圖片，讓學(xué)生回憶“兩點(diǎn)之間，線段最短”的性質(zhì)）
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶線段的性質(zhì)，為探究一的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容的進(jìn)一步學(xué)習(xí)
二．教學(xué)新知
（一）探究活動(dòng)一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短距離問(wèn)題
教師用多媒體展示如下內(nèi)容：
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長(zhǎng)是18cm.在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？
首先，多媒體展示下面問(wèn)題：
1你認(rèn)為螞蟻沿圓柱側(cè)面從A點(diǎn)到B點(diǎn)有幾條線路可走？你覺(jué)得
哪條線路最短？
3.將右圖的圓柱側(cè)面剪開(kāi)展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，A,B兩點(diǎn)分別在
長(zhǎng)方形的什么位置?從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路線有幾條？哪條最短？
3.螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個(gè)問(wèn)題的？畫出圖形，寫出解答過(guò)程。
4.想一想，你是如何將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的？
接下來(lái)，學(xué)生分為4人活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過(guò)具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線．
學(xué)生討論之后，總結(jié)出4種方案（多媒體展示）
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開(kāi)后展開(kāi)得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究?jī)牲c(diǎn)連線最短問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法．通過(guò)學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問(wèn)題并利用勾股定理求解．
最后，在學(xué)生自主求出AB之間的最短距離后，總結(jié)出計(jì)算立體圖形中不在同一平面內(nèi)的兩點(diǎn)之間的最短距離的方法：
(1)將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形；
(2)找出原立體圖形中兩點(diǎn)在展開(kāi)的平面圖形中的具體位置；
(3)構(gòu)造出直角三角形，并求出直角三角形中的相關(guān)邊長(zhǎng).
（4）利用勾股定理求出兩點(diǎn)之間的最短距離。
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問(wèn)題并利用勾股定理求解。在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．
（二）探究活動(dòng)二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？
教師用多媒體出示課本上的“做一做”，并提出問(wèn)題：
D
C
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁(yè)雕塑圖1-13）
（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？
A
B
（2）李叔叔量得AD的長(zhǎng)是30cm，AB的長(zhǎng)是40cm，
BD長(zhǎng)是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個(gè)問(wèn)題的？
（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
給出問(wèn)題后，給學(xué)生留有充分的思考時(shí)間，對(duì)于完成情況，教師做出判斷，對(duì)有創(chuàng)新精神的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)。
最后，總結(jié)出判斷兩直線垂直的方法。
設(shè)計(jì)意圖：鍛煉學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)進(jìn)一步掌握勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生理解實(shí)際問(wèn)題的能力。
（三）探究點(diǎn)三：利用勾股定理的方程思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
多媒體出示例題
例.圖1-14是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長(zhǎng).
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案
思考：
1.求滑道AC的長(zhǎng)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？
2.你是如何解決這個(gè)問(wèn)題的？寫出解答過(guò)程。
教師引導(dǎo)后，讓學(xué)生自主完成本題的解題過(guò)程，并指名板演。之后，教師反饋訂正，規(guī)范書寫。
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這道例題，學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智；體會(huì)方程的思想的重要性并利用勾股定理建立方程．
（四）新知應(yīng)用
1.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．
1103643727
2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）
1.3wbr勾股定理的應(yīng)用教案
設(shè)計(jì)意圖：第1題旨在對(duì)探究點(diǎn)一“螞蟻怎樣走最近”進(jìn)行拓展，從圓柱側(cè)面的最短距離問(wèn)題到臺(tái)階中的最短距離問(wèn)題都是將空間問(wèn)題平面化；第2題是對(duì)課本例2的鞏固，旨在考查勾股定理中的方程思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了方程思想的重要性。
（五）課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？（學(xué)生針對(duì)本節(jié)課暢所欲言）
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的歸納、總結(jié)，加深了“用勾股定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題”的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造直角三角形，既是找等量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，形成解決實(shí)際問(wèn)題的一般性策略。
通過(guò)老師的小結(jié)以及框圖概述，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題”是建立“數(shù)學(xué)模型”解決問(wèn)題的具體過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想。
（六）作業(yè)布置：習(xí)題1.41，3，4題
設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)
板書：
小結(jié)：
方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應(yīng)的直角三角形三邊的關(guān)系正是構(gòu)建方程的基礎(chǔ)．

“勾股定理的應(yīng)用”

八年級(jí)上勾股定理應(yīng)用之一

目標(biāo)

重點(diǎn)

難點(diǎn)

1、知識(shí)與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)一些典型題目的思考、練習(xí)，能正確、熟練的進(jìn)行勾股定理有關(guān)計(jì)算，深入對(duì)勾股定理的理解。

2、過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)一些題目的探討，以達(dá)到掌握知識(shí)的目的。

3、情感與態(tài)度目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)定理的美。

勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的靈活應(yīng)用。

內(nèi)容

方法

八年級(jí)上--勾股定理的應(yīng)用之一

講練結(jié)合

課前復(fù)習(xí)

師：勾股定理的內(nèi)容是什么？

生：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：這個(gè)定理為什么是兩直角邊的平方和呢？

生：斜邊是最長(zhǎng)邊，肯定是兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方，否則不正確的。

師：是這樣的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系。

今天我們來(lái)看看這個(gè)定理的應(yīng)用。

新課過(guò)程

分析：

師：上面的探究，先請(qǐng)大家思考如何做？

（留幾分鐘的時(shí)間給學(xué)生思考）

師：看到這個(gè)題讓我們想起古代一個(gè)笑話，說(shuō)有一個(gè)人拿一根桿子進(jìn)城，橫著拿，不能進(jìn)，豎著拿，也不能進(jìn)，干脆將其折斷，才解決了問(wèn)題，相信同學(xué)們不會(huì)這樣做。

（我略帶夸張的比劃、語(yǔ)氣，學(xué)生笑聲一片，有知道這個(gè)故事的，搶在我的前面說(shuō)，學(xué)生欣欣然，我觀察課堂氣氛比較輕松，這也正是我所希望氛圍，在這樣的情況下，學(xué)生更容易掌握知識(shí)）

師：這里木板橫著不能進(jìn)，豎著不能進(jìn)，只能試試將木板斜著順進(jìn)去。

師：應(yīng)該比較什么？

李冬：這是一塊薄木板，比較AC的長(zhǎng)度，是否大于2.2就可以了。

師：李冬說(shuō)的是正確的。請(qǐng)大家算出來(lái)，可以使用計(jì)算器。

解：在RtΔABC中，由題意有：

AC＝＝≈2.236

AC大于木板的寬

∴薄木板能從門框通過(guò)。

學(xué)生進(jìn)行練習(xí)：

1、在RtABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.

已知a=5，b=12，求c；

已知a=20，c=29，求b

（請(qǐng)大家畫出圖來(lái)，注意不要簡(jiǎn)單機(jī)械的套a2+b2＝c2，要根據(jù)本質(zhì)來(lái)看問(wèn)題）

2、如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6厘米和8厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米？

師：對(duì)第二問(wèn)有什么想法？

生：分情況進(jìn)行討論。

師：具體說(shuō)說(shuō)分幾種情況討論？

生：3cm和4cm分別是直角邊；4cm是斜邊，3cm是直角邊。

師：呵呵，你們漏了一種情況，還有3cm是斜邊，4cm是直角邊的這種情況。

眾生（頓感機(jī)會(huì)難得，能有一次戰(zhàn)勝老師的機(jī)會(huì)哪能放過(guò)）：??！斜邊應(yīng)該大于直角邊的。這種情況是不可能的。

師：你們是對(duì)的，請(qǐng)把這題計(jì)算出來(lái)。

（學(xué)生情緒高漲，為自己的勝利而高興）

（這樣處理對(duì)有的學(xué)生來(lái)說(shuō)，印象深刻，讓每一個(gè)地方都明白無(wú)誤）

解：當(dāng)6cm和8cm分別為兩直角邊時(shí)；

斜邊＝＝10

∴周長(zhǎng)為：6+8+10＝24cm

當(dāng)6cm為一直角邊，8cm是斜邊時(shí)，

另一直角邊＝＝2

周長(zhǎng)為：6+8+2＝14+2

師：如圖，看上面的探究2。

分析：

師：請(qǐng)大家思考，該如何去做？

陳曉玲：運(yùn)用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的長(zhǎng)度，又A點(diǎn)下滑了0.4米，再算出OC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理算出OD的長(zhǎng)度即可，最后算出BD的長(zhǎng)度就能知道了。

師：這個(gè)思路是非常正確的。請(qǐng)大家寫出過(guò)程。

有生言：是0.4米。

師：猜是0.4米，就是想當(dāng)然了，算出來(lái)看看，是不是與你的猜測(cè)一樣。

（周飛洋在黑板上來(lái)做）

解：由題意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝＝2.4（米）

又下滑了0.4米

∴OC＝2.0米

在RtΔODC中

∴OD＝=1.5（米）

∴外移BD＝0.8米

答：梯足將外移0.8米。

師：這與有的同學(xué)猜測(cè)的答案一樣嗎？

生：不一樣。

師：做題應(yīng)該是老老實(shí)實(shí)，不應(yīng)該想當(dāng)然的。

例3再來(lái)看一道古代名題：

這是一道成書于公元前一世紀(jì)，距今約兩千多年前的，《九章算術(shù)》中記錄的一道古代趣題：

原題：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”

師：誰(shuí)來(lái)給大家說(shuō)一說(shuō)：“葭”如何讀？并請(qǐng)解釋是什么意思？

黃尚劍：葭（ji），是蘆葦?shù)囊馑肌?/p>

師：這是正確的。

師：誰(shuí)來(lái)翻譯？

吳智勇：現(xiàn)在有一個(gè)正方形的池子，一株蘆葦長(zhǎng)在水中央，露出水面的部分為一尺，拉蘆葦?shù)桨哆?，剛好與搭在岸上……

師：聽(tīng)了吳智勇的翻譯，我覺(jué)得“適與岸齊”翻譯得不達(dá)意，應(yīng)該理解為蘆葦與水面與岸的交接線的中點(diǎn)上。

宋婷等：老師，我也認(rèn)為是剛好到岸邊，“齊”就是這個(gè)意思的。

師：這是字表面的意思，古人的精煉給我們今天的理解帶來(lái)了困難，如果照同學(xué)們的翻譯，這題就無(wú)解了，這理的理解應(yīng)該是蘆葦與水面同岸的交接線的中點(diǎn)上，而且還要求不左偏右倒。

（與學(xué)生進(jìn)行爭(zhēng)論，能夠讓師生雙方對(duì)這個(gè)問(wèn)題都有更深刻的印象，我是歡迎學(xué)生們發(fā)表自己的見(jiàn)解）

師：正方形的池子，如何理解？

生：指長(zhǎng)、寬、高都相等。

師：呵呵！照你們的看法，應(yīng)該說(shuō)成是正方體，而不應(yīng)該是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？

生：照這樣說(shuō)來(lái)，下面是其它形狀也可以??！

師：我也這樣認(rèn)為，再來(lái)具體的說(shuō)說(shuō)正方形池子指什么？

生：僅指池口是正方形。

師：是這樣的。（用粉筆盒口演示給學(xué)生看）