小學教案比的應用
發(fā)表時間：2020-12-17勾股定理的應用學案。
學習目標:
1.能利用勾股定理和直角三角形的判定方法（即勾股定理的逆定理）解決生活中的數(shù)學問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“轉化”思想，進一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會數(shù)學的應用價值；
重點、難點：經(jīng)歷運用勾股定理及其逆定理的數(shù)學化過程，體會數(shù)學的應用價值.
學習過程
一.【預學提綱】初步感知、激發(fā)興趣
1.用如圖所示的硬紙板，拼成一個能證明勾股定理的圖形，畫出圖形，加以說明.
2.說明以a=m-n,b=2mn,c=m-n為邊的三角形是直角三角形.
二.【預學練習】初步運用、生成問題
1.甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，甲往東走了8km，乙往南走了6km后甲、乙兩人相距_____km.
2.如圖，一塊長方形水泥操場，一學生要從A角走到C角，至少走米．
3.一個三角形的三邊的比為5：12：13，它的周長為60cm,則它的面積是________.
4.以下列三個數(shù)為邊長的三角形能組成直角三角形的個數(shù)是（）
①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.
A.1B.2C.3D.4
5.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3、4，那么第三邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（ab=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正確的是（）
A、①②B、①③C、①④D、②④
三.【新知探究】師生互動、揭示通法
問題1.如圖，長為10m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.
（1）求梯子的底部距離墻角的水平距離BC；jAB88.Com
（2）如果梯子的頂端下滑1m,那么它的底端那么它的底端是否也滑動1m?
（3）如果梯子的頂端下滑2m，那么梯子的底端滑動多少米?
從上面所獲的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎？有人說,在滑動過程中,梯子的底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大,你贊同嗎?
問題2.如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？
四.【解疑助學】生生互動、突出重點
問題3.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里水深.
五.【變式拓展】能力提升、突破難點
1.一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm？
2.在一個長為2米寬為1米的矩形場地上，如右圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長與場地寬AD邊平行且大于AD，且木塊正面視圖是邊長為0．2米的正方形，求一只螞蟻從工A處到達C處需要走的最短路程是多少米？
六.【回扣目標】學有所成、悟出方法
1.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題中，感受“轉化”思想，把復雜問題轉化為簡單問題，把立體圖形轉化為________，把解斜三角形問題轉化為________問題；
2.在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學的“建?！彼枷耄褜嶋H問題看成一個_________問題.
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2.7勾股定理的應用(1)
2012-9-13
班級學號姓名
【學習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關的問題；
2．能從實際問題中建立數(shù)學模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題，同時滲透方程、轉化等數(shù)學思想。
3．進一步發(fā)展有條理思考和有條理表達的能力，體會數(shù)學的應用價值
【學習重、難點】
重點：勾股定理的應用
難點：將實際問題轉化為數(shù)學問題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長.
【導學過程】
一、情境創(chuàng)設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長？
二、探索活動
活動一如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長.
活動二在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？
活動三一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問吸管需要多長？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個直角三角形的模具，量得其中兩邊的長分別為5cm，3cm，則第三邊的長是______;
(3)甲乙兩人同時從同一地出發(fā)，甲往東走4km，乙往南走6km，這時甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是()
A．20cmB．10cmC．14cmD．無法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？
【課后作業(yè)】P67習題2.71、4題
“勾股定理的應用”
八年級上勾股定理應用之一
目標
重點
難點
1、知識與方法目標：通過對一些典型題目的思考、練習，能正確、熟練的進行勾股定理有關計算，深入對勾股定理的理解。
2、過程與方法目標：通過對一些題目的探討，以達到掌握知識的目的。
3、情感與態(tài)度目標：感受數(shù)學在生活中的應用，感受數(shù)學定理的美。
勾股定理的應用
勾股定理的靈活應用。
內(nèi)容
方法
八年級上--勾股定理的應用之一
講練結合
課前復習
師：勾股定理的內(nèi)容是什么？
生：勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
師：這個定理為什么是兩直角邊的平方和呢？
生：斜邊是最長邊，肯定是兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，否則不正確的。
師：是這樣的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系。
今天我們來看看這個定理的應用。
新課過程
分析：
師：上面的探究，先請大家思考如何做？
（留幾分鐘的時間給學生思考）
師：看到這個題讓我們想起古代一個笑話，說有一個人拿一根桿子進城，橫著拿，不能進，豎著拿，也不能進，干脆將其折斷，才解決了問題，相信同學們不會這樣做。
（我略帶夸張的比劃、語氣，學生笑聲一片，有知道這個故事的，搶在我的前面說，學生欣欣然，我觀察課堂氣氛比較輕松，這也正是我所希望氛圍，在這樣的情況下，學生更容易掌握知識）
師：這里木板橫著不能進，豎著不能進，只能試試將木板斜著順進去。
師：應該比較什么？
李冬：這是一塊薄木板，比較AC的長度，是否大于2.2就可以了。
師：李冬說的是正確的。請大家算出來，可以使用計算器。
解：在RtΔABC中，由題意有：
AC＝＝≈2.236
AC大于木板的寬
∴薄木板能從門框通過。
學生進行練習：
1、在RtABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.
已知a=5，b=12，求c；
已知a=20，c=29，求b
（請大家畫出圖來，注意不要簡單機械的套a2+b2＝c2，要根據(jù)本質來看問題）
2、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6厘米和8厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？
師：對第二問有什么想法？
生：分情況進行討論。
師：具體說說分幾種情況討論？
生：3cm和4cm分別是直角邊；4cm是斜邊，3cm是直角邊。
師：呵呵，你們漏了一種情況，還有3cm是斜邊，4cm是直角邊的這種情況。
眾生（頓感機會難得，能有一次戰(zhàn)勝老師的機會哪能放過）：??！斜邊應該大于直角邊的。這種情況是不可能的。
師：你們是對的，請把這題計算出來。
（學生情緒高漲，為自己的勝利而高興）
（這樣處理對有的學生來說，印象深刻，讓每一個地方都明白無誤）
解：當6cm和8cm分別為兩直角邊時；
斜邊＝＝10
∴周長為：6+8+10＝24cm
當6cm為一直角邊，8cm是斜邊時，
另一直角邊＝＝2
周長為：6+8+2＝14+2
師：如圖，看上面的探究2。
分析：
師：請大家思考，該如何去做？
陳曉玲：運用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的長度，又A點下滑了0.4米，再算出OC的長度，再利用勾股定理算出OD的長度即可，最后算出BD的長度就能知道了。
師：這個思路是非常正確的。請大家寫出過程。
有生言：是0.4米。
師：猜是0.4米，就是想當然了，算出來看看，是不是與你的猜測一樣。
（周飛洋在黑板上來做）
解：由題意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
∴AO＝＝2.4（米）
又下滑了0.4米
∴OC＝2.0米
在RtΔODC中
∴OD＝=1.5（米）
∴外移BD＝0.8米
答：梯足將外移0.8米。
師：這與有的同學猜測的答案一樣嗎？
生：不一樣。
師：做題應該是老老實實，不應該想當然的。
例3再來看一道古代名題：
這是一道成書于公元前一世紀，距今約兩千多年前的，《九章算術》中記錄的一道古代趣題：
原題：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”
師：誰來給大家說一說：“葭”如何讀？并請解釋是什么意思？
黃尚劍：葭（ji），是蘆葦?shù)囊馑肌?/p>
師：這是正確的。
師：誰來翻譯？
吳智勇：現(xiàn)在有一個正方形的池子，一株蘆葦長在水中央，露出水面的部分為一尺，拉蘆葦?shù)桨哆?，剛好與搭在岸上……
師：聽了吳智勇的翻譯，我覺得“適與岸齊”翻譯得不達意，應該理解為蘆葦與水面與岸的交接線的中點上。
宋婷等：老師，我也認為是剛好到岸邊，“齊”就是這個意思的。
師：這是字表面的意思，古人的精煉給我們今天的理解帶來了困難，如果照同學們的翻譯，這題就無解了，這理的理解應該是蘆葦與水面同岸的交接線的中點上，而且還要求不左偏右倒。
（與學生進行爭論，能夠讓師生雙方對這個問題都有更深刻的印象，我是歡迎學生們發(fā)表自己的見解）
師：正方形的池子，如何理解？
生：指長、寬、高都相等。
師：呵呵！照你們的看法，應該說成是正方體，而不應該是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？
生：照這樣說來，下面是其它形狀也可以啊！
師：我也這樣認為，再來具體的說說正方形池子指什么？
生：僅指池口是正方形。
師：是這樣的。（用粉筆盒口演示給學生看）
有生：一丈10尺是指什么？
師：我也正想問這個問題呢，誰能來解答？
生：指AD的長度。
師：能指BC的長度嗎？
生：不能，剛說的其下方是不能確定的。
我們整理翻譯一下：
“現(xiàn)在有一個貯滿水的正方形池子，池子的中央長著一株蘆葦，水池的邊長為10尺，蘆葦露出水面1尺。若將蘆葦拉到岸邊，剛好能達到水池岸與水面的交接線的中點上。請求出水深與蘆葦?shù)拈L各有多少尺？
師：請大家思考如何進行計算？
（留幾分鐘的時間給學生思考）
師：剛才有一部分同學已經(jīng)做出來了，但還有約一半的同學還未能做出來。
師：沒做出來的同學，請思考你是不是遇到了EF與FD兩個未知數(shù)啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把兩個未知數(shù)變成一個未知數(shù)，當然也可以多列一個方程。
（再等一等學生，留時間讓他們做出來，這里等一等所花費的時間，對中等與中等偏下的同學是極為有利的，這點時間的付出會得到超值回報的）
解：由題意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。
設EF＝x尺，則DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，蘆葦長13尺。
生：這題的關鍵是理解題意。
師：看來還很會點評嘛，屬于當領導的哦!（開個善意的玩笑，教室中一片溫馨的笑聲）。審題，弄清題意也是我們做題的首要的關鍵的一環(huán)，用同學們的總結來說，以后遇到難題不要怕，要敢于深入進去，弄清情景。
例4如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？
師：請思考如何做？至少怎么理解？
生：走直線就短，用勾股定理就可以了，還要做輔助線。
師：是啊，要連哪些線？
生：連結兩樹頂?shù)肁B，過B作高樹的垂線就可以了。
師：請解出來。
解：由題意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。
在RtΔABC中
AB＝＝13
答：小鳥至少要飛13米。
師：這題的計算也不難，關鍵也是理解題意。
作業(yè)：完成書（人教版）P77頁1，P78頁2、3
勾股定理的應用
3勾股定理的應用
1．長方體(或正方體)面上的兩點間的最短距離
長方體(或正方體)是立體圖形，但它的每個面都是平面．若計算同一個面上的兩點之間的距離比較容易，若計算不同面上的兩點之間的距離，就必須把它們轉化到同一個平面內(nèi)，即把長方體(或正方體)設法展開成為一個平面，使計算距離的兩個點處在同一個平面中，這樣就可以利用勾股定理加以解決了．所以立體圖形中求兩點之間的最短距離，一定要審清題意，弄清楚到底是同一平面中兩點間的距離問題還是異面上兩點間的距離問題．
談重點長方體表面上兩點間最短距離
因為長方體的展開圖不止一種情況，故對長方體相鄰的兩個面展開時，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時的多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況——前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可．
【例1－1】如圖①是一個棱長為3cm的正方體，它的6個表面都分別被分成了3×3的小正方形，其邊長為1cm.現(xiàn)在有一只爬行速度為2cm/s的螞蟻，從下底面的A點沿著正方體的表面爬行到右側表面上的B點，小明把螞蟻爬行的時間記錄了下來，是2.5s．經(jīng)過簡短的思考，小明先是臉上露出了驚訝的表情，然后又露出了欣賞的目光．
你知道小明為什么會佩服這只螞蟻的舉動嗎？
解：如圖②，在Rt△ABD中，AD＝4cm，BD＝3cm.
由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32＋42＝25，AB＝5cm，∴螞蟻的爬行距離為5cm.
又知道螞蟻的爬行速度為2cm/s，
∴它從點A沿著正方體的表面爬行到點B處，需要時間為52＝2.5s.
小明通過思考、判斷，發(fā)現(xiàn)螞蟻爬行的時間恰恰就是選擇了這種最優(yōu)的方式，所以他感到驚訝和佩服．
【例1－2】如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處(三條棱長如圖所示)，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
解：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式，分別展成平面圖形如下：
如圖①，在Rt△ABC1中，
AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.
故AC1＝5.
如圖②，在Rt△ACC1中，
AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.
如圖③，在Rt△AB1C1中，
AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.
∵25＜29＜37，
∴沿圖①的方式爬行路線最短，最短的路線是5.
點技巧巧展長方體
求解此類問題時只需對長方體進行部分展開，畫出局部的展開圖，若將長方體全部展開，不僅沒有必要反而會擾亂視線．
2．圓柱體(或圓錐體)面上的兩點間的最短距離
圓柱體(或圓錐體)是立體圖形，從其表面看兩點之間的連線絕大部分是曲線，那么怎樣確定哪一條是最短的呢？解決問題的方法是將圓柱(或圓錐)的側面展開，轉化為平面圖形，應用勾股定理解決，而不能盲目地憑感覺來確定．
【例2】如圖①所示，一只螞蟻在底面半徑為20cm，高為30πcm的圓柱下底的點A處，發(fā)現(xiàn)自己正上方圓柱上邊緣的B處有一只小昆蟲，便決定捕捉這只小昆蟲，為了不引起這只小昆蟲的注意，它故意不走直線，而繞著圓柱，沿一條螺旋路線，從背后對小昆蟲進行突然襲擊，結果螞蟻偷襲成功，得到了一頓美餐．根據(jù)上述信息，請問螞蟻至少爬行多少路程才能捕捉到小昆蟲？
分析：解此題的關鍵是把圓柱的側面展開，利用兩點之間線段最短和勾股定理作答．
解：假設將圓柱體的側面沿AB剪開鋪平如圖②，則對角線AB即為螞蟻爬行的最短路線．
在Rt△ACB中，AC＝40πcm，BC＝30πcm.
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，
∴AB＝50πcm.
∴螞蟻至少爬行50πcm才能捕捉到小昆蟲．
談重點圓柱體兩點間的最短距離
本題文字敘述較多，要求在閱讀的基礎上提煉有用的信息，具體解題時先將圓柱沿AB剪開，將側面展開成一矩形，會發(fā)現(xiàn)對角線AB即為螞蟻爬行的最短路線，再運用勾股定理即可求得．
3．生活中兩點間的最短距離
用勾股定理解決實際問題的關鍵是從實際問題中構建數(shù)學模型——直角三角形，再正確利用兩點之間線段最短解答．
【例3】如圖①是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為5dm,3dm和1dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？
分析：由于螞蟻是沿臺階的表面由A爬行到B，故需把三個臺階展開成平面圖形(如圖②)．
解：將臺階展開成平面圖形后，可知AC＝5dm，BC＝3×(3＋1)＝12dm，∠C＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝52＋122＝132，
∴AB＝13dm.
故螞蟻爬到B點的最短路程是13dm.
4．如何正確利用勾股定理及其逆定理解決生活中的問題
利用勾股定理及其逆定理解決生活中的實際問題，重要的是將實際問題轉化成數(shù)學模型(直角三角形模型)，將實際問題中的“數(shù)”轉化為定理中的“形”，再轉化為“數(shù)”．解題的關鍵是深刻理解題意，并畫出符合條件的圖形．
解決幾何體表面上兩點之間的最短距離問題的關鍵是要設法把立體圖形轉化為平面圖形，具體步驟是：
(1)把立體圖形展成平面圖形；
(2)確定點的位置；
(3)確定直角三角形；
(4)分析直角三角形的邊長，用勾股定理求解．
【例4】如圖①，圓柱形玻璃容器的高為18cm，底面周長為60cm，在外側距下底1cm的點S處有一只蜘蛛，在與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側距上口1cm的點F處有一只蒼蠅，急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛需要爬行的最短距離是__________cm.
解析：將圓柱的側面展開得到它的側面展開圖(如圖②)，CD∥AB，且AD＝BC＝12底面周長，BS＝DF＝1cm.則蜘蛛所走的最短路線的長度即為線段SF的長度．過S點作SM⊥CD，垂足為M，由條件知，SM＝AD＝12×60＝30cm，MC＝SB＝DF＝1cm，所以MF＝18－1－1＝16cm，在Rt△MFS中，由勾股定理得SF2＝162＋302＝342，所以SF＝34cm.故蜘蛛需要爬行的最短距離是34cm.
答案：34
5．勾股定理與方程相結合的應用
方程思想是一種重要的數(shù)學思想．所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式．而勾股定理反映的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．故勾股定理的許多問題的解決都要跟方程相結合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
【例5】如圖，有一張直角三角形狀紙片ABC，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？
解：設CD＝xcm，由題意知DE＝xcm，BD＝(8－x)cm，AE＝AC＝6cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10cm.
于是BE＝10－6＝4cm.
在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
故CD的長為3cm.
