高中三角函數(shù)的教案

角平分線的性質(zhì)（第2課時(shí)）。

教案課件是每個(gè)老師工作中上課需要準(zhǔn)備的東西，大家正在計(jì)劃自己的教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，這樣接下來工作才會(huì)更上一層樓！你們清楚教案課件的范文有哪些呢？以下是小編收集整理的“角平分線的性質(zhì)（第2課時(shí)）”，希望能為您提供更多的參考。

11.3角平分線的性質(zhì)（第2課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：

1、掌握作角的平分線的判定定理

2、理解互逆命題和互逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

3.較為靈活的運(yùn)用三角形全等和知識(shí)解決較為簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

情感態(tài)度目標(biāo)：

1、用類比方法讓學(xué)生體驗(yàn)角平分線的神奇特征

2、培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作精神

教學(xué)重點(diǎn)：互逆命題與互逆定理的理解

教學(xué)難點(diǎn)：互逆命題與互逆定理的理解

教學(xué)工具：多媒體課件。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

程序

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

復(fù)習(xí)

引入

復(fù)習(xí)

A

B

O

2.角平分線有何性質(zhì)？

C

B

P

O

2

1

A

D

E
用數(shù)學(xué)語言表述角平分線性質(zhì)：

∵OC是∠AOB的平分線

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

3.思考：我們已經(jīng)知道角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么若一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？談?wù)勀愕目捶?

求證：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)一定在這個(gè)角的平分線上

已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，

點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．

求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．

證明：

∵QD⊥OA，QE⊥OB

故⊿OEQ和⊿ODQ是直角三角形

在Rt⊿OEQ和Rt⊿ODQ中

∴Rt⊿OEQ≌Rt⊿ODQ（HL）

∴∠DOQ＝∠EOQ

∴OQ是∠AOB的平分線

學(xué)生回答作角AOB平分線的過程。

回答問題，觀看多媒體，

思考，回答問題，觀看多媒體

分析，思考，想象。回答問題

觀看多媒體

1回憶角的平分線定義及

作角的平分線的過程

復(fù)習(xí)己學(xué)知識(shí)點(diǎn)，為下面研究創(chuàng)造條件

訓(xùn)練書寫數(shù)學(xué)語言

引出作角平分線的判定定理

證明猜測(cè)，訓(xùn)練用三角形全等證題的步驟

講授新知識(shí)

一．板書：定理2：角平分線的判定：

到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

用數(shù)學(xué)語言表示為：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．

定理1：角平分線的性質(zhì)：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

用數(shù)學(xué)語言表示為：

∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上

∴QD＝QE

二．提問：

同學(xué)們思考一下，這節(jié)課所學(xué)的這兩個(gè)定理有什么聯(lián)系嗎？

題設(shè)

定理1：在角的平分線上的點(diǎn),

結(jié)論

到這個(gè)角的兩邊的距離相等

題設(shè)

在這個(gè)角的平分線上

結(jié)論

1題設(shè)和結(jié)論互換的命題叫互逆命題

2．一個(gè)定理的逆命題如果是正確的，則它是原定理的逆定理。

觀看多媒體，回答問題

思考問題，

設(shè)計(jì)方案

觀看多媒體，比較定理1和定理2中題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，理解互為逆命題的要求

記憶，理解，總結(jié)規(guī)律性知識(shí)點(diǎn)

1.比較兩個(gè)定理的文字?jǐn)⑹錾系漠愅c(diǎn)，在數(shù)學(xué)語言表示上的不同點(diǎn)，讓學(xué)生更深刻地理解兩個(gè)定理。

2.通過具體實(shí)例分析，得出互逆命題和互逆定理的區(qū)別與聯(lián)系。

用比較法得出互為逆命題和互為逆定理的關(guān)系。

概括總結(jié)互逆命題和互逆定理。

例題講解

趣題討論

例題1：如圖，已知△ABC的外角∠CBD和

∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，

求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M

G

H

M

G

M

H

FG⊥AE，F(xiàn)M⊥BC

∴FG＝FM

又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，

FH⊥AD，F(xiàn)M⊥BC

∴FM＝FH

∴FG＝FH

∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上

A

F

B

E

C

D例題2：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。
求證：AD是△ABC的角平分線。

趣題妙解：

1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?

拓展與延伸

2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()
A.一處B.兩處
C.三處D.四處

學(xué)生小組討論，寫出過程，然后觀看多媒體更正自己的書寫過程。

小組討論，學(xué)生寫出證明過程

學(xué)生小組討論，設(shè)計(jì)方案

小組討論，回答問題

運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理和判定定理

初步運(yùn)用角平分線的判定定理

靈活運(yùn)用角平分線定理解決實(shí)際問題

1.在上題基礎(chǔ)上煅練學(xué)生思維的嚴(yán)密性

2.強(qiáng)化記憶

課堂小結(jié)

本課內(nèi)容：

1.角平分線的判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

用數(shù)學(xué)語言表述為：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．

2.互為逆命題和互為逆定理

題設(shè)和結(jié)論互換的命題叫互為逆命題

若一個(gè)定理的逆命題是成立的，那么這個(gè)定理是原定理的逆定理。

回答問題，觀看多媒體，記憶！

優(yōu)生抄題，課后討論

小結(jié)概括，便于記憶。

訓(xùn)練優(yōu)生

拓展延伸

課后思考：

D

N

E

M

F

C

B

A已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.

作業(yè)布置見配套練習(xí)

相關(guān)閱讀

角平分線的性質(zhì)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。只有制定教案課件工作計(jì)劃，可以更好完成工作任務(wù)！你們了解多少教案課件范文呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“角平分線的性質(zhì)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

11.3角平分線的性質(zhì)（第1課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：

1、掌握作角的平分線和作直線垂線的方法

2、學(xué)握角平分線的性質(zhì)

情感態(tài)度目標(biāo)：

1、在探討作角平分線的方法及角平分線的性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強(qiáng)解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗(yàn)，

2、培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作精神

教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)：探索作角平分線的過程

教學(xué)工具：多媒體課件。直尺，圓規(guī)等

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

程序

教師活動(dòng)

學(xué)生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖

情境

引入

活動(dòng)一：

問題：（1）在一張紙上任意畫一個(gè)角，用剪子剪下，有折疊的方法，如何確定角的平分線？

O問題（2）工人師傅常用作角器來作角的平分線。請(qǐng)看圖：

B

A

C

O

在△AOC和△BOC中

A

B

∴△AOC≌△BOC（SSS）

C

∴OC為∠AOB的角平分線

師：可見，這個(gè)作圖示因?yàn)楸ＷC了兩個(gè)條件：

1.OA＝OB

2.AC＝BC

所以作出來的射線OC是∠AOB的平分線！我們能否依據(jù)這個(gè)原理設(shè)計(jì)出一個(gè)作角平分線的方法呢？

學(xué)生實(shí)驗(yàn)用折紙的方法得到角的平分線。

回答問題，觀看多媒體，

思考，回答問題

觀看多媒體

分析，思考，想象。

1回憶角的平分線定義

2.掌握作角的平分線的簡(jiǎn)易方法。

復(fù)習(xí)己學(xué)知識(shí)點(diǎn)，為下面研究創(chuàng)造條件

訓(xùn)練書寫數(shù)學(xué)語言

引出作角平分線的方法

講授新知識(shí)

活動(dòng)二：尺規(guī)作角的平分線

畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內(nèi)部交于Ｃ．

３．作射線ＯＣ．

M

C

A

B

O

N

師收集學(xué)生的方案，總結(jié)一般方法。

出示多媒體，展示步驟。

A

O

B

E

D

P活動(dòng)三：已知：OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E

C求證:PD=PE

教師引導(dǎo)學(xué)生書寫過程

O

B

A

P

C

D

E

∴∠AOC=∠BOC

又∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°

在△PDO和△PEO中

∴△AOC≌△BOC（AAS）

∴PD＝PE

教師：板書：角平分線的性質(zhì)定理：

O

B

A

P

C

D

E

數(shù)學(xué)語言表述為：

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

觀看，回答問題

思考問題，

設(shè)計(jì)方案

思考，書寫

記憶，理解

記憶，理解

解決實(shí)際問題

拓展學(xué)生思維

引導(dǎo)角平分線的性質(zhì)定理

總結(jié)，規(guī)律化

規(guī)范語言，深化記憶定理

例題講解

概括提高

例已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.
求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F

∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE

（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）

同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

D

E

F

A

B

C

P

M

N即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等

練習(xí)：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．

Ｂ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

G

Ｐ

F

H證明：

∵BD平分∠CBG

PG⊥AGPH⊥BC

∴PH＝PG

同理PH＝PF

于是PH＝PF＝PG

本課小結(jié)：本課我們主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)內(nèi)容

1.畫一個(gè)已知角的角平分線及畫一條已知直線的垂線；

2.角平分線的性質(zhì)：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

O

B

A

P

C

D

E

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

學(xué)生小組討論，寫出過程

學(xué)生思考，寫出過程。

回答問題，概括整理

運(yùn)用角平分線定理

運(yùn)用定理，規(guī)范語言

加強(qiáng)記憶

作業(yè)布置

見配套練習(xí)

角平分線的性質(zhì)

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識(shí)點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，大家在仔細(xì)規(guī)劃教案課件。將教案課件的工作計(jì)劃制定好，未來工作才會(huì)更有干勁！你們會(huì)寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“角平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學(xué)目標(biāo)
1.了解角平分線的性質(zhì)，并運(yùn)用其解決一些實(shí)際問題。
2.經(jīng)歷操作，推理等活動(dòng)，探索角平分線的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念，在解決問題的過程中進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)。

教材分析
重點(diǎn)：角平分線性質(zhì)的探索。
難點(diǎn)：角平分線性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)方法：
預(yù)學(xué)----探究----精導(dǎo)----提升

教學(xué)過程
一創(chuàng)設(shè)問題情境，預(yù)學(xué)角平分線的性質(zhì)
閱讀課本P128-P129，并完成預(yù)學(xué)檢測(cè)。

二合作探究
如圖，OC為∠AOB的角平分線,P為OC上任意一點(diǎn)。
提問：
1.如何畫出∠AOB的平分線？
2.若點(diǎn)P到角兩邊的距離分別為PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能說明為什么嗎？
讓學(xué)生活動(dòng)起來，通過測(cè)量，比較，得出結(jié)論。
教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，肯定它們的發(fā)現(xiàn)。

歸納：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

三想一想，鞏固角平分線的性質(zhì)
三條公路兩兩相交，為更好的使公路得到維護(hù)，決定在三角區(qū)建立一個(gè)公路維護(hù)站，那么這個(gè)維護(hù)站應(yīng)該建在哪里？才能使維護(hù)站到三條公路的距離都相等？
三做一做，拓展課題
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點(diǎn)，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關(guān)系。
讓學(xué)生充分討論，鼓勵(lì)學(xué)生自主完成。
教師歸納：
因?yàn)樯渚€AP是△ABC的外角∠CAE平分線，
所以PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）
所以PB+PD=PB+PE
又PB+PE＞BE（三角形兩邊之和大于第三邊）
所以PB+PD＞BE

思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，則射線BP有怎樣的性質(zhì)？點(diǎn)P又有怎樣的位置？

四課堂練習(xí)
課本P130練習(xí)

五小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，反過來，到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。

六作業(yè)
1.課本P130習(xí)題A組T1,T2
2.基礎(chǔ)訓(xùn)練同步練習(xí)。
3.選作拓展題。

七課后反思：
新舊教法對(duì)比：新教法更有利于培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力。
學(xué)生對(duì)于角平分線的性質(zhì)可以倒背如流，但就是容易把到角兩邊的距離看錯(cuò)，在以后的教學(xué)中要多加強(qiáng)對(duì)距離的認(rèn)識(shí)。

學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1了解角平分線的性質(zhì)。
2并運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決一些實(shí)際問題。

預(yù)學(xué)檢測(cè)：
1角平分線上任意一點(diǎn)到相等。
2⑴如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別
為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．

學(xué)點(diǎn)訓(xùn)練：
1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A．PC=PDB．OC=OD
C．∠CPO=∠DPOD．OC=PC
2．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，
若AC=10cm，則△DBE的周長(zhǎng)等于()
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
鞏固練習(xí)：
已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD

拓展提升：
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點(diǎn)，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關(guān)系。

角的平分線的性質(zhì)

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，才能對(duì)工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點(diǎn)角平分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個(gè)條件：①點(diǎn)在角的平分線上；②過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個(gè)三角形全等．
(3)如果已知一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上，常作出該點(diǎn)到角兩邊的垂線段，運(yùn)用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.若CD＝2cm，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)D到直線AB的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長(zhǎng)．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運(yùn)用角的平分線的判定，可以證明兩個(gè)角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，往往錯(cuò)誤地將一線段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時(shí)，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)．
3．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題
運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離．
在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到某個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線即可．
運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，一定要把實(shí)際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點(diǎn)，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實(shí)際問題中常用的方法．
4．運(yùn)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題
在實(shí)際問題中，如果出現(xiàn)了某個(gè)地點(diǎn)到某些線的距離相等，常先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵．找到解決問題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)．
5．綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：
對(duì)于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時(shí)，只需過其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊(duì)為進(jìn)行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊(duì)很快找到了這座古城的遺址．你能運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)在圖中合理地標(biāo)出古城遺址的位置嗎？請(qǐng)你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為圓心，以大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計(jì)算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑畫弧交CO于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點(diǎn)P處．此時(shí)，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請(qǐng)問民警在注視可疑分子從A處走到B處時(shí)，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點(diǎn)P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點(diǎn)P，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實(shí)際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡(jiǎn)單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線的交點(diǎn)，第三條角平分線一定過此交點(diǎn)．
三角形兩個(gè)外角的平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn)O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點(diǎn)O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)O4；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處．