高中三角函數(shù)的教案

《角平分線的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案。

《角平分線的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案
一、教學(xué)目標(biāo)
（一）知識與技能
1.會作已知角的平分線；
2.了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；
3.會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明與計(jì)算.
（二）過程與方法
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力.
（三）情感、態(tài)度與價值觀
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強(qiáng)解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗(yàn).
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)的證明及應(yīng)用；
難點(diǎn)：角的平分線的性質(zhì)的探究.
三、教法學(xué)法
三步導(dǎo)學(xué)的教學(xué)模式；自主探索,合作交流的學(xué)習(xí)方式
四，教學(xué)過程：
(一）復(fù)習(xí)：
（1)點(diǎn)到直線的距離:P
ABCD
2.角平分線的概念：A
OC
3.根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺規(guī)作圖：作出一只角的角平分線
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為直角邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？
（2）畫一畫
畫一∠AOB的角平分線OC,點(diǎn)P在OC上任意一點(diǎn)，取點(diǎn)P的三個不同位置，過P點(diǎn)做垂線段PD.PE。并測量PD.PE的長。將三次數(shù)據(jù)記錄下來，你會有什么發(fā)現(xiàn)？
A
C
O
B
（3）理論證明：
已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E
求證:PD=PE

結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等
幾何語言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
實(shí)踐應(yīng)用
例。如圖△ABC中的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA的距離相等，A
N
M
P
BC
三，當(dāng)堂檢測練習(xí)：
（1）下列描述對不對？
已知如圖，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求證：DB=CD
證明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如圖1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分別是D.E。結(jié)論：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正確的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，則BD=————————B
E
D
CA

延伸閱讀

角的平分線的性質(zhì)學(xué)案

1、通過探究理解角平分線的性質(zhì)并會運(yùn)用
2、掌握尺規(guī)作圖作角平分線
1、怎樣用尺規(guī)作角的平分線？
2、角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離有什么關(guān)系？
（一）課前鞏固
1、如圖，AB＝AD，BC＝DC，求證AC是∠DAB的平分線
（二）自學(xué)：教材P19
（三）用尺規(guī)作一個角的平分線
1、已知：∠AOB，2、練習(xí)，畫出下列角的平分線
求作：∠AOB的平分線OC

3、練習(xí)，教材P19

角平分線的性質(zhì)
1、探究，教材P20
2、歸納，角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的到角兩邊的相等。
3、用三角形全等證明性質(zhì)，
如圖，已知：∠BAF=∠CAF,點(diǎn)O在AF上，OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分別為E,D.求證：OE=OD
證明：F

符號語言：
△ABC中，AD是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn),求證EB＝FC

如圖，△ABC的∠B的外角平分線BD與∠C的外角的平分組CE相交于P,求證點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等。

角的平分線的性質(zhì)

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認(rèn)真寫教案課件了。對教案課件的工作進(jìn)行一個詳細(xì)的計(jì)劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點(diǎn)角平分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個條件：①點(diǎn)在角的平分線上；②過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等．
(3)如果已知一個點(diǎn)在角的平分線上，常作出該點(diǎn)到角兩邊的垂線段，運(yùn)用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D.若CD＝2cm，則點(diǎn)D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)D到直線AB的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距離，即點(diǎn)D到直線AB的距離等于CD的長．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運(yùn)用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時，往往錯誤地將一線段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)．
3．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題
運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離．
在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線即可．
運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時，一定要把實(shí)際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點(diǎn)，這個過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實(shí)際問題中常用的方法．
4．運(yùn)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題
在實(shí)際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點(diǎn)到某些線的距離相等，常先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵．找到解決問題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)．
5．綜合運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：
對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊(duì)為進(jìn)行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊(duì)很快找到了這座古城的遺址．你能運(yùn)用學(xué)過的知識在圖中合理地標(biāo)出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計(jì)算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長為半徑畫弧交CO于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點(diǎn)P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點(diǎn)P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點(diǎn)P，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，
∴點(diǎn)P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實(shí)際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上”的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線的交點(diǎn)，第三條角平分線一定過此交點(diǎn)．
三角形兩個外角的平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有4個．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點(diǎn)O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點(diǎn)O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點(diǎn)O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點(diǎn)O4；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處．

角平分線（2）導(dǎo)學(xué)案

一般給學(xué)生們上課之前，老師就早早地準(zhǔn)備好了教案課件，大家都在十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南虢贪刚n件。只有規(guī)劃好教案課件計(jì)劃，新的工作才會更順利！你們清楚有哪些教案課件范文呢？小編收集并整理了“角平分線（2）導(dǎo)學(xué)案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

1.4角平分線（二）
一、問題引入：
三角形角平分線性質(zhì)定理和判定定理的內(nèi)容是什么？作用呢？
二、基礎(chǔ)訓(xùn)練：
1.如圖：設(shè)△ABC的角平分線BM.CN交于P，求證：P點(diǎn)在∠BAC的平分線上

定理：三角形的三條角平分線交于點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離.
引申：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，若設(shè)這一點(diǎn)到其中一邊的距離為m，三邊長分別為a.b.c，則三角形的面積S=.
2.已知：△ABC中，BP.CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于P,若P到邊AB的距離為3cm，△ABC的周長為18cm，則△ABC的面積為.
3.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）
A.三條中線的交點(diǎn)；B.三條高的交點(diǎn)；C.三條角平分線的交點(diǎn)；D.不能確定
三、例題展示：
例：△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E.
已知：CD=4cm,求AC長
求證：AB=AC+CD

四、課堂檢測：
1.到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)在.
2.△ABC中，∠C=900,∠A的平分線交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，則D到AB的
距離為.
3.Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，則DE+DC=cm.
4.△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分線交于O，則
∠BAO和∠CAO的大小關(guān)系為.

5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，則△ABD的面積是.
6.已知：OP是∠MON內(nèi)的一條射線，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分別為C.D.E.F，且AC=AD求證：BE=BF

中考真題：三條公路圍成了一個三角形區(qū)域，今要在這個三角形區(qū)域內(nèi)建一果品批發(fā)市場到這三條公路的距離相等，試找出批發(fā)市場的位置.