高中三角函數(shù)的教案

角的平分線的性質(zhì)學(xué)案。

1、通過探究理解角平分線的性質(zhì)并會運用
2、掌握尺規(guī)作圖作角平分線
1、怎樣用尺規(guī)作角的平分線？
2、角的平分線上的點到角的兩邊的距離有什么關(guān)系？
（一）課前鞏固
1、如圖，AB＝AD，BC＝DC，求證AC是∠DAB的平分線
（二）自學(xué)：教材P19
（三）用尺規(guī)作一個角的平分線
1、已知：∠AOB，2、練習(xí)，畫出下列角的平分線
求作：∠AOB的平分線OC

3、練習(xí)，教材P19

角平分線的性質(zhì)
1、探究，教材P20
2、歸納，角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的到角兩邊的相等。
3、用三角形全等證明性質(zhì)，
如圖，已知：∠BAF=∠CAF,點O在AF上，OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分別為E,D.求證：OE=OD
證明：F

符號語言：
△ABC中，AD是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn),求證EB＝FC

如圖，△ABC的∠B的外角平分線BD與∠C的外角的平分組CE相交于P,求證點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等。

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《角平分線的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

《角平分線的性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案
一、教學(xué)目標(biāo)
（一）知識與技能
1.會作已知角的平分線；
2.了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；
3.會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明與計算.
（二）過程與方法
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力.
（三）情感、態(tài)度與價值觀
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.
二、教學(xué)重點、難點
重點：角的平分線的性質(zhì)的證明及應(yīng)用；
難點：角的平分線的性質(zhì)的探究.
三、教法學(xué)法
三步導(dǎo)學(xué)的教學(xué)模式；自主探索,合作交流的學(xué)習(xí)方式
四，教學(xué)過程：
(一）復(fù)習(xí)：
（1)點到直線的距離:P
ABCD
2.角平分線的概念：A
OC
3.根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺規(guī)作圖：作出一只角的角平分線
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為直角邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？
（2）畫一畫
畫一∠AOB的角平分線OC,點P在OC上任意一點，取點P的三個不同位置，過P點做垂線段PD.PE。并測量PD.PE的長。將三次數(shù)據(jù)記錄下來，你會有什么發(fā)現(xiàn)？
A
C
O
B
（3）理論證明：
已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E
求證:PD=PE

結(jié)論：角平分線上的點到角兩邊的距離相等
幾何語言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
實踐應(yīng)用
例。如圖△ABC中的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,CA的距離相等，A
N
M
P
BC
三，當(dāng)堂檢測練習(xí)：
（1）下列描述對不對？
已知如圖，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求證：DB=CD
證明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如圖1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分別是D.E。結(jié)論：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正確的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，則BD=————————B
E
D
CA

角的平分線的性質(zhì)

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真寫教案課件了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點角平分線的性質(zhì)的理解和應(yīng)用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個條件：①點在角的平分線上；②過這一點作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等．
(3)如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，運用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D.若CD＝2cm，則點D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因為點D在∠ABC的角平分線上，所以點D到直線AB的距離等于點D到直線BC的距離，即點D到直線AB的距離等于CD的長．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，往往錯誤地將一線段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)．
3．運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題
運用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離．
在運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可．
運用角平分線的性質(zhì)解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法．
4．運用角的平分線的判定解決實際問題
在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵．找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點．
5．綜合運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：
對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊為進行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能運用學(xué)過的知識在圖中合理地標(biāo)出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點，分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長為半徑畫弧交CO于點P，則點P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點P，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點P作PE⊥AC于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點P作PE⊥AC于點E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴點P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，并且交點到該三角形三邊的距離都相等，其實只要作出其中兩條角平分線的交點，第三條角平分線一定過此交點．
三角形兩個外角的平分線也交于一點，這點到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點，因此滿足條件的點共有4個．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點O4；故滿足條件的修建點有四處，即點O1，O2，O3，O4處．

角的平分線的性質(zhì)精品學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：
1.會用尺規(guī)作圖作角平分線；
2.會證明角的平分線的性質(zhì)，會簡單運用角的平分線的性質(zhì).
【學(xué)習(xí)重難點】：
1.重點：角的平分線性質(zhì)的探究、證明和運用.
2.難點：角的平分線性質(zhì)的運用.
【課前自學(xué)、課中交流】
1、復(fù)習(xí)應(yīng)用
角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
幾何語言：
∵AP∠BAC，PB⊥AB，PCAC，
∴PB=PC.
或∵點P是∠BAC的平分線上的一點，
PB⊥AB，PC⊥AC，
∴.

例：如圖，ΔABC的角平分線BM，CN相交于點P。求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等。
證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，
PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)。
∵BM是ΔABC的角平分線，點P在
BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴=.
∵CN是，點P
在CN上，PEBC，PFAC，
∴=.
∴==.
即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等。

2、探求新知
想一想：點P在∠A的平分線上嗎？

也就是

猜想：以下哪個命題是正確的？并把你認為正確的命題進行證明。
命題1：角的兩邊的距離相等的點在角平分線上。
命題2：角的兩邊的距離相等的點不在角平分線上。

如圖1-33，已知：PDAB，PFAC，垂足分別為D，F(xiàn).
且=.
求證：點P在∠BAC平分線上.
（分析：要證明點P在∠BAC平分線上，也就是要證明AP平分∠BAC）
證明：連接AP.

根據(jù)以上證明，可以得到真命題角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點角的平分線上。
幾何語言：如上圖，
∵PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF，
∴點P在∠BAC的平分線上.
3、趁勝追擊
由上述證明，我們已發(fā)現(xiàn)點P在∠A的平分線上。這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？

4、學(xué)以致用
如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1:20000）？

【當(dāng)堂訓(xùn)練】
1、如圖，為了促進當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?
2、如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，
求證：點F在∠DAE的平分線上．
證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
∵點F在的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC
∴FG＝FM
又∵點F在的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴點F在∠DAE的平分線上
3、如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址()
A．一處B．兩處
C．三處D．四處

4、已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,
求證:點F在∠A的平分線上.
分析：要證點F在∠A的平分線上，
需要條件FD⊥AM,FE⊥AN，及FD=FE。
但已知條件是BD⊥AM,CE⊥AN,及CF=BF,
你有思路了嗎？
【課后作業(yè)】
【課后反思】通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我的收獲和困惑是：