高中三角函數(shù)的教案

12.3.2角的平分線性質(zhì)（2）。

作為老師的任務寫教案課件是少不了的，大家應該在準備教案課件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有沒有出色的范文是關于教案課件的？下面是小編為大家整理的“12.3.2角的平分線性質(zhì)（2）”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

12.3角的平分線的性質(zhì)
第2課時角的平分線性質(zhì)（2）

【教學目標】
1.掌握角的平分線的性質(zhì)“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”.
2.能應用性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.
【重點難點】
重點：角的平分線的性質(zhì)及其應用.
難點：靈活應用兩個性質(zhì)解決問題.

┃教學過程設計┃
教學過程設計意圖
一、創(chuàng)設情境，導入新課
問題：如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處(在圖上標出它的位置，比例尺1∶20000)?
依據(jù)新課程理念，教師要創(chuàng)造性地使用教材，作為本課的一個引例，從學生的生活出發(fā)，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識，復習了角平分線的性質(zhì)，為后續(xù)的學習作好知識上的儲備.
二、師生互動，探究新知
剛才大家對上述問題進行了討論，并且得出了做法，我們進而從做法中總結(jié)出了新的結(jié)論：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.這個新結(jié)論正確嗎？請大家分組討論、交流.
已知：如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，PD＝PE，
求證：∠AOC＝∠BOC.
由此我們又可以得到一個性質(zhì)：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
追問：這個結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應用上有什么不同？
結(jié)論：可以判定角的平分線，而角的平分線的性質(zhì)可用來證明線段相等.
問題解決：讓我們回到剛上課時的問題：怎樣找到點P?
結(jié)論：1.這個集貿(mào)市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂點500m處.
2.在紙上畫圖時，我們經(jīng)常以厘米為單位，而題中距離是以米為單位，這就涉及一個單位換算問題.1m＝100cm，所以比例尺為1∶20000，其實就是圖中1cm表示實際距離200m的意思.如圖：
第一步：尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線OP.
第二步：在射線OP上截取OC＝2.5cm，確定C點，C點就是集貿(mào)市場所建地了.
總結(jié)：應用角平分線的性質(zhì)，可以省去證明三角形全等的步驟，使問題簡單化.所以若遇到有關角平分線，又要證線段相等的問題，我們可以直接利用性質(zhì)解決問題.經(jīng)歷實踐→猜想→證明→歸納的過程，培養(yǎng)學生的動手操作能力和觀察能力，符合學生的認知規(guī)律，尤其是對于結(jié)論的驗證，信息技術在此體現(xiàn)其不可替代性，從而更利于學生的直觀體驗上升到理性思維.
三、運用新知，解決問題
例題如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P.求證：點P在∠BAC的平分線上.
思路點撥：要證點P在∠BAC的平分線上，只要證明點P到∠BAC的兩邊的距離相等就行，而且點P在另外兩個角的平分線上，可以利用上一節(jié)課講的性質(zhì)得到線段相等，然后利用等量代換就可得到結(jié)論.讓學生體驗利用角平分線的性質(zhì)解決問題的優(yōu)越性，并對前面所講的三角形的三條角平分線交于一點進行了補充證明，增強學生學習數(shù)學的興趣.
四、課堂小結(jié)，提練觀點
你學習了什么？你會應用了什么？你有什么感受？為了進一步培養(yǎng)學生的概括能力、語言表達能力，鼓勵學生對本節(jié)知識歸納總結(jié).
五、布置作業(yè)，鞏固提升
教材第51頁第3、4題.

【板書設計】
角的平分線的性質(zhì)(2)
性質(zhì)：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
例題已知：如圖，點P在∠AOB內(nèi)部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，PD＝PE，求證：∠AOC＝∠BOC.
【教學反思】
本教學設計本著以觀察為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨；遵照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原則，情景引入，激發(fā)興趣.

擴展閱讀

角平分線的性質(zhì)

為了促進學生掌握上課知識點，老師需要提前準備教案，大家在仔細規(guī)劃教案課件。將教案課件的工作計劃制定好，未來工作才會更有干勁！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“角平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學目標
1.了解角平分線的性質(zhì)，并運用其解決一些實際問題。
2.經(jīng)歷操作，推理等活動，探索角平分線的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念，在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達。

教材分析
重點：角平分線性質(zhì)的探索。
難點：角平分線性質(zhì)的應用。

教學方法：
預學----探究----精導----提升

教學過程
一創(chuàng)設問題情境，預學角平分線的性質(zhì)
閱讀課本P128-P129，并完成預學檢測。

二合作探究
如圖，OC為∠AOB的角平分線,P為OC上任意一點。
提問：
1.如何畫出∠AOB的平分線？
2.若點P到角兩邊的距離分別為PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能說明為什么嗎？
讓學生活動起來，通過測量，比較，得出結(jié)論。
教師鼓勵學生大膽猜測，肯定它們的發(fā)現(xiàn)。

歸納：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。

三想一想，鞏固角平分線的性質(zhì)
三條公路兩兩相交，為更好的使公路得到維護，決定在三角區(qū)建立一個公路維護站，那么這個維護站應該建在哪里？才能使維護站到三條公路的距離都相等？
三做一做，拓展課題
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關系。
讓學生充分討論，鼓勵學生自主完成。
教師歸納：
因為射線AP是△ABC的外角∠CAE平分線，
所以PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
所以PB+PD=PB+PE
又PB+PE＞BE（三角形兩邊之和大于第三邊）
所以PB+PD＞BE

思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，則射線BP有怎樣的性質(zhì)？點P又有怎樣的位置？

四課堂練習
課本P130練習

五小結(jié)
本節(jié)課學習了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，反過來，到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，三角形的三條角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。

六作業(yè)
1.課本P130習題A組T1,T2
2.基礎訓練同步練習。
3.選作拓展題。

七課后反思：
新舊教法對比：新教法更有利于培養(yǎng)學生合作學習的能力。
學生對于角平分線的性質(zhì)可以倒背如流，但就是容易把到角兩邊的距離看錯，在以后的教學中要多加強對距離的認識。

學案
學習目標：
1了解角平分線的性質(zhì)。
2并運用角平分線的性質(zhì)解決一些實際問題。

預學檢測：
1角平分線上任意一點到相等。
2⑴如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別
為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．

學點訓練：
1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結(jié)論中錯誤的是()
A．PC=PDB．OC=OD
C．∠CPO=∠DPOD．OC=PC
2．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，
若AC=10cm，則△DBE的周長等于()
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
鞏固練習：
已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD

拓展提升：
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關系。

角的平分線的性質(zhì)

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真寫教案課件了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點角平分線的性質(zhì)的理解和應用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個條件：①點在角的平分線上；②過這一點作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等．
(3)如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，運用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D.若CD＝2cm，則點D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因為點D在∠ABC的角平分線上，所以點D到直線AB的距離等于點D到直線BC的距離，即點D到直線AB的距離等于CD的長．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，往往錯誤地將一線段當作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)．
3．運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題
運用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離．
在運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可．
運用角平分線的性質(zhì)解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法．
4．運用角的平分線的判定解決實際問題
在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關鍵．找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點．
5．綜合運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關系如下：
對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應用時不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊為進行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能運用學過的知識在圖中合理地標出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點，分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長為半徑畫弧交CO于點P，則點P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點P，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點P作PE⊥AC于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點P作PE⊥AC于點E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴點P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”的應用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，并且交點到該三角形三邊的距離都相等，其實只要作出其中兩條角平分線的交點，第三條角平分線一定過此交點．
三角形兩個外角的平分線也交于一點，這點到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點，因此滿足條件的點共有4個．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點O4；故滿足條件的修建點有四處，即點O1，O2，O3，O4處．

角的平分線的性質(zhì)學案

1、通過探究理解角平分線的性質(zhì)并會運用
2、掌握尺規(guī)作圖作角平分線
1、怎樣用尺規(guī)作角的平分線？
2、角的平分線上的點到角的兩邊的距離有什么關系？
（一）課前鞏固
1、如圖，AB＝AD，BC＝DC，求證AC是∠DAB的平分線
（二）自學：教材P19
（三）用尺規(guī)作一個角的平分線
1、已知：∠AOB，2、練習，畫出下列角的平分線
求作：∠AOB的平分線OC

3、練習，教材P19

角平分線的性質(zhì)
1、探究，教材P20
2、歸納，角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的到角兩邊的相等。
3、用三角形全等證明性質(zhì)，
如圖，已知：∠BAF=∠CAF,點O在AF上，OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分別為E,D.求證：OE=OD
證明：F

符號語言：
△ABC中，AD是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn),求證EB＝FC

如圖，△ABC的∠B的外角平分線BD與∠C的外角的平分組CE相交于P,求證點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等。