高中三角函數(shù)的教案

角的平分線的性質(zhì)。

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真寫教案課件了。對教案課件的工作進行一個詳細的計劃，才能對工作更加有幫助！有多少經(jīng)典范文是適合教案課件呢？以下是小編為大家精心整理的“角的平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

12.3角的平分線的性質(zhì)

1．角的平分線的性質(zhì)
(1)內(nèi)容
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵點P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
談重點角平分線的性質(zhì)的理解和應用
(1)使用角的平分線的性質(zhì)有兩個條件：①點在角的平分線上；②過這一點作角的兩邊的垂線段．結(jié)論是：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．
(2)角的平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等．
(3)如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，運用性質(zhì)得到兩線段相等．
【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D.若CD＝2cm，則點D到直線AB的距離是__________cm.
解析：因為點D在∠ABC的角平分線上，所以點D到直線AB的距離等于點D到直線BC的距離，即點D到直線AB的距離等于CD的長．
答案：2
2．角的平分線的判定
(1)內(nèi)容
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
(2)書寫格式
如圖所示，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴點P在∠AOB的角平分線上．
(3)作用
運用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線．
警誤區(qū)角的平分線的性質(zhì)和判定適用的條件在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，往往錯誤地將一線段當作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質(zhì)和判定，因此在運用角的平分線的性質(zhì)和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．
【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D，求證：AD平分∠BAC.
證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵BF⊥AC，AB⊥CE，
∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)．
3．運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題
運用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離．
在運用角的平分線的性質(zhì)解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可．
運用角平分線的性質(zhì)解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法．
4．運用角的平分線的判定解決實際問題
在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．
解技巧巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關鍵．找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點．
5．綜合運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題
角的平分線的性質(zhì)和判定的關系如下：
對于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應用時不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．
析規(guī)律構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．
【例3】如圖，某考古隊為進行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能運用學過的知識在圖中合理地標出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100000)
解：如圖．
作法：(1)以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點，分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點O，過C，O作射線CO.
(2)按比例尺計算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長為半徑畫弧交CO于點P，則點P即為所求．
【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過街天橋AB的距離相等的點P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉(zhuǎn)過了多大角度？
解：連接PA，PB.
∵點P到BE，AF，AB的距離相等，
∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝12∠EBA，∠PAB＝12∠FAB.
∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180°.
∴∠PBA＋∠PAB＝12(∠EBA＋∠FAB)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PBA＋∠PAB)＝180°－90°＝90°，即民警的視線轉(zhuǎn)過的角度為90°.
【例5】如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點P，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，求證：BP為∠MBN的平分線．
分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點P作PE⊥AC于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線．
證明：過點P作PE⊥AC于點E.
∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，
∴點P在∠MBN的平分線上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上)．
∴BP為∠MBN的平分線．
6．運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題
在實際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”的應用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法．
三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，并且交點到該三角形三邊的距離都相等，其實只要作出其中兩條角平分線的交點，第三條角平分線一定過此交點．
三角形兩個外角的平分線也交于一點，這點到該三角形三邊所在的直線距離相等．
三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個．
【例6】如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？
解：三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點，因此滿足條件的點共有4個．
作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線的交點O1.
(2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點O4；故滿足條件的修建點有四處，即點O1，O2，O3，O4處．

相關推薦

角的平分線的性質(zhì)學案

1、通過探究理解角平分線的性質(zhì)并會運用
2、掌握尺規(guī)作圖作角平分線
1、怎樣用尺規(guī)作角的平分線？
2、角的平分線上的點到角的兩邊的距離有什么關系？
（一）課前鞏固
1、如圖，AB＝AD，BC＝DC，求證AC是∠DAB的平分線
（二）自學：教材P19
（三）用尺規(guī)作一個角的平分線
1、已知：∠AOB，2、練習，畫出下列角的平分線
求作：∠AOB的平分線OC

3、練習，教材P19

角平分線的性質(zhì)
1、探究，教材P20
2、歸納，角平分線的性質(zhì)是：角平分線上的到角兩邊的相等。
3、用三角形全等證明性質(zhì)，
如圖，已知：∠BAF=∠CAF,點O在AF上，OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分別為E,D.求證：OE=OD
證明：F

符號語言：
△ABC中，AD是它的角平分線，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn),求證EB＝FC

如圖，△ABC的∠B的外角平分線BD與∠C的外角的平分組CE相交于P,求證點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等。

《角平分線的性質(zhì)》導學案

《角平分線的性質(zhì)》導學案
一、教學目標
（一）知識與技能
1.會作已知角的平分線；
2.了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；
3.會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明與計算.
（二）過程與方法
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.
（三）情感、態(tài)度與價值觀
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.
二、教學重點、難點
重點：角的平分線的性質(zhì)的證明及應用；
難點：角的平分線的性質(zhì)的探究.
三、教法學法
三步導學的教學模式；自主探索,合作交流的學習方式
四，教學過程：
(一）復習：
（1)點到直線的距離:P
ABCD
2.角平分線的概念：A
OC
3.根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺規(guī)作圖：作出一只角的角平分線
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為直角邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？
（2）畫一畫
畫一∠AOB的角平分線OC,點P在OC上任意一點，取點P的三個不同位置，過P點做垂線段PD.PE。并測量PD.PE的長。將三次數(shù)據(jù)記錄下來，你會有什么發(fā)現(xiàn)？
A
C
O
B
（3）理論證明：
已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E
求證:PD=PE

結(jié)論：角平分線上的點到角兩邊的距離相等
幾何語言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）
實踐應用
例。如圖△ABC中的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,CA的距離相等，A
N
M
P
BC
三，當堂檢測練習：
（1）下列描述對不對？
已知如圖，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求證：DB=CD
證明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如圖1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分別是D.E。結(jié)論：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正確的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，則BD=————————B
E
D
CA

12.3.1角的平分線性質(zhì)（1）

老師會對課本中的主要教學內(nèi)容整理到教案課件中，大家應該要寫教案課件了。我們要寫好教案課件計劃，才能在以后有序的工作！你們會寫多少教案課件范文呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“12.3.1角的平分線性質(zhì)（1）”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

12.3角的平分線的性質(zhì)
第1課時角的平分線性質(zhì)（1）

【教學目標】
1.掌握用尺規(guī)作已知角的平分線的方法；理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用.
2.通過讓學生經(jīng)歷觀察演示，動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決問題的能力.
3.充分利用多媒體教學及學生手工操作，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.
【重點難點】
重點：掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用.
難點：(1)根據(jù)角的平分儀器提煉出角的平分線的尺規(guī)畫法；
(2)角的平分線的性質(zhì)的探究.

┃教學過程設計┃
教學過程設計意圖
一、創(chuàng)設情境，導入新課
如圖，將一個角的兩邊對折，再折個直角三角形(以第一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得到什么結(jié)論？你能利用所學過的知識，說明你的結(jié)論的正確性嗎？
體驗角平分線的簡易作法，并為角平分線的性質(zhì)定理的引出做鋪墊，為下一步設置問題.通過折紙及作圖過程，由學生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
二、師生互動，探究新知
問題1：對這種可以折疊的角能用折疊的方法找到其平分線，對不能折疊的角怎樣得到其平分線？
例題有一個簡易平分角的儀器(如圖)，其中AB＝AD，BC＝DC，將A點放在角的頂點，AB和AD沿角的兩邊放下，過AC畫一條射線AE，AE就是∠BAD的平分線，為什么？
教師重點關注：(1)學生是否能從簡易角平分儀中抽象出兩個三角形；(2)學生能否運用三角形全等的條件證明兩個三角形全等，從而說明射線AE是∠BAD的平分線.
問題2：從上面的探究中，可以得出作已知角的平分線的方法.已知什么？求作什么？
如圖1，已知∠AOB，用尺規(guī)作圖的方法作出∠AOB的角平分線OC，寫出作法，并說明這種作法的依據(jù).
圖1
圖2
問題3：(1)在已畫好的角的平分線OC上任意找一點P，過點P分別作OA，OB的垂線交OA，OB于點D(如圖2)，E.PE，PD的長度是∠AOB的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離.量出它們的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？
(2)你能歸納角的平分線的性質(zhì)嗎？

說明用其他實驗的方法可以將一個角平分，培養(yǎng)學生的抽象思維能力和運用三角形全等的知識解決問題的能力.讓學生體驗成功，提問設置為例題的出現(xiàn)做好鋪墊，同時例題的證明又驗證了學生猜想的正確性，使學生獲得成功的體驗.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而順利解決.

從實驗中抽象出幾何模型，明確幾何作圖的基本思路和方法.培養(yǎng)學生運用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的能力，讓學生體驗成功.
三、運用新知，解決問題
例題如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于一點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
思路點撥：角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一種方法.通過學生對角平分線的知識進行獨立練習，自我評價學習效果，及時發(fā)現(xiàn)問題、解決知識盲點，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學了哪些主要內(nèi)容？你有哪些收獲？怎樣利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
教材第51、52頁第1、2、5、6題.

【板書設計】
角平分線的性質(zhì)(1)
1.用尺規(guī)作角的平分線：
2.驗證猜想：PD＝PE
3.角平分線的性質(zhì)
例題
【教學反思】
1.本課題設計思路按照操作、猜想、驗證的學習過程，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學學習的必然性.教學始終圍繞著問題而展開，先從出示問題開始，鼓勵學生思考、探索問題中所包含的數(shù)學知識，而后設計了第一個學生活動——折紙，讓學生體驗三角形角平分線交于一點的事實，并得出了進一步的猜想.
2.尺規(guī)作圖，以達到復習舊知和再次驗證猜想的目的，猜想是否正確還得進行證明，從而激發(fā)了學生學習數(shù)學的欲望和興趣，使教學目標順利達成.