高中生物一輪復習教案

高三數(shù)學一輪復習函數(shù)重點知識。

高三數(shù)學一輪復習函數(shù)重點知識

注重對概念的理解

函數(shù)部分的一個鮮明特點是概念多，對概念理解的要求高。而在實際的復習中，學生對此可能不是很重視，其實，概念能突出本質(zhì)，產(chǎn)生解決問題的方法。對概念不重視，題目一定也做不好。

就高考而言，直接針對函數(shù)概念的考題也不少，例如05年上海春季高考數(shù)學卷的第16題就是考察學生是否理解函數(shù)最大值的概念。在高中數(shù)學的代數(shù)證明問題中，函數(shù)問題是最多最突出的一個部分，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的證明等等，而用定義法判斷和證明這些性質(zhì)往往是最直接有效的方法。上海卷連續(xù)兩年都考查了這方面的內(nèi)容與方法，如06年文、理科的第22題，考查的是函數(shù)的單調(diào)性、值域與最值，07年的第19題，文科考察的是函數(shù)奇偶性的判斷與證明，理科在此基礎(chǔ)上還考察了函數(shù)單調(diào)性。

構(gòu)建知識、方法與技能網(wǎng)

當問到學生類似于函數(shù)主要有哪些內(nèi)容？等問題時，學生的回答大多是一些零散的數(shù)學名詞或局部的細節(jié)，這說明學生對知識還缺少整體把握。所以復習的首要任務(wù)是立足于教材，將高中所學的函數(shù)知識進行系統(tǒng)梳理，用簡明的圖表形式把基礎(chǔ)知識進行有機的串聯(lián)，以便于找出自己的缺漏，明確復習的重點，合理安排復習計劃。

就函數(shù)部分而言，大體分為三個層次的內(nèi)容：

1、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，主要有函數(shù)的概念與運算、單調(diào)性、奇偶性與對稱性、周期性、最值與值域、圖像等。

2、一些簡單函數(shù)的研究，主要是二次函數(shù)、冪、指、對函數(shù)等。

3、函數(shù)綜合與實際應(yīng)用問題，如函數(shù)-方程-不等式的關(guān)系與應(yīng)用，用函數(shù)思想解決的實際應(yīng)用問題等。

當然，在這個過程中也發(fā)現(xiàn)，學生梳理知識的過程過于被動、機械，只是將課本或是參考書中的內(nèi)容抄在本子上，缺少了自己的認識與理解，將知識與方法割裂開來，整理的東西成了空中樓閣，自然沒什么用。這時，就需對每一個內(nèi)容細化，問問自己復習這個內(nèi)容時需要解決好哪些問題，以此為載體來提煉與總結(jié)基本方法。

以函數(shù)的單調(diào)性為例，可以從哪些問題入手復習呢？問題一：什么是函數(shù)的單調(diào)性？可以借助一些概念的辨析題來幫助理解。問題二：如何判斷和證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性？對這個問題的解決，需要的知識基礎(chǔ)有：理解函數(shù)單調(diào)性的概念，熟知所學習過的各種基本函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪、指、對函數(shù)等)的單調(diào)性，和函數(shù)(如y=x+ax(a0))以及簡單的復合函數(shù)單調(diào)性等?；镜姆椒ㄖ饕抢脝握{(diào)性的定義、以及不等式的性質(zhì)進行判斷和證明。問題三：函數(shù)的單調(diào)性有哪些簡單應(yīng)用？主要的應(yīng)用是求函數(shù)的最值，此外還可能涉及到不等式、比較大小等問題。最后還可以進一步總結(jié)易錯、易漏點，如討論函數(shù)的單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，兩個單調(diào)函數(shù)的積函數(shù)的單調(diào)性不確定等。

抓典型問題強化訓練

高三學生在復習中大都愿意花大量時間做題，追求解題技巧，雖然這樣做有一定的作用，但題目做得太多太雜，未必有利于基本方法的落實。其實對于每一個知識點都有典型問題，抓住它們進行訓練，將同一知識，同一方法的問題集中在一起練習，并努力使自己表達規(guī)范、正確，相信能達到更高效的復習效果。

還是以函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明為例，一般也就兩類典型問題。第一是正確判斷與證明某個函數(shù)的單調(diào)性，寫出單調(diào)區(qū)間，要注意函數(shù)的各種形式，如分式的(如y=x+32x+1),和函數(shù)(如y=x+(a0))，簡單的復合函數(shù)(如y=log2(x2-2x-3)),以及帶有根式和絕對值的等等。第二是它的逆問題，知道函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性如何求字母參數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=ax2+x+2在區(qū)間[5，10]上遞增，求實數(shù)a的取值范圍等。

另一方面，可以在同一個問題的背景下，自己做一些小小的變化與發(fā)展，從中做一些深入的探究。例如將函數(shù)y=log2(x2-2x-3)變化為y=loga(x2-2x-3)單調(diào)性會怎樣變化？如果變化為y=log2(ax2-2x-3)情況又如何？再復雜一些，如變化為y=loga(x2-2x-a)呢？反之，如果函數(shù)y=log2(ax2-2x-3)在區(qū)間(-，1)上單調(diào)遞減，a的取值范圍是什么？在此基礎(chǔ)上再想一想還能提出什么問題來研究呢？例如函數(shù)y=log2(ax2-2x-3)的值域為R，a的取值范圍是什么？函數(shù)y=log2(ax2-2x-3)是否可以有最大值，如果有，a的取值范圍是什么？對自己提出的問題加以解決，能使自己的復習更有針對性，真正掌握解題的規(guī)律和方法，并幫助自己跳出盲目的題海戰(zhàn)。

總之，在復習中把握函數(shù)的基本概念，將知識、方法和技能有機地整合起來，建立一個立體網(wǎng)絡(luò),就一定能達到良好的復習效果。

精選閱讀

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第八章直線和圓的方程

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率的計算公式.
3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
4.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.
6.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離.
7.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.
8.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
9.能用直線和圓的方程解決簡單的問題.
10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
11.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置，會推導空間兩點間的距離公式.本章重點：1.傾斜角和斜率的概念；2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直；3.直線的點斜式方程、一般式方程；4.兩條直線的交點坐標；5.點到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法；6.圓的標準方程與一般方程；7.能根據(jù)給定直線，圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；8.運用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.
本章難點：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系；2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.點到直線的距離公式的推導；5.圓的方程的應(yīng)用；6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識結(jié)合起來考查.
直線和圓的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題和中檔題；如果和圓錐曲線一起考查，難度比較大.同時，對空間直角坐標系的考查難度不大，一般為選擇題或者填空題.本章知識點的考查側(cè)重考學生的綜合分析問題、解決問題的能力，以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.
知識網(wǎng)絡(luò)

8.1直線與方程
典例精析
題型一直線的傾斜角
【例1】直線2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的傾斜角的變化范圍是()
A.[π6，π3]B.[π4，π3]
C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].
設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，3]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即傾斜角的變化范圍是[π4，π3]，故選B.
【點撥】利用斜率求傾斜角時，要注意傾斜角的范圍.
【變式訓練1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，當m∈時，直線MN的傾斜角為銳角；當m＝時，直線MN的傾斜角為直角；當m∈時，直線MN的傾斜角為鈍角.
【解析】直線MN的傾斜角為銳角時，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0m＜－5或m＞1；
直線MN的傾斜角為直角時，2m＋3＝m－2m＝－5；
直線MN的傾斜角為鈍角時，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0－5＜m＜1.
題型二直線的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，求直線l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tanθ＝34，
l的傾斜角為2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.
所以直線l的斜率為247.
【點撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個概念，扎實地記住計算公式，傾斜角往往會和三角函數(shù)的有關(guān)知識聯(lián)系在一起.
【變式訓練2】設(shè)α是直線l的傾斜角，且有sinα＋cosα＝15，則直線l的斜率為()
A.34B.43C.－43D.－34或－43
【解析】選C.sinα＋cosα＝15sinαcosα＝－1225＜0
sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35(舍去)，
故直線l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.
題型三直線的方程
【例3】求滿足下列條件的直線方程.
(1)直線過點(3,2)，且在兩坐標軸上截距相等；
(2)直線過點(2,1)，且原點到直線的距離為2.
【解析】(1)當截距為0時，直線過原點，直線方程是2x－3y＝0；當截距不為0時，設(shè)方程為xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.
故所求直線方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)當斜率不存在時，直線方程x－2＝0合題意；
當斜率存在時，則設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程為3x＋4y－10＝0.
故所求直線方程為x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【點撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.
【變式訓練3】求經(jīng)過點P(3，－4)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.
【解析】當橫、縱截距都是0時，設(shè)直線的方程為y＝kx.
因為直線過點P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此時直線方程為y＝－43x.
當橫、縱截距都不是0時，設(shè)直線的方程為xa＋y－a＝1，
因為直線過點P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此時方程為x－y－7＝0.
綜上，所求直線方程為4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
題型四直線方程與最值問題
【例4】過點P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點，點O為坐標原點，當△ABO的面積最小時，求直線l的方程.
【解析】方法一：設(shè)直線方程為xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由于點P在直線上，所以2a＋1b＝1.
2a1b≤(2a＋1b2)2＝14，
當2a＝1b＝12時，即a＝4，b＝2時，1a1b取最大值18，
即S△AOB＝12ab取最小值4，
所求的直線方程為x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直線與x軸的交點為A(2k－1k，0)，直線與y軸的交點為B(0，－2k＋1)，
由題意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝12(1－2k)2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)(－4k)＋4]＝4.
當－1k＝－4k，即k＝－12時，S△AOB有最小值，
所求的直線方程為y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【點撥】求直線方程，若已知直線過定點，一般考慮點斜式；若已知直線過兩點，一般考慮兩點式；若已知直線與兩坐標軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.
【變式訓練4】已知直線l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.
【解析】由直線l的方程得其斜率k＝mm2＋1.
若m＝0，則k＝0；
若m＞0，則k＝1m＋1m≤12m1m＝12，所以0＜k≤12；
若m＜0，則k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.
綜上，－12≤k≤12.
總結(jié)提高
1.求斜率一般有兩種類型：其一，已知直線上兩點，根據(jù)k＝y(tǒng)2－y1x2－x1求斜率；其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在時的情形.
2.求傾斜角時，要注意直線傾斜角的范圍是[0，π).
3.求直線方程時，應(yīng)根據(jù)題目條件，選擇合適的直線方程形式，從而使求解過程簡單明確.設(shè)直線方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過原點的直線；設(shè)直線方程的點斜式時，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.

8.2兩條直線的位置關(guān)系

典例精析
題型一兩直線的交點
【例1】若三條直線l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能構(gòu)成三角形，求a的值.
【解析】①l3∥l1時，－a＝－2a＝2；
②l3∥l2時，－a＝3a＝－3；
③由將(－1，－1)代入ax＋y＝0a＝－1.
綜上，a＝－1或a＝2或a＝－3時，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.
【點撥】三條直線至少有兩條平行時或三條直線相交于一點時不能構(gòu)成三角形.
【變式訓練1】已知兩條直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是.
【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點得
故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標滿足方程2x＋3y＋1＝0，
即直線2x＋3y＋1＝0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點.
題型二兩直線位置關(guān)系的判斷
【例2】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐標原點到兩條直線的距離相等.
【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，
所以k2＝1－a，若k2＝0，則1－a＝0，即a＝1.
因為l1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0，
又l1過點(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.
因為k2≠0，即k1，k2都存在，
因為k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，
又l1過點(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
聯(lián)立上述兩個方程可解得a＝2，b＝2.
(2)因為l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)，
因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，
所以l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即4b＝b，
聯(lián)立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，
所以a，b的值分別為2和－2或23和2.
【點撥】運用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負倒數(shù)”.
【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點P(0，p)是線段AO上的一點(異于端點)，這里a，b，c，p均為非零實數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點E，F(xiàn)，某同學已正確求得直線OE的方程為(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，則直線OF的方程為.
【解析】由截距式可得直線AB：xb＋ya＝1，直線CP：xc＋yp＝1，兩式相減得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.
題型三點到直線的距離
【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，當△ABC的面積S最大時，求m的值.
【解析】因為A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，
又因為直線AB的方程為x－3y＋2＝0，
則點C(m，m)到直線AB的距離即為△ABC的高，
設(shè)高為h，則h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|h＝12|m－3m＋2|，
令m＝t，則1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t－32)2－14|，
由圖象可知，當t＝32時，S有最大值18，此時m＝32，所以m＝94.
【點撥】運用點到直線的距離時，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.
【變式訓練3】若動點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動，求P1P2的中點P到原點的距離的最小值.
【解析】方法一：因為P1、P2分別在直線l1和l2上，
所以
(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中點P(x1＋x22，y1＋y22)在直線x－y－10＝0上，點P到原點的最小距離就是原點到直線x－y－10＝0的距離d＝102＝52.所以，點P到原點的最小距離為52.
方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.
令l：x－y－c＝0，則5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，
解得c＝10.所以l的方程為x－y－10＝0.
由題意知，P1P2的中點P在直線l上，點P到原點的最小距離就是原點到直線l的距離d＝102＝52，所以點P到原點的最小距離為52.
總結(jié)提高
1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，即“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.
2.學會用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條件，找到簡捷解法.
3.運用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求兩平行直線之間的距離時，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對應(yīng)相等.
8.3圓的方程

典例精析
題型一求圓的方程
【例1】求經(jīng)過兩點A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.
【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為(－D2，－E2)，
由已知得即
解得D＝0，E＝－2，F(xiàn)＝－9，所求圓的方程為x2＋y2－2y－9＝0.
方法二：經(jīng)過A(－1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上，
AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
令x＝0，y＝1，圓心為(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10，
圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.
【點撥】圓的標準方程或一般方程都有三個參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個獨立條件.
【變式訓練1】已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為43，求圓的方程.
【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
將P、Q兩點的坐標分別代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的兩根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤
解②、③、⑤組成的方程組，得
D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
題型二與圓有關(guān)的最值問題
【例2】若實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.
【解析】(1)yx＝y(tǒng)－0x－0，即連接圓上一點與坐標原點的直線的斜率，因此yx的最值為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率，設(shè)yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.
由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值為3，yx的最小值為－3.
(2)令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).
所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin(α－π4)－2，
當sin(α－π4)＝－1時，y－x的最小值為－6－2.
(3)(x－4)2＋(y－3)2是圓上點與點(4,3)的距離的平方，因為圓心為A(2,0)，B(4,3)，
連接AB交圓于C，延長BA交圓于D.
|AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，則|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，
所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值為(13＋3)2，最小值為(13－3)2.
【點撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：①形如U＝y(tǒng)－bx－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動圓半徑的最值問題.
【變式訓練2】已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝3(y≥0).試求m＝y(tǒng)＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范圍.
【解析】如圖，m可看作半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點與定點A(－3，－1)連線的斜率，b可以看作過半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點且斜率為－2的直線的縱截距.
由圖易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.
題型三圓的方程的應(yīng)用
【例3】在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過三個交點的圓記為C.
(1)求實數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)問圓C是否經(jīng)過定點(其坐標與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論.
【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點是(0，b)，
由題意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝－b－1.
所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圓C必過定點，證明如下：
假設(shè)圓C過定點(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點的坐標代入圓C的方程，
并變形為x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0，
結(jié)合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，
解得或
經(jīng)檢驗知，點(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此圓C過定點.
【點撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運用了代數(shù)的恒等思想，同時問題體現(xiàn)了較強的探究性.
【變式訓練3】(2010安徽)動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時間t＝0時，點A的坐標是(12，32)，則當0≤t≤12時，動點A的縱坐標y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()
A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]
【解析】選D.由題意知角速度為2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，
π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].
總結(jié)提高
1.確定圓的方程需要三個獨立條件，“選標準，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般來講，條件涉及圓上的多個點，可選擇一般方程；條件涉及圓心和半徑，可選圓的標準方程.
2.解決與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.

8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

典例精析
題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當b為何值時，
(1)直線與圓有兩個公共點；
(2)直線與圓只有一個公共點.
【解析】方法一：(幾何法)
設(shè)圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半徑r＝2.
當d＜r時，直線與圓相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，
所以當－2＜b＜2時，直線與圓有兩個公共點.
當d＝r時，直線與圓相切，|b|2＝2，b＝±2，
所以當b＝±2時，直線與圓只有一個公共點.
方法二：(代數(shù)法)
聯(lián)立兩個方程得方程組
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
當Δ＞0，即－2＜b＜2時，有兩個公共點；
當Δ＝0，即b＝±2時，有一個公共點.
【點撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時，要注意運用數(shù)形結(jié)合思想，既要運用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習慣.
【變式訓練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置關(guān)系是()
A.相離B.相切C.相交D.不能確定
【解析】選A.易知圓的半徑r＝22，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝1sin2θ＋1.
因為θ≠π2＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，
所以22＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離.
題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】到原點的距離等于1的點在單位圓O：x2＋y2＝1上.當圓C與圓O有兩個公共點時，符合題意，故應(yīng)滿足2－1＜|OC|＜2＋1，
所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，
所以－322＜a＜－22或22＜a＜322為所求a的范圍.
【變式訓練2】兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點，若點P的坐標為(1,2)，則點Q的坐標為.
【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為x－(－1)2－(－1)＝y(tǒng)－1－2－1，即y＝－x.
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱.
故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y＝－x的對稱點，即點Q的坐標為(－2，－1).
題型三圓的弦長、中點弦的問題
【例3】已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為43，求l的方程；
(2)求圓C內(nèi)過點P的弦的中點的軌跡方程.
【解析】(1)如圖，AB＝43，D是AB的中點，則AD＝23，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點C到直線的距離公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，
得k＝34，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x＝0.
所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦長公式求解)
(2)設(shè)圓C上過點P的弦的中點為D(x，y)，
因為CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【點撥】在研究與弦的中點有關(guān)問題時，注意運用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為(x0，y0)，
由得k＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.
該法常用來解決與弦的中點、直線的斜率有關(guān)的問題.
【變式訓練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()
A.106B.206C.306D.406
【解析】選B.圓的方程化成標準方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(3,5)的最長弦為AC＝10，最短弦為BD＝252－12＝46，S＝12ACBD＝206.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復雜，利用l＝2R2－d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.
2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.
3.處理直線與圓的位置關(guān)系時，特別是有關(guān)交點問題時，為避免計算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.
8.5直線與圓的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例1】已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點；
(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
(3)求直線l被圓截得的弦長最短時的弦長及此時直線的方程.
【解析】(1)證明：直線方程可寫作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程組可得
所以不論m取何值，直線l恒過定點(3,1).
(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，
故點(3,1)在圓內(nèi)，即不論m取何值，直線l總與圓C相交.
(3)由平面幾何知識可知，當直線與過點M(3,1)的直徑垂直時，弦|AB|最短.
|AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，
此時k＝－1kCM，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，
解得m＝－34，代入原直線方程，得l的方程為2x－y－5＝0.
【點撥】解決弦長問題時，可利用弦長的幾何意義求解.
【變式訓練1】若函數(shù)f(x)＝－1beax的圖象在x＝0處的切線l與圓C：x2＋y2＝1相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是()
A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定
【解析】選B.f(x)＝－1beaxf′(x)＝－abeaxf′(0)＝－ab.
又f(0)＝－1b，所以切線l的方程為y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l與圓C：x2＋y2＝1相離得1a2＋b2＞1a2＋b2＜1，即點P(a，b)在圓內(nèi)，故選B.
題型二和圓有關(guān)的對稱問題
【例2】設(shè)O為坐標原點，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點P、Q關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，又滿足＝0.
(1)求m的值；
(2)求直線PQ的方程.
【解析】(1)曲線方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圓心為(－1,3)，半徑為3的圓.
因為點P，Q在圓上且關(guān)于直線x＋my＋4＝0對稱，
所以圓心(－1,3)在直線x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因為直線PQ與直線y＝x＋4垂直，所以設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則直線PQ的方程為y＝－x＋b.將直線y＝－x＋b代入圓的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，
因為＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.
故所求的直線方程為y＝－x＋1.
【點撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個熱點內(nèi)容，解題時，一方面要能夠正確地分析用向量表達式給出的題目的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運用向量的運算解決問題.
【變式訓練2】若曲線x2＋y2＋x－6y＋3＝0上兩點P、Q滿足①關(guān)于直線kx－y＋4＝0對稱；②OP⊥OQ，則直線PQ的方程為.
【解析】由①知直線kx－y＋4＝0過圓心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ＝－12.
設(shè)直線PQ的方程為y＝－12x＋t，與圓的方程聯(lián)立消去y，
得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54.
此時方程(*)的判別式Δ＞0.從而直線的方程為y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，
即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0為所求直線方程.
題型三與圓有關(guān)的最值問題
【例3】求與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程.
【解析】曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化為
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圓心為(6,6)，半徑為32的圓.
作出直線x＋y－2＝0與圓(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由圖形可知，當所求圓的圓心在直線y＝x上時，半徑最小.
設(shè)其半徑為r，點(6,6)到直線x＋y＝2的距離為52，所以2r＋32＝52，即r＝2，
點(0,0)到直線x＋y＝2的距離為2，
所求圓的圓心為(22cos45°，22sin45°)，即(2,2)，
故所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【點撥】解決與圓有關(guān)的最值問題時，要借助圖形的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.
【變式訓練3】由直線y＝x＋1上的點向圓C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切線，則切線長的最小值為()
A.17B.32C.19D.25
【解析】選A.設(shè)M為直線y＝x＋1上任意一點，過點M的切線長為l，則l＝|MC|2－r2，當|MC|2最小時，l最小，此時MC與直線y＝x＋1垂直，即|MC|2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值為17.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓的綜合問題時，一方面，我們要注意運用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，我們要勤動手，準確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決，即注意圓的幾何性質(zhì)的運用.
2.解決直線與圓的綜合問題時，經(jīng)常要用到距離，因此兩點間的距離公式、點到直線的距離公式要熟練掌握，靈活運用.
3.綜合運用直線的有關(guān)知識解決諸如中心對稱、軸對稱等一些常見的問題.

高三數(shù)學第一輪復習講義-

高三數(shù)學第一輪復習講義

空間的距離

一．復習目標：

1．理解點到直線的距離的概念，掌握兩條直線的距離，點到平面的距離，直線和平面的距離，兩平行平面間的距離；2．掌握求空間距離的常用方法和各距離之間的相互轉(zhuǎn)化．

二．知識要點：

1．點到平面的距離：．

2．直線到平面的距離：．

3．兩個平面的距離：．

4．異面直線間的距離：．

三．課前預習：

1．在中，，所在平面外一點到三頂點的距離都是，則到平面的距離是（）

2．在四面體中，兩兩垂直，是面內(nèi)一點，到三個面的距離分別是，則到的距離是（）

3．已知矩形所在平面，，，則到的距離為，到的距離為．4．已知二面角為，平面內(nèi)一點到平面的距離為，則到平面的距離為．

四．例題分析：例1．已知二面角為，點和分別在平面和平面內(nèi)，點在棱上，，（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）設(shè)是線段上的一點，直線與平面所成的角為，求的長．
例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，分別是，與的中點，點在平面上的射影是的重心，（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．例3．已知正四棱柱,點為的中點，點為的中點，（1）證明：為異面直線的公垂線；（2）求點到平面的距離．

五．課后作業(yè)：班級學號姓名

1．已知正方形所在平面，，點到平面的距離為，點到平面的距離為，則（）

2．把邊長為的正三角形沿高線折成的二面角，點到的距離是（）

3．四面體的棱長都是，兩點分別在棱上，則與的最短距離是（）

4．已知二面角為，角，，則到平面的距離為．

5．已知長方體中，，那么直線到平面的距離是．

6．如圖，已知是邊長為的正方形，分別是的中點，，，（1）求證：；（2）求點到面的距離．
7．在棱長為1的正方體中，（1）求：點到平面的距離；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面的距離；（4）求直線到的距離．

高三數(shù)學第一輪復習講義

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高三數(shù)學第一輪復習講義”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

高三數(shù)學第一輪復習講義

相互獨立事件的概率

一．復習目標：

1．了解相互獨立事件的意義，會求相互獨立事件同時發(fā)生的概率；2．會計算事件在次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率．

二．知識要點：

1．相互獨立事件的概念：．

2．是相互獨立事件，則．

3．次試驗中某事件發(fā)生的概率是，則次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率是．

三．課前預習：

1．下列各對事件（1）運動員甲射擊一次，“射中環(huán)”與“射中環(huán)”，（2）甲、乙二運動員各射擊一次，“甲射中環(huán)”與“乙射中環(huán)”，（3）甲、乙二運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與，“甲、乙都沒有射中目標”，（4）甲、乙二運動員各射擊一次，“至少有一人射中目標”與，“甲射中目標但乙沒有射中目標”，是互斥事件的有（1），（3）．相互獨立事件的有（2）．

2．某射手射擊一次，擊中目標的概率是，他連續(xù)射擊次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第次擊中目標的概率是；②他恰好擊中目標次的概率是；③他至少擊中目標次的概率是，其中正確結(jié)論的序號①③．3．件產(chǎn)品中有件次品，從中連續(xù)取兩次，（1）取后不放回，（2）取后放回，則兩次都取合格品的概率分別是、．

4．三個互相認識的人乘同一列火車，火車有節(jié)車廂，則至少兩人上了同一車廂的概率是（）

5．口袋里裝有大小相同的黑、白兩色的手套，黑色手套只，白色手套只，現(xiàn)從中隨機地取出兩只手套，如果兩只是同色手套則甲獲勝，兩只手套顏色不同則乙獲勝，則甲、乙獲勝的機會是（）

甲多乙多一樣多不確定

四．例題分析：例1．某地區(qū)有個工廠，由于電力緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的），假定工廠之間的選擇互不影響．

（1）求個工廠均選擇星期日停電的概率；（2）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率．解：設(shè)個工廠均選擇星期日停電的事件為．

則．

（2）設(shè)個工廠選擇停電的時間各不相同的事件為．

則，

至少有兩個工廠選擇同一天停電的事件為，．小結(jié)：個工廠均選擇星期日停電可看作個相互獨立事件．例2．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品按每盒件進行包裝，每盒產(chǎn)品均需檢驗合格后方可出廠．質(zhì)檢辦法規(guī)定：從每盒件產(chǎn)品中任抽件進行檢驗，若次品數(shù)不超過件，就認為該盒產(chǎn)品合格；否則，就認為該盒產(chǎn)品不合格．已知某盒產(chǎn)品中有件次品．

（1）求該盒產(chǎn)品被檢驗合格的概率；

（2）若對該盒產(chǎn)品分別進行兩次檢驗，求兩次檢驗得出的結(jié)果不一致的概率．

解:(1)從該盒件產(chǎn)品中任抽件，有等可能的結(jié)果數(shù)為種，

其中次品數(shù)不超過件有種，

被檢驗認為是合格的概率為．

(2)兩次檢驗是相互獨立的，可視為獨立重復試驗，

因兩次檢驗得出該盒產(chǎn)品合格的概率均為，

故“兩次檢驗得出的結(jié)果不一致”即兩次檢驗中恰有一次是合格的概率為

．

答：該盒產(chǎn)品被檢驗認為是合格的概率為；兩次檢驗得出的結(jié)果不一致的概率為．

例3．假定在張票中有張獎票（），個人依次從中各抽一張，且后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果，（1）分別求第一，第二個抽票者抽到獎票的概率，（2）求第一，第二個抽票者都抽到獎票的概率．

解：記事件：第一個抽票者抽到獎票，記事件：第一個抽票者抽到獎票，

則（1），，

（2）

小結(jié)：因為≠，故A與B是不獨立的．

例4．將一枚骰子任意的拋擲次，問點出現(xiàn)（即點的面向上）多少次的概率最大？

解：設(shè)為次拋擲中點出現(xiàn)次的概率，則，

∴，

∵由，得，

即當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，

從而最大．

五．課后作業(yè)：班級學號姓名

1．將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數(shù)的正方體玩具）先后拋擲次，至少出現(xiàn)一次點向上的概率是()

2．已知盒中裝有只螺口與只卡口燈炮，這些燈炮的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈炮使用，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則他直到第次才取得卡口燈炮的概率為：（）

3．一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是，這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率是；

4．甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92.求該題被乙獨立解出的概率。

5．三個元件T1、T2、T3正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路.

（Ⅰ）在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？（Ⅱ）三個元件連成怎樣的電路，才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請畫出此時電路圖，并說明理由.

6．甲、乙兩人參加一次英語考試，已知在備選的道試題中，甲能答對其中的題，乙能答對其中的題．規(guī)定每次考試都從備選擇中隨機抽出題進行測試，至少答對題才算合格．（1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．7．甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為．

（1）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．