一元二次方程高中教案

中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)1復(fù)習(xí)。

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中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)二次函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

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第14課二次函數(shù)應(yīng)用
【知識梳理】
1.二次函數(shù)的解析式：（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：
2.頂點(diǎn)式的幾種特殊形式.
⑴，⑵，⑶，（4）.
3．二次函數(shù)通過配方可得，其拋物線關(guān)于直線對稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.
⑴當(dāng)時，拋物線開口向，有最（填“高”或“低”）點(diǎn),當(dāng)
時，有最（“大”或“小”）值是；
⑵當(dāng)時，拋物線開口向，有最（填“高”或“低”）點(diǎn),當(dāng)
時，有最（“大”或“小”）值是．
【思想方法】
數(shù)形結(jié)合
【例題精講】
例1.橘子洲頭要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流（在各個方向上）沿形狀相同的拋物線路徑落下（如圖所示）.若已知OP＝3米，噴出的水流的最高點(diǎn)A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米.
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，
才能使噴出的水流不至于落在池外？

例2.隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖（1）所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
⑴分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；
⑵如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

（1）（2）
【當(dāng)堂檢測】
1.有一個拋物線形橋拱，其最大高度為16米，跨度為40米，現(xiàn)在它的示意圖放在平面直角坐標(biāo)系中如圖，則此拋物線的解析式為．

2.某公司的生產(chǎn)利潤原來是a元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達(dá)到了y萬元，如果每年增長的百分?jǐn)?shù)都是x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（）
A．y＝x2＋aB．y＝a（x－1）2C．y＝a（1－x）2D．y＝a（l＋x）2
3．如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃.
⑴設(shè)矩形的一邊為面積為(m2)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
⑵當(dāng)為何值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少？

4．體育測試時，初三一名高個學(xué)生推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線為拋物線的一部分，根據(jù)關(guān)系式回答：
⑴該同學(xué)的出手最大高度是多少？
⑵鉛球在運(yùn)行過程中離地面的最大高度是多少？
⑶該同學(xué)的成績是多少？

5.某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：
信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤(萬元)與投資金額(萬元)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：，并且當(dāng)投資5萬元時，可獲利潤2萬元；
信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤(萬元)與投資金額(萬元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系：，并且當(dāng)投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當(dāng)投資4萬元，可獲利潤3.2萬元.
(1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；
(2)如果企業(yè)同時對A、B兩種產(chǎn)品共投資10萬元，請你設(shè)計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少.

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元二次方程與二次函數(shù)

中考數(shù)學(xué)專題4一元二次方程與二次函數(shù)

第一部分真題精講

【例1】已知：關(guān)于的方程．

⑴求證：取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．

①求二次函數(shù)的解析式；

②已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立；

⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式．

【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點(diǎn)。于是通過代點(diǎn)，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結(jié)果.

【解析】

解：（1）分兩種情況：

當(dāng)時，原方程化為，解得，（不要遺漏）

∴當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)時，原方程為關(guān)于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有兩個實(shí)數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了）

綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時，方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，

∴.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0）

∴.

∴拋物線的解析式為.

②∵，（判斷大小直接做差）

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.

（3）由②知，當(dāng)時，.

∴、的圖象都經(jīng)過.（很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）

∵對于的同一個值，，

∴的圖象必經(jīng)過.

又∵經(jīng)過，

∴.（巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計算）

設(shè).

∵對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立，

∴，

∴.

又根據(jù)、的圖象可得，

∴.（a0時,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴拋物線的解析式為.

【例2】關(guān)于的一元二次方程.

（1）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.

【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問給點(diǎn)求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.

【解析】：

（1）由題意得

解得

解得

當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）由題意得

解得（舍）(始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0)

（3）拋物線的對稱軸是

由題意得(關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握)

與拋物線有且只有一個交點(diǎn)(這種情況考試中容易遺漏)

另設(shè)過點(diǎn)的直線（）

把代入，得，

整理得

有且只有一個交點(diǎn)，

解得

綜上，與拋物線有且只有一個交點(diǎn)的直線的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒有，請說明理由；

（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點(diǎn)，求的最小值．

【思路分析】拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點(diǎn)，然后建立二元方程組，

十分麻煩，計算量大，浪費(fèi)時間并且可能出錯。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點(diǎn)，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨(dú)的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果。

【解析】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．

所以，拋物線對稱軸，所以，．

（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0．

因?yàn)椋?16-8=80．

所以，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，分別是

，．

（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式為．

若使拋物線的圖象與軸無交點(diǎn)，只需無實(shí)數(shù)解即可．

由==0，得

又是正整數(shù)，所以得最小值為2．

【例4】已知拋物線，其中是常數(shù)．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式．

【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點(diǎn)的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點(diǎn)的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點(diǎn)的可能取值.

（1）依題意，得，

∴

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，

∴的根是整數(shù)．

∴是整數(shù)．

∵，

∴是整數(shù)．

∴是整數(shù)的完全平方數(shù)．

∵，

∴．(很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手)

∴取1，4，

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

∴的值為2或．

∴拋物線的解析式為或．

【例5】已知：關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）

（1）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個固定點(diǎn)；

（3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移后的解析式．

【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m-1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點(diǎn)既是求一個和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=-1時,Y=0，而這一點(diǎn)恰是拋物線橫過的X軸上固定點(diǎn).如果想不到因式分解,由于本題固定點(diǎn)的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因?yàn)榈诙栔幸亚蟪隽硪桓?所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.

解：（1）

∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,

∴

∵,

∴的取值范圍是且.

（2）證明：令得.

∴.

∴(這樣做是因?yàn)橐呀?jīng)知道判別式是,計算量比較小,如果根號內(nèi)不是完全平方就需要注意了)

∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴無論取何值，拋物線總過定點(diǎn)

（3）∵是整數(shù)∴只需是整數(shù).

∵是整數(shù)，且,

∴

當(dāng)時，拋物線為．

把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為

【總結(jié)】中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點(diǎn)無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點(diǎn)問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計算認(rèn)真，尤其是求根公式的應(yīng)用一定要注意計算的準(zhǔn)確性。這種題目大多包涵多個小問。第一問往往是考驗(yàn)判別式大于0，不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對其他知識點(diǎn)進(jìn)行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)等多個公式的直接應(yīng)用。至于根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應(yīng)用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實(shí)際應(yīng)用中能節(jié)省大量的時間。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).

（1）求的值；

（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線

與此圖象有兩個公共點(diǎn)時，的取值范圍.

【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當(dāng)k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.

【思考2】已知：關(guān)于的一元二次方程

（1）若求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．

【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個值一個個試就可以試出來結(jié)果。本題給定一個比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對解不等式做出了考察.

【思考3】已知:關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc

（c≠0）的圖象與x軸一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

（2）求代數(shù)式的值；

（3）求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實(shí)數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實(shí)際的考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導(dǎo)致失分.

【思考4】已知：關(guān)于的一元二次方程．

（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根滿足，求的值．

【思路分析】這一題第二問有些同學(xué)想到直接平方來去絕對值,然后用韋達(dá)定理進(jìn)行求解,但是這樣的話計算量就會非常大,所以此題繞過韋達(dá)定理,直接用根的判別式寫出,

發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于m的一次表達(dá)式,做差之后會得到一個定值.于是問題輕松求解.這個題目告訴我們高級方法不一定簡單,有的時候最笨的辦法也是最好的辦法.

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）由題意得，．

∴．

∵為正整數(shù)，

∴．

（2）當(dāng)時，方程有一個根為零；

當(dāng)時，方程無整數(shù)根；

當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根．

綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．

當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為．

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于

兩點(diǎn)，則，．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，可得；

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，可得．

由圖象可知，符合題意的的取值范圍為．

【思考2解析】

證明：

∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）

∵方程有兩個整數(shù)根，必須使且m為整數(shù)．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依題意k-1≠0.

∴.

∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）證明：方程②的判別式為Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,則-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實(shí)數(shù)

根.

(ii)證法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，

∴方程(k-1)x=2的根為正實(shí)數(shù).

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此時方程②有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

證法二:若ac0,

∵拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點(diǎn),

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由證法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

綜上,方程②有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

【思考4解析】

（1）-

不論取何值，方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意．

∴的值為4．

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用專題導(dǎo)學(xué)案

做好教案課件是老師上好課的前提，大家在認(rèn)真準(zhǔn)備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫多少教案課件范文呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)的應(yīng)用專題導(dǎo)學(xué)案》，希望對您的工作和生活有所幫助。

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．專題：探究型．
分析：先根據(jù)拋物線的開口向上可知a＞0，由頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3得出b與a關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意判斷出a的符號及a、b的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．

2．（2012濱州）拋物線y=-3x2-x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是（）
A．3B．2C．1D．0
分析：令拋物線解析式中x=0，求出對應(yīng)的y的值，即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解有兩個，可得出拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，綜上，得到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)．
點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及一元二次方程的解法，其中令拋物線解析式中x=0，求出的y值即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；令y=0，求出對應(yīng)的x的值，即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
3．（2012濟(jì)南）如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx．小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需秒．
分析：10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則A，B一定是關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，據(jù)此即可確定對稱軸，則O到對稱軸的時間可以求得，進(jìn)而即可求得OC之間的時間．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，注意到A、B關(guān)于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵．
4．（2012菏澤）牡丹花會前夕，我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進(jìn)行試銷．經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
銷售單價x（元/件）…2030405060…
每天銷售量（y件）…500400300200100…

（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）
（3）菏澤市物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？

分析：
（1）利用表中x、y的各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出即可，再根據(jù)點(diǎn)的分布得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出即可；
（2）根據(jù)利潤=銷售總價-成本總價，由（1）中函數(shù)關(guān)系式得出W=（x-10）（-10x+700），，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）利用二次函數(shù)的增減性，結(jié)合對稱軸即可得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)增減性應(yīng)用等知識，此題難度不大是中考中考查重點(diǎn)內(nèi)容．
5．（2012青島）在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：
（1）試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）若許愿瓶的進(jìn)價為6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤．
分析：
（1）觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把其中兩點(diǎn)代入即可求得該函數(shù)解析式，進(jìn)而把其余兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入看縱坐標(biāo)是否與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；
（2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤×銷售量；
（3）根據(jù)進(jìn)貨成本可得自變量的取值，結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；注意結(jié)合自變量的取值求得二次函數(shù)的最值問題．
6．（2012聊城）某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100．（利潤=售價-制造成本）
（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？
分析：
（1）根據(jù)每月的利潤z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z與x之間的函數(shù)解析式，
（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解這個方程即可，將z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤，最大利潤是多少．
（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=-2x2+136x-1800的圖象即可求出當(dāng)25≤x≤43時z≥350，再根據(jù)限價32元，得出25≤x≤32，最后根據(jù)一次函數(shù)y=-2x+100中y隨x的增大而減小，即可得出當(dāng)x=32時，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，綜合利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題．
【備考真題過關(guān)】
一、選擇題
2．（2012湖州）如圖，已知點(diǎn)A（4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，A），過P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y1和過P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C，射線OB與AC相交于點(diǎn)D．當(dāng)OD=AD=3時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（）
A．B．C．3D．4
分析：過B作BF⊥OA于F，過D作DE⊥OA于E，過C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．
3．（2012宜昌）已知拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點(diǎn)，那么該拋物線的頂點(diǎn)所在的象限是（）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．分析：根據(jù)拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點(diǎn)，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根據(jù)b=-2，得出拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，即可求出答案．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的解之間的聯(lián)系求出a的值，這些性質(zhì)和規(guī)律要求掌握．
4．（2012資陽）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）
A．-1＜x＜5B．x＞5C．x＜-1且x＞5D．x＜-1或x＞5
5．（2012義烏市）如圖，已知拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．例如：當(dāng)x=1時，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時M=0．下列判斷：
①當(dāng)x＞0時，y1＞y2；②當(dāng)x＜0時，x值越大，M值越??；
③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．
其中正確的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④

分析：利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)以及M值的取法，分別利用圖象進(jìn)行分析即可得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵．
6．（2012大連）如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P在折線C-D-E上移動，若點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)分別為（-1，4）、（3，4）、（3，1），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最小值為1，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為（）
A．1B．2C．3D．4

分析：拋物線在平移過程中形狀沒有發(fā)生變化，因此函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)在平移前后不會改變．首先，當(dāng)點(diǎn)B橫坐標(biāo)取最小值時，函數(shù)的頂點(diǎn)在C點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式；而點(diǎn)A橫坐標(biāo)取最大值時，拋物線的頂點(diǎn)應(yīng)移動到E點(diǎn)，結(jié)合前面求出的二次項(xiàng)系數(shù)以及E點(diǎn)坐標(biāo)可確定此時拋物線的解析式，進(jìn)一步能求出此時點(diǎn)A的坐標(biāo)，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)最大值．
點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，解答該題的關(guān)鍵在于讀透題意，要注意的是拋物線在平移過程中形狀并沒有發(fā)生變化，改變的是頂點(diǎn)坐標(biāo)．注意拋物線頂點(diǎn)所處的C、E兩個關(guān)鍵位置，前者能確定函數(shù)解析式、后者能得到要求的結(jié)果．
1．（2012鎮(zhèn)江）若二次函數(shù)y=（x+1）（x﹣m）的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1

點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)。
專題：探究型。
分析：先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)即可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，先根據(jù)函數(shù)的解析式得出二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2012泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（）
A．﹣3B．3C．﹣6D．9

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)。
專題：探究型。
分析：先根據(jù)拋物線的開口向上可知a＞0，由頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣3得出b與a關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意判斷出a的符號及a、b的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x﹣）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（）
A．2B．3C．4D．5

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)。810360
專題：推理填空題。
分析：整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點(diǎn)A和y軸的交點(diǎn)C，然后求出AC的長度，再分①k＞0時，點(diǎn)B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；②k＜0時，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸時，點(diǎn)B只能在點(diǎn)A的左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．
二、填空題
7．（2012深圳）二次函數(shù)y=x2-2x+6的最小值是．
分析：利用配方法將原式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)的最小值．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值，將原式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
8．（2012無錫）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為．
三、解答題
9．（2012杭州）當(dāng)k分別取-1，1，2時，函數(shù)y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值嗎？請寫出你的判斷，并說明理由；若有，請求出最大值．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值．專題：分類討論．
分析：當(dāng)k分別取-1，1，2時，函數(shù)y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同類型的函數(shù)，需要分類討論，最終確定函數(shù)的最值．

10．（2012徐州）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；
（3）在所給坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象．

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析：（1）把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，然后解關(guān)于b、c的二元一次方程組即可得解；
（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式形式，然后即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸解析式；
（3）采用列表、描點(diǎn)法畫出圖象即可．
（3）列表如下：
x…01234…
y…30-103…
描點(diǎn)作圖如下：

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸的求解，以及作二次函數(shù)圖象，都是基礎(chǔ)知識，一定要熟練掌握．
11．（2012佛山）（1）任選以下三個條件中的一個，求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；
①y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表：
x-10123
y03430
②有序數(shù)對（-1，0）、（1，4）、（3，0）滿足y=ax2+bx+c；
③已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分（如圖）．
（2）直接寫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的三個性質(zhì)．

分析：（1）選擇①，觀察表格可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，將點(diǎn)（0，3）代入確定a的值；
（2）根據(jù)拋物線的對稱軸，開口方向，增減性等說出性質(zhì)．

12．（2012蘭州）若x1、x2是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x1+x2=，x1x2=．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個交點(diǎn)間的距離為：
AB=|x1-x2|===；
參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時，求b2-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求b2-4ac的值．
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；根與系數(shù)的關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．
13．（2012武漢）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知從某時刻開始的40小時內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=（t-19）2+8（0≤t≤40），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行？
分析：
（1）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解；
（2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時間．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的應(yīng)用；判斷出所求二次函數(shù)的形式是解決本題的關(guān)鍵；注意結(jié)合（1）得到h的最大高度．
14．（2012無錫）如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；
（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？
分析：
（1）根據(jù)已知得出這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V；
（2）利用已知表示出包裝盒的表面，進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可．

15．（2012黃岡）某科技開發(fā)公司研制出一種新型的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元．
（1）商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？
（2）設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲得的利潤反而減少這一情況．為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲得的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元？（其它銷售條件不變）
分析：
（1）設(shè)件數(shù)為x，則銷售單價為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價恰好為2600元，列方程求解；
（2）由利潤y=銷售單價×件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是明確銷售單價與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會表達(dá)單件的利潤及總利潤．
16．（2012河北）某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計），這寫薄板的形狀均為正方向，邊長在（單位：cm）在5～50之間．每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）有基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，其中基礎(chǔ)價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的．浮動價與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)．
薄板的邊長（cm）2030
出廠價（元/張）5070

（1）求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得的利潤為26元（利潤=出廠價-成本價），
①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
參考公式：拋物線：y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）
分析：
（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①首先假設(shè)一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx2元，由題意，得：p=y-mx2，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
②利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．
17．（2012資陽）拋物線y=x2+x+m的頂點(diǎn)在直線y=x+3上，過點(diǎn)F（-2，2）的直線交該拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），MA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B．
（1）先通過配方求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含m的代數(shù)式表示），再求m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為a，試用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，并說明NF=NB；
（3）若射線NM交x軸于點(diǎn)P，且PAPB=，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
分析：
（1）利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點(diǎn)式即可，再利用點(diǎn)在直線上的性質(zhì)得出答案即可；
（2）首先利用點(diǎn)N在拋物線上，得出N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，進(jìn)而得出NF2=NB2，即可得出答案；
（3）求點(diǎn)M的坐標(biāo)，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關(guān)的比例線段將PAPB的值轉(zhuǎn)化為PF的值，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線PF的解析式，即可得解．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，在該二次函數(shù)綜合題中，融入了勾股定理、相似三角形等重點(diǎn)知識，（3）題通過構(gòu)建相似三角形將PAPB轉(zhuǎn)化為PF的值是解題的關(guān)鍵，也是該題的難點(diǎn)．
18．（2012株洲）如圖，一次函數(shù)y=-x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當(dāng)t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
分析：
（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）本問要點(diǎn)是求得線段MN的表達(dá)式，這個表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值；
（3）本問要點(diǎn)是明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏．其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D3點(diǎn)在第一象限，是直線D1N和D2M的交點(diǎn)，利用直線解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的極值、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形等重要知識點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問，點(diǎn)D的可能位置有三種情形，解題時容易遺漏而導(dǎo)致失分．作為中考壓軸題，本題有一定的難度，解題時比較容易下手，區(qū)分度稍低．
19．（2012漳州）已知拋物線y=x2+1（如圖所示）．
（1）填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對稱軸是；
（2）已知y軸上一點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

分析：
（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo).

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，并能正確的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點(diǎn)問題．