高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高三理科數(shù)學(xué)一輪直線和圓的方程總復(fù)習(xí)教學(xué)案。

一名合格的教師要充分考慮學(xué)習(xí)的趣味性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，使高中教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“高三理科數(shù)學(xué)一輪直線和圓的方程總復(fù)習(xí)教學(xué)案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

第八章直線和圓的方程

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式.
3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
4.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行線間的距離.
7.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.
8.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
9.能用直線和圓的方程解決簡(jiǎn)單的問題.
10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
11.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.本章重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念；2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直；3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程；4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法；6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；7.能根據(jù)給定直線，圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.
本章難點(diǎn)：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系；2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)；5.圓的方程的應(yīng)用；6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合起來考查.
直線和圓的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題和中檔題；如果和圓錐曲線一起考查，難度比較大.同時(shí)，對(duì)空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大，一般為選擇題或者填空題.本章知識(shí)點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

8.1直線與方程
典例精析
題型一直線的傾斜角
【例1】直線2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的傾斜角的變化范圍是()
A.[π6，π3]B.[π4，π3]
C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].
設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，3]，
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即傾斜角的變化范圍是[π4，π3]，故選B.
【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí)，要注意傾斜角的范圍.
【變式訓(xùn)練1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，當(dāng)m∈時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角；當(dāng)m＝時(shí)，直線MN的傾斜角為直角；當(dāng)m∈時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角.
【解析】直線MN的傾斜角為銳角時(shí)，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0m＜－5或m＞1；
直線MN的傾斜角為直角時(shí)，2m＋3＝m－2m＝－5；
直線MN的傾斜角為鈍角時(shí)，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0－5＜m＜1.
題型二直線的斜率
【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，求直線l的斜率.
【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tanθ＝34，
l的傾斜角為2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.
所以直線l的斜率為247.
【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念，扎實(shí)地記住計(jì)算公式，傾斜角往往會(huì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線l的傾斜角，且有sinα＋cosα＝15，則直線l的斜率為()
A.34B.43C.－43D.－34或－43
【解析】選C.sinα＋cosα＝15sinαcosα＝－1225＜0
sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35(舍去)，
故直線l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.
題型三直線的方程
【例3】求滿足下列條件的直線方程.
(1)直線過點(diǎn)(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；
(2)直線過點(diǎn)(2,1)，且原點(diǎn)到直線的距離為2.
【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí)，直線過原點(diǎn)，直線方程是2x－3y＝0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直線方程為x＋y－5＝0.
故所求直線方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程x－2＝0合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，則設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程為3x＋4y－10＝0.
故所求直線方程為x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【點(diǎn)撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.
【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3，－4)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.
【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx.
因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此時(shí)直線方程為y＝－43x.
當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí)，設(shè)直線的方程為xa＋y－a＝1，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此時(shí)方程為x－y－7＝0.
綜上，所求直線方程為4x＋3y＝0或x－y－7＝0.
題型四直線方程與最值問題
【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程.
【解析】方法一：設(shè)直線方程為xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，
由于點(diǎn)P在直線上，所以2a＋1b＝1.
2a1b≤(2a＋1b2)2＝14，
當(dāng)2a＝1b＝12時(shí)，即a＝4，b＝2時(shí)，1a1b取最大值18，
即S△AOB＝12ab取最小值4，
所求的直線方程為x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.
方法二：設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，
直線與x軸的交點(diǎn)為A(2k－1k，0)，直線與y軸的交點(diǎn)為B(0，－2k＋1)，
由題意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.
S△AOB＝12(1－2k)2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)(－4k)＋4]＝4.
當(dāng)－1k＝－4k，即k＝－12時(shí)，S△AOB有最小值，
所求的直線方程為y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【點(diǎn)撥】求直線方程，若已知直線過定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式；若已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.
【變式訓(xùn)練4】已知直線l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.
【解析】由直線l的方程得其斜率k＝mm2＋1.
若m＝0，則k＝0；
若m＞0，則k＝1m＋1m≤12m1m＝12，所以0＜k≤12；
若m＜0，則k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.
綜上，－12≤k≤12.
總結(jié)提高
1.求斜率一般有兩種類型：其一，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)k＝y(tǒng)2－y1x2－x1求斜率；其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在時(shí)的情形.
2.求傾斜角時(shí)，要注意直線傾斜角的范圍是[0，π).
3.求直線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目條件，選擇合適的直線方程形式，從而使求解過程簡(jiǎn)單明確.設(shè)直線方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線；設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.

8.2兩條直線的位置關(guān)系

典例精析
題型一兩直線的交點(diǎn)
【例1】若三條直線l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能構(gòu)成三角形，求a的值.
【解析】①l3∥l1時(shí)，－a＝－2a＝2；
②l3∥l2時(shí)，－a＝3a＝－3；
③由將(－1，－1)代入ax＋y＝0a＝－1.
綜上，a＝－1或a＝2或a＝－3時(shí)，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.
【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形.
【變式訓(xùn)練1】已知兩條直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是.
【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得
故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標(biāo)滿足方程2x＋3y＋1＝0，
即直線2x＋3y＋1＝0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點(diǎn).
題型二兩直線位置關(guān)系的判斷
【例2】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值.
(1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.
【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，
所以k2＝1－a，若k2＝0，則1－a＝0，即a＝1.
因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b＝0，
又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.
因?yàn)閗2≠0，即k1，k2都存在，
因?yàn)閗2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，
又l1過點(diǎn)(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，
聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a＝2，b＝2.
(2)因?yàn)閘2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)，
因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，
所以l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即4b＝b，
聯(lián)立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，
所以a，b的值分別為2和－2或23和2.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時(shí)，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負(fù)倒數(shù)”.
【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點(diǎn)P(0，p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，則直線OF的方程為.
【解析】由截距式可得直線AB：xb＋ya＝1，直線CP：xc＋yp＝1，兩式相減得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.
題型三點(diǎn)到直線的距離
【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積S最大時(shí)，求m的值.
【解析】因?yàn)锳(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，
又因?yàn)橹本€AB的方程為x－3y＋2＝0，
則點(diǎn)C(m，m)到直線AB的距離即為△ABC的高，
設(shè)高為h，則h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|h＝12|m－3m＋2|，
令m＝t，則1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t－32)2－14|，
由圖象可知，當(dāng)t＝32時(shí)，S有最大值18，此時(shí)m＝32，所以m＝94.
【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.
【變式訓(xùn)練3】若動(dòng)點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動(dòng)，求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.
【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上，
所以
(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中點(diǎn)P(x1＋x22，y1＋y22)在直線x－y－10＝0上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x－y－10＝0的距離d＝102＝52.所以，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.
方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.
令l：x－y－c＝0，則5＜c＜15，且|c－5|2＝|c－15|2，
解得c＝10.所以l的方程為x－y－10＝0.
由題意知，P1P2的中點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d＝102＝52，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.
總結(jié)提高
1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.
2.學(xué)會(huì)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條件，找到簡(jiǎn)捷解法.
3.運(yùn)用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求兩平行直線之間的距離時(shí)，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對(duì)應(yīng)相等.
8.3圓的方程

典例精析
題型一求圓的方程
【例1】求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.
【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為(－D2，－E2)，
由已知得即
解得D＝0，E＝－2，F(xiàn)＝－9，所求圓的方程為x2＋y2－2y－9＝0.
方法二：經(jīng)過A(－1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上，
AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
令x＝0，y＝1，圓心為(0,1)，r＝(3－0)2＋(2－1)2＝10，
圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.
【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件.
【變式訓(xùn)練1】已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為43，求圓的方程.
【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的兩根.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤
解②、③、⑤組成的方程組，得
D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12或D＝－10，E＝－8，F(xiàn)＝4，
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
題型二與圓有關(guān)的最值問題
【例2】若實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3.求：
(1)yx的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.
【解析】(1)yx＝y(tǒng)－0x－0，即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，因此yx的最值為過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率，設(shè)yx＝k，y＝kx，kx－y＝0.
由|2k|k2＋1＝3，得k＝±3，所以yx的最大值為3，yx的最小值為－3.
(2)令x－2＝3cosα，y＝3sinα，α∈[0,2π).
所以y－x＝3sinα－3cosα－2＝6sin(α－π4)－2，
當(dāng)sin(α－π4)＝－1時(shí)，y－x的最小值為－6－2.
(3)(x－4)2＋(y－3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方，因?yàn)閳A心為A(2,0)，B(4,3)，
連接AB交圓于C，延長(zhǎng)BA交圓于D.
|AB|＝(4－2)2＋(3－0)2＝13，則|BC|＝13－3，|BD|＝13＋3，
所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值為(13＋3)2，最小值為(13－3)2.
【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：①形如U＝y(tǒng)－bx－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動(dòng)圓半徑的最值問題.
【變式訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝3(y≥0).試求m＝y(tǒng)＋1x＋3及b＝2x＋y的取值范圍.
【解析】如圖，m可看作半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(－3，－1)連線的斜率，b可以看作過半圓x2＋y2＝3(y≥0)上的點(diǎn)且斜率為－2的直線的縱截距.
由圖易得3－36≤m≤3＋216，－23≤b≤15.
題型三圓的方程的應(yīng)用
【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【解析】(1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)，
由題意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.
(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝－b－1.
所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圓C必過定點(diǎn)，證明如下：
假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
為使(*)式對(duì)所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，必須有1－y0＝0，
結(jié)合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，
解得或
經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(－2,1)均在圓C上，因此圓C過定點(diǎn).
【點(diǎn)撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點(diǎn)的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想，同時(shí)問題體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性.
【變式訓(xùn)練3】(2010安徽)動(dòng)點(diǎn)A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(12，32)，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()
A.[0,1]B.[1,7]C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]
【解析】選D.由題意知角速度為2π12＝π6，故可得y＝sin(π6t＋π3),0≤t≤12，
π3≤π6t＋π3≤π2或32π≤π6t＋π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].
總結(jié)提高
1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般來講，條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn)，可選擇一般方程；條件涉及圓心和半徑，可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.解決與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.

8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

典例精析
題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時(shí)，
(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
【解析】方法一：(幾何法)
設(shè)圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝|b|12＋12＝|b|2，半徑r＝2.
當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交，|b|2＜2，－2＜b＜2，
所以當(dāng)－2＜b＜2時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).
當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切，|b|2＝2，b＝±2，
所以當(dāng)b＝±2時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
方法二：(代數(shù)法)
聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組
消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
當(dāng)Δ＞0，即－2＜b＜2時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0，即b＝±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn).
【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.
【變式訓(xùn)練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋π2，k∈Z)的位置關(guān)系是()
A.相離B.相切C.相交D.不能確定
【解析】選A.易知圓的半徑r＝22，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝1sin2θ＋1.
因?yàn)棣取佴?＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，
所以22＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離.
題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2＋y2＝1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合題意，故應(yīng)滿足2－1＜|OC|＜2＋1，
所以1＜a2＋a2＜3，即22＜|a|＜322，
所以－322＜a＜－22或22＜a＜322為所求a的范圍.
【變式訓(xùn)練2】?jī)蓤A(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為x－(－1)2－(－1)＝y(tǒng)－1－2－1，即y＝－x.
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對(duì)稱.
故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，－1).
題型三圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦的問題
【例3】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43，求l的方程；
(2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】(1)如圖，AB＝43，D是AB的中點(diǎn)，則AD＝23，AC＝4，
在Rt△ADC中，可得CD＝2.
設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線的距離公式|－2k－6＋5|k2＋1＝2，
得k＝34，此時(shí)直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)的方程為x＝0.
所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦長(zhǎng)公式求解)
(2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，
因?yàn)镃D⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡(jiǎn)得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，
由得k＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.
該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題.
【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()
A.106B.206C.306D.406
【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC＝10，最短弦為BD＝252－12＝46，S＝12ACBD＝206.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡(jiǎn)捷.例如，求圓的弦長(zhǎng)公式比較復(fù)雜，利用l＝2R2－d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長(zhǎng)比代數(shù)法要簡(jiǎn)便.
2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.
3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時(shí)，為避免計(jì)算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.
8.5直線與圓的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
【例1】已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)；
(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
(3)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.
【解析】(1)證明：直線方程可寫作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由方程組可得
所以不論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)(3,1).
(2)由(3－1)2＋(1－2)2＝5＜5，
故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，即不論m取何值，直線l總與圓C相交.
(3)由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線與過點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時(shí)，弦|AB|最短.
|AB|＝2r2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝45，
此時(shí)k＝－1kCM，即－2m＋1m＋1＝－1－12＝2，
解得m＝－34，代入原直線方程，得l的方程為2x－y－5＝0.
【點(diǎn)撥】解決弦長(zhǎng)問題時(shí)，可利用弦長(zhǎng)的幾何意義求解.
【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x)＝－1beax的圖象在x＝0處的切線l與圓C：x2＋y2＝1相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是()
A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定
【解析】選B.f(x)＝－1beaxf′(x)＝－abeaxf′(0)＝－ab.
又f(0)＝－1b，所以切線l的方程為y＋1b＝－ab(x－0)，即ax＋by＋1＝0，
由l與圓C：x2＋y2＝1相離得1a2＋b2＞1a2＋b2＜1，即點(diǎn)P(a，b)在圓內(nèi)，故選B.
題型二和圓有關(guān)的對(duì)稱問題
【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，又滿足＝0.
(1)求m的值；
(2)求直線PQ的方程.
【解析】(1)曲線方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圓心為(－1,3)，半徑為3的圓.
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，
所以圓心(－1,3)在直線x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.
(2)因?yàn)橹本€PQ與直線y＝x＋4垂直，所以設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則直線PQ的方程為y＝－x＋b.將直線y＝－x＋b代入圓的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－32＜b＜2＋32.
x1＋x2＝b－4，x1x2＝b2－6b＋12，
y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2＋2b＋12，
因?yàn)椋?，所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋12＋b2＋2b＋12＝0，得b＝1.
故所求的直線方程為y＝－x＋1.
【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，解題時(shí)，一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問題.
【變式訓(xùn)練2】若曲線x2＋y2＋x－6y＋3＝0上兩點(diǎn)P、Q滿足①關(guān)于直線kx－y＋4＝0對(duì)稱；②OP⊥OQ，則直線PQ的方程為.
【解析】由①知直線kx－y＋4＝0過圓心(－12，3)，所以k＝2，故kPQ＝－12.
設(shè)直線PQ的方程為y＝－12x＋t，與圓的方程聯(lián)立消去y，
得54x2＋(4－t)x＋t2－6t＋3＝0.(*)
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(－12x1＋t)(－12x2＋t)＝0，所以(x1＋x2)(－12t)＋54x1x2＋t2＝0.
由(*)知，x1＋x2＝4(t－4)5，x1x2＝4(t2－6t＋3)5，代入上式，解得t＝32或t＝54.
此時(shí)方程(*)的判別式Δ＞0.從而直線的方程為y＝－12x＋32或y＝－12x＋54，
即x＋2y－3＝0或2x＋4y－5＝0為所求直線方程.
題型三與圓有關(guān)的最值問題
【例3】求與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0可化為
(x－6)2＋(y－6)2＝18，它表示圓心為(6,6)，半徑為32的圓.
作出直線x＋y－2＝0與圓(x－6)2＋(y－6)2＝18，
由圖形可知，當(dāng)所求圓的圓心在直線y＝x上時(shí)，半徑最小.
設(shè)其半徑為r，點(diǎn)(6,6)到直線x＋y＝2的距離為52，所以2r＋32＝52，即r＝2，
點(diǎn)(0,0)到直線x＋y＝2的距離為2，
所求圓的圓心為(22cos45°，22sin45°)，即(2,2)，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【點(diǎn)撥】解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，要借助圖形的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.
【變式訓(xùn)練3】由直線y＝x＋1上的點(diǎn)向圓C：(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()
A.17B.32C.19D.25
【解析】選A.設(shè)M為直線y＝x＋1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M的切線長(zhǎng)為l，則l＝|MC|2－r2，當(dāng)|MC|2最小時(shí)，l最小，此時(shí)MC與直線y＝x＋1垂直，即|MC|2min＝(3＋2＋12)2＝18，故l的最小值為17.
總結(jié)提高
1.解決直線與圓的綜合問題時(shí)，一方面，我們要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，我們要勤動(dòng)手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問題較為簡(jiǎn)捷地得到解決，即注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用.
2.解決直線與圓的綜合問題時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式要熟練掌握，靈活運(yùn)用.
3.綜合運(yùn)用直線的有關(guān)知識(shí)解決諸如中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等一些常見的問題.

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高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)直線及其方程學(xué)案帶答案

第九章解析幾何
學(xué)案47直線及其方程

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．
自主梳理
1．直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為________．
②傾斜角的范圍為______________．
(2)直線的斜率
①定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝______________________.
2．直線的方向向量
經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的一個(gè)方向向量為P1P2→，其坐標(biāo)為________________，當(dāng)斜率k存在時(shí)，方向向量的坐標(biāo)可記為(1，k)．
3．直線的方程和方程的直線
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐標(biāo)平面上的直線l，如果直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一個(gè)解作為點(diǎn)的坐標(biāo)都在__________，就稱直線l是方程Ax＋By＋C＝0的直線，稱方程Ax＋By＋C＝0是直線l的方程．
4．直線方程的五種基本形式
名稱方程適用范圍
點(diǎn)斜式不含直線x＝x0
斜截式不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
5.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝，y＝，此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
自我檢測(cè)
1．(2011銀川調(diào)研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三點(diǎn)共線，則m的值為()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直線l與兩條直線x－y－7＝0，y＝1分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為(1，－1)，則直線l的斜率為()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四個(gè)命題中，假命題是()
A．經(jīng)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)來表示
C．與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．經(jīng)過點(diǎn)Q(0，b)的直線都可以表示為y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．已知直線l的方向向量與向量a＝(1,2)垂直，且直線l過點(diǎn)A(1,1)，則直線l的方程為()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究點(diǎn)一傾斜角與斜率

例1已知兩點(diǎn)A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率．

變式遷移1直線xsinα－y＋1＝0的傾斜角的變化范圍是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究點(diǎn)二直線的方程
例2(2011武漢模擬)過點(diǎn)M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程．

變式遷移2求適合下列條件的直線方程：
(1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；
(2)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍．

探究點(diǎn)三直線方程的應(yīng)用

例3過點(diǎn)P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：
(1)△AOB面積最小時(shí)l的方程；
(2)|PA||PB|最小時(shí)l的方程．
變式遷移3為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？
探究點(diǎn)四數(shù)形結(jié)合思想
例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
試求y＋3x＋2的最大值與最小值．

變式遷移4直線l過點(diǎn)M(－1,2)且與以點(diǎn)P(－2，－3)、Q(4,0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則l的斜率范圍是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°≤α180°，熟記斜率公式k＝y(tǒng)2－y1x2－x1，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)．已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1≠x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，而x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.
2．當(dāng)直線沒有斜率(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式y(tǒng)－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直線方程，但都可以寫成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式或截距式．
3．使用直線方程時(shí)，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011臨沂月考)已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直線l：y＝kx－3與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌調(diào)研)點(diǎn)A(a＋b，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0不經(jīng)過的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．(2011包頭期末)經(jīng)過點(diǎn)P(2，－1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．過兩點(diǎn)A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m＝________.
7．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是________．
8．設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是________________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直線AB的斜率k；
(2)求直線AB的方程；
(3)已知實(shí)數(shù)m∈－33－1，3－1，求直線AB的傾斜角α的范圍．

10．(12分)(2011秦皇島模擬)已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍．
11．(14分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．

學(xué)案47直線及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直線l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)5.x1＋x22y1＋y22
自我檢測(cè)
1．A2.D3.D4.C5.D
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關(guān)鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型．
解設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α，
由題意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直線l的斜率為13.
變式遷移1D[直線xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
當(dāng)0≤k≤1時(shí)，傾斜角的范圍是0，π4，
當(dāng)－1≤k0時(shí)，傾斜角的范圍是3π4，π.]
例2解題導(dǎo)引(1)對(duì)直線問題，要特別注意斜率不存在的情況．
(2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法．
待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設(shè)出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)．
解過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點(diǎn)分別是0，103和(0,8)，
顯然不滿足中點(diǎn)是點(diǎn)M(0,1)的條件．
故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵點(diǎn)M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直線方程為x＋4y－4＝0.
變式遷移2解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，
若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，
∴l(xiāng)的方程為y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，則設(shè)l的方程為xa＋ya＝1，
∵l過點(diǎn)(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，
則所求直線的傾斜角為2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解題導(dǎo)引先設(shè)出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出△ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值．
確定直線方程可分為兩個(gè)類型：一是根據(jù)題目條件確定點(diǎn)和斜率或確定兩點(diǎn)，進(jìn)而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法．
解設(shè)直線的方程為xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2時(shí)，S△AOB取最小值4，
此時(shí)直線l的方程為x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3時(shí)，|PA||PB|取最小值4.
此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
變式遷移3解如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，
∴線段EF的方程為x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，
作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，
PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值，這時(shí)|EP||PF|＝30－55＝5.
所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大．
例4解題導(dǎo)引解決這類問題的關(guān)鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(diǎn)(x，y)的直線的斜率k，由圖可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值為8，最小值為43.
變式遷移4C
[如圖，過點(diǎn)M作y軸的平行線與線段PQ相交于點(diǎn)N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
當(dāng)直線l從MP開始繞M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到MN時(shí)，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時(shí)，k≥5.當(dāng)直線l從MN開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到MQ時(shí)，
∵正切函數(shù)在(π2，π)上仍為增函數(shù)，
∴斜率從－∞開始增加，增大到kMQ＝－25，
故直線l的斜率范圍是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
課后練習(xí)區(qū)
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，
直線AB的斜率不存在；(1分)
當(dāng)m≠－1時(shí)，k＝1m＋1.(3分)
(2)當(dāng)m＝－1時(shí)，AB的方程為x＝－1，(5分)
當(dāng)m≠－1時(shí)，AB的方程為y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直線AB的方程為x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①當(dāng)m＝－1時(shí)，α＝π2；
②當(dāng)m≠－1時(shí)，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
綜合①②，知直線AB的傾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直線x＋my＋m＝0恒過A(0，－1)點(diǎn)．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
則－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0時(shí)直線x＋my＋m＝0與線段PQ有交點(diǎn)，
∴所求m的范圍是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)證明直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－1＋2kk，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依題意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此時(shí)l：x－2y＋4＝0.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)直線、圓的位置關(guān)系學(xué)案有答案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非常活躍，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)直線、圓的位置關(guān)系學(xué)案有答案，相信能對(duì)大家有所幫助。

學(xué)案50直線、圓的位置關(guān)系

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.在學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．
自主梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系有三種：________、________、________.
判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：
(1)代數(shù)法：利用判別式Δ，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式Δ
(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：
dr________，d＝r________，dr________.
2．圓的切線方程
若圓的方程為x2＋y2＝r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過P點(diǎn)且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為____________________________．
注：點(diǎn)P必須在圓x2＋y2＝r2上．
經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為________________________．
3．計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法
(1)幾何方法
運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算．
(2)代數(shù)方法
運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式
|AB|＝1＋k2|xA－xB|
＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].
說明：圓的弦長(zhǎng)、弦心距的計(jì)算常用幾何方法．
4．圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：________、________、________、________、________.
判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：
(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2(r1≠r2)，則|O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝r1＋r2______；|r1－r2||O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝|r1－r2|________；0≤|O1O2||r1－r2|??________．
(2)已知兩圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則與兩圓共交點(diǎn)的圓系方程為________________________________________________________________，其中λ為λ≠－1的任意常數(shù)，因此圓系不包括第二個(gè)圓．
當(dāng)λ＝－1時(shí)，為兩圓公共弦所在的直線，方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
自我檢測(cè)
1．(2010江西)直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥23，則k的取值范圍是()
A.－34，0
B.－∞，－34∪0，＋∞
C.－33，33
D.－23，0
2．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程為()
A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0
C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0
3．(2011寧夏調(diào)研)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有()
A．1條B．2條
C．3條D．4條
4．過點(diǎn)(0,1)的直線與x2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()
A．2B．23C．3D．25
5．(2011聊城月考)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()
A．相切B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心D．相離
探究點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系
例1已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

變式遷移1從圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一點(diǎn)P(2,3)向該圓引切線，求切線的方程及過兩切點(diǎn)的直線方程．

探究點(diǎn)二圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題
例2(2011漢沽模擬)已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43，求l的方程；
(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

變式遷移2已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直線kx－y－4k＋3＝0.
(1)證明：不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
(2)求當(dāng)k取什么值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng)．

探究點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系
例3已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m為何值時(shí)，
(1)圓C1與圓C2相外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含．

變式遷移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.當(dāng)a，b變化時(shí)，若⊙B始終平分⊙A的周長(zhǎng)，求：
(1)⊙B的圓心B的軌跡方程；
(2)⊙B的半徑最小時(shí)圓的方程．

探究點(diǎn)四綜合應(yīng)用
例4已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y＝kx－1對(duì)稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

變式遷移4已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N兩點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OM→ON→＝12，求k的值．
1．求切線方程時(shí)，若知道切點(diǎn)，可直接利用公式；若過圓外一點(diǎn)求切線，一般運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑來求，但注意有兩條．
2．解決與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題時(shí)，注意運(yùn)用由半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，也可以運(yùn)用弦長(zhǎng)公式．這就是通常所說的“幾何法”和“代數(shù)法”．
3．判斷兩圓的位置關(guān)系，從圓心距和兩圓半徑的關(guān)系入手．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系是()
A．相離B．相切或相交
C．相交D．相切
2．(2011珠海模擬)直線3x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實(shí)數(shù)m等于()
A.3或－3B．－3或33
C．－33或3D．－33或33
3．過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長(zhǎng)為()
A.3B．2
C.6D．23
4．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2＝0的距離為1，則半徑r的取值范圍是()
A．(4,6)B．[4,6)
C．(4,6]D．[4,6]
5．(2010全國(guó)Ⅰ)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么PA→PB→的最小值為()
A．－4＋2B．－3＋2
C．－4＋22D．－3＋22

二、填空題(每小題4分，共12分)
6．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的長(zhǎng)為23，則a＝________.
7．(2011三明模擬)已知點(diǎn)A是圓C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x＋2y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a＝________.
8．(2011杭州高三調(diào)研)設(shè)直線3x＋4y－5＝0與圓C1：x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點(diǎn)在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)圓x2＋y2＝8內(nèi)一點(diǎn)P(－1,2)，過點(diǎn)P的直線l的傾斜角為α，直線l交圓于A、B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)α＝3π4時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程．

10．(12分)(2011湛江模擬)自點(diǎn)A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程．

11．(14分)已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值時(shí)兩圓外切？
(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？
(3)m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．

學(xué)案50直線、圓的位置關(guān)系
自主梳理
1．相切相交相離(1)相交相切相離(2)相交相切相離2.x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r24.(1)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我檢測(cè)
1．A2.D3.B4.B5.B
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)過點(diǎn)P作圓的切線有三種類型：
當(dāng)P在圓外時(shí)，有2條切線；
當(dāng)P在圓上時(shí)，有1條切線；
當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，不存在．
(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時(shí)，一定要注意直線方程的存在性，有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)分類．
(3)切線長(zhǎng)的求法：
過圓C外一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，半徑為R，
則|PM|＝|PC|2－R2.
解(1)將圓C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，
由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，
設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，
由|－1＋2－a|2＝2，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直線方程為x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
綜上，圓的切線方程為y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，
得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即點(diǎn)P在直線l：2x－4y＋3＝0上．
當(dāng)|PM|取最小值時(shí)，即OP取得最小值，直線OP⊥l，
∴直線OP的方程為2x＋y＝0.
解方程組2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為－310，35.
變式遷移1解設(shè)圓切線方程為y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，
∴k＝34，另一條斜率不存在，方程為x＝2.
∴切線方程為x＝2和3x－4y＋6＝0.
圓心C為(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，
∴過兩切點(diǎn)的直線斜率為－12，又x＝2與圓交于(2,1)，
∴過切點(diǎn)的直線為x＋2y－4＝0.
例2解題導(dǎo)引(1)有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的求法：
已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，點(diǎn)C到l的距離為d，圓的半徑為r.
方法一代數(shù)法：弦長(zhǎng)|AB|＝1＋k2|x2－x1|
＝1＋k2x1＋x22－4x1x2；
方法二幾何法：弦長(zhǎng)|AB|＝2r2－d2.
(2)有關(guān)弦的中點(diǎn)問題：
圓心與弦的中點(diǎn)連線和已知直線垂直，利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系．
解(1)方法一
如圖所示，|AB|＝43，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB，連接AC、BC，
則|AD|＝23，|AC|＝4，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式，得|－2k－6＋5|k2＋－12＝2，
解得k＝34.
當(dāng)k＝34時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0.
∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)所求直線的斜率為k，
則直線的方程為y－5＝kx，即y＝kx＋5.
聯(lián)立直線與圓的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，
消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①
設(shè)方程①的兩根為x1，x2，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.②
由弦長(zhǎng)公式，得1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝43.
將②式代入，解得k＝34，
此時(shí)直線方程為3x－4y＋20＝0.
又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x＝0.
∴所求直線的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，
則CD⊥PD，即CD→PD→＝0，
(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
變式遷移2(1)證明由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直線kx－y－4k＋3＝0過定點(diǎn)P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝24.
∴直線和圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
(2)解kPC＝3－44－3＝－1.
可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點(diǎn)斜率為1的直線即為所求，其方程為y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，
∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝22.
例3解題導(dǎo)引圓和圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就是方程組解的個(gè)數(shù)來判斷，有時(shí)得不到確切的結(jié)論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手．
解對(duì)于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1與C2外切，
則有m＋12＋－2－m2＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1與C2內(nèi)含，
則有m＋12＋m＋223－2.
(m＋1)2＋(m＋2)21，m2＋3m＋20，
得－2m－1，
∴當(dāng)m＝－5或m＝2時(shí)，圓C1與圓C2外切；
當(dāng)－2m－1時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含．
變式遷移3解(1)兩圓方程相減得公共弦方程
2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.①
依題意，公共弦應(yīng)為⊙A的直徑，
將(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.②
設(shè)圓B的圓心為(x，y)，∵x＝ay＝b，
∴其軌跡方程為x2＋2x＋2y＋5＝0.
(2)⊙B方程可化為(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2.
由②得b＝－12[(a＋1)2＋4]≤－2，
∴b2≥4，b2＋1≥5.當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，⊙B半徑最小，
∴⊙B方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
例4解題導(dǎo)引這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由垂徑定理可知圓心應(yīng)在直線上，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，應(yīng)聯(lián)想直徑所對(duì)的圓周角為直角利用斜率或向量來解決．因此能否將問題合理地轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
解圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
圓心為C(1，－2)．
假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A、B，則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.
于是可知，kAB＝1.
設(shè)lAB：y＝x＋b，代入圓C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)0，b2＋6b－90，
解得－3－32b－3＋32.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2.
由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化簡(jiǎn)得b2＋3b－4＝0，
解得b＝－4或b＝1，均滿足Δ0.
即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
變式遷移4解(1)方法一∵直線l過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k，
∴直線l的方程為y＝kx＋1.
將其代入圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由題意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×70，
得4－73k4＋73.
方法二同方法一得直線方程為y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.
又圓心到直線距離d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，
∴d＝|2k－2|k2＋11，解得4－73k4＋73.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由①得x1＋x2＝4＋4k1＋k2x1x2＝71＋k2，
∴OM→ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝4k1＋k1＋k2＋8＝12k＝1(經(jīng)檢驗(yàn)符合題意)，∴k＝1.
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.C3.D4.A5.D
6．17.－108.1
9．解(1)當(dāng)α＝3π4時(shí)，kAB＝－1，
直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分)
故圓心(0,0)到AB的距離d＝|0＋0－1|2＝22，
從而弦長(zhǎng)|AB|＝28－12＝30.(6分)
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由x21＋y21＝8，x22＋y22＝8，
兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kAB＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝12.(10分)
∴直線l的方程為y－2＝12(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.(12分)
10.
解已知圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圓心C1的坐標(biāo)為(2，－2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切．(4分)
設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋3)，則
|5k＋2＋3|12＋k2＝1，(8分)
即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－43，k2＝－34.
則l的方程為4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
(12分)
11．解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，
半徑分別為11和61－m.
(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，5－12＋6－32＝11＋61－m.
解得m＝25＋1011.(4分)
(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離，故只有61－m－11＝5.
解得m＝25－1011.(8分)
(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.(12分)
由圓的半徑、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，不難求得公共弦的長(zhǎng)為
2×112－|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)

高三理科數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“高三理科數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案”，希望能為您提供更多的參考。

第十五章復(fù)數(shù)

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其運(yùn)算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想，體會(huì)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.本章重點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
本章難點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢(shì)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算放在首位.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

15.1復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算

典例精析
題型一復(fù)數(shù)的概念
【例1】(1)如果復(fù)數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝；
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限；
(3)復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為z＝.
【解析】(1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實(shí)數(shù)1＋m3＝0m＝－1.
(2)因?yàn)?＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，－1)，位于第四象限.
(3)因?yàn)閦＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【點(diǎn)撥】運(yùn)算此類題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.
【變式訓(xùn)練1】(1)如果z＝1－ai1＋ai為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于()
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝1－ii(i是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【解析】(1)設(shè)z＝xi，x≠0，則
xi＝1－ai1＋ai1＋ax－(a＋x)i＝0或故選D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選C.
題型二復(fù)數(shù)的相等
【例2】(1)已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足zz0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝；
(2)已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝；
(3)已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根為，實(shí)數(shù)k的值為.
【解析】(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入zz0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得(2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
解得所以z＝1－.
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)設(shè)x＝x0是方程的實(shí)根，代入方程并整理得
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得或
所以方程的實(shí)根為x＝2或x＝－2，
相應(yīng)的k值為k＝－22或k＝22.
【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓(xùn)練2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是()
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋ia＝1，b＝2.
題型三復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【例3】(1)若復(fù)數(shù)z＝－12＋32i，則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008＝；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝.
【解析】(1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i＝z.
所以zn具有周期性，在一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且周期為3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2006＋z2007＋z2008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以解得所以z＝＋i.
【點(diǎn)撥】解(1)時(shí)要注意x3＝1(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三個(gè)根為1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i，則
1＋ω＋ω2＝0，1＋ω－＋ω－2＝0，ω3＝1，ω－3＝1，ωω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)時(shí)要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.
【變式訓(xùn)練3】(1)復(fù)數(shù)11＋i＋i2等于()
A.1＋i2B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z＝23－i1＋23i＋(21－i)2010，則復(fù)數(shù)z等于()
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1)D.計(jì)算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
總結(jié)提高
復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算：①加減法按合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行；②乘法展開、除法須分母實(shí)數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問題只需設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題來解決.

高三理科數(shù)學(xué)算法初步總復(fù)習(xí)教學(xué)案

第十一章算法初步

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解算法的含義，了解算法的思想.
2.理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).
3.理解幾種基本算法語(yǔ)句——輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義.
4.了解幾個(gè)古代的算法案例，能用輾轉(zhuǎn)相除法及更相減損術(shù)求最大公約數(shù)；用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值；了解進(jìn)位制，會(huì)進(jìn)行不同進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.本章重點(diǎn)：1.算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；2.輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句(兩種形式)的結(jié)構(gòu)、作用與功能及各種語(yǔ)句的格式要求.
本章難點(diǎn)：1.用自然語(yǔ)言表示算法和運(yùn)用程序框圖表示算法；2.用算法的基本思想編寫程序解決簡(jiǎn)單問題.弄清三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的區(qū)別，把握程序語(yǔ)言中所包含的一些基本語(yǔ)句結(jié)構(gòu).算法初步作為數(shù)學(xué)新增部分，在高考中一定會(huì)體現(xiàn)出它的重要性和實(shí)用性.
高考中將重點(diǎn)考查對(duì)變量賦值的理解和掌握、對(duì)條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)的靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)根據(jù)要求畫出程序框圖；預(yù)計(jì)高考中，將考查程序框圖、循環(huán)結(jié)構(gòu)和算法思想，并結(jié)合函數(shù)與數(shù)列考查邏輯思維能力.因此算法知識(shí)與其他知識(shí)的結(jié)合將是高考的重點(diǎn)，這也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當(dāng)然難度不會(huì)太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查算法的含義、程序框圖、基本算法語(yǔ)句以及算法案例等內(nèi)容.
2.解答題中可要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的程序并畫出程序框圖，能很好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

11.1算法的含義與程序框圖
典例精析
題型一算法的含義
【例1】已知球的表面積是16π，要求球的體積，寫出解決該問題的一個(gè)算法.
【解析】算法如下：
第一步，s＝16π.
第二步，計(jì)算R＝s4π.
第三步，計(jì)算V＝4πR33.
第四步，輸出V.
【點(diǎn)撥】給出一個(gè)問題，設(shè)計(jì)算法應(yīng)該注意：
(1)認(rèn)真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法，此問題涉及到的各種情況；
(2)將此問題分成若干個(gè)步驟；
(3)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)句將各步表述出來.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1×3×5×7×9×11×13的算法.圖中給出程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數(shù)是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】當(dāng)I＜13成立時(shí)，只能運(yùn)算
1×3×5×7×9×11.故選A.

題型二程序框圖
【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為A1，A2，…，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)).圖二是統(tǒng)計(jì)圖一中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是()
A.i＜6？B.i＜7？C.i＜8？D.i＜9？
圖一

【解析】根據(jù)題意可知，i的初始值為4，輸出結(jié)果應(yīng)該是A4＋A5＋A6＋A7，因此判斷框中應(yīng)填寫i＜8？，選C.
【點(diǎn)撥】本題的命題角度較為新穎，信息量較大，以條形統(tǒng)計(jì)圖為知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鋪墊，介紹了算法流程圖中各個(gè)數(shù)據(jù)的引入來源，其考查點(diǎn)集中于循環(huán)結(jié)構(gòu)的終止條件的判斷，考查了學(xué)生合理地進(jìn)行推理與迅速作出判斷的解題能力，解本題的過程中不少考生誤選A，實(shí)質(zhì)上本題中的數(shù)據(jù)并不大，考生完全可以直接從頭開始限次按流程圖循環(huán)觀察，依次寫出每次循環(huán)后的變量的賦值，即可得解.
【變式訓(xùn)練2】(2009遼寧)某店一個(gè)月的收入和支出，總共記錄了N個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，aN.其中收入記為正數(shù)，支出記為負(fù)數(shù)，該店用如圖所示的程序框圖計(jì)算月總收入S和月凈盈利V，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的()
A.A＞0？，V＝S－T
B.A＜0？，V＝S－T
C.A＞0？，V＝S＋T
D.A＜0？，V＝S＋T
【解析】選C.
題型三算法的條件結(jié)構(gòu)
【例3】某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：
f＝
其中f(單位：元)為托運(yùn)費(fèi)，ω為托運(yùn)物品的重量(單位：千克)，試寫出一個(gè)計(jì)算費(fèi)用f的算法，并畫出相應(yīng)的程序框圖.
【解析】算法如下：
第一步，輸入物品重量ω.
第二步，如果ω≤50，那么f＝0.53ω，
否則，f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.
第三步，輸出托運(yùn)費(fèi)f.
程序框圖如圖所示.
【點(diǎn)撥】求分段函數(shù)值的算法應(yīng)用到條件結(jié)構(gòu)，因此在程序框圖的畫法中需要引入判斷框，要根據(jù)題目的要求引入判斷框的個(gè)數(shù)，而判斷框內(nèi)的條件不同，對(duì)應(yīng)的框圖中的內(nèi)容或操作就相應(yīng)地進(jìn)行變化.
【變式訓(xùn)練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為－7，則判斷框內(nèi)可填寫()
A.i＜3？
B.i＜4？
C.i＜5？
D.i＜6？
【解析】i＝1，s＝2－1＝1；
i＝3，s＝1－3＝－2；
i＝5，s＝－2－5＝－7.所以選D.
題型四算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)
【例4】設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算10個(gè)數(shù)的平均數(shù)的算法，并畫出程序框圖.
【解析】算法步驟如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令I(lǐng)＝1.
第三步，輸入一個(gè)數(shù)G.
第四步，令S＝S＋G.
第五步，令I(lǐng)＝I＋1.
第六步，若I＞10，轉(zhuǎn)到第七步，
若I≤10，轉(zhuǎn)到第三步.
第七步，令A(yù)＝S/10.
第八步，輸出A.
據(jù)上述算法步驟，程序框圖如圖.
【點(diǎn)撥】(1)引入變量S作為累加變量，引入I為計(jì)數(shù)變量，對(duì)于這種多個(gè)數(shù)據(jù)的處理問題，可通過循環(huán)結(jié)構(gòu)來達(dá)到；(2)計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，同時(shí)它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止，累加變量用于輸出結(jié)果.
【變式訓(xùn)練4】設(shè)計(jì)一個(gè)求1×2×3×…×10的程序框圖.
【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.
圖一圖二

總結(jié)提高
1.給出一個(gè)問題，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意：
(1)認(rèn)真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法；
(2)綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況；
(3)借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述；
(4)將解決問題的過程劃分為若干個(gè)步驟；
(5)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來.
2.循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式，即當(dāng)型和直到型，這兩種形式的循環(huán)結(jié)構(gòu)在執(zhí)行流程上有所不同，當(dāng)型循環(huán)是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時(shí)退出循環(huán)體；而直到型循環(huán)則是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，滿足時(shí)退出循環(huán)體.所以判斷框內(nèi)的條件，是由兩種循環(huán)語(yǔ)句確定的，不得隨便更改.
3.條件結(jié)構(gòu)主要用在一些需要依據(jù)條件進(jìn)行判斷的算法中.如分段函數(shù)的求值，數(shù)據(jù)的大小關(guān)系等問題的算法設(shè)計(jì).

11.2基本算法語(yǔ)句

典例精析
題型一輸入、輸出與賦值語(yǔ)句的應(yīng)用
【例1】閱讀程序框圖(如下圖)，若輸入m＝4，n＝6，則輸出a＝，i＝.
【解析】a＝12，i＝3.
【點(diǎn)撥】賦值語(yǔ)句是一種重要的基本語(yǔ)句，也是程序必不可少的重要組成部分，使用賦值語(yǔ)句，要注意其格式要求.
【變式訓(xùn)練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1，x2，…，x10的平均數(shù)的程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為()
A.S＝S＋xnB.S＝S＋xnnC.S＝S＋nD.S＝S＋1n
【解析】因?yàn)榇瞬綖榍蠛?，顯然為S＝S＋xn，故選A.
題型二循環(huán)語(yǔ)句的應(yīng)用
【例2】設(shè)計(jì)算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.要求畫出程序框圖，寫出用基本語(yǔ)句編寫的程序.
【解析】這是一個(gè)累加求和問題，共99項(xiàng)相加，可設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)數(shù)變量，一個(gè)累加變量，用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)這一算法.程序框圖如下圖所示：
程序如下：
s＝0
k＝1
DO
s＝s＋1/(k*(k＋1))
k＝k＋1
LOOPUNTILk＞99
PRINTs
END
【點(diǎn)撥】(1)在用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫程序解決問題時(shí)，一定要注意格式和條件的表述方法，WHILE語(yǔ)句是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，UNTIL語(yǔ)句是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體.
(2)在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求和、累乘求積等問題中應(yīng)注意考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來實(shí)現(xiàn).
(3)在循環(huán)語(yǔ)句中，也可以嵌套條件語(yǔ)句，甚至是循環(huán)語(yǔ)句，此時(shí)需要注意嵌套的這些語(yǔ)句，保證語(yǔ)句的完整性，否則就會(huì)造成程序無法執(zhí)行.

【變式訓(xùn)練2】下圖是輸出某個(gè)有限數(shù)列各項(xiàng)的程序框圖，則該框圖所輸出的最后一個(gè)數(shù)據(jù)是.

【解析】由程序框圖可知，當(dāng)N＝1時(shí)，A＝1；N＝2時(shí)，A＝13；N＝3時(shí)，A＝15，…，即輸出各個(gè)A值的分母是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，故當(dāng)N＝50時(shí)，A＝11＋(50－1)×2＝199，即為框圖最后輸出的一個(gè)數(shù)據(jù).故填199.
題型三算法語(yǔ)句的實(shí)際應(yīng)用
【例3】某電信部門規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果通話時(shí)間3分鐘以內(nèi)，收取通話費(fèi)0.2元，如果通話時(shí)間超過3分鐘，則超過部分以每分鐘0.1元收取通話費(fèi)(通話不足1分鐘時(shí)按1分鐘計(jì)算).試設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算通話費(fèi)用的算法，要求寫出算法，編寫程序.
【解析】我們用c(單位：元)表示通話費(fèi)，t(單位：分鐘)表示通話時(shí)間，
則依題意有
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時(shí)間t.
第二步，如果t≤3，那么c＝0.2；否則c＝0.2＋0.1×[t－2].
第三步，輸出通話費(fèi)用c.
程序如下：
INPUTt
IFt＜3THEN
c＝0.2
ELSE
c＝0.2＋0.1*INT（t-2）
ENDIF
PRINTc
END
【點(diǎn)撥】在解決實(shí)際問題時(shí)，要正確理解其中的算法思想，根據(jù)題目寫出其關(guān)系式，再寫出相應(yīng)的算法步驟，畫出程序框圖，最后準(zhǔn)確地編寫出程序，同時(shí)要注意結(jié)合題意加深對(duì)算法的理解.
【變式訓(xùn)練3】(2010江蘇)下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出S的值是.
【解析】n＝1時(shí)，S＝3；n＝2時(shí)，S＝3＋4＝7；n＝3時(shí)，S＝7＋8＝15；n＝4時(shí)，S＝15＋24＝31；n＝5時(shí)，S＝31＋25＝63.因?yàn)?3≥33，所以輸出的S值為63.
總結(jié)提高
1.輸入、輸出語(yǔ)句可以設(shè)計(jì)提示信息，加引號(hào)表示出來，與變量之間用分號(hào)隔開.
2.賦值語(yǔ)句的賦值號(hào)左邊只能是變量而不能是表達(dá)式；賦值號(hào)左右兩邊不能對(duì)換，不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式計(jì)算，利用賦值語(yǔ)句可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)變量值的互換，方法是引進(jìn)第三個(gè)變量，用三個(gè)賦值語(yǔ)句完成.
3.在某些算法中，根據(jù)需要，在條件語(yǔ)句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語(yǔ)句.遇到這樣的問題，要分清內(nèi)外條件結(jié)構(gòu)，保證結(jié)構(gòu)的完整性.
4.分清WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句的格式，在解決一些需要反復(fù)執(zhí)行的運(yùn)算任務(wù)，如累加求和，累乘求積等問題中應(yīng)主要考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來實(shí)現(xiàn)，但也要結(jié)合其他語(yǔ)句如條件語(yǔ)句.
5.編程的一般步驟：
(1)算法分析；(2)畫出程序框圖；(3)寫出程序.

11.3算法案例

典例精析
題型一求最大公約數(shù)
【例1】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)；
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù).
【解析】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)：
1764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0.
所以840與1764的最大公約數(shù)是84.
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù)：
556－440＝116，
440－116＝324，
324－116＝208，
208－116＝92，
116－92＝24，
92－24＝68，
68－24＝44，
44－24＝20，
24－20＝4，
20－4＝16，
16－4＝12，
12－4＝8，
8－4＝4.
所以440與556的最大公約數(shù)是4.
【點(diǎn)撥】(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，輾轉(zhuǎn)相除法用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，直到大數(shù)被小數(shù)除盡結(jié)束運(yùn)算，較小的數(shù)就是最大公約數(shù)；更相減損術(shù)是用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，直到所得的差和較小數(shù)相等為止，這個(gè)較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).一般情況下，輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)步驟較多，但運(yùn)算簡(jiǎn)易，解題時(shí)要靈活運(yùn)用.
(2)兩個(gè)以上的數(shù)求最大公約數(shù)，先求其中兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再用所得的公約數(shù)與其他各數(shù)求最大公約數(shù)即可.
【變式訓(xùn)練1】求147,343,133的最大公約數(shù).
【解析】先求147與343的最大公約數(shù).
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49，
所以147與343的最大公約數(shù)為49.
再求49與133的最大公約數(shù).
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.
題型二秦九韶算法的應(yīng)用
【例2】用秦九韶算法寫出求多項(xiàng)式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.01667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2時(shí)的值的過程.
【解析】先把函數(shù)整理成f(x)＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1，
按照從內(nèi)向外的順序依次進(jìn)行.
x＝－0.2，
a5＝0.00833，v0＝a5＝0.00833；
a4＝0.04167，v1＝v0x＋a4＝0.04；
a3＝0.01667，v2＝v1x＋a3＝0.00867；
a2＝0.5，v3＝v2x＋a2＝0.49827；
a1＝1，v4＝v3x＋a1＝0.90035；
a0＝1，v5＝v4x＋a0＝0.81993；
所以f(－0.2)＝0.81993.
【點(diǎn)撥】秦九韶算法是多項(xiàng)式求值的最優(yōu)算法，特點(diǎn)是：
(1)將高次多項(xiàng)式的求值化為一次多項(xiàng)式求值；
(2)減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率；
(3)步驟重復(fù)實(shí)施，能用計(jì)算機(jī)操作.
【變式訓(xùn)練2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1當(dāng)x＝2時(shí)的值為.
【解析】1397.
題型三進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)換
【例3】(1)將101111011(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)；
(2)將53(8)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù).
【解析】(1)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.
(2)53(8)＝5×81＋3＝43.

所以53(8)＝101011(2).
【點(diǎn)撥】將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，關(guān)鍵是先寫成冪的積的形式再求和，將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為k進(jìn)制數(shù)，用“除k取余法”，余數(shù)的書寫是由下往上，順序不能顛倒，k進(jìn)制化為m進(jìn)制(k，m≠10)，可以用十進(jìn)制過渡.
【變式訓(xùn)練3】把十進(jìn)制數(shù)89化為三進(jìn)制數(shù).
【解析】具體的計(jì)算方法如下：
89＝3×29＋2，
29＝3×9＋2，
9＝3×3＋0，
3＝3×1＋0，
1＝3×0＋1，
所以89(10)＝10022(3).
總結(jié)提高
1.輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)都是用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法.其算法不同，但二者的原理卻是相似的，主要區(qū)別是一個(gè)是除法運(yùn)算，一個(gè)是減法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)遞推的過程.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，關(guān)鍵是正確的將多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)向外，依次計(jì)算求解.
2.將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法和將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)的算法操作性很強(qiáng)，要掌握算法步驟，并熟練轉(zhuǎn)化；要熟練應(yīng)用“除基數(shù)，倒取余，一直除到商為0”.