高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)平面向量及其線性運(yùn)算學(xué)案含答案。

學(xué)案25平面向量及其線性運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．
自主梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量的定義：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用來表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，記作________或_______．
(4)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是________．
(5)單位向量：長(zhǎng)度為____單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量______．
(7)相等向量：長(zhǎng)度______且方向______的向量．
2．向量的加法運(yùn)算及其幾何意義
（1）已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB→=a，BC→=b，則向量AC→叫做a與b的，記作，即=AB→+BC→=，這種求向量和的方法叫做向量加法的.?
（2）以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OA→就是a與b的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的.
(3)加法運(yùn)算律
a＋b＝________(交換律)；
(a＋b)＋c＝____________(結(jié)合律)．
3．向量的減法及其幾何意義
(1)相反向量
與a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，記作______．
(2)向量的減法
①定義a－b＝a＋________，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的____________．
②如圖，AB→＝a，，AD→＝b，則AC→＝，DB→＝____________.
4．向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義
(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作______，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝______；
②當(dāng)λ0時(shí)，λa與a的方向______；當(dāng)λ0時(shí)，λa與a的方向______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝______.
(2)運(yùn)算律
設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則
①λ(μa)＝________.(結(jié)合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)兩個(gè)向量共線定理：向量b與a(a≠0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
5．重要結(jié)論
PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)G為△ABC的________；
PA→＋PB→＋PC→＝0P為△ABC的________．
自我檢測(cè)
1.（2010四川）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，BC→＝16，|，|則|AM→|等于()
A．8B．4C．2D．1
2．下列四個(gè)命題：
①對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，則a＝b；
③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n；
④若a＝b，b＝c，則a＝c，
其中正確命題的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
3.在ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M為BC的中點(diǎn)，則MN→等于()
A．－14a＋14bB．－12a＋12b
C．a(chǎn)＋12bD．－34a＋34b
4.（2010湖北）已知△ABC和點(diǎn)M滿足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB→＋AC→＝m，成立，則m等于()
A．2B．3C．4D．5
5.（2009安徽）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝______.
探究點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念辨析
例1①有向線段就是向量，向量就是有向線段；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③向量AB→與向量CD→共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命題中正確的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．0
變式遷移1下列命題中正確的有________(填寫所有正確命題的序號(hào))．
①|(zhì)a|＝|b|a＝b；
②若a＝b，b＝c，則a＝c；
③|a|＝0a＝0；
④若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則AB→＝DC→四邊形ABCD是平行四邊形．
探究點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算
例2（2011開封模擬）已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證：EF→＝12(AB→＋DC→)．

變式遷移2（2011深圳模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，試用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.

探究點(diǎn)三共線向量問題
例3如圖所示，平行四邊形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M為AB中點(diǎn)，N為BD靠近B的三等分點(diǎn)，求證：M、N、C三點(diǎn)共線.

變式遷移3設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線；
（2）如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值．

1.若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則OP→＝12(OA→＋OB→)．如圖所示．
2．證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．
3．三點(diǎn)共線的性質(zhì)定理：
（1）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，則AB→＝λBC→.
（2）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線，O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，則OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()
A.EF→＝OF→＋OE→Ｂ.ＥF→＝OF→－OE→
Ｃ.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→
2.設(shè)a，b為不共線向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是()
A.AD→＝BC→B.AD→＝2BC→
C.AD→＝－BC→D.AD→＝－2BC→
3．(2011杭州模擬)設(shè)a，b是任意的兩個(gè)向量，λ∈R，給出下面四個(gè)結(jié)論：
①若a與b共線，則b＝λa；
②若b＝－λa，則a與b共線；
③若a＝λb，則a與b共線；
④當(dāng)b≠0時(shí)，a與b共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正確的結(jié)論有()
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
4.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若點(diǎn)D滿足BD→＝2DC→，則AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
5.（2010廣東中山高三六校聯(lián)考）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，則λ等于（）
A.23B.13C．－13D．－23
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.（2009湖南）如下圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，則x＝______，y＝__________.
7.已知＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→，則OP→＝_________.
8.（2011青島模擬）O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12時(shí)，則PA→(PB→＋PC→)的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，13(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？

10.(12分)在△ABC中，BE與CD交于點(diǎn)P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.

11．(14分)(2011黃山模擬)已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)．
（1）求GA→＋GB→＋GO→；
（2）若PQ過△ABO的重心G，且，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求證：1m＋1n＝3.

答案自主梳理
1.（1）大小方向（2）有向線段（3）長(zhǎng)度|a|?|
(4)任意的(5)1個(gè)±a|a|(6)相同相反非零共線向量平行(7)相等相同2.(1)和a＋ba＋bAC→三角形法則(2)平行四邊形法則(3)b＋aa＋(b＋c)3.(1)長(zhǎng)度相等方向相反－a(2)①(－b)相反向量②a＋ba－b4.(1)λa①|(zhì)λ||a|②相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb5.(1)重心(2)重心
自我檢測(cè)
1.

2．C[①根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算可判斷其正確；②當(dāng)m＝0時(shí)，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故②錯(cuò)誤；③正確；④由于向量相等具有傳遞性，故④正確．]
3.A[由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，
又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b
＝－14a＋14b.]
4．B[由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D，
則AM→＝23AD→，①
因?yàn)锳D為中線，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，
即2AD→＝mAM→，②
聯(lián)立①②可得m＝3.]
5.43
解析設(shè)AB→＝a，AD→＝b，
那么AE→＝a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，
AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，
∴λ＋μ＝43.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1D[①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；
②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；
③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；
④不正確，如果b＝0時(shí)，則a與c不一定平行．
所以應(yīng)選D.]
變式遷移1②③④
解析①模相同，方向不一定相同，
故①不正確；
②兩向量相等，要滿足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，②正確；
③只有零向量的模才為0，故③正確；
④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四邊形對(duì)邊平行且相等．故④正確．
故應(yīng)選②③④.
例2證明方法一如圖所示，
在四邊形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①
在四邊形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②
①＋②得
(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴FC→＋FB→＝0，DE→＋AE→＝0.
∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，
即EF→＝(AB→＋DC→)．
方法二取以A為起點(diǎn)的向量，應(yīng)用三角形法則求證．
∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE→＝12AD→.
∵F是BC的中點(diǎn)，∴AF→＝12（AB→＋AC→)．
又AC→＝AD→＋DC→，
∴AF→＝12（AB→＋AD→＋DC→)＝12（AB→＋DC→)＋12AD→
＝12（AB→＋DC→)＋AE→
∴EF→＝AF→－AE→＝12（AB→＋DC→)．
即EF→＝12（AB→＋DC→)．
變式遷移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→
例3解題導(dǎo)引(1)在平面幾何中，向量之間的關(guān)系一般通過兩個(gè)指定的向量來表示，向量共線應(yīng)存在實(shí)數(shù)λ使兩向量能互相表示．
(2)向量共線的判斷(或證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線．
證明在△ABD中BD→＝AD→－AB→.
因?yàn)锳B→＝a,AD→＝b，所以BD→＝b－a.
由共線向量定理知：CM→∥CN→，
又∵CM→與CN→有公共點(diǎn)C，∴M、N、C三點(diǎn)共線．
變式遷移3（1）證明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2)＝CD→．
∴AC→與CD→共線．
又∵AC→與CD→有公共點(diǎn)C，∴A、C、D三點(diǎn)共線．
（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點(diǎn)共線，∴AC→與CD→共線．
從而存在實(shí)數(shù)λ使得AC→＝λCD→
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.
解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值為43.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[由減法的三角形法則知EF→＝OF→－OE→.]
3．D[題目考查兩向量共線的充要條件，此定理應(yīng)把握好兩點(diǎn)：(1)與λ相乘的向量為非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正確．]
5.
6．1＋3232
解析
作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，設(shè)AB＝AC＝1BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62.
由∠DBF＝45°，
得DF＝BF＝62×22＝32，
所以BF→＝32AB→FD→＝32AC→，
所以AD→＝AB→＋BF→＋FD→＝（）AB→＋32AC→.
7.1λa＋λ－1λb
＝a＋λ－1λ(b－a)＝1λa＋λ－1λb.
8．0
解析由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12，得AP→－（AB→＋AC→)，即點(diǎn)P為△ABC中BC邊的中點(diǎn)，
∴PB→＋PC→＝0.
∴PA→(PB→＋PC→)＝PA→0＝0.
9．解設(shè)OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，……………………………………………………………(4分)
AB→＝OB→－OA→＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三點(diǎn)共線，只需AC→＝λAB→，
即－23a＋13b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴－23＝－λ，13＝λt.∴λ＝23，t＝12.……………………………………………………(11分)
∴當(dāng)t＝12時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上．……………………………………………(12分)
10．解
取AE的三等分點(diǎn)M，
使|AM|＝13|AE|，連結(jié)DM.
設(shè)|AM|＝t，則|ME|＝2t.
又|AE|＝14|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.
∴|DP|＝211|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)
＝13AB→＋211－13AB→＋AC→
＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.……………………………………………………………(12分)
11．(1)解∵點(diǎn)G是△ABO的重心，
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)證明∵M(jìn)是AB邊的中點(diǎn)，∴OM→＝12(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∵P、G、Q三點(diǎn)共線，∴PG→∥GQ→，
且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使PG→＝λGQ→.…………………………………………………(5分)
，
∴(13－m)a＋13b＝λ[－13a＋(n－13)b]．…………………………………………………(8分)
又因?yàn)閍、b不共線，所以
13－m＝－13λ13＝λn－13，……………………………………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.……………………………………………(14分)

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高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案附答案

學(xué)案27平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．
自主梳理
1．向量數(shù)量積的定義
(1)向量數(shù)量積的定義：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)：
①如果e是單位向量，則ae＝ea＝__________________；
②非零向量a，b，a⊥b________________；
③aa＝________________或|a|＝________________；
④cos〈a，b〉＝________；
⑤|ab|____|a||b|.
2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)交換律：ab＝________；
(2)分配律：(a＋b)c＝________________；
(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)b＝________________.
3．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ab＝________________________；
(2)設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b________________________；
(3)設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
則|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.
(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.
自我檢測(cè)
1.（2010湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,則AB→AC→等于()
A．－16B．－8C．8D．16
2．(2010重慶)已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()
A．0B．22C．4D．8
3．(2011福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，則λ等于()
A．－2B．2C.12D．－12
4.平面上有三個(gè)點(diǎn)A（-2，y），B（0，），C（x，y），若AB→⊥BC→，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為________________．
5.（2009天津）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM→＝16CB→＋23CA→，則MA→MB→＝________.
探究點(diǎn)一向量的模及夾角問題
例1(2011馬鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；
（3）若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面積．

變式遷移1(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是()
A．1B．2
C.2D.22
(2)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．
探究點(diǎn)二兩向量的平行與垂直問題
例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的長(zhǎng)度是a－kb的長(zhǎng)度的3倍(k0)．
(1)求證：a＋b與a－b垂直；
(2)用k表示ab；
(3)求ab的最小值以及此時(shí)a與b的夾角θ.

變式遷移2(2009江蘇)設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.

探究點(diǎn)三向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用
例3已知向量a＝cos32x，sin32x，
b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

變式遷移3（2010四川）已知△ABC的面積S=AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

1．一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論：
(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(5)|ab|＝|a||b|；(6)(ab)c＝a(bc)；(7)若ab＝ac，則b＝c.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的，應(yīng)用時(shí)要注意．
2．平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a與b的夾角.
向量表示坐標(biāo)表示
向量a的模|a|＝aa＝a2
|a|＝x21＋y21

a與b的數(shù)量積ab＝|a||b|cosθab＝x1x2＋y1y2
a與b共線的充要條件A∥b(b≠0)a＝λba∥bx1y2－x2y1＝0
非零向量a，b垂直的充要條件a⊥bab＝0a⊥bx1x2＋y1y2＝0
向量a與b的夾角cosθ＝ab|a||b|
cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：
（1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.
（2）要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實(shí)數(shù)≠0，使等式AB→＝λCD→成立即可．
（3）要證兩線段AB⊥CD，只需證AB→CD→＝0.
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，ab＝0，則實(shí)數(shù)m的值為()
A．－32B.32
C．2D．6
2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實(shí)數(shù)k的值為()
A．－6B．－3
C．3D．6
3.已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，ab0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于()
A．30°B．－150°
C．150°D．30°或150°
4．(2010湖南)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為()
A.135B.655
C.6513D.1313
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010湖南長(zhǎng)沙一中月考)設(shè)a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈π2，π，若ab＝25，則sinα＝________.
7．(2010廣東金山中學(xué)高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
8．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為3π4，且mn＝－1，則向量n＝__________________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)，在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使MA→⊥MB→，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

10．(12分)(2011杭州調(diào)研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cosπ2－θ，sinπ2－θ)．
(1)求證：a⊥b；
(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，滿足x⊥y，試求此時(shí)k＋t2t的最小值．

11．(14分)(2011濟(jì)南模擬)已知a＝(1,2sinx)，b＝2cosx＋π6，1，函數(shù)f(x)＝ab(x∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若f(x)＝85，求cos2x－π3的值．

答案自主梳理
1．(1)ab＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①|(zhì)a|cos〈a，e〉②ab＝0③|a|2aa④ab|a||b|
⑤≤2.(1)ba
(2)ac＋bc(3)λ(ab)3.(1)a1b1＋a2b2(2)a1b1＋a2b2＝0(3)a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22
(4)(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12
自我檢測(cè)
2．B[|2a－b|＝2a－b2
＝4a2－4ab＋b2＝8＝22.]
3．D[由(a＋λb)b＝0得ab＋λ|b|2＝0，
∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]
4．y2＝8x(x≠0)
解析由題意得AB→＝2，－y2，
BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
即2，－y2x，y2＝0，化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)．
5．－2
解析合理建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)槿切问钦切?，故設(shè)C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→MB→＝－2.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，
∴ab＝－6.
∴cosθ＝ab|a||b|＝－64×3＝－12.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)|a＋b|＝a＋b2
＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝16＋2×－6＋9＝13.
(3)∵AB→與BC→的夾角θ＝2π3，
∴∠ABC＝π－2π3＝π3.
又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，
∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC
＝12×4×3×32＝33.
變式遷移1(1)C[∵|a|＝|b|＝1，ab＝0，
展開(a－c)(b－c)＝0|c|2＝c(a＋b)
＝|c||a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ，
∴|c|的最大值是2.]
(2)λ12且λ≠－2
解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴ab0且ab不同向．
即|i|2－2λ|j|20，∴λ12.
當(dāng)ab同向時(shí)，由a＝kb(k0)得λ＝－2.
∴λ12且λ≠－2.
例2解題導(dǎo)引1.非零向量a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0.
2．當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運(yùn)算技巧，有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，要因題而異．
解(1)由題意得，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b與a－b垂直．
(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2kab＋b2＝k2＋2kab＋1，
(3|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6kab.
由條件知，k2＋2kab＋1＝3(1＋k2)－6kab，
從而有，ab＝1＋k24k(k0)．
(3)由(2)知ab＝1＋k24k＝14(k＋1k)≥12，
當(dāng)k＝1k時(shí)，等號(hào)成立，即k＝±1.
∵k0，∴k＝1.
此時(shí)cosθ＝ab|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
故ab的最小值為12，此時(shí)θ＝π3.
變式遷移2(1)解因?yàn)閍與b－2c垂直，
所以a(b－2c)
＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2
＝17－15sin2β≤42.
又當(dāng)β＝－π4時(shí)，等號(hào)成立，所以|b＋c|的最大值為42.
(3)證明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，
所以a∥b.
例3解題導(dǎo)引與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．
解(1)ab＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，
|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22
＝2＋2cos2x＝2|cosx|，
∵x∈－π3，π4，∴cosx0，
∴|a＋b|＝2cosx.
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝2cosx－122－32.
∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx＝12時(shí)，f(x)取得最小值－32；
當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1.
變式遷移3解由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c，則S＝12bcsinA＝12.
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010.
由題意cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－1010.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[因?yàn)閍b＝6－m＝0，所以m＝6.]
2．D[由(2a＋3b)(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]
3．C[∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，
∴sin∠BAC＝12.又ab0，
∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150°.]
4．C[由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2.
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B[因?yàn)閍b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以，a在b上的投影為|a|cos〈a，b〉
＝ab|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]
6.35
解析∵ab＝cos2α＋2sin2α－sinα＝25，
∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，∴sinα＝35.
7．120°
解析設(shè)a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0.
又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cosθ＝0.
∴cosθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
8．(－1,0)或(0，－1)
解析設(shè)n＝(x，y)，由mn＝－1，
有x＋y＝－1.①
由m與n夾角為3π4，
有mn＝|m||n|cos3π4，
∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.②
由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
9．解設(shè)存在點(diǎn)M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)
∵M(jìn)A→⊥MB→，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或225，115.
故在線段OC上存在點(diǎn)M，使MA→⊥MB→，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(225，115)．………(12分)
10．(1)證明∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin－θsinπ2－θ
＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)
(2)解由x⊥y得，xy＝0，
即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)
又|a|2＝1，|b|2＝1，
∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分)
∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3
＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)
故當(dāng)t＝－12時(shí)，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝ab＝2cosx＋π6＋2sinx
＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx
＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3.…………………………………………………………(5分)
由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是
π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π3.
又因?yàn)?sinx＋π3＝85，
所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分)
即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝45.
所以cos2x－π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)集合的概念與運(yùn)算學(xué)案1含答案

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助高中教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)集合的概念與運(yùn)算學(xué)案1含答案”，相信能對(duì)大家有所幫助。

第一章集合與常用邏輯用語

學(xué)案1集合的概念與運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：
1.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.
2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.
3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．

自主梳理
1．集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．
2．元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)∈或表示．
3．集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．
4．集合間的基本關(guān)系
對(duì)任意的x∈A，都有x∈B，則AB(或BA)．
若AB，且在B中至少有一個(gè)元素x∈B，但xA，則A?B(或B?A)．
若AB且BA，則A＝B.
5．集合的運(yùn)算及性質(zhì)
設(shè)集合A，B，則A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
設(shè)全集為U，則UA＝{x|x∈U且xA}．
A∩＝，A∩BA，A∩BB，
A∩B＝AAB.
A∪＝A，A∪BA，A∪BB，
A∪B＝BAB.
A∩UA＝；A∪UA＝U.
自我檢測(cè)
1．(2011長(zhǎng)沙模擬)下列集合表示同一集合的是()
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案C
2．(2009遼寧)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x5}，則M∩N等于()
A．{x|－5x5}B．{x|－3x5}
C．{x|－5x≤5}D．{x|－3x≤5}
答案B
解析畫數(shù)軸，找出兩個(gè)區(qū)間的公共部分即得M∩N＝{x|－3x5}．
3．(2010湖北)設(shè)集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，則A∩B的子集的個(gè)數(shù)是()
A．4B．3C．2D．1
答案A
解析易知橢圓x24＋y216＝1與函數(shù)y＝3x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A∩B包含兩個(gè)元素，故A∩B的子集個(gè)數(shù)是4個(gè)．
4．(2010濰坊五校聯(lián)考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，則M∩N等于()
A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}
C．{(－2，1)，(2，1)}D．
答案B
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．(2011福州模擬)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，則a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究點(diǎn)一集合的基本概念
例1(2011沈陽模擬)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．
解題導(dǎo)引解決該類問題的基本方法為：利用集合中元素的特點(diǎn)，列出方程組求解，但解出后應(yīng)注意檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是否符合元素的互異性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，則只能a＋b＝0，則有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：
a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②
由①得a＝－1，b＝1，符合題意；②無解．
∴b－a＝2.
變式遷移1設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求實(shí)數(shù)a，b.
解由元素的互異性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.
探究點(diǎn)二集合間的關(guān)系
例2設(shè)集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則下列關(guān)系中正確的是()
A．M＝NB．M?N
C．M?ND．M∈N
解題導(dǎo)引一般地，對(duì)于較為復(fù)雜的兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合，要判斷它們之間的關(guān)系，應(yīng)先確定集合中元素的形式是數(shù)還是點(diǎn)或其他，屬性如何．然后將所給集合化簡(jiǎn)整理，弄清每個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)或范圍，再判斷它們之間的關(guān)系．
答案A
解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
變式遷移2設(shè)集合P＝{m|－1m0}，Q＝{m|mx2＋4mx－40對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，且m∈R}，則下列關(guān)系中成立的是()
A．P?QB．Q?P
C．P＝QD．P∩Q＝
答案A
解析P＝{m|－1m0}，
Q：m0，Δ＝16m2＋16m0，或m＝0.
∴－1m≤0.
∴Q＝{m|－1m≤0}．
∴P?Q.

探究點(diǎn)三集合的運(yùn)算
例3設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．
(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求A∩B和A∪B；
(2)若(RA)∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解題導(dǎo)引解決含參數(shù)問題的集合運(yùn)算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的相互關(guān)系，注意分類討論、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及空集的特殊性．
解(1)A＝{x|12≤x≤3}．
當(dāng)a＝－4時(shí)，B＝{x|－2x2}，
∴A∩B＝{x|12≤x2}，
A∪B＝{x|－2x≤3}．
(2)RA＝{x|x12或x3}．
當(dāng)(RA)∩B＝B時(shí)，BRA，
即A∩B＝.
①當(dāng)B＝，即a≥0時(shí)，滿足BRA；
②當(dāng)B≠，即a0時(shí)，B＝{x|－－ax－a}，
要使BRA，需－a≤12，
解得－14≤a0.
綜上可得，a的取值范圍為a≥－14.
變式遷移3(2011阜陽模擬)已知A＝{x||x－a|4}，B＝{x||x－2|3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，
A＝{x|－3x5}，
B＝{x|x－1或x5}．
∴A∩B＝{x|－3x－1}．
(2)∵A＝{x|a－4xa＋4}，
B＝{x|x－1或x5}，且A∪B＝R，
∴a－4－1a＋451a3.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3)．
分類討論思想在集合中的應(yīng)用
例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值組成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值組成的集合．
【答題模板】
解(1)P＝{－3,2}．當(dāng)a＝0時(shí)，S＝，滿足SP；[2分]
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＋1＝0的解為x＝－1a，
為滿足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，
即a＝13或a＝－12.[4分]
故所求集合為{0，13，－12}．[6分]
(2)當(dāng)m＋12m－1，即m2時(shí)，B＝，滿足BA；[8分]
若B≠，且滿足BA，如圖所示，
則m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.[10分]
故m2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．[12分]
【突破思維障礙】
在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段即是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分類時(shí)要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對(duì)于每一類情況都要給出問題的解答．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
(1)容易忽略a＝0時(shí)，S＝這種情況．
(2)想當(dāng)然認(rèn)為m＋12m－1忽略“”或“＝”兩種情況．

解答集合問題時(shí)應(yīng)注意五點(diǎn)：
1．注意集合中元素的性質(zhì)——互異性的應(yīng)用，解答時(shí)注意檢驗(yàn)．
2．注意描述法給出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意的特殊性．在利用AB解題時(shí)，應(yīng)對(duì)A是否為進(jìn)行討論．
4．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示，元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，同時(shí)注意端點(diǎn)的取舍．
5．注意補(bǔ)集思想的應(yīng)用．在解決A∩B≠時(shí)，可以利用補(bǔ)集思想，先研究A∩B＝的情況，然后取補(bǔ)集．

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．滿足{1}?A{1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)是()
A．2B．3C．4D．8
答案B
解析A＝{1}∪B，其中B為{2,3}的子集，且B非空，顯然這樣的集合A有3個(gè)，
即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．(2011杭州模擬)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是()
A．9B．8C．7D．6
答案B
解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是8.
3．(2010北京)集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，則P∩M等于()
A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}
答案B
解析由題意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．(2010天津)設(shè)集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}
答案C
解析由|x－a|1得－1x－a1，
即a－1xa＋1.
由圖可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|x24}，N＝{x|2x－1≥1}，則右圖中陰影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1x≤2}D．{x|x2}
答案C
解析題圖中陰影部分可表示為(UM)∩N，集合M為{x|x2或x－2}，集合N為{x|1x≤3}，由集合的運(yùn)算，知(UM)∩N＝{x|1x≤2}．
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011紹興模擬)設(shè)集合A＝{1,2}，則滿足A∪B＝{1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù)是________．
答案4
解析由題意知B的元素至少含有3，因此集合B可能為{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009天津)設(shè)全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(UB)＝{m|m＝2n＋1，
n＝0,1,2,3,4}，則集合B＝________.
答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(UB)＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010江蘇)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝____.
答案1
解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011煙臺(tái)模擬)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B.
解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x0}＝{x|x－3或x0}．(6分)
如圖所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R.(9分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}
＝{x|－6≤x－3，或0x≤1}．(12分)
10．(12分)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解當(dāng)a＝0時(shí)，顯然BA；(2分)
當(dāng)a0時(shí)，
若BA，如圖，
則4a≤－12，－1a2，(5分)
∴a≥－8，a－12.∴－12a0；(7分)
當(dāng)a0時(shí)，如圖，若BA，
則－1a≤－12，4a≥2，(9分)

∴a≤2，a≤2.∴0a≤2.(11分)
綜上知，當(dāng)BA時(shí)，－12a≤2.(12分)
11．(14分)(2011岳陽模擬)已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}，
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求實(shí)數(shù)m的值．
解由x－5x＋1≤0，
所以－1x≤5，所以A＝{x|－1x≤5}．(3分)
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，B＝{x|－1x3}，
則RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因?yàn)锳＝{x|－1x≤5}，
A∩B＝{x|－1x4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此時(shí)B＝{x|－2x4}，符合題意，
故實(shí)數(shù)m的值為8.(14分)

高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案（含答案）

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
學(xué)案13導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的導(dǎo)數(shù)．熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c，xm(m為有理數(shù))，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導(dǎo)數(shù))，能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．
自主梳理
1．函數(shù)的平均變化率
一般地，已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，商________________________＝ΔyΔx稱作函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率．
2．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率______________通常稱為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f′(x0)，即______________________________．
(2)幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))的____________．
導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的值域即為__________________．
3．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作____________．
4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝Cf′(x)＝______
f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)
F(x)＝sinxf′(x)＝__________
F(x)＝cosxf′(x)＝____________
f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝____________(a0，a≠1)
f(x)＝exf′(x)＝________
f(x)＝logax(a0，a≠1，且x0)f′(x)＝__________(a0，a≠1，且x0)
f(x)＝lnxf′(x)＝__________

5．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；
(2)[f(x)g(x)]′＝______________；
(3)fxgx′＝______________[g(x)≠0]．
6．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)u＝φ(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux′＝φ′(x)，函數(shù)y＝f(u)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu′＝f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且y′x＝y(tǒng)′uu′x，或?qū)懽鱢′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．
自我檢測(cè)
1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1＋Δx，2＋Δy)，則ΔyΔx為()
A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2
C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx
2．設(shè)y＝x2ex，則y′等于()
A．x2ex＋2xB．2xex
C．(2x＋x2)exD．(x＋x2)ex
3．(2010全國(guó)Ⅱ)若曲線y＝x－12在點(diǎn)(a，a－12)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a等于()
A．64B．32C．16D．8
4．(2011臨汾模擬)若函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是32，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()
A．－ln22B．－ln2
C.ln22D．ln2
5．(2009湖北)已知函數(shù)f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，則f(π4)＝________.
探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)f(x)＝1x在x＝1處的導(dǎo)數(shù)；
(2)f(x)＝1x＋2.

變式遷移1求函數(shù)y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導(dǎo)函數(shù)．

探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；
(3)y＝xex；(4)y＝tanx.

變式遷移2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.

探究點(diǎn)三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例3(2011莆田模擬)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝11＋x2；
(3)y＝lnx2＋1；(4)y＝xe1－cosx.

變式遷移3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝11－3x4；
(2)y＝sin22x＋π3；
(3)y＝x1＋x2.

探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義
例4已知曲線y＝13x3＋43.
(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程；
(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程．

變式遷移4求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點(diǎn)的切線方程．

1．準(zhǔn)確理解曲線的切線，需注意的兩個(gè)方面：
(1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．
(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，如曲線y＝x3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y＝0的兩側(cè)．
2．曲線的切線的求法：
若已知曲線過點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解．
(1)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成：
第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；
第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．
3．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知函數(shù)f(x)＝2ln(3x)＋8x，則f1－2Δx－f1Δx的值為()
A．10B．－10C．－20D．20
2．(2011溫州調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的部分圖象，則函數(shù)g(x)＝lnx＋f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()
A.14，12B．(1,2)
C.12，1D．(2,3)
3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()
A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0
4．(2010遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y＝4ex＋1上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()
A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π
5．(2011珠海模擬)在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)||x2－x1|恒成立”的只有()
A．f(x)＝1xB．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2xD．f(x)＝x2
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為s＝13t3－32t2＋2t，那么速度為零的時(shí)刻是__________．
7．若點(diǎn)P是曲線f(x)＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為________．
8．設(shè)點(diǎn)P是曲線y＝x33－x2－3x－3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線中，斜率取得最小值時(shí)的切線方程是__________________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)求下列函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．
(1)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；
(2)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.

10．(12分)(2011保定模擬)有一個(gè)長(zhǎng)度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4m時(shí)，梯子上端下滑的速度．

11．(14分)(2011平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

自主梳理
1.
2.（1）(2)切線的斜率切線斜率的取值范圍
3.y′或f′(x)
4．0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x
5．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)f′xgx－fxg′x[gx]2
自我檢測(cè)
1．C2.C3.A4.D
5．1
解析∵f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，
∴f′(π4)＝2－1.
∴f(π4)＝1.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式ΔyΔx中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)Δx，從而分子分母相約分．
(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時(shí)用“分母有理化”，有時(shí)用“分子有理化”．
(3)注意在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)定義式的區(qū)別：
；
；
(4)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為：
①求函數(shù)的增量Δy；②求平均變化率ΔyΔx；③化簡(jiǎn)取極限．
解(1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx
＝
＝
＝
＝，
∴
＝－12.
(2)ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx
＝
＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx
＝－1x＋2x＋2＋Δx，
∴
＝－1x＋22.
變式遷移1解∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1
＝x0＋Δx2＋1－x20－1x0＋Δx2＋1＋x20＋1
＝2x0Δx＋Δx2x0＋Δx2＋1＋x20＋1，
∴ΔyΔx＝2x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1.
∴
∴y=
＝2x2x2＋1＝xx2＋1.
例2解題導(dǎo)引求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式．對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形．
解(1)∵y＝(1－x)1＋1x
＝1x－x＝，
∴y′＝
＝.
(2)y′＝lnxx′＝lnx′x－x′lnxx2
＝.
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
(4)y′＝sinxcosx′＝sinx′cosx－sinxcosx′cos2x
＝cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.
變式遷移2解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3ex＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(3)y′＝lnx′x2＋1－lnxx2＋1′x2＋12
＝1xx2＋1－lnx2xx2＋12＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12.
例3解題導(dǎo)引(1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為：
分解復(fù)合關(guān)系→分解復(fù)合關(guān)系→分層求導(dǎo)
(2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程．
解(1)y′＝[(1＋sinx)2]′
＝2(1＋sinx)(1＋sinx)′
＝2(1＋sinx)cosx
＝2cosx＋sin2x.
(2)y′＝′
(3)y′＝(lnx2＋1)′
＝1x2＋1(x2＋1)′
＝1x2＋112(x2＋1)－12(x2＋1)′
＝xx2＋1.
變式遷移3解(1)設(shè)u＝1－3x，y＝u－4.
則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝－4u－5(－3)
＝121－3x5.
(2)設(shè)y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，
則yx′＝y(tǒng)u′uv′vx′＝2ucosv2
＝4sin2x＋π3cos2x＋π3
＝2sin4x＋2π3.
(3)y′＝(x1＋x2)′
＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′
＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.
例4解題導(dǎo)引(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異；過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)．
(2)求函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率，只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可．
(3)解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．
解(1)∵y′＝x2，
∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.
∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為
y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)設(shè)曲線y＝13x3＋43與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)Ax0，13x30＋43，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x20.
∴切線方程為y－13x30＋43＝x20(x－x0)，
即y＝x20x－23x30＋43.
∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4＝2x20－23x30＋43，
即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，
∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則
切線的斜率為k＝x20＝1，解得x0＝±1，
故切點(diǎn)為1，53，(－1,1)．
故所求切線方程為y－53＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
變式遷移4解f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線的斜率為k.
(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x.
(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①
又k＝y(tǒng)0x0＝x20－3x0＋2，②
由①②得x0＝32，k＝－14.
∴所求曲線的切線方程為y＝－14x.
綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點(diǎn)的切線方程為
y＝2x或y＝－14x.
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.C3.A4.D5.A
6．1秒或2秒末
7.2
8．12x＋3y＋8＝0
9．解(1)∵f′(x)＝2ex1－x′＝2ex′1－x－2ex1－x′1－x2
＝22－xex1－x2，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分)
(2)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′
＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)
10．解設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米，
則s＝5－25－9t2，
當(dāng)下端移開1.4m時(shí)，……………………………………………………………………(3分)
t0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分)
又s′＝－12(25－9t2)－12(－92t)
＝9t125－9t2，…………………………………………………………………………(10分)
所以s′(t0)＝9×715125－9×7152
＝0.875(m/s)．
故所求的梯子上端下滑的速度為0.875m/s.……………………………………………(12分)
11．解(1)因?yàn)閒′(x)＝x－ax(x0)，……………………………………………………(2分)
又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，
所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，……………………………………………………………（5分）
解得a＝2，b＝－2ln2.……………………………………………………………………(7分)
(2)若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，
則f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)
即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．
所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)雙曲線學(xué)案含答案

學(xué)案52雙曲線

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．
自主梳理
1．雙曲線的概念
平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫________．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a0，c0；
(1)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________；
(2)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________；
(3)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

圖形

性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線y＝±bax
y＝±abx

離心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線為________________，其漸近線方程為________，離心率為________．
自我檢測(cè)
1．(2011安徽)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知雙曲線x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(3，y0)在該雙曲線上，則PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武漢調(diào)研)已知點(diǎn)(m，n)在雙曲線8x2－3y2＝24上，則2m＋4的范圍是__________________．
5．已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線x24－y212＝1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用
例1已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程．

變式遷移1已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
探究點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式遷移2(2011安慶模擬)已知雙曲線與橢圓x29＋y225＝1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于145，則雙曲線的方程為____________．
探究點(diǎn)三雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例3已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；
(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。?/p>

變式遷移3已知雙曲線C：x22－y2＝1.
(1)求雙曲線C的漸近線方程；
(2)已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．記λ＝MP→MQ→，求λ的取值范圍．
方程思想的應(yīng)用
例(12分)過雙曲線x23－y26＝1的右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面積；
(3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度審題(1)要求弦長(zhǎng)|AB|需要A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長(zhǎng)公式，這就需要先求直線AB；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點(diǎn)在雙曲線上這個(gè)條件．
【答題模板】
(1)解由雙曲線的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．
直線AB的方程為y＝33(x－3)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直線AB的方程變形為3x－3y－33＝0.
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離為d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)證明
如圖，由雙曲線的定義得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思維障礙】
寫出直線方程，聯(lián)立直線方程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|，再求點(diǎn)O到直線AB的距離從而求面積，最后利用雙曲線的定義求證等式成立．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在直線和雙曲線相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式Δ0，而導(dǎo)致錯(cuò)解．
1．區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．
2．雙曲線x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的漸近線方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的漸近線方程是y＝±abx.
3．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系數(shù)法，其步驟是：①定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；②設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()
A．雙曲線B．雙曲線左邊一支
C．雙曲線右邊一支D．一條射線
2．設(shè)點(diǎn)P在雙曲線x29－y216＝1上，若F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長(zhǎng)等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011寧波高三調(diào)研)過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()
A.2B.3C．2D.5
4．雙曲線x2a2－y2b2＝1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是()
A．相交B．相離C．相切D．內(nèi)含
5．(2011山東)已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011上海)設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線y2m－x29＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________.
7．設(shè)圓過雙曲線x29－y216＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為______．
8．(2011銅陵期末)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：
(1)與雙曲線x29－y216＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(－3，23)；
(2)與雙曲線x216－y24＝1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(32，2)．

10．(12分)(2011廣東)設(shè)圓C與兩圓(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點(diǎn)M(355，455)，F(xiàn)(5，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

11．(14分)(2010四川)已知定點(diǎn)A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線l：x＝12，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N.
(1)求E的方程；
(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

學(xué)案52雙曲線
自主梳理
1．雙曲線焦點(diǎn)焦距(1)ac雙曲線(2)a＝c兩條射線(3)ac3.等軸雙曲線y＝±xe＝2
自我檢測(cè)
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依題意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴當(dāng)滿足|PF1|＋|PA|最小時(shí)，|PF|＋|PA|最小．
由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線時(shí)，滿足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值為|AF1|＝5，
故所求最小值為9.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性．
解設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由雙曲線的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下半支上．
所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
變式遷移1解
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以
C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴點(diǎn)M的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解題導(dǎo)引根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選取方程的形式，當(dāng)焦點(diǎn)不能定位時(shí)，則應(yīng)分兩種情況討論．解決本題的方法有兩種：一先定位，避免了討論；二利用其漸近線的雙曲線系，同樣避免了對(duì)雙曲線方程類型的討論．在共漸近線的雙曲線系x2a2－y2b2＝λ(參數(shù)λ≠0)中，當(dāng)λ0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λ0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．
解方法一∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2yp＝3，
∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．
從而有ab＝12，∴b＝2a.
設(shè)雙曲線方程為y2a2－x24a2＝1，
由于點(diǎn)P(4,3)在此雙曲線上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴雙曲線方程為y25－x220＝1.
方法二∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴雙曲線的漸近線方程為x24－y2＝0.
設(shè)雙曲線方程為x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線過點(diǎn)P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求雙曲線方程為x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
變式遷移2y24－x212＝1
解析由于在橢圓x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±4)，離心率e＝45.根據(jù)題意知，雙曲線的焦點(diǎn)也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，±4)，且其離心率等于145－45＝2.故設(shè)雙曲線的方程為y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線的方程為y24－x212＝1.
例3解題導(dǎo)引雙曲線問題與橢圓問題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點(diǎn)”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－5,0)，
F2(5,0)，離心率e＝53，
漸近線方程為y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
變式遷移3解(1)因?yàn)閍＝2，b＝1，且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范圍是(－∞，－1]．
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵雙曲線x2a2－y2b2＝1的漸近線方程為y＝±bax，
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為C(3,0)．
又漸近線方程與圓C相切，
即直線bx－ay＝0與圓C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦點(diǎn)F2(a2＋b2，0)為圓心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知條件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由題意可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，
(2分)
設(shè)雙曲線的方程為x2a2－y2b2＝1，
由題意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以雙曲線的方程為49x2－y24＝1.(6分)
方法二設(shè)所求雙曲線方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
將點(diǎn)(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以雙曲線方程為x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)設(shè)雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1.由題意c＝25.(8分)
又雙曲線過點(diǎn)(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求雙曲線的方程為x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.
圓(x＋5)2＋y2＝4的圓心為F1(－5，0)，半徑為2，
圓(x－5)2＋y2＝4的圓心為F(5，0)，半徑為2.
由題意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圓C的圓心軌跡是以F1(－5，0)，F(xiàn)(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為x24－y2＝1.(6分)
(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直線MF的方程為y＝－2x＋25，與雙曲線方程聯(lián)立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此時(shí)y＝－255.(11分)
∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(655，－255)．(12分)
11．解(1)設(shè)P(x，y)，
則x－22＋y2＝2x－12，
化簡(jiǎn)得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，與雙曲線方程x2－y23＝1聯(lián)立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由題意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，
則x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因?yàn)閤1，x2≠－1，
所以直線AB的方程為y＝y(tǒng)1x1＋1(x＋1)．
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝2，則B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程為y＝x＋1，
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為12，32，F(xiàn)M→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
綜上，F(xiàn)M→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)F.(14分)