小學(xué)一年級數(shù)學(xué)的教案

八年級數(shù)學(xué)上冊15.2.2分式的加減（人教版）。

15.2.2分式的加減
第1課時分式的加減運算

【教學(xué)目標(biāo)】
1.經(jīng)歷探索分式加減運算法則的過程，理解其算法、算理，會進行簡單分式的加減運算，具有一定的代數(shù)化歸能力.
2.學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)運算方法和技巧，提高運算能力，增強“用數(shù)學(xué)”的意識.
【重點難點】
重點：分式的加減運算.
難點：異分母的分式加減法運算.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問題1：分式是如何進行乘除的？它們與分?jǐn)?shù)乘除類似嗎？
ba×dc＝bdac，ba÷dc＝bacd＝bcad，它們與分?jǐn)?shù)的乘除類似.
問題2：從完善運算的角度出發(fā)，分式的運算還需要研究什么嗎？
數(shù)的運算有加、減、乘、除、乘方，估計分式的運算也有這類運算，所以估計還需要研究分式的加減運算.
問題3：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3km，其中第一條是平路，第二條有1km的上坡路，2km的下坡路，小麗在上坡路上的騎車速度為vkm/h，在平路上的騎車速度為2vkm/h，在下坡路上的騎車速度為3vkm/h，那么
(1)當(dāng)走第二條路時，她從甲地到乙地需要多長時間？
(2)她走哪條路花費時間少？少用多長時間？
師：當(dāng)小麗從甲地到乙地走第二條路時需要多少時間？用式子表示為？
生：.
師：小麗走哪條路花費時間少？怎么比較？
生：作差比較，用式子表示為
師：以上兩個式子你會計算嗎？涉及什么運算？
生：分式的加法和減法，現(xiàn)在還不會.
師順勢點題：那我們現(xiàn)在就來一起學(xué)習(xí)分式的加減.通過問題導(dǎo)引，從知識的發(fā)展所需和實際問題的解決所求，營造出探索未知領(lǐng)域的氛圍.以回顧分式的乘除法則為起點，類比分?jǐn)?shù)的運算，通過一個貼近學(xué)生生活的實際問題打破認(rèn)知平衡，不論是情景問題的解決還是分式運算的完善，都能讓學(xué)生順其自然地感受到分式的加減運算“勢在必學(xué)”.
二、師生互動，探究新知
活動1：找朋友(把運算結(jié)果相等的找出來)：
①45－15；②215＋815；③43＋23；④23；⑤2；⑥35.
在找朋友的過程中，復(fù)習(xí)了同分母的分?jǐn)?shù)的加減運算及算法：同分母分?jǐn)?shù)相加減時，分母不變，分子相加減.用符號表示為ac±bc＝a±bc(☆).
活動2：繼續(xù)找朋友(剛才是在數(shù)中找朋友，換成式呢)：
①4m；②3a－1a；③7m－3m；④3n－1－2n－1；⑤1n－1；⑥2a.
有了活動1的引導(dǎo)，估計學(xué)生不難得出，朋友分別是：①與③，②與⑥，④與⑤.
可通過追問：“你們是怎樣得到的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與式的內(nèi)在聯(lián)系.
只要將式☆中的a，b，c由數(shù)轉(zhuǎn)換成整式即可，至此得到同分母分式的加減法法則：分母不變，分子相加減.式子與數(shù)一樣.
活動3：
計算：(1)(教材上的例6(1))5x＋3yx2－y2－2xx2－y2；(2)yx－y＋xy－x；
(3)2xy2＋1（x－y）2－1＋2x2y（y－x）2.
解：(1)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3yx2－y2＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.
(2)yx－y＋xy－x＝y(tǒng)x－y＋x－（x－y）＝y(tǒng)x－y－xx－y＝y(tǒng)－xx－y＝－（x－y）x－y＝－1.
(3)2xy2＋1（x－y）2－1＋2x2y（y－x）2＝2xy2＋1（x－y）2－1＋2x2y（x－y）2＝2xy2＋1－（1＋2x2y）（x－y）2＝2xy2－2x2y（x－y）2＝－2xy（x－y）（x－y）2＝－2xyx－y.
(1)是同分母分式的加減法，學(xué)生可以獨立完成，但要注意最后的化簡；(2)(3)實際上是(1)的變式，教學(xué)時注意引導(dǎo)：
①它們能直接運算嗎？
不能，因為它們的分母不相同.
②怎樣處理后能進行運算？
化為同分母，也就是通分.
完成后，提出問題：從上述問題的解決過程中你覺得分式加減要注意什么？
①要注意把不同分母化為同分母；
②相反因式的奇偶次數(shù)要分清，奇次冪仍為相反因式，偶次冪變成相同的因式；
③要注意符號的變化；
④加減步驟完成后要看分式是否已化為最簡.
活動4：有了前面的經(jīng)驗，你能計算yx－y＋xx＋y嗎？
學(xué)生試做，完成后引導(dǎo)學(xué)生歸納異分母分式的加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.用式子表示為ab±cd＝adbd±bcbd＝ad±bcbd.
設(shè)置這兩個找朋友的活動的目的是為了促成同分母分?jǐn)?shù)加減運算的正遷移，以實現(xiàn)數(shù)式轉(zhuǎn)換.

活動3中，由于異分母運算是難點，(2)(3)兩小題在做好引導(dǎo)的前提下要敢于放手，學(xué)生在試做的過程中，估計會暴露問題，此時可通過學(xué)生的辨析自行明晰，便于分散突破本節(jié)的難點.過程中要注意反問的引導(dǎo)，完成后要發(fā)揮反思?xì)w納的作用，(2)題就是一個異分母的特例，通過此題的解決，讓學(xué)生從特殊到一般自然地意識到異分母分式加減時必須先化為同分母，為比較復(fù)雜的異分母的出場掃清了障礙.活動4把真正的異分母提出，可通過學(xué)生嘗試后交流獲得異分母加減法則.
三、運用新知，解決問題
1.計算：(1)12p＋3q＋12p－3q；
(2)3x＋2＋12－x＋2xx2－4；
(3)2x2x－1－x－1.
第(1)小題學(xué)生解答應(yīng)該沒有問題；第(2)小題有一定的綜合性，可把分母的各多項式按x的降冪排列，再將能分解因式的實施分解，找最簡公分母，轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法；(3)難度不大，但比較特殊，是一個整式與一個分式相加減，對初學(xué)的學(xué)生而言可能產(chǎn)生阻力，應(yīng)把這個整式看作一個分母是1的式子來進行通分，注意－x－1＝－(x＋1)，負(fù)號問題不容忽視.
2.教材第141頁練習(xí)2.遞進式的三個計算，使學(xué)生的思維不斷面對新的挑戰(zhàn)，鍛煉學(xué)生的計算技能與轉(zhuǎn)化意識.要引導(dǎo)學(xué)生通過反思得到異分母的分式加減法的一般步驟：(1)通分，將異分母的分式化成同分母的分式；(2)寫成“分母不變，分子相加減”的形式；(3)分子去括號，合并同類項；(4)分子、分母約分，將結(jié)果化成分式的最簡形式或整式的形式.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？在知識應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
必做題：教材第146頁、147頁第4，5，12題
選做題：教材第147頁第13，15題

【教學(xué)反思】
本設(shè)計的特點突出表現(xiàn)在：
(1)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)組織教學(xué)，類比分?jǐn)?shù)的加減運算，促成正向遷移，同化新知，鞏固新知.培根說過：類比聯(lián)想，支配發(fā)明.可見，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會類比將受益終生.
(2)把情境創(chuàng)設(shè)貫穿于課堂的始終，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思、學(xué)會歸納，有助于內(nèi)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略方法，提高認(rèn)知水平.
jAB88.COm

第2課時分式的混合運算

【教學(xué)目標(biāo)】
1.明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算.
2.通過嘗試性練習(xí)，經(jīng)歷運算順序的探索過程，學(xué)會類比分?jǐn)?shù)的運算并遷移到分式運算中去.能利用事物之間的類比性分析問題、解決問題.
3.通過學(xué)習(xí)混合運算以及在生活中的應(yīng)用，知道任何事物之間是相互聯(lián)系的，理論來源于實踐，服務(wù)于實踐.
【重點難點】
重點：熟練地進行分式的混合運算.
難點：熟練地進行分式的混合運算.
┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
請同學(xué)們計算下列題目：
(1)a2a－b－b2a－b；(2)2aa2－4＋12－a；
(3)；(4)a2－48a2b12ab3a－6.
解：(1)a2a－b－b2a－b＝a2－b2a－b＝（a＋b）（a－b）a－b＝a＋B.
(2)2aa2－4＋12－a＝2aa2－4－1a－2＝2a（a－2）（a＋2）－a＋2（a－2）（a＋2）＝2a－（a＋2）（a－2）（a＋2）＝a－2（a－2）（a＋2）＝1a＋2.
(3)＝a69x2y4÷＝－8a3x49y7.
(4)a2－48a2b12ab3a－6＝（a＋2）（a－2）8a2b12ab3（a－2）＝a＋22a.
首先引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、思考，然后讓學(xué)生獨立練習(xí)，完成后小組交流.
二、師生互動，探究新知
問題1：以上四個題目分別涉及分式的什么運算？
(1)是同分母分式的減法運算；(2)是異分母分式的加法運算；(3)是分式的除法與乘方的混合運算；(4)是分式的乘法運算.
督促學(xué)生養(yǎng)成解題前仔細(xì)審題的習(xí)慣，為方法策略的選擇提供判斷的依據(jù).
問題2：它們涉及的運算法則我們熟悉嗎？說說看！并用公式表示.
都是我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它們涉及的運算法則有：
①分式的乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.abcd＝acbd.
②分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和被除式相乘.ab÷cd＝abdc＝adbc.
③分式的乘方法則：分式的乘方，把分子分母分別乘方＝anbn(n為正整數(shù)).
④同分母分式的加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.ac±bc＝a±bc.
⑤異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變成同分母分式，再加減.ab±cd＝adbd±bcbd＝ad±bcbd.
問題3：你會計算1a－b－ab÷b4嗎？
學(xué)生嘗試練習(xí)，老師巡回指導(dǎo)，捕捉有關(guān)信息，生成教學(xué)資源，類比仍然發(fā)揮作用，在交流中達(dá)成共識，式與數(shù)有相同的混合運算順序：
在進行分式混合運算時，要注意運算順序，在沒有括號的情況下，按從左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加減.有括號要按先小括號，再中括號，最后大括號的順序.混合運算后的結(jié)果分子、分母要進行約分，注意最后的結(jié)果要是分式
的最簡形式或整式.
拓展延伸
拓展一：用兩種方法計算：x2－4x.
分析：方法一：按運算順序，先計算括號里的算式；方法二：利用乘法分配律.
總結(jié)：解題不要拘泥于基本思路，要善于捕捉有用信息，根據(jù)題目的特點，選擇合適的方法靈活處理，可能會收到事半功倍的效果.
拓展二：若x－3（x＋1）（x－1）＝Ax＋1＋Bx－1恒成立，求A，B的值.
分析：本題把一個真分式化成兩個部分分式之和的形式，這里A和B都是待定系數(shù)，待定系數(shù)可根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)來求解.通過學(xué)生的獨立練習(xí)，把相關(guān)的法則進行盤點，為新知的探索奠定堅實的基礎(chǔ)，而問題3亦即教材的例7，為了鞏固新成果，增強訓(xùn)練的力度，使學(xué)生熟練掌握分式的混合運算，在教材練習(xí)的前提下，補充一個帶括號的化簡求值題.具體教學(xué)要注意細(xì)節(jié)的指導(dǎo).

通過題目喚起舊知，避開了泛泛回顧基本知識的弊端，讓學(xué)生在具體解題應(yīng)用中加深對舊知的認(rèn)識，然后把新知嵌于嘗試練習(xí)問題3中，在生生、師生的立體交流中推出分式的四則混合運算法則及運算的順序.
設(shè)置兩個拓展題，其一是期望通過兩個方法在鞏固分式混合運算的同時，督促學(xué)生在對比中開闊思路，進而找到合適的方法，以提高速度與準(zhǔn)確率；其二是體現(xiàn)分式混合運算的應(yīng)用并綜合了方程思想，對學(xué)生而言，具有一定的挑戰(zhàn)性.
三、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？在知識應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
四、布置作業(yè)，鞏固提升
必做題：教材第146頁第6題
選做題：教材第147頁第16題
2.已知：x＋y＋z＝3y＝2z，求xx＋y＋z的值.
3.已知：1x－1y＝3，求2x＋3xy－2yx－2xy－y的值.

【板書設(shè)計】
分式的混合運算
分式的乘法法則
分式的除法法則
分式的乘方法則
同分母分式的加減法法則
異分母分式的加減法法則
拓展一：
拓展二：
【教學(xué)反思】
分式的四則混合運算是分式這一章的重點，主要是會進行基本的運算，而不是計算的繁和難，從本節(jié)的教學(xué)設(shè)計中可以看出，它立足基本運算，通過拓展的方式適當(dāng)增加了題目，給了學(xué)生更多的施展空間，以利于學(xué)生熟練掌握分式的運算法則，掌握算理，弄清運算依據(jù)，做到步步有據(jù)，減少計算的錯誤率.

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【自習(xí)自疑】一、閱讀教材內(nèi)容，思考并回答下面的問題分式的加減、乘除、乘方混合運算必須遵循運算順序，即先算 ，再算 ，最后算 。如果有括號，按照 、 、 的順序，先做括號內(nèi)的運算再做括號外的運算。如果分子分母中有多項式，通常需要分解因式，然后約分、通分或者綜合考慮各種方法進行分解、化簡。二、預(yù)習(xí)評估

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八年級數(shù)學(xué)上冊15.3分式方程（人教版）

15.3分式方程
第1課時解分式方程
【教學(xué)目標(biāo)】
1.通過經(jīng)歷實際問題→列分式方程→探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現(xiàn)實世界的模型，發(fā)展學(xué)生分析問題解決問題的能力，增強“用數(shù)學(xué)”的意識.
2.理解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程.
3.通過學(xué)習(xí)分式方程的解法，使學(xué)生理解解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.
4.了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握解分式方程驗根的方法.
【重點難點】
重點：正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程.
難點：產(chǎn)生增根的原因.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問題1：課件出示本章引言中的問題.
讓學(xué)生獨立思考，回憶以往所學(xué)知識，順勢復(fù)習(xí)分式以及方程的相關(guān)知識.
問題2：為了幫助遭受地震的災(zāi)區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款.已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等.如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？
有了問題1，估計問題2學(xué)生能輕松拿下，得到答案.
至此得到兩個方程：9030＋v＝6030－v，4800x＝5000x＋20.
議一議：上面所得到的方程是我們以前學(xué)過的方程嗎？以前我們學(xué)過什么方程？試舉例說明.
明確：不是，以前學(xué)過一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.
比一比：以前學(xué)過的方程與上面剛得到的兩個方程有什么不同？
以前學(xué)過的都是整式方程，里面沒有分式，而剛才的兩個方程都含分式，且有未知數(shù)處在分母的位置上.
說一說：你能嘗試給它一個名字嗎？說一說命名的原因.
估計學(xué)生能答出——分式方程，因為里面含有分式.
想一想：方程12x＋13(x＋1)＝16是不是分式方程？為什么？你能歸納出分式方程的概念嗎？
不是，因為它不含分式，分母中沒有未知數(shù).
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
師總結(jié)：分式方程和我們以前研究的一(二)元一次方程一樣能刻畫現(xiàn)實世界，是一種反映現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型，但它從形式上又與它們不同：分母中含有未知數(shù).要使上述2個問題得到真正的解決，則必須想方設(shè)法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我們就一起來學(xué)習(xí)“分式方程的解法”.問題1是本章章前的引例，以此實際問題復(fù)習(xí)分式及方程的有關(guān)知識，避開了生拖硬拽，順乎學(xué)生的心理需求；考慮到一個方程不足以引起學(xué)生的心理指向，于是設(shè)置了問題2，二者合起來，為分式方程的現(xiàn)身提供了“物質(zhì)”載體.
二、師生互動，探究新知
問題1：試解分式方程：(1)9030＋v＝6030－v；(2)4800x＝5000x＋20.
為了解決本問題，請同學(xué)們先思考并回答以下問題：
(1)回顧一下一元一次方程是怎么去分母的，從中能否得到一點啟發(fā)？
可師生共解方程3x－12＋5x＋23＝2.
(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想辦法去掉分式方程的分母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，基本形成求解的思路，抓住時機讓學(xué)生嘗試練習(xí)，兩中等生板演.
由于長時間解整式方程的慣性，檢驗環(huán)節(jié)已經(jīng)淡化，估計學(xué)生會忘記檢驗.
師：在學(xué)生完成后，概括出：
解分式方程的過程實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.
至此，雖然不完善，但已經(jīng)通過模仿解決了怎樣化“整”的問題，應(yīng)肯定學(xué)生所為，并通過巡視、交流發(fā)現(xiàn)問題，尤其要抓住去分母的關(guān)鍵——確定最簡公分母.著重提煉出求解的基本思想以及與含分母的整式方程的差異.接著為了突出檢驗的必要性，完善解分式方程的步驟，特出示以下練習(xí)：
試一試：解方程1x－1＝2x2－1.
學(xué)生易得：
方程兩邊同乘以(x＋1)(x－1)，約去分母，得
x＋1＝2.
解這個整式方程，得
x＝1.
反問：x＝1真是原分式方程的解嗎？
督促學(xué)生進行檢驗、反思.學(xué)生通過代回發(fā)現(xiàn)：x＝1時，原方程的分母為0，分式根本沒有意義，產(chǎn)生困惑：問題出在哪里？
組織學(xué)生討論，達(dá)成共識：問題只能出現(xiàn)在“去分母”這一步，其他步驟一點問題都沒有.師捕住時機，提出問題2.
問題2：同樣是分式方程，前面解的兩個方程為什么沒有碰到這樣的麻煩？解一元一次方程為什么也沒有這些麻煩？具體一些，就是為什么9030＋v＝6030－v去分母后所得整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的解，而1x－1＝2x2－1去分母后所得整式方程x＋1＝2的解卻不是原分式方程的解呢？
真理愈辯愈明，通過學(xué)生們思想的交流、思維的碰撞，在相互補遺和老師的參與下明朗起來：
因為在去分母時，兩邊乘了一個含未知數(shù)的整式，是否為零是事先不知道的，我們實際上是假定不為零來操作的，而第一個方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避開了麻煩，而1x－1＝2x2－1去分母后所得整式方程的解恰好使得兩邊乘的整式“(x＋1)(x－1)”等于零，這樣就擴大了未知數(shù)的范圍，以致出現(xiàn)分母為零的現(xiàn)象，因此x＝1只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程無解.整式方程在去分母時，兩邊乘以的數(shù)是否為零一目了然，自然不會遇到以上的麻煩.由此得出結(jié)論，解分式方程必須檢驗.
問題3：解分式方程，如何檢驗？
組織學(xué)生討論，由于有了前面解方程的基本經(jīng)驗和剛才的辯論，估計學(xué)生能作答.
方法一：和整式方程的檢驗一樣，將去分母后獲得的整式方程的解代入原方程的左右兩端，看它們是否相等.
方法二：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.設(shè)置問題1，蘊藏矛盾，通過嘗試練習(xí)挑起矛盾，設(shè)置問題2，3深化矛盾，引導(dǎo)學(xué)生刨根問底化解矛盾，在反思中形成解分式方程的方法、步驟.
三、運用新知，解決問題
1.解方程：2x－3＝3x.
分析：題小能量大，注意挖掘，鼓勵學(xué)生算法的多樣性.思路一：方程兩邊同乘最簡公分母x(x－3)；思路二：利用比例的性質(zhì)“內(nèi)項之積等于外項之積”；思路三：利用“分式的基本性質(zhì)”，左右通分，得2xx（x－3）＝3（x－3）x（x－3）再求解.
2.解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.
完成后，提出思考題：
1.由以上兩個例子及前面的解題經(jīng)歷，請同學(xué)們歸納解分式方程的基本思想、基本方法和基本步驟.
2.你推測一下，可化為一元一次方程的分式方程的解的情況.
明確：
1.(1)基本思想：分式方程――→去分母整式方程.
(2)基本方法：方程兩邊乘以最簡公分母.
(3)基本步驟：①在方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程(一元一次方程)；②解這個整式方程；③檢驗.
2.此類分式方程要么有一解，要么無解，兩種可能.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
在探索中遇到困難，你是怎么辦的？對自己在本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進行反思、評價.本節(jié)課你能提出什么問題？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
必做題：教材第154頁復(fù)習(xí)鞏固1
選做題：解方程：(1)3x2－2x＋1＝2（x－1）2＋4x－11－x2；
(2)xx－2－2xx－3＝1－x2x（x－5）＋6.

【板書設(shè)計】
解分式方程
9030＋v＝6030－v4800x＝5000x＋20
一般步驟：
①去分母；
②求解；
③檢驗.
【教學(xué)反思】
本設(shè)計首先創(chuàng)設(shè)出生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)學(xué)、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的過程，體會分式方程的模型作用，以及分式方程解法的過程，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗根的合理性.

第2課時分式方程的實際應(yīng)用

【教學(xué)目標(biāo)】
1.會列分式方程解決比較簡單的實際問題并能檢驗根的合理性.
2.以工程問題為例，能將此類實際問題中的相等關(guān)系用分式方程表示，提高運用方程思想解決問題的能力.
【重點難點】
重點：實際生活中相關(guān)工程問題類的分式方程應(yīng)用題的分析應(yīng)用.
難點：將實際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示并且求得結(jié)果.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問題1：快速解方程.
(1)x－8x－7－17－x＝8；(2)7x2＋x＋1x2－x＝6x2－1.
反思1：解分式方程的基本思路和步驟是什么？
反思2：解分式方程與解整式方程的根本區(qū)別是什么？
問題2：你能解決如下實際問題嗎？
某運輸公司需要裝一批貨物，由于機械設(shè)備沒有即時到位，只好先用人工裝運，6小時完成了一半任務(wù)；后來機械裝運和人工裝運同時進行，1小時完成了后一半任務(wù).(如果設(shè)單獨采用機械裝運x小時可以完成后一半任務(wù)，那么x滿足怎樣的方程？請找出此題中存在的數(shù)量關(guān)系)基本知識是應(yīng)用能否順利進行的資本.通過問題1的解決返扣上一節(jié)的所學(xué)，為應(yīng)用的開展鋪設(shè)好“路基”.然后通過問題2，把生活中常見的工程問題擺出來.
二、師生互動，探究新知
學(xué)生交流上述問題2，達(dá)成基本共識.
等量關(guān)系：(人工裝運的工作效率＋機械裝運的工作效率)×1＝12.
由人工搬運6小時完成一半任務(wù)可知，完成整個搬運任務(wù)需要12小時，故人工單獨搬運1小時完成整個任務(wù)的112，亦即人工裝運的工作效率；由單獨采用機械裝運x小時可以完成后一半任務(wù)可知，單獨采用機械裝運完成整個搬運任務(wù)需要2x小時，故單獨采用機械裝運1小時完成整個搬運任務(wù)的12x，也就是機械裝運的工作效率.通過以上分析可得：×1＝12，即16＋1x＝1.
教師小結(jié)：客觀世界中存在著大量的問題需要用分式方程去解決，當(dāng)我們掌握好相關(guān)的知識和方法后，就可以運用它們分析和解決實際問題，這也恰恰體現(xiàn)了我們經(jīng)常談到的一個關(guān)鍵詞：“學(xué)以致用”.這一環(huán)節(jié)意在實現(xiàn)從解分式方程到列分式方程的過渡，通過答問，窺探學(xué)生的“學(xué)習(xí)現(xiàn)實”，為信息交流提供豐實的資源，以此體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷生成問題和解決問題的過程，在這個過程中把工程問題的基本規(guī)律揭示出來.
三、運用新知，解決問題
教材第152頁例3.
分析：本題沒有具體的工作量，常常把工作量虛擬為1，工作時間的單位為“月”.甲隊一個月完成總工程的13，設(shè)乙隊如果單獨施工1個月能完成總工程的1x，那么甲隊半個月完成總工程的16，乙隊半個月完成總工程的12x，兩隊半個月完成總工程的16＋12x.等量關(guān)系為：甲隊單獨做的工作量＋兩隊共同做的工作量＝總工程量1，則有13＋16＋12x＝1.

四、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？對本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進行反思、評價，你有哪些收獲？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
必做題：教材第154頁綜合運用第4、5題
選做題：1.請你根據(jù)所給方程16＋3x＝1聯(lián)系生活實際，編寫一道應(yīng)用題.
2.一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時，一天，小船從早晨6點由A港出發(fā)順流到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，1小時后找到救生圈.問：
(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時？
(2)救生圈是何時掉入水中的？

【板書設(shè)計】
列分式方程解決實際問題
工程問題：
(112＋12x)×1＝12
13＋16＋12x＝1

【教學(xué)反思】
本節(jié)課整堂精心鋪墊，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋應(yīng)用與拓展”的模式展開，選擇生動有趣的、有現(xiàn)實意義的.對學(xué)生具有一定挑戰(zhàn)性的、有助于學(xué)生實踐創(chuàng)新的內(nèi)容，使學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型描述日常生活，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)的過程，讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識，能夠自覺地用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

第3課時含字母系數(shù)的分式方程

【教學(xué)目標(biāo)】
1.會解簡單的字母系數(shù)的分式方程，能應(yīng)用分式方程的解法進行簡單的公式變形.
2.以路程問題為依托，正確分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)等量關(guān)系，進而列出分式方程，加深對方程模型的認(rèn)識.
【重點難點】
重點：通過建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展思維以及解含字母系數(shù)的分式方程.
難點：通過建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展思維以及解含字母系數(shù)的分式方程.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問題：動物趣聞
自從上次龜兔賽跑烏龜大勝兔子以后，它就成了動物界的體育明星，可是偏偏有一只螞蟻不服氣，于是它給烏龜下了一封挑戰(zhàn)書.
烏龜先生：
我與你進行比賽，兔子先生做裁判，從小柳樹開始跑到相距12米的大柳樹下，比賽槍聲響后，先到者是冠軍.
螞蟻
比賽結(jié)束后，螞蟻并沒有取勝，已知烏龜?shù)乃俣仁俏浵伒?.2倍，提前1分鐘跑到終點，請你算算它們各自的速度.本問題將分式方程的應(yīng)用鑲嵌于學(xué)生喜聞樂見的童話故事中，意在撥開學(xué)生的興趣之門，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，知趣共融，雙收雙贏.
二、師生互動，探究新知
為了幫助學(xué)生形成對此類問題清晰的思路，學(xué)會使用列表等輔助手段，特出示以下表格，讓學(xué)生填空.
設(shè)螞蟻的速度為x米/分.
速度(米/分)路程(米)時間(分)
螞蟻
烏龜
教師板書解題過程.
教學(xué)說明：在解答過程中，有關(guān)路程問題的關(guān)系式——路程＝速度×?xí)r間得到強化，為后續(xù)學(xué)習(xí)打開局面.另外，本題的思路不唯一，可根據(jù)速度關(guān)系或時間關(guān)系列方程，要注意方法的多樣化.解答完成后，要不失時機地進行德育教育，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)烏龜這種鍥而不舍的精神，做學(xué)習(xí)中的常勝將軍.有了情境帶來的興致，就容易激發(fā)學(xué)生高漲的熱情，教師要善于利用圖表幫助學(xué)生理清思路，展開充分的交流，把涉及路程問題的規(guī)律揭示出來，為后續(xù)解決問題打開局面.
三、運用新知，解決問題
1.第六次火車大提速后，從北京到上海的火車運行速度提高了25%，運行時間縮短了2h.已知北京到上海的鐵路全長為1462km.設(shè)火車原來的速度為xkm/h，則下面所列方程正確的是()
A.1462x－1462x（1＋25%）＝2B.1462x（1－25%）－1462x＝2
C.146225%x－1462x＝2D.1462x－146225%＝2
2.教材第153頁例4.
分析：本題是一個典型的行程問題，基本關(guān)系是速度＝路程時間.由于題中用字母表示已知數(shù)(量)，容易干擾學(xué)生的審題，當(dāng)然，它們的實現(xiàn)都離不開化歸思想的支持.等量關(guān)系：提速前所用的時間＝提速后所用的時間.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？你有什么收獲？還有哪些困惑？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
教材第154、155頁綜合運用第2、3、6題

【板書設(shè)計】
列分式方程解決實際問題
行程問題：
12x－121.2x＝1
sx＝s＋50x＋v

【教學(xué)反思】
本節(jié)課是在充分鉆研教材的基礎(chǔ)上，遵循新課程理念教師要創(chuàng)造性地使用教材的要求，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，選擇了學(xué)生更感興趣的、更貼近學(xué)生生活實際的教學(xué)內(nèi)容，以期讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為生動有趣的、富于創(chuàng)造性的過程，改變多數(shù)學(xué)生提起應(yīng)用題就頭疼的局面.

八年級數(shù)學(xué)上冊教15.2.1分式的乘除（人教版）

15.2.1分式的乘除
第1課時分式的乘除

【教學(xué)目標(biāo)】
1.會通過類比的方法來理解和掌握分式的乘除法法則.
2.熟練運用分式乘除法法則，將分式乘除法全部化歸為分式乘法進行計算.
3.經(jīng)歷觀察、猜想、歸納等探索分式的乘除運算法則的過程，使學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識具有普遍聯(lián)系性，并熟練掌握這一法則.
4.通過化除為乘，體會化歸的思想方法，嘗試在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的喜悅，樹立自信心.
【重點難點】
重點：熟練掌握分式的乘除法法則.
難點：進行分式的乘除運算，尤其是分子分母為多項式的分式的運算，正確體會具體的運算過程和一般步驟.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
師：請同學(xué)們閱讀、觀察下列運算：
23×45＝2×43×557×29＝5×27×9
23÷45＝23×54＝2×53×457÷29＝57×92＝5×97×2
問題1：上述運算我們熟悉嗎？它的依據(jù)是什么？
通過提問共同解決：分?jǐn)?shù)的乘除運算，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的乘除運算法則.
問題2：能用文字表述這一法則嗎？
學(xué)生往往能做但說不好，注意引導(dǎo).內(nèi)容為(屏幕顯示)：
分?jǐn)?shù)乘法法則：分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.
分?jǐn)?shù)除法法則：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再和被除數(shù)相乘.
問題3：一個長方體容器的容積為V，底面的長為a，寬為b，當(dāng)容器內(nèi)的水占容積的mn時，水高為多少？
通過提問后，列式：Vabmn.
問題4：大拖拉機m天耕地a公頃，小拖拉機n天耕地b公頃，大拖拉機的工作效率是小拖拉機的工作效率的多少倍？
通過提問后，列式：am÷bn.
完成問題3，4后，師追問：以上兩類式子是什么運算？通過問題鏈的形式制造矛盾沖突，利用“數(shù)、式通性”的類比思想引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“分式的乘除運算法則”.
二、師生互動，探究新知
問題1：分?jǐn)?shù)的乘除為我們熟悉，那分式的乘除是怎樣計算的？你能歸納出分式的乘除運算法則嗎？
學(xué)生在觀察、類比的基礎(chǔ)上，經(jīng)過討論，交流，相互補充，得出分式的乘除運算法則，教師利用大屏幕顯示，把分?jǐn)?shù)的運算法則中，“數(shù)”改為“式”即可.
分式乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.
分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和被除式相乘.
通過類比，得出：(1)分式乘除法與分?jǐn)?shù)乘除法類似；
(2)“數(shù)”變?yōu)椤笆健焙螅溥\算又有不同.
問題2：你能用字母表達(dá)式表示分式的乘除法法則嗎？
用式子表示為：ba×dc＝bdac；ba÷dc＝ba×cd＝bcad.
問題由情境而發(fā)，一個好的情境將推動學(xué)生思維觸角的延伸，由數(shù)到式是一種飛躍，是進一步抽象的體現(xiàn).瞄準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，通過問題引動學(xué)生猜測、歸納，進而獲得新知，實現(xiàn)分?jǐn)?shù)到分式的運算，開辟分式計算的領(lǐng)地.
三、運用新知，解決問題
1.計算：(1)4x3yy2x3；(2)ab32c2÷－5a2b24cd.
由學(xué)生試做，完成后同位交流，不能解決的課堂上集中解決.
注意：1.運算的步驟：(1)小題先乘后約分或先約分后乘；(2)小題先把除法化為乘法，再按乘法法則進行計算；2.分式運算的結(jié)果通常要化為分式的最簡形式或整式.
2.計算：(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a4－4；(2)149－m2÷1m2－7m.
讓學(xué)生嘗試解答，并互相交流、總結(jié)，歸納解題步驟，教師結(jié)合學(xué)生的具體活動，加以指導(dǎo).其步驟可歸納為：若是除法，先轉(zhuǎn)換成乘法，再將分子與分母分解因式，相乘后再約分，直至成為最簡.題目按梯度設(shè)置，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，便于學(xué)生的逐層把握，形成清晰的解題思路.練習(xí)1，2就是根據(jù)由簡到繁的順序安排的.練習(xí)1的分子分母都是單項式，(1)、(2)兩個小題分別對應(yīng)著分式的乘除，在熟悉法則的基礎(chǔ)上，注意約分的無處不在；練習(xí)2的分式中分子分母出現(xiàn)多項式，形式復(fù)雜了、內(nèi)涵豐富了，需要因式分解的支持.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識和數(shù)學(xué)思想？
(1)分式的乘法、除法法則及運算技能；
(2)了解數(shù)學(xué)中重要的一種思想——類比轉(zhuǎn)化思想，由分?jǐn)?shù)的乘除法類比到分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法.通過反思的形式幫助學(xué)生梳理凌亂的知識、技能以及數(shù)學(xué)思想方法.反思是提高認(rèn)知水平的重要途徑，養(yǎng)成這種好習(xí)慣，受益終生.
五、布置作業(yè)，鞏固提升
1.計算：(ab－b2)÷a2－b2a＋b.
2.化簡求值x2－6x＋9x＋1÷x2－9x2＋x，其中x2＝4.
3.給定下面一列分式：x3y，－x5y2，x7y3，－x9y4，…(其中x≠0).
(1)把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式.

【板書設(shè)計】
分式的乘除
分式的乘法法則：
分式的除法法則：
練習(xí)1.
2.
【教學(xué)反思】
本節(jié)的核心就是熟練掌握分式的乘除法法則，故而，整堂課緊緊圍繞分式的乘法運算來組織教學(xué)，重點突出.通過與分?jǐn)?shù)乘除法運算的類比，使學(xué)生較易掌握本節(jié)內(nèi)容.而難點則通過逐層推進、交流探討、適時反思的形式實現(xiàn)突破，使學(xué)生掌握正確的運算方法、運算順序.

第2課時分式的乘除混合運算

【教學(xué)目標(biāo)】
1.能應(yīng)用分式的乘除法法則和運算的順序進行混合運算，在應(yīng)用的過程中，養(yǎng)成反思的習(xí)慣.
2.理解分式乘方的原理，掌握乘方的規(guī)律，并能運用乘方規(guī)律進行分式的乘方運算.
3.在進一步體會冪的意義的過程中，發(fā)展歸納、猜想等合情推理的能力及有條理的表達(dá)能力.
【重點難點】
重點：熟練地進行分式乘除法的混合運算.
難點：熟練地進行分式乘除法及乘方的混合運算.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
同學(xué)們會計算下列題目嗎？
(1)4a4b215n3÷－8a2b235n；(2)x2＋2xy＋y2xy－y2x2－2xy＋y2xy＋y2；
(3)－38÷35×25；（4）
解：(1)原式＝4a4b215n335n－8a2b2＝4a4b235n15n3（－8a2b2）＝－7a26n2.
(2)原式＝（x＋y）2y（x－y）（x－y）2y（x＋y）＝（x＋y）2（x－y）2y（x－y）y（x＋y）＝x2－y2y2.
(3)原式＝－38×53×25＝－3×5×28×3×5＝－14.
(4)原式＝23×23×23×23＝2×2×2×23×3×3×3＝1681.
首先引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、思考，然后讓學(xué)生嘗試練習(xí)，完成后小組交流，在此基礎(chǔ)上，老師提出問題：
問題1：以上四個題目分別涉及什么運算？
(1)分式的除法運算；(2)分式的乘法運算；(3)分?jǐn)?shù)的乘除混合運算；(4)分?jǐn)?shù)的乘方運算.
督促學(xué)生養(yǎng)成解題前仔細(xì)審題的習(xí)慣，為方法策略的選擇提供判斷的依據(jù).
問題2：它們涉及的運算法則或運算順序我們熟悉嗎？說說看！
都是我們已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，它們涉及的運算法則或運算順序有：
(1)分式的乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母.abcd＝acbd.
(2)分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再和
被除式相乘.ab÷dc＝abcd＝acbd.
(3)分?jǐn)?shù)的乘方法則：根據(jù)乘方的意義轉(zhuǎn)化為乘法，利用分?jǐn)?shù)的乘法法則進行運算.
(4)同級運算按從左到右的順序進行.分式的乘法、除法，分?jǐn)?shù)的乘除混合，分?jǐn)?shù)的乘方等都是新知的認(rèn)識基礎(chǔ)，通過學(xué)生的嘗試練習(xí)一是喚起記憶，二是查缺補漏，疏通舊知向新知的通道，以確保學(xué)生已有經(jīng)驗與知識的正遷移的發(fā)生.
二、師生互動，探究新知
問題1：你會計算2x5x－3÷325x2－9x5x＋3嗎？試試看.
原式＝2x5x－325x2－93x5x＋3＝2x2（5x＋3）（5x－3）3（5x＋3）（5x－3）＝2x23.
學(xué)生嘗試練習(xí)，教師巡回指導(dǎo)，若發(fā)現(xiàn)共性問題，可通過集體交流補正，以澄清模糊認(rèn)識.估計學(xué)生根據(jù)“數(shù)、式通性”的思想類比分?jǐn)?shù)的乘除混合運算(上面的題目)會操作，但不排除有感到困惑的學(xué)生，要指導(dǎo)好這類學(xué)生，明確順序、明確算法，集體達(dá)成共識：
分式的乘除混合運算可以統(tǒng)一成乘法運算，若沒有其他指令(如括號等)，則應(yīng)按從左到右的順序進行計算.
問題2：若將前面中的分子、分母由數(shù)替換為字母，即，同學(xué)們會計算嗎？若把指數(shù)“4”替換成“n”呢？
根據(jù)乘方的意義和分式乘方的法則，得＝abababab＝a4b4.
問題3：通過問題2的研究，你能歸納出分式乘方的法則嗎？
分式乘方的法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.
小試身手：
計算：(1)；(2).
答案：(1)原式＝（－2a2b）2（3c）2＝4a4b29c2；
(2)原式＝－（my2）3（3nx2）3＝－m3y627n3x6

通過3個問題，搭建自主探索的腳手架，在舊知的鞏固過程中自然地將新知融入，把運算規(guī)律揭示，平緩順暢，不顯突兀，能使學(xué)生學(xué)得輕松愉悅.
三、運用新知，解決問題
1.計算：
(1)2x－64－4x＋4x2÷(x＋3)（x＋3）（x－2）3－x；
(2）
2.計算：
(1)y2－4y＋42y－61y＋3÷12－6y9－y2；
(2)；
(3).
通過練習(xí)1的第(1)小題提升分式乘除混合運算的層次，第(2)小題就是教材中例5的第2小題，它是乘、除、乘方三者的混合，再次涉及運算的順序問題，并融入了符號的變化，有較強的綜合性.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？在知識應(yīng)用過程中需要注意什么？你有什么收獲？
五、布置作業(yè)，鞏固提升
必做題：教材第139頁練習(xí)1，
教材第146頁第3題
選做題：有這樣一道題：“計算x2－2x＋1x2－1÷x－1x2＋x－x的值，其中x＝2016”.甲同學(xué)把“x＝2016”錯抄成“x＝2061”，但他的計算結(jié)果也正確，你說這是怎么回事？

【板書設(shè)計】
分式的乘方
分式的乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方.
用字母表示為：(ab)n＝anbn(n為正整數(shù))

【教學(xué)反思】
本設(shè)計的突出特點：
學(xué)為主體，練為主線.教學(xué)中流行著一句話：“教不越位，學(xué)要到位”，本設(shè)計敢于踐行這一理念，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，疑惑讓學(xué)生辯、方法讓學(xué)生找、法則讓學(xué)生探，以練為主線形成統(tǒng)一的整體，使學(xué)生在獲取基本運算技能的同時，錘煉了意志，鍛煉了思維.