高中三角函數(shù)的教案
發(fā)表時間：2020-12-01向量與三角函數(shù)創(chuàng)新題型的解題技巧。
【命題趨向】1.三角函數(shù)的性質(zhì)、圖像及其變換,主要是的性質(zhì)、圖像及變換.考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性、圖像的平移和對稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn),屬中低檔題,這些試題對三角函數(shù)單一的性質(zhì)考查較少,一道題所涉及的三角函數(shù)性質(zhì)在兩個或兩個以上,考查的知識點來源于教材.
2.三角變換.主要考查公式的靈活運用、變換能力,一般要運用和角、差角與二倍角公式,尤其是對公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn),屬中檔題.
3.三角函數(shù)的應(yīng)用.以平面向量、解析幾何等為載體,或者用解三角形來考查學(xué)生對三角恒等變形及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用的綜合能力.特別要注意三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用和跨知識點的應(yīng)用,注意三角函數(shù)在解答有關(guān)函數(shù)、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時的工具性作用.這類題一般以解答題的形式出現(xiàn),屬中檔題.
4.在一套高考試題中,三角函數(shù)一般分別有1個選擇題、1個填空題和1個解答題,或選擇題與填空題1個,解答題1個,分值在17分-22分之間.
5.在高考試題中,三角題多以低檔或中檔題目為主,一般不會出現(xiàn)較難題,更不會出現(xiàn)難題,因而三角題是高考中的得分點.
【考點透視】
1.理解任意角的概念、弧度的意義,能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,了解余切、正割、余割的定義,掌握同解三角函數(shù)的基本關(guān)系式,掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式,理解周期函數(shù)與最小正周期的意義.
3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4.能正確運用三角公式,進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.
5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),會用五點法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωxψ)的簡圖,理解A、ω、ψ的物理意義.
6.會由已知三角函數(shù)值求角,并會用符號arcsinx,arcosx,arctanx表示.
7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形,能利用計算器解決解三角形的計算問題.
8.掌握向量與三角函數(shù)綜合題的解法.
常用解題思想方法
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
(1)常值代換:特別是用1的代換,如1=cos2θsin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)項的分拆與角的配湊。如分拆項:sin2x2cos2x=(sin2xcos2x)cos2x=1cos2x;配湊角:α=(αβ)-β,β=-等。
(3)降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。
(4)化弦(切)法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦(切)。
(5)引入輔助角。asinθbcosθ=sin(θ),這里輔助角所在象限由a、b的符號確定,角的值由tan=確定。
(6)萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數(shù)化成tan的有理式。
2.證明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。
(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。
4.解答三角高考題的策略。
(1)發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運算間的差異,即進(jìn)行所謂的差異分析。
(2)尋找聯(lián)系:運用相關(guān)公式,找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。
(3)合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)墓?促使差異的轉(zhuǎn)化。
【例題解析】
考點1.三角函數(shù)的求值與化簡
此類題目主要有以下幾種題型:
⑴考查運用誘導(dǎo)公式和逆用兩角和的正弦、余弦公式化簡三角函數(shù)式能力,以及求三角函數(shù)的值的基本方法.
⑵考查運用誘導(dǎo)公式、倍角公式,兩角和的正弦公式,以及利用三角函數(shù)的有界性來求的值的問題.
⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函數(shù)值的基本轉(zhuǎn)化方法,考查三角恒等變形及求角的基本知識.
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數(shù)列與探索性新題型的解題技巧
【命題趨向】
1.等差(比)數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容,這類問題既有選擇題、填空題,也有解答題;難度易、中、難三類皆有.
2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點.
3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到,解答試題時要注意靈活應(yīng)用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.
因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意:
1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù),學(xué)習(xí)時要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.
2.運用方程的思想解等差(比)數(shù)列,是常見題型,解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié),常通過設(shè)而不求,整體代入來簡化運算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時考慮問題要全面,如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運用的,數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化;將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差(比)數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時,要及時總結(jié)歸納.
5.深刻理解等差(比)數(shù)列的定義,能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.
6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,定能達(dá)到事半功倍的效果.
7.數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點,這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識的應(yīng)用.
【考點透視】
1.理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.
2.理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能運用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,并能運用公式解決簡單的問題.
4.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),所以在高考中占有重要的地位.高考對本章的考查比較全面,等差數(shù)列,等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏.解答題多為中等以上難度的試題,突出考查考生的思維能力,解決問題的能力,試題大多有較好的區(qū)分度.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題,經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來,試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列,求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點,常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想,在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想,以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.應(yīng)用問題考查的重點是現(xiàn)實客觀事物的數(shù)學(xué)化,常需構(gòu)造數(shù)列模型,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.
【例題解析】
考點1正確理解和運用數(shù)列的概念與通項公式
理解數(shù)列的概念,正確應(yīng)用數(shù)列的定義,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式.
典型例題
例1.(2006年廣東卷)在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆正三棱錐形的展品,其中第1堆只有1層,就一個球;第2,3,4,…堆最底層(第一層)分別按圖4所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則;(答案用n表示).
思路啟迪:從圖中觀察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是12,3,4,…推測出第n層的球數(shù)。
解答過程:顯然.
第n堆最低層(第一層)的乒乓球數(shù),,第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于n堆乒乓球的低層數(shù)之和,即
所以:
解析幾何新題型的解題技巧
【命題趨向】
解析幾何例命題趨勢:
1.注意考查直線的基本概念,求在不同條件下的直線方程,直線的位置關(guān)系,此類題大多都屬中、低檔題,以選擇、填空題的形式出現(xiàn),每年必考
2.考查直線與二次曲線的普通方程,屬低檔題,對稱問題常以選擇題、填空題出現(xiàn)
3.考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),有時會出現(xiàn)有一定靈活性和綜合性較強的題,如求軌跡,與向量結(jié)合,與求最值結(jié)合,屬中檔題
分值一般在17---22分之間,題型一般為1個選擇題,1個填空題,1個解答題.
【考點透視】
一.直線和圓的方程
1.理解直線的斜率的概念,掌握過兩點的直線的斜率公式,掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式,并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.
2.掌握兩條直線平行與垂直的條件,兩條直線所成的角和點到直線的距離公式,能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.
3.了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
4.了解線性規(guī)劃的意義,并會簡單的應(yīng)用.
5.了解解析幾何的基本思想,了解坐標(biāo)法.
6.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,了解參數(shù)方程的概念,理解圓的參數(shù)方程.
二.圓錐曲線方程
1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).
2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).
3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).
4.了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.
【例題解析】
考點1.求參數(shù)的值
求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,構(gòu)造方程解之.
例1.(2006年安徽卷)若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則的值為()
A.B.C.D.
考查意圖:本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì).
解答過程:橢圓的右焦點為(2,0),所以拋物線的焦點為(2,0),則,故選D.
考點2.求線段的長
求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,找出點的坐標(biāo),利用距離公式解之.
例2.(2007年四川卷文)已知拋物線y-x23上存在關(guān)于直線xy=0對稱的相異兩點A、B,則|AB|等于
A.3B.4C.3D.4
考查意圖:本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用.
解:設(shè)直線的方程為,由,進(jìn)而可求出的中點,又由在直線上可求出,
∴,由弦長公式可求出.
故選C
立體幾何新題型的解題技巧
【命題趨向】
在高考中立體幾何命題有如下特點:
1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直,將側(cè)重于垂直關(guān)系.
2.多面體中線面關(guān)系論證,空間角與距離的計算常在解答題中綜合出現(xiàn).
3.多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題,填空題出現(xiàn).
4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題,特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點.
此類題目分值一般在17---22分之間,題型一般為1個選擇題,1個填空題,1個解答題.
【考點透視】
(A)版.掌握兩條直線所成的角和距離的概念,對于異面直線的距離,只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離的概念.
(B)版.
①理解空間向量的概念,掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.
②了解空間向量的基本定理,理解空間向量坐標(biāo)的概念,掌握空間向量的坐標(biāo)運算.
③掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì),掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量數(shù)量積公式.
④理解直線的方向向量、平面的法向量,向量在平面內(nèi)的射影等概念.
⑤了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.
⑥掌握棱柱、棱錐、球的性質(zhì),掌握球的表面積、體積公式.
⑦會畫直棱柱、正棱錐的直觀圖.
空間距離和角是高考考查的重點:特別是以兩點間距離,點到平面的距離,兩異面直線的距離,直線與平面的距離以及兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角,二面角等作為命題的重點內(nèi)容,高考試題中常將上述內(nèi)容綜合在一起放在解答題中進(jìn)行考查,分為多個小問題,也可能作為客觀題進(jìn)行單獨考查.考查空間距離和角的試題一般作為整套試卷的中檔題,但也可能在最后一問中設(shè)置有難度的問題.
不論是求空間距離還是空間角,都要按照一作,二證,三算的步驟來完成,即寓證明于運算之中,正是本專題的一大特色.
求解空間距離和角的方法有兩種:一是利用傳統(tǒng)的幾何方法,二是利用空間向量。
【例題解析】
考點1點到平面的距離
求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度,其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂足,當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.
典型例題
例1(2007年福建卷理)如圖,正三棱柱的所有棱長都為,為中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求點到平面的距離.
考查目的:本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,二面角的
大小,點到平面的距離等知識,考查空間想象能力、邏輯思維
能力和運算能力.
解答過程:解法一:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
連結(jié),在正方形中,分別為
的中點,,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)設(shè)與交于點,在平面中,作于,連結(jié),由(Ⅰ)得平面.
,為二面角的平面角.
在中,由等面積法可求得,
又,.
所以二面角的大小為.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距離為.
設(shè)點到平面的距離為.
由,得,
.
點到平面的距離為.
解法二:(Ⅰ)取中點,連結(jié).
為正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中點,以為原點,,,的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為.
,.,,
令得為平面的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面,
為平面的法向量.
,.
二面角的大小為.
(Ⅲ)由(Ⅱ),為平面法向量,
.
點到平面的距離.
小結(jié):本例中(Ⅲ)采用了兩種方法求點到平面的距離.解法二采用了平面向量的計算方法,把不易直接求的B點到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點K到平面的距離的計算方法,這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法;解法一采用了等體積法,這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖,顯得更簡單些,因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.
函數(shù)與不等式問題的解題技巧
【命題趨向】
全國高考數(shù)學(xué)科《考試大綱》為走向高考的莘莘學(xué)子指明了復(fù)習(xí)備考的方向.考綱是考試法典,是命題的依據(jù),是備考的總綱.科學(xué)備考的首要任務(wù),就是要認(rèn)真學(xué)習(xí)、研究考綱.對照考綱和高考函數(shù)試題有這樣幾個特點:
1.通過選擇題和填空題,全面考查函數(shù)的基本概念,性質(zhì)和圖象.
2.在解答題的考查中,與函數(shù)有關(guān)的試題常常是以綜合題的形式出現(xiàn).
3.從數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點出發(fā),沒有忽視對抽象函數(shù)的考查.
4.一些省市對函數(shù)應(yīng)用題的考查是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來考查的.
5.涌現(xiàn)了一些函數(shù)新題型.
6.函數(shù)與方程的思想的作用不僅涉及與函數(shù)有關(guān)的試題,而且對于數(shù)列,不等式,解析幾何等也需要用函數(shù)與方程思想作指導(dǎo).
函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為22---35分.
1.在選擇題中會繼續(xù)考查比較大小,可能與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合出題.
2.在選擇題與填空題中注意不等式的解法建立不等式求參數(shù)的取值范圍,以及求最大值和最小值應(yīng)用題.
3.解題中注意不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合、突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法.
分值在27---32分之間,一般為2個選擇題,1個填空題,1個解答題.
【考點透視】
1.了解映射的概念,理解函數(shù)的概念.
2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法,并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程.
3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系,會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).
4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念,掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì),掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
5.理解對數(shù)的概念,掌握對數(shù)的運算性質(zhì),掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
6.能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題.
7.在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上,掌握其它的一些簡單不等式的解法.通過不等式解法的復(fù)習(xí),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力.
8.掌握解不等式的基本思路,即將分式不等式、絕對值不等式等不等式,化歸為整式不等式(組),會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式.
9.通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等),使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題.
10.通過證明不等式的過程,培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力.
11.能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法,解決有關(guān)不等式的問題.
12.通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用,深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通,從而提高分析問題解決問題的能力.在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識.
