小學數(shù)學復習教案

高考數(shù)學（理科）一輪復習指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學案有答案。

學案7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
導學目標：1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算．
3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，并掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點.4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
自主梳理
1．指數(shù)冪的概念
(1)根式
如果一個數(shù)的n次方等于a(n1且n∈N*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，則x叫做________，其中n1且n∈N*.式子na叫做________，這里n叫做________，a叫做____________．
(2)根式的性質(zhì)
①當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號________表示．
②當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n次方根用符號________表示，負的n次方根用符號________表示．正負兩個n次方根可以合寫成________(a0)．
③(na)n＝____.
④當n為偶數(shù)時，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.
⑤當n為奇數(shù)時，nan＝____.
⑥負數(shù)沒有偶次方根．
⑦零的任何次方根都是零．
2．有理指數(shù)冪
(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示
①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪是
＝________(a0，m，n∈N*，n1)．
②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪是
＝____________＝______________(a0，m，n∈N*，n1)．
③0的正分數(shù)指數(shù)冪是______，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．
(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)
①aras＝________(a0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q)．
3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a10a1
圖象

定義域(1)________
值域(2)________
性質(zhì)(3)過定點________
(4)當x0時，______；當x0時，______(5)當x0時，________；當x0時，______
(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是______
自我檢測
1．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()
①當a0時，＝a3；
②nan＝|a|；
③函數(shù)y＝－(3x－7)0的定義域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝1.
A．0B．1C．2D．3
2．函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()
A．a(chǎn)＝1或a＝2B．a(chǎn)＝1
C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)0且a≠1

3．如圖所示的曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)b1cd
B．a(chǎn)b1dc
C．ba1cd
D．ba1dc
4．若a1，b0，且ab＋a－b＝22，則ab－a－b的值等于()
A.6B．2或－2
C．－2D．2
5．(2011六安模擬)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()
A．a(chǎn)1，b0
B．a(chǎn)1，b0
C．0a1，b0
D．0a1，b0
探究點一有理指數(shù)冪的化簡與求值
例1已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的兩根，且ab，
求：(1)a－1＋b－1ab－1；÷3a－83a15.

變式遷移1化簡(a、b0)的結(jié)果是()
A.baB．a(chǎn)bC.abD．a(chǎn)2b
探究點二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用
例2已知函數(shù)y＝(13)|x＋1|.
(1)作出函數(shù)的圖象(簡圖)；
(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；
(3)由圖象指出當x取什么值時有最值，并求出最值．

變式遷移2(2009山東)函數(shù)y＝ex＋e－xex－e－x的圖象大致為()
探究點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
例3如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

變式遷移3(2011龍巖月考)已知函數(shù)f(x)＝(12x－1＋12)x3.
(1)求f(x)的定義域；
(2)證明：f(－x)＝f(x)；
(3)證明：f(x)0.

分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
(3)當x∈[－1,1]時f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍．
【答題模板】
解(1)函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱．
又因為f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．[3分]
(2)當a1時，a2－10，
y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)．[5分]
當0a1時，a2－10，
y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)，
所以f(x)為增函數(shù)．
故當a0，且a≠1時，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．[7分]
(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，
∴在區(qū)間[－1,1]上為增函數(shù)，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－11－a2a
＝－1.[10分]
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，則只需b≤－1，
故b的取值范圍是(－∞，－1]．[12分]
【突破思維障礙】
本例第(2)(3)問是難點，討論f(x)的單調(diào)性對參數(shù)a如何分類，分類的標準和依據(jù)是思維障礙之一．
【易錯點剖析】
在(2)中，函數(shù)的單調(diào)性既與ax－a－x有關(guān)，還與aa2－1的符號有關(guān)，若沒考慮aa2－1的符號就會出錯，另外分類討論完，在表達單調(diào)性的結(jié)論時，要綜合討論分類的情況，如果沒有一個總結(jié)性的表達也要扣分，在表達時如果不呈現(xiàn)a的題設(shè)條件中的范圍也是錯誤的．
1．一般地，進行指數(shù)冪的運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于用運算性質(zhì)進行乘、除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．
2．比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化同底數(shù)或同指數(shù)，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大?。划斨笖?shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大?。?br> 3．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0cd1ab.在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。患礋o論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．函數(shù)y＝的值域是()
A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，＋∞)D．[2，＋∞)
2．(2011金華月考)函數(shù)y＝xax|x|(0a1)的圖象的大致形狀是()
3．(2010重慶)函數(shù)f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于直線y＝x對稱
C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱
4．定義運算a?b＝aa≤b，bab，則函數(shù)f(x)＝1?2x的圖象是()

5．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a0，a≠1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是()
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0，12)
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011嘉興月考)函數(shù)f(x)＝－x＋3a，x0，ax，x≥0(a0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是________．
7．(2010江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
8．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數(shù)a的值為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011衡陽模擬)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范圍．

10．(12分)(2010北京豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ3ax－4x的定義域為[0,1]．
(1)求a的值．
(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

11．(14分)(2011東莞模擬)函數(shù)y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y0恒成立，求a的取值范圍．

答案自主梳理
1．(1)a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)(2)①na②na－na±na③a⑤a2.(1)①nam②1nam③0(2)①ar＋s②ars③arbr3.(1)R(2)(0，＋∞)(3)(0,1)(4)y10y1(5)0y1y1(6)增函數(shù)(7)減函數(shù)
自我檢測
1．B[只有④正確．①中a0時，0，a30，所以≠a3；②中，n為奇數(shù)時且a0時，nan＝a；③中定義域為[2，73)∪(73，＋∞)．]
2．C[∵y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，∴a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1(舍去)．]
3．D[y軸左、右的圖象對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)按逆時針方向增大．所以cd1,1ab0.]
4．D[(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝4，
∵a1，b0，∴ab1,0a－b1，∴ab－a－b＝2.]
5．D[由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1；
函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.]
課堂活動區(qū)
例1解題導引1.指數(shù)冪的化簡原則
(1)化負數(shù)指數(shù)為正指數(shù)；
(2)化根式為分數(shù)指數(shù)冪；
(3)化小數(shù)為分數(shù)．
2．指數(shù)冪的化簡結(jié)果要求為
有關(guān)有理指數(shù)冪的化簡結(jié)果不要同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不要既有分母又含有負指冪，即盡量化成與題目表示形式一致且統(tǒng)一的最簡結(jié)果．
解∵a，b是方程的兩根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且ab，
故a＝19，b＝9，
(1)化去負指數(shù)后求解．
a－1＋b－1ab－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.
∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.
(2)原式＝÷()＝＝.
∵a＝19，
∴原式＝3.
變式遷移1C[原式＝
＝＝ab－1＝ab.]
例2解題導引在作函數(shù)圖象時，首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系，然后通過平移、對稱或伸縮來完成．
解(1)方法一由函數(shù)解析式可得
y＝(13)|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x－1.

其圖象由兩部分組成：
一部分是：y＝(13)x(x≥0)――→向左平移1個單位
y＝(13)x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x0)――→向左平移1個單位y＝3x＋1(x－1)．
如圖所示．
方法二①由y＝(13)|x|可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故先作出y＝(13)x的圖象，保留x≥0的部分，當x0時，其圖象是將y＝(13)x(x≥0)圖象關(guān)于y軸對折，從而得出y＝(13)|x|的圖象．
②將y＝(13)|x|向左移動1個單位，即可得y＝(13)|x＋1|的圖象，如圖所示．
(2)由圖象知函數(shù)在(－∞，－1]上是增函數(shù)，在[－1，＋∞)上是減函數(shù)．
(3)由圖象知當x＝－1時，有最大值1，無最小值．
變式遷移2A[y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，當x0時，e2x－10，且隨著x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－11且隨著x的增大而減小，即函數(shù)y在(0，＋∞)上恒大于1且單調(diào)遞減．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故只有A正確．]
例3解題導引1.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a0且a≠1)的圖象與性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a1來研究．
2．指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合而成的初等函數(shù)的性質(zhì)可通過換元的方法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)或二次函數(shù)的性質(zhì)．
解設(shè)t＝ax，則y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
(1)當a1時，t∈[a－1，a]，
∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，滿足a1；
(2)當0a1時，t∈[a，a－1]，
∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，
解得a＝13，滿足0a1.
故所求a的值為3或13.
變式遷移3(1)解由2x－1≠0x≠0，
所以定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)證明f(x)＝(12x－1＋12)x3可化為f(x)＝2x＋122x－1x3，
則f(－x)＝2－x＋122－x－1(－x)3
＝2x＋122x－1x3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．
(3)證明當x0時，2x1，x30，
所以(12x－1＋12)x30.
因為f(－x)＝f(x)，
所以當x0時，f(x)＝f(－x)0.
綜上所述，f(x)0.
課后練習區(qū)
1．B[由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函數(shù)的值域為[1，＋∞)．]
2．D[函數(shù)的定義域為{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x0－ax，x0.當x0時，函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)a滿足0a1，所以函數(shù)遞減；當x0時，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)遞增．]
3．D[函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，
∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．]
4．A[當x0時，02x1，此時f(x)＝2x；
當x≥0時，2x≥1，此時f(x)＝1.
所以f(x)＝12x＝2xx0，1x≥0.]
5．D[方程|ax－1|＝2a有兩個不等實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|ax－1|與函數(shù)y＝2a有兩個不同交點，作出函數(shù)y＝|ax－1|的圖象，從圖象觀察可知只有02a1時，符合題意，即0a12.]
6．[13，1)
解析據(jù)單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：
0a1，3a≥a0，即13≤a1.
7．－1
解析設(shè)g(x)＝ex＋ae－x，則f(x)＝xg(x)是偶函數(shù)．
∴g(x)＝ex＋ae－x是奇函數(shù)．
∴g(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，
∴a＝－1.
8.3
解析當a1時，f(2)＝2，
∴a2－1＝2，a＝3，經(jīng)驗證符合題意；
當0a1時，f(0)＝2，即1－1＝2，無解．
∴a＝3.
9．解(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………(2分)
從而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.
又由f(1)＝－f(－1)知
－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，
解得a＝2.經(jīng)檢驗a＝2適合題意，
∴所求a、b的值分別為2、1.……………………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)．…………………………………………(6分)
又因f(x)是奇函數(shù)，
從而不等式f(t2－2t)－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．……………………………………………………………………………(8分)
因為f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2－2t－2t2＋k.
即對一切t∈R有3t2－2t－k0.
從而判別式Δ＝4＋12k0，解得k－13.………………………………………………(12分)
10．解方法一(1)由已知得3a＋2＝183a＝2a＝log32.…………………………(4分)
(2)此時g(x)＝λ2x－4x，
設(shè)0≤x1x2≤1，因為g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以g(x1)－g(x2)＝0恒成立，……………………………(8分)
即λ恒成立．由于＝2，所以，實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.
……………………………………………………………………………………………(12分)
方法二(1)由已知得3a＋2＝183a＝2a＝log32.
……………………………………………………………………………………………(4分)
(2)此時g(x)＝λ2x－4x，
因為g(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以有g(shù)′(x)＝λln22x－ln44x＝2xln2(－22x＋λ)≤0成立，…………………………(8分)
所以只需要λ≤22x恒成立．所以實數(shù)λ的取值范圍是λ≤2.…………………………(12分)
11．解由題意得1＋2x＋4xa0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a－1＋2x4x在x∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)
又因為－1＋2x4x＝－(12)2x－(12)x，
設(shè)t＝(12)x，
∵x≤1，∴t≥12
且函數(shù)f(t)＝－t2－t＝－(t＋12)2＋14(t≥12)
在t＝12時，取到最大值．
∴(12)x＝12即x＝1時，－1＋2x4x的最大值為－34，………………………………………(12分)
∴a－34.…………………………………………………………………………………(14分)

相關(guān)知識

高考數(shù)學（理科）一輪復習冪函數(shù)學案含答案

學案9冪函數(shù)
導學目標：1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的圖象，了解它們的變化情況．
自主梳理
1．冪函數(shù)的概念
形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下：
定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(1,1)，且在第____象限無圖象．
(3)α0時，冪函數(shù)的圖象通過點________________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象________原點．
自我檢測
1．(2011石家莊月考)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±12四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)順序是()

A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011滄州模擬)設(shè)α∈{－1,1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．與函數(shù)y＝xx＋1的圖象形狀一樣的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知點(33，33)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究點一冪函數(shù)的定義與圖象
例1已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求當x為何值時：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．

變式遷移1若點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間．

探究點二冪函數(shù)的單調(diào)性
例2比較下列各題中值的大小．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.

變式遷移2(1)比較下列各組值的大小：
①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，則m的取值范圍是__________________________．
探究點三冪函數(shù)的綜合應(yīng)用
例3(2011葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的范圍．

變式遷移3已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2，2)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準．
2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．右圖是函數(shù)y＝(m，n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則()
A．m，n是奇數(shù)，且mn1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且mn1
2．(2010陜西)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x0，y0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．冪函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)
C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)
3．下列函數(shù)圖象中，正確的是()
4．(2010安徽)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)cbB．a(chǎn)bc
C．cabD．bca
5．下列命題中正確的是()
①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；
②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；
③當n＝0時，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；
④冪函數(shù)y＝xn當n0時是增函數(shù)；
⑤冪函數(shù)y＝xn當n0時在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。?br> A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011邯鄲模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小順序是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0α1)，對于下列命題：①若x1，則f(x)1；②若0x1，則0f(x)1；③當x0時，若f(x1)f(x2)，則x1x2；④若0x1x2，則f(x1)x1f(x2)x2.
其中正確的命題序號是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當－1≤x1時，y＝f(x)的表達式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點(12，18)．求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達式．

10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．

11．(14分)(2011荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式；
(2)對于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域為[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由．

答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函數(shù)不過
自我檢測
1．B[方法一由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n0時不過原點，故C3，C4對應(yīng)的n值均為負，C1，C2對應(yīng)的n值均為正；
由增(減)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次為
2，12，－12，－2.
方法二作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點A1，A2，A3，A4，則其對應(yīng)點的縱坐標顯然為22,，，2－2，故n值分別為2，12，－12，－2.]
2．D[第一個圖象過點(0,0)，與④對應(yīng)；第二個圖象為反比例函數(shù)圖象，表達式為y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二個圖象對應(yīng)③；
第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三個圖象對應(yīng)①；
第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個圖象對應(yīng)②.
∴四個函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)順序為④③①②.]
3．A4.C5.B
課堂活動區(qū)
例1解(1)設(shè)f(x)＝xα，
∵圖象過點(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．

由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(－1，1)和(1,1)．
∴①當x1，或x－1時，f(x)g(x)；
②當x＝1，或x＝－1時，f(x)＝g(x)；
③當－1x1且x≠0時，f(x)g(x)．
變式遷移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，
如例1圖所示，
則有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解題導引比較兩個冪的大小關(guān)鍵是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同，若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同，利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不相同，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋”進行分組．
解(1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30.830.7.
(2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
變式遷移2(1)①②
(2)m0
解析根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象，
當0x1時，0y1，∴00.71.31.
又根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.7的圖象，
當x1時，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
對于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，當x0時，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m0.
例3解∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴m2－2m－3是偶數(shù)，
而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，
12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，
∴等價于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范圍為{a|a－1或23a32}．
變式遷移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m與m＋1中必有一個為偶數(shù)，
∴m(m＋1)為偶數(shù)．
∴函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范圍為[1，32)．
課后練習區(qū)
1．C[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)，
∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．
又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴冪函數(shù)f(x)＝xα不具有此性質(zhì)．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax不具有此性質(zhì)．
∵ax＋y＝axay，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax具有此性質(zhì)．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函數(shù)y＝cosx不具有此性質(zhì)．]
3．C[對A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B圖象不正確；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax應(yīng)為減函數(shù)，D錯．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)遞增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)遞減，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
經(jīng)檢驗m＝1或2都適合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限內(nèi)的圖象，如圖所示，
可判定①②③正確，
又fxx表示圖象上的點與原點連線的斜率，
當0x1x2時應(yīng)有fx1x1fx2x2，故④錯．
9．解設(shè)在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由點(12，18)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由條件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
當n＝0,2時，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上單調(diào)遞增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函數(shù)．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假設(shè)存在q0滿足題設(shè)，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(2q－12q，4q2＋14q)處取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分)

高一數(shù)學《指數(shù)函數(shù)》學案

高一數(shù)學《指數(shù)函數(shù)》學案
.2.2指數(shù)函數(shù)（一）的教學設(shè)計
教材分析:
.2.2“指數(shù)函數(shù)”是在學生系統(tǒng)地學習了函數(shù)概念及性質(zhì)，掌握了指數(shù)與指數(shù)冪的運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開研究的．作為重要的基本初等函數(shù)之一，指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)近代定義及性質(zhì)的第一次應(yīng)用，也為今后研究其他函數(shù)提供了方法和模式，為后續(xù)的學習奠定基礎(chǔ)．指數(shù)函數(shù)在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點研究．
學情分析:
通過初中階段的學習和高中對函數(shù)、指數(shù)的運算等知識的系統(tǒng)學習，學生對函數(shù)已經(jīng)有了一定的認識，學生對用“描點法”描繪出函數(shù)圖象的方法已基本掌握，已初步了解數(shù)形結(jié)合的思想．另外，學生對由特殊到一般再到特殊的數(shù)學活動過程已有一定的體會．
教學目標：
知識與技能：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能正確作出其圖象，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并能自覺、靈活地應(yīng)用其性質(zhì)（單調(diào)性、中介值）比較大小．
過程與方法：
(1)體會從特殊到一般再到特殊的研究問題的方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、概括的能力，讓學生了解數(shù)學來源于生活又在生活中有廣泛的應(yīng)用；理解并掌握探求函數(shù)性質(zhì)的一般方法；
(2)從數(shù)和形兩方面理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想方法，提高思維的靈活性，培養(yǎng)學生直觀、嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)．
情感、態(tài)度與價值觀：
(1)體驗從特殊到一般再到特殊的學習規(guī)律，認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題，激發(fā)學生自主探究的精神，在探究過程中體驗合作學習的樂趣；
(2)讓學生在數(shù)形結(jié)合中感悟數(shù)學的統(tǒng)一美、和諧美，進一步培養(yǎng)學生的學習興趣．
教學重點：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

教學難點：指數(shù)函數(shù)概念的引入及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
教法研究:
本節(jié)課準備由實際問題引入指數(shù)函數(shù)的概念，這樣可以讓學生知道指數(shù)函數(shù)的概念來源于客觀實際，便于學生接受并有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.
利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)中的一個非常重要的思想，本節(jié)課將是利用特殊的指數(shù)函數(shù)圖象歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這樣便于學生研究其變化規(guī)律，理解其性質(zhì)并掌握一般地探求函數(shù)性質(zhì)的方法同時運用現(xiàn)代信息技術(shù)學習、探索和解決問題，幫助學生理解新知識
本節(jié)課使用的教學方法有：直觀教學法、啟發(fā)引導法、發(fā)現(xiàn)法
教學過程：
一、問題情境：
問題1：某種細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，以此類推，一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么？
問題2：一種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余質(zhì)量約是原來的，設(shè)該物質(zhì)的初始質(zhì)量為1，經(jīng)過年后的剩余質(zhì)量為，你能寫出之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？
分析可知，函數(shù)的關(guān)系式分別是與
問題3：在問題1和2中，兩個函數(shù)的自變量都是正整數(shù)，但在實際問題中自變量不一定都是正整數(shù)，比如在問題2中，我們除了關(guān)心1年、2年、3年后該物質(zhì)的剩余量外，還想知道3個月、一年半后該物質(zhì)的剩余量，怎么辦？
這就需要對函數(shù)的定義域進行擴充，結(jié)合指數(shù)概念的的擴充，我們也可以將函數(shù)的定義域擴充至全體實數(shù)，這樣就得到了一個新的函數(shù)──指數(shù)函數(shù)．
二、數(shù)學建構(gòu)：
1]定義：
一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中．
問題4：為什么規(guī)定？

問題5：你能舉出指數(shù)函數(shù)的例子嗎？
閱讀材料（“放射性碳法”測定古物的年代）：
在動植物體內(nèi)均含有微量的放射性，動植物死亡后，停止了新陳代謝，不在產(chǎn)生，且原有的會自動衰變.經(jīng)過5740年（的半衰期），它的殘余量為原來的一半.經(jīng)過科學測定，若的原始含量為1，則經(jīng)過x年后的殘留量為=.
這種方法經(jīng)常用來推算古物的年代.
練習1：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)．
（1）（2）
（3）（4）

說明：指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=中，的系數(shù)是1.
有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如y=+k(a0且a1，kZ)；
有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如y=(a0,且a1)，因為它可以化為y=，其中0，且1
2]通過圖象探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其簡單應(yīng)用：利用幾何畫板及其他多媒體軟件和學生一起完成
問題6:我們研究函數(shù)的性質(zhì)，通常都研究哪些性質(zhì)？一般如何去研究？
函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性等；
利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
問題7:作函數(shù)圖象的一般步驟是什么？
列表，描點，作圖
探究活動1:用列表描點法作出，的圖像（借助幾何畫板演示），觀察、比較這兩個函數(shù)的圖像，我們可以得到這兩個函數(shù)哪些共同的性質(zhì)？請同學們仔細觀察.
引導學生分析圖象并總結(jié)此時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（底數(shù)大于1）：
（1）定義域？R
（2）值域？函數(shù)的值域為
（3）過哪個定點？恒過點，即
（4）單調(diào)性？時，為上的增函數(shù)
（5）何時函數(shù)值大于1？小于1？當時，；當時，
問題8:：是否所有的指數(shù)函數(shù)都是這樣的性質(zhì)？你能找出與剛才的函數(shù)性質(zhì)不一樣的指數(shù)函數(shù)嗎？
（引導學生自我分析和反思，培養(yǎng)學生的反思能力和解決問題的能力）.
根據(jù)學生的發(fā)現(xiàn)，再總結(jié)當?shù)讛?shù)小于1時指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并作比較.
問題9:到現(xiàn)在，你能自制一份表格，比較及兩種不同情況下的圖象和性質(zhì)嗎？
（學生完成表格的設(shè)計，教師適當引導）

圖

象
性
質(zhì)

（1）定義域：R
值域：
（1）定義域：R
值域：

(2)是R上的增函數(shù)(2)是R上的減函數(shù)
（3）過（0，1），
即x＝0時，y＝1（3）過（0，1），
即x＝0時，y＝1
（4）當x0時，y1;
當x0時，y1.（4）當x0時，0y1;
當x0時，y1.
問題10:在畫圖過程中，你還發(fā)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)圖象間的其他關(guān)系嗎？
比如與的圖象間具有怎樣的關(guān)系？可否得出進一步的一般性的結(jié)論？
結(jié)論：圖像關(guān)于軸對稱
三、數(shù)學運用：
例1、比較下列各組數(shù)中兩個值的
分析：充分利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來研究，注意對底數(shù)的判定以及“第三者”的介入（充當中間角色）.
（解題過程板書，強調(diào)規(guī)范）
探究活動2:兩個指數(shù)函數(shù)的自變量相等時，如何比較函數(shù)值的大小？比如之間的大小關(guān)系？
如右圖，作一條直線分別與、圖像交與、兩點，則，結(jié)合圖象很容易發(fā)現(xiàn)：．
你還能舉出一個這樣的例子嗎？（引導學生分析得出結(jié)論既與底數(shù)和1的關(guān)系有關(guān)，又與自變量和0的關(guān)系有關(guān)）
那么兩個指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值相等時，自變量大小又該如何比較？
練習2：若，試比較、的大?。?br> 若，試比較、的大?。?br> 你還能舉出這樣的例子嗎？
例2（1）已知，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）已知，求實數(shù)x的取值范圍.
分析：充分利用單調(diào)性解指數(shù)不等式，注意化為同底.
探究活動3:探究下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象的關(guān)系.
（1）；（2）
思考探究：（1）與，且，圖象之間有何關(guān)系？
（2）受該結(jié)論啟發(fā)，課后思考研究函數(shù)與，圖象之間的關(guān)系.
四、回顧反思（由學生總結(jié)提煉本節(jié)課知識與方法及數(shù)學思想）：
1.本節(jié)課學習了哪些知識，指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)你掌握了嗎?
2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是怎么被我們大家發(fā)現(xiàn)的，有哪些應(yīng)用？在應(yīng)用的時候，我們應(yīng)該考慮哪些性質(zhì)?
3.重視歸納概括、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法.
五、課后作業(yè)：
1.閱讀課本有關(guān)內(nèi)容，搜集指數(shù)函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用實例；
2.課本52頁第1-5題；54-55頁1-4題，8、9題：
3.思考題:
（1）研究函數(shù)的定義域.
（2）與，圖象之間的關(guān)系？
板書設(shè)計：
板書內(nèi)容：課題、指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及（僅是標題，具體性質(zhì)不板書）、例1及例2部分內(nèi)容規(guī)范解題格式的書寫、回顧反思等.
教后反思：
針對課堂教學實際反思教法和學法，進一步完善本設(shè)計.

指數(shù)函數(shù)

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為高中教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生更好地進入課堂環(huán)境中來，幫助高中教師提高自己的教學質(zhì)量。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的高中教案呢？小編為此仔細地整理了以下內(nèi)容《指數(shù)函數(shù)》，僅供參考，大家一起來看看吧。

2.2.2指數(shù)函數(shù)（1）
宿遷市馬陵中學范金泉
教學目標：
1．掌握指數(shù)函數(shù)的概念（能理解對a的限定以及自變量的取值可推廣至實數(shù)范圍），會作指數(shù)函數(shù)的圖像；
2．能歸納出指數(shù)函數(shù)的幾個基本性質(zhì)，并通過由指數(shù)函數(shù)的圖像歸納其性質(zhì)的學習過程，培養(yǎng)學生探究、歸納分析問題的能力．

教學重點：
指數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)．
教學難點：
指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納．

教學過程：
一、創(chuàng)設(shè)情境
課本第45頁的細胞分裂問題和第49頁的古蓮子中的14C的衰變問題．
二、學生活動
（1）閱讀課本45頁內(nèi)容；
（2）動手畫函數(shù)的圖象．
三、數(shù)學建構(gòu)
1．指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R，值域為(0，＋)．
練習：
（1）觀察并指出函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝2x有什么區(qū)別？
（2）指出函數(shù)y＝23x，y＝2x+3，y＝32x，y＝4x，y＝ax(a＞0，且a≠1)中哪些是指數(shù)函數(shù)，哪些不是，為什么？
思考：為什么要強調(diào)a＞0，且a≠1？a≠1自然將所有的正數(shù)分為兩部分
(0，1)和(1，＋)，這兩個區(qū)間對函數(shù)的性質(zhì)會有什么影響呢？
2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
（1）在同一坐標系畫出的圖象，觀察并總結(jié)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的性質(zhì)．

圖象

定義域
值域
性質(zhì)
（2）借助于計算機技術(shù)，在同一坐標系畫出y＝10x，，，等函數(shù)的圖象，進一步驗證函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的性質(zhì)，并探討函數(shù)y＝ax與y＝ax(a＞0，且a≠1)之間的關(guān)系．
四、數(shù)學應(yīng)用
（一）例題：
1．比較下列各組數(shù)的大?。?br> （1）（2）（3）
2．求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）（2）（3）
3．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝(a＞0且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范圍．
（二）練習：
（1）判斷下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)：①y＝23x；②y＝3x1；③y＝x3；
④y＝－3x；⑤y＝(－3)x；⑥y＝x；⑦y＝3x2；⑧y＝xx；⑨y＝(2a－1)x(a＞，且a≠1)．
（2）若函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則它的單調(diào)性為．
課后思考題：求函數(shù)的值域，并判斷其奇偶性和單調(diào)性．
五、小結(jié)
1．指數(shù)函數(shù)的定義（研究了對a的限定以及定義域和值域）
2．指數(shù)函數(shù)的圖像
3．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
（1）定點：（0，1）；
（2）單調(diào)性：a＞1，單調(diào)增；0＜a＜1，單調(diào)減．
六、作業(yè)
課本P52－2，3．

高考數(shù)學（理科）一輪復習對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案帶答案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎(chǔ)，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務(wù)。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高考數(shù)學（理科）一輪復習對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案帶答案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

學案8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
導學目標：1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a0，a≠1)，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．

自主梳理
1．對數(shù)的定義
如果________________，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中____叫做對數(shù)的底數(shù)，______叫做真數(shù)．
2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則
(1)對數(shù)的性質(zhì)(a0且a≠1)
①＝____；②＝____；
③＝____；④＝____.
(2)對數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②＝，推廣＝________.
(3)對數(shù)的運算法則
如果a0且a≠1，M0，N0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④＝nmlogaM.
3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a10a1
圖
象

性
質(zhì)(1)定義域：______
(2)值域：______
(3)過點______，即x＝____時，y＝____
(4)當x1時，______
當0x1時，______(5)當x1時，______當0x1時，______
(6)是(0，＋∞)上的______函數(shù)(7)是(0，＋∞)上的______函數(shù)

4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)____________互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線______對稱．
自我檢測
1．(2010四川)2log510＋log50.25的值為()
A．0B．1C．2D．4
2．(2010遼寧)設(shè)2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，則m的值為()
A.10B．10C．20D．100
3．(2009遼寧)已知函數(shù)f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝12x；當x4時，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為()
A.124B.112C.18D.38
4．(2010安慶模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f(13)＝0，則滿足0的x的取值范圍是()
A．(0，＋∞)B．(0，12)∪(2，＋∞)
C．(0，18)∪(12，2)D．(0，12)
5．(2011臺州期末)已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，則m與n的大小關(guān)系是______.
探究點一對數(shù)式的化簡與求值
例1計算：(1)；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245；
(3)已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.

變式遷移1計算：
(1)log2748＋log212－12log242－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.

探究點二含對數(shù)式的大小比較
例2(1)比較下列各組數(shù)的大小．
①log323與log565；
②log1.10.7與log1.20.7.
(2)已知log12blog12alog12c，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系．

變式遷移2(1)(2009全國Ⅱ)設(shè)a＝log3π，b＝log23，c＝log32，則()
A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cb
C．bacD．bca
(2)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝，(12)b＝，(12)c＝log2c，則()
A．a(chǎn)bcB．cba0
C．cabD．bac
探究點三對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例3已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果對于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是()
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a0，a≠1)．
(1)解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)f(1)；
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點，求證：直線AB的斜率小于0.
【答題模板】
(1)解∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a0.∴0a1.
∴不等式可化為loga(1－ax)loga(1－a)．
∴1－ax0，1－ax1－a.，即ax1，axa.∴0x1.
∴不等式的解集為(0,1)．[4分]
(2)證明設(shè)x1x2，則f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1－ax0，∴ax1.
∴a1時，f(x)的定義域為(－∞，0)；[6分]
0a1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)．
當0a1時，∵x2x10，∴.
∴1.∴0.
∴f(x2)f(x1)，即y2y1.
同理可證，當a1時，也有y2y1.[10分]
綜上：y2y1，即y2－y10.∴kAB＝y(tǒng)2－y1x2－x10.
∴直線AB的斜率小于0.[12分]
【突破思維障礙】
解決含參數(shù)的對數(shù)問題，不可忽視對底數(shù)a的分類討論，即a1或0a1，其次要看定義域，如果將函數(shù)變換，務(wù)必保證等價性．
1．求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：
(1)確定定義域；
(2)弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”．
2．用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
(1)同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較
例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，
其中a0且a≠1.
①若a1，則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.
②若0a1，則logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)．
(2)同真數(shù)的對數(shù)值大小關(guān)系如圖：
圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0cd1ab.
3．常見對數(shù)方程式或?qū)?shù)不等式的解法
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a0且a≠1)等價于f(x)＝g(x)，但要注意驗根．對于logaf(x)logag(x)等價于0a1時，a1時，
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用換元法求解．

(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010北京市豐臺區(qū)高三一調(diào))設(shè)M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N等于()
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010全國Ⅰ)設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，則()
A．a(chǎn)bcB．bca
C．cabD．cba
3．(2010天津)若函數(shù)f(x)＝log2x，x0，log12(－x)，x0，若f(a)f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011濟南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝lnx，則有()
A．f(13)f(2)f(12)
B．f(12)f(2)f(13)
C．f(12)f(13)f(2)
D．f(2)f(12)f(13)
5．(2011青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()
A.12B.14C．2D．4
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．2lg5＋23lg8＋lg5lg20＋lg22＝________.
7．(2011湖南師大附中檢測)已知函數(shù)f(x)＝lgax＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值時x的值．

10．(12分)(2011北京東城1月檢測)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；
(3)若a1時，求使f(x)0的x的解集．

11．(14分)(2011鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

答案自主梳理
1．a(chǎn)x＝N(a0，且a≠1)x＝logaNaN2.(1)①N②0③N④1(2)①logaNlogab②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0y0(6)增(7)減4.y＝logaxy＝x
自我檢測
1．C2.A
3．A[因為32＋log234，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log234，故f(3＋log23)＝123＋log23＝12313＝124.]
4．B[由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|log18x|13，解得x的取值范圍是(0，12)∪(2，＋∞)．]
5．mn
解析∵m0，n0，∵mn＝logaclogcb＝logablogaa＝1，∴mn.
課堂活動區(qū)
例1解題導引在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化．
解(1)方法一利用對數(shù)定義求值：
設(shè)＝x，
則(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，
∴x＝－1.
方法二利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解：
＝
＝＝－1.
(2)原式＝12(lg32－lg49)－43lg812＋
12lg245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5
＝12lg(2×5)＝12lg10＝12.
(3)由已知得lg(x－y2)2＝lgxy，
∴(x－y2)2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.
∵x－y0，x0，y0，∴xy1，∴xy＝3＋22，
∴l(xiāng)og(3－22)xy＝log(3－22)(3＋22)
＝log3－2213－22＝－1.
變式遷移1解(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22
＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25
＝21g2＋lg25＝lg100＝2.
例2解題導引比較對數(shù)式的大小或證明等式問題是對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，①當?shù)讛?shù)相同時，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進行比較．
解(1)①∵log323log31＝0，
而log565log51＝0，∴l(xiāng)og323log565.
②方法一∵00.71,1.11.2，
∴0log0.71.1log0.71.2.
∴1log0.71.11log0.71.2，
由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.
方法二作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，
如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.
(2)∵y＝log12x為減函數(shù)，
且log12blog12alog12c，∴bac.
而y＝2x是增函數(shù)，∴2b2a2c.
變式遷移2(1)A[a＝log3π1，b＝12log23，則12b1，c＝12log3212，∴abc.]
(2)A[∵a，b，c均為正，
∴l(xiāng)og12a＝2a1，log12b＝(12)b∈(0,1)，
log2c＝(12)c∈(0,1)．
∴0a12，12b1,1c2.
故abc.]
例3解題導引本題屬于函數(shù)恒成立問題，即對于x∈[13，2]時，|f(x)|恒小于等于1，恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題．由于本題底數(shù)a為參數(shù)，需對a分類討論．
解∵f(x)＝logax，

則y＝|f(x)|的圖象如右圖．
由圖示，可使x∈[13，2]時恒有|f(x)|≤1，
只需|f(13)|≤1，即－1≤loga13≤1，
即logaa－1≤loga13≤logaa，
亦當a1時，得a－1≤13≤a，即a≥3；
當0a1時，得a－1≥13≥a，得0a≤13.
綜上所述，a的取值范圍是(0，13]∪[3，＋∞)．
變式遷移3C
[畫出函數(shù)f(x)＝|lgx|的圖象如圖所示．∵0ab，f(a)＝f(b)，∴0a1，b1，∴l(xiāng)ga0，lgb0.由f(a)＝f(b)，
∴－lga＝lgb，ab＝1.
∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，
又0a1，函數(shù)t＝a＋2a在(0,1)上是減函數(shù)，
∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.]
課后練習區(qū)
1．C[∵x≥0，∴y＝(12)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
當0x≤1時，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．]
2．C[∵1a＝log231，1b＝log2e1，log23log2e.
∴1a1b1，∴0ab1.
∵a＝log32log33＝12，∴a12.
b＝ln2lne＝12，∴b12.
c＝5－12＝1512，∴cab.]
3．C[①當a0時，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)f(－a)，即log2a＝log21a，
∴a1a，解得a1.
②當a0時，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)f(－a)，即log2(－a)＝，
∴－a1－a，解得－1a0，
由①②得－1a0或a1.]
4．C[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2－x＋x2＝1對稱，又當x≥1時，f(x)＝lnx，所以離對稱軸x＝1距離大的x的函數(shù)值大，
∵|2－1||13－1||12－1|，
∴f(12)f(13)f(2)．]
5．C[當x0時，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
6．3
7．(1,2)
解析因為f(x)＝lga＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以g(x)＝a＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，且g(1)0，于是a－20，且2a－20，即1a2.
8．2008
解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008.
9．解∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函數(shù)f(x)的定義域為[1,9]，
∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
當log3x＝1，即x＝3時，ymax＝13.
∴當x＝3時，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則x＋10，1－x0，解得－1x1.
故所求函數(shù)f(x)的定義域為{x|－1x1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)的定義域為{x|－1x1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．………………………………………………………………(8分)
(3)因為當a1時，f(x)在定義域{x|－1x1}內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)0x＋11－x1.
解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是{x|0x1}．…………………………………(12分)
11．解(1)由ax－bx0，得(ab)x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f(x)的定義域為(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1x20，a1b0，則0，，所以0，
即．故f(x1)f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．………………………………………………………(8分)
假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾．
故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．…………(10分)
(3)因為f(x)是增函數(shù)，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當a≥b＋1時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)