高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的圖象學(xué)案附答案。

學(xué)案10函數(shù)的圖象
導(dǎo)學(xué)目標：1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法：描點法，圖象變換法.2.掌握圖象變換的規(guī)律，能利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．
自主梳理
1．應(yīng)掌握的基本函數(shù)的圖象有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．
2．利用描點法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(__________、__________、__________)；④畫出函數(shù)的圖象．
3．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
(1)平移變換：函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象可由y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個單位得到；函數(shù)y＝f(x)＋a的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個單位得到．
(2)伸縮變換：函數(shù)y＝f(ax)(a0)的圖象可由y＝f(x)的圖象沿x軸伸長(0a1)或縮短(____)到原來的1a倍得到；函數(shù)y＝af(x)(a0)的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿y軸伸長(____)或縮短(________)為原來的____倍得到．(可以結(jié)合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解)
(3)對稱變換：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于____軸對稱；
②f(x)與f(－x)的圖象關(guān)于____軸對稱；
③f(x)與－f(x)的圖象關(guān)于____軸對稱；
④f(x)與－f(－x)的圖象關(guān)于________對稱；
⑤f(x)與f(2a－x)的圖象關(guān)于直線________對稱；
⑥曲線f(x，y)＝0與曲線f(2a－x,2b－y)＝0關(guān)于點________對稱；
⑦|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸________的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；
⑧f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸________的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形得到．
自我檢測
1．(2009北京)為了得到函數(shù)y＝lgx＋310的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點()
A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
2．(2011煙臺模擬)已知圖1是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖2中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是
()

A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)
3．函數(shù)f(x)＝1x－x的圖象關(guān)于()
A．y軸對稱B．直線y＝－x對稱
C．坐標原點對稱D．直線y＝x對稱
4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范圍是()
A．(－1,0)B．[－1,0)
C．(－2,0)D．[－2,0)
5．(2011濰坊模擬)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是()
探究點一作圖
例1(1)作函數(shù)y＝|x－x2|的圖象；
(2)作函數(shù)y＝x2－|x|的圖象；
(3)作函數(shù)的圖象．

變式遷移1作函數(shù)y＝1|x|－1的圖象．

探究點二識圖
例2(1)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象如圖，
則函數(shù)y＝f(x)g(x)的圖象可能是()
(2)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(1－x)的圖象為()
變式遷移2(1)(2010山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()
(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝cosxx
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)
探究點三圖象的應(yīng)用
例3若關(guān)于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三個不相等的實數(shù)根，試求實數(shù)a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國Ⅰ)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個交點，則a的取值范圍是________．
數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
例(5分)(2010北京東城區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對稱，若s，t滿足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．則當1≤s≤4時，ts的取值范圍是()
A.－14，1B.－14，1
C.－12，1D.－12，1
【答題模板】
答案D
解析因函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對稱，所以該函數(shù)的圖象向左平移一個單位后的解析式為y＝f(x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)．又y＝f(x)是R上的減函數(shù)，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
圖象的對稱軸為x＝1，
當1≤s≤4時，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
當t≥1時，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；
當t1時，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
問題轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃問題，畫出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2組成的不等式組的可行域.ts為可行域內(nèi)的點到原點連線的斜率，易知－12≤ts1.綜上可知選D.
【突破思維障礙】
當s，t位于對稱軸x＝1的兩邊時，如何由s2－2s≥t2－2t判斷s，t之間的關(guān)系式，這時s，t與對稱軸x＝1的距離的遠近決定著不等式s2－2s≥t2－2t成立與否，通過數(shù)形結(jié)合判斷出關(guān)系式s－1≥1－t，從而得出s＋t≥2，此時有一個隱含條件為t1，再結(jié)合1≤s≤4及要求的式子的取值范圍就能聯(lián)想起線性規(guī)劃，從而突破了難點．要畫出s，t所在區(qū)域時，要結(jié)合ts的幾何意義為點(s，t)和原點連線的斜率，確定s為橫軸，t為縱軸．
【易錯點剖析】
當?shù)玫讲坏仁絪2－2s≥t2－2t后，如果沒有函數(shù)的思想將無法繼續(xù)求解，得到二次函數(shù)后也容易只考慮s，t都在二次函數(shù)y＝x2－2x的增區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，忽略考慮s，t在二次函數(shù)對稱軸兩邊的情況，考慮了s，t在對稱軸的兩邊，也容易漏掉隱含條件t1及聯(lián)想不起來線性規(guī)劃．
1．掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法(描點法，圖象變換法)，在畫函數(shù)圖象時，要特別注意到用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)解決問題．
2．合理處理識圖題與用圖題
(1)識圖．對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．
(2)用圖．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法，常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)函數(shù)f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于直線y＝x對稱
C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱
2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關(guān)于直線x＝－12對稱，則t的值為()
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(2011北京海淀區(qū)模擬)在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()
4．(2011深圳模擬)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為
()
5．設(shè)b0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()
A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．為了得到函數(shù)y＝3×(13)x的圖象，可以把函數(shù)y＝(13)x的圖象向________平移________個單位長度．
7．(2011黃山月考)函數(shù)f(x)＝2x－1x＋1的圖象對稱中心是________．
8．(2011沈陽調(diào)研)如下圖所示，向高為H的水瓶A、B、C、D同時以等速注水，注滿為止．
(1)若水量V與水深h函數(shù)圖象是下圖的(a)，則水瓶的形狀是________；
(2)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖的(b)，則水瓶的形狀是________．
(3)若注水時間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖的(c)，則水瓶的形狀是________；
(4)若水深h與注水時間t的函數(shù)的圖象是圖中的(d)，則水瓶的形狀是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求實數(shù)m的值；
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；
(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)0的解集；
(5)求當x∈[1,5)時函數(shù)的值域．

10．(12分)(2011三明模擬)當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范圍．

11．(14分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．

答案自主梳理
2．③奇偶性單調(diào)性周期性3.(1)左右|a|上下|a|(2)a1a10a1a(3)①原點y②y③x④原點⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方⑧右方
自我檢測
1．C[A項y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，
B項y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，
C項y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，
D項y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]
2．C
3．C[∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)，即f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．]
4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象知滿足條件的x∈(－1,0)．]
5．B[由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]
課堂活動區(qū)
例1解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，
即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，
其圖象如圖所示．
(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其圖象如圖所示．
(3)
作出y＝12x的圖象，保留y＝12x圖象中x≥0的部分，加上y＝12x的圖象中x0的部分關(guān)于y軸的對稱部分，
即得y＝12|x|的圖象．
變式遷移1解定義域是{x|x∈R且x≠±1}，且函數(shù)是偶函數(shù)．
又當x≥0且x≠1時，y＝1x－1.
先作函數(shù)y＝1x的圖象，并將圖象向右平移1個單位，得到函數(shù)y＝1x－1(x≥0且x≠1)的圖象(如圖(a)所示)．
又函數(shù)是偶函數(shù)，作關(guān)于y軸對稱圖象，
得y＝1|x|－1的圖象(如圖(b)所示)．
例2解題導(dǎo)引對于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．
（1）?A?[從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B.又x0時，g(x)為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù)，故f(x)g(x)為增函數(shù)，且正負取決于f(x)的正負，注意到x→（從小于0趨向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因為f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的圖象可以由y=f(x)的圖象按照如下變換得到：先將y=f(x)的圖象關(guān)于y軸翻折，得y=f(-x)的圖象，然后將y=f(-x)?的圖象向右平移一個單位，即得y=f(-x+1)的圖象.］
變式遷移2(1)A[考查函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖象可知：
當x0時，方程2x－x2＝0僅有一個零點，
且→－∞；
當x0時，方程2x－x2＝0有兩個零點2和4，
且→＋∞.]
(2)C[由圖象知f(x)為奇函數(shù)，排除D；
又0，±π2，±32π為方程f(x)＝0的根，故選C.]
例3解題導(dǎo)引原方程重新整理為|x2－4x＋3|＝x＋a，將兩邊分別設(shè)成一個函數(shù)并作出它們的圖象，即求兩圖象至少有三個交點時a的取值范圍．
方程的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，體現(xiàn)了《考綱》中函數(shù)與方程的重要思想方法．

解原方程變形為|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，設(shè)y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐標系下分別作出它們的圖象．如圖．則當直線y＝x＋a過點(1,0)時a＝－1；當直線y＝x＋a與拋物線y＝－x2＋4x－3相切時，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.
由圖象知當a∈[－1，－34]時方程至少有三個根．
變式遷移3(1，54)
解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14，x0.
當其圖象如圖所示時滿足題意．

由圖知a1，a－141，解得1a54.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[f(x)＝2x＋2－x，因為f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)圖象關(guān)于y軸對稱．]
2.D[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐標系中作出其圖象，
如圖，所以t＝1.]
3．D[選項A、B、C中直線方程中的a的范圍與對數(shù)函數(shù)中的a的范圍矛盾．]
4．C[函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝－f(x)的圖象向左平移1個單位即得到函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象．]
5．B[∵b0，∴前兩個圖象不是給出的二次函數(shù)圖象，又后兩個圖象的對稱軸都在y軸右邊，∴－b2a0，∴a0，又∵圖象過原點，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右1
解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，
∴y＝(13)x向右平移1個單位便得到y(tǒng)＝(13)x－1.
7．(－1,2)
解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，
∴函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(－1,2)．
8．(1)A(2)D(3)B(4)C
9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)

f(x)的圖象如右圖所示．
(3)由圖可知，f(x)的減區(qū)間是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由圖象可知f(x)0的解集為
{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝54，
由圖象知，函數(shù)在[1,5)上的值域為[0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解設(shè)f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使當x∈(1,2)時，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可．
當0a1時，由圖象知顯然不成立．……………………………………………………(4分)
當a1時，如圖，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等號成立的條件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二作出g(x)＝x＋e2x的圖象如圖：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，則只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等價于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，
作出g(x)＝x＋e2x(x0)的圖象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其對稱軸為x＝e，開口向下，
最大值為m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故當m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1時，
g(x)與f(x)有兩個交點，
即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)

延伸閱讀

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)學(xué)案含答案

學(xué)案9冪函數(shù)
導(dǎo)學(xué)目標：1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的圖象，了解它們的變化情況．
自主梳理
1．冪函數(shù)的概念
形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下：
定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(1,1)，且在第____象限無圖象．
(3)α0時，冪函數(shù)的圖象通過點________________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象________原點．
自我檢測
1．(2011石家莊月考)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±12四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)順序是()

A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011滄州模擬)設(shè)α∈{－1,1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．與函數(shù)y＝xx＋1的圖象形狀一樣的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知點(33，33)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究點一冪函數(shù)的定義與圖象
例1已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求當x為何值時：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．

變式遷移1若點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間．

探究點二冪函數(shù)的單調(diào)性
例2比較下列各題中值的大小．
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.

變式遷移2(1)比較下列各組值的大?。?br> ①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，則m的取值范圍是__________________________．
探究點三冪函數(shù)的綜合應(yīng)用
例3(2011葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的范圍．

變式遷移3已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2，2)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準．
2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．右圖是函數(shù)y＝(m，n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則()
A．m，n是奇數(shù)，且mn1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且mn1
2．(2010陜西)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x0，y0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．冪函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)
C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)
3．下列函數(shù)圖象中，正確的是()
4．(2010安徽)設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()
A．a(chǎn)cbB．a(chǎn)bc
C．cabD．bca
5．下列命題中正確的是()
①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；
②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；
③當n＝0時，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；
④冪函數(shù)y＝xn當n0時是增函數(shù)；
⑤冪函數(shù)y＝xn當n0時在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。?br> A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011邯鄲模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小順序是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0α1)，對于下列命題：①若x1，則f(x)1；②若0x1，則0f(x)1；③當x0時，若f(x1)f(x2)，則x1x2；④若0x1x2，則f(x1)x1f(x2)x2.
其中正確的命題序號是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當－1≤x1時，y＝f(x)的表達式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點(12，18)．求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達式．

10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．

11．(14分)(2011荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式；
(2)對于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域為[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由．

答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函數(shù)不過
自我檢測
1．B[方法一由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n0時不過原點，故C3，C4對應(yīng)的n值均為負，C1，C2對應(yīng)的n值均為正；
由增(減)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次為
2，12，－12，－2.
方法二作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點A1，A2，A3，A4，則其對應(yīng)點的縱坐標顯然為22,，，2－2，故n值分別為2，12，－12，－2.]
2．D[第一個圖象過點(0,0)，與④對應(yīng)；第二個圖象為反比例函數(shù)圖象，表達式為y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二個圖象對應(yīng)③；
第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三個圖象對應(yīng)①；
第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個圖象對應(yīng)②.
∴四個函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)順序為④③①②.]
3．A4.C5.B
課堂活動區(qū)
例1解(1)設(shè)f(x)＝xα，
∵圖象過點(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
設(shè)g(x)＝xβ，∵圖象過點(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．

由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(－1，1)和(1,1)．
∴①當x1，或x－1時，f(x)g(x)；
②當x＝1，或x＝－1時，f(x)＝g(x)；
③當－1x1且x≠0時，f(x)g(x)．
變式遷移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，
如例1圖所示，
則有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解題導(dǎo)引比較兩個冪的大小關(guān)鍵是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同，若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同，利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不相同，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋”進行分組．
解(1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30.830.7.
(2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
變式遷移2(1)①②
(2)m0
解析根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象，
當0x1時，0y1，∴00.71.31.
又根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.7的圖象，
當x1時，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
對于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，當x0時，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m0.
例3解∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴m2－2m－3是偶數(shù)，
而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，
12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，
∴等價于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范圍為{a|a－1或23a32}．
變式遷移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m與m＋1中必有一個為偶數(shù)，
∴m(m＋1)為偶數(shù)．
∴函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范圍為[1，32)．
課后練習(xí)區(qū)
1．C[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)，
∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．
又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴冪函數(shù)f(x)＝xα不具有此性質(zhì)．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax不具有此性質(zhì)．
∵ax＋y＝axay，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax具有此性質(zhì)．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函數(shù)y＝cosx不具有此性質(zhì)．]
3．C[對A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B圖象不正確；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax應(yīng)為減函數(shù)，D錯．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)遞增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)遞減，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
經(jīng)檢驗m＝1或2都適合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限內(nèi)的圖象，如圖所示，
可判定①②③正確，
又fxx表示圖象上的點與原點連線的斜率，
當0x1x2時應(yīng)有fx1x1fx2x2，故④錯．
9．解設(shè)在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由點(12，18)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由條件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
當n＝0,2時，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上單調(diào)遞增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函數(shù)．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假設(shè)存在q0滿足題設(shè)，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(2q－12q，4q2＋14q)處取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)拋物線學(xué)案附答案

學(xué)案53拋物線

導(dǎo)學(xué)目標：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．
自主梳理
1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(Fl)距離______的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的__________，直線l叫做拋物線的________．
2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
標準方程y2＝2px
(p0)y2＝－2px
(p0)x2＝2py
(p0)x2＝－2py
(p0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形

頂點O(0,0)
對稱軸y＝0x＝0
焦點F(p2，0)
F(－p2，0)
F(0，p2)
F(0，－p2)

離心率e＝1
準線方程x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2

范圍x≥0，
y∈Rx≤0，
y∈Ry≥0，
x∈Ry≤0，
x∈R
開口方向向右向左向上向下

自我檢測
1．(2010四川)拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是()
A．1B．2C．4D．8
2．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓x26＋y22＝1的右焦點重合，則p的值為()
A．－2B．2C．－4D．4
3．(2011陜西)設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()
A．y2＝－8xB．y2＝8x
C．y2＝－4xD．y2＝4x
4．已知拋物線y2＝2px(p0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有()
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1||FP3|
5．(2011佛山模擬)已知拋物線方程為y2＝2px(p0)，過該拋物線焦點F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A、B兩點，過點A、點B分別作AM、BN垂直于拋物線的準線，分別交準線于M、N兩點，那么∠MFN必是()
A．銳角B．直角
C．鈍角D．以上皆有可能
探究點一拋物線的定義及應(yīng)用
例1已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時P點的坐標．

變式遷移1已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為()
A.14，－1B.14，1
C．(1,2)D．(1，－2)
探究點二求拋物線的標準方程
例2(2011蕪湖調(diào)研)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程．

變式遷移2根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：
(1)拋物線的焦點F是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；
(2)過點P(2，－4)．

探究點三拋物線的幾何性質(zhì)
例3過拋物線y2＝2px的焦點F的直線和拋物線相交于A，B兩點，如圖所示．
(1)若A，B的縱坐標分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2；
(2)若直線AO與拋物線的準線相交于點C，求證：BC∥x軸．

變式遷移3已知AB是拋物線y2＝2px(p0)的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證：
(1)x1x2＝p24；
(2)1|AF|＋1|BF|為定值．

分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)過拋物線y2＝2px(p0)焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，過B點作其準線的垂線，垂足為D，設(shè)O為坐標原點，問：是否存在實數(shù)λ，使AO→＝λOD→？
多角度審題這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在，設(shè)出A、B兩點坐標，從而得到D點坐標，再設(shè)出直線AB的方程，利用方程組和向量條件求出λ.
【答題模板】
解假設(shè)存在實數(shù)λ，使AO→＝λOD→.
拋物線方程為y2＝2px(p0)，
則Fp2，0，準線l：x＝－p2，
(1)當直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時，
交點A、B坐標不妨設(shè)為：Ap2，p，Bp2，－p.
∵BD⊥l，∴D－p2，－p，
∴AO→＝－p2，－p，OD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使AO→＝λOD→.[4分]
(2)當直線AB的斜率存在時，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx－p2(k≠0)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D－p2，y2，x1＝y(tǒng)212p，x2＝y(tǒng)222p，
由y＝kx－p2y2＝2px得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]
AO→＝(－x1，－y1)＝－y212p，－y1，OD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，
假設(shè)存在實數(shù)λ，使AO→＝λOD→，則－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y(tǒng)21p2，∴存在實數(shù)λ＝y(tǒng)21p2，使AO→＝λOD→.
綜上所述，存在實數(shù)λ，使AO→＝λOD→.[12分]
【突破思維障礙】
由拋物線方程得其焦點坐標和準線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點坐標關(guān)系，求出AO→和OD→的坐標，判斷λ是否存在．
【易錯點剖析】
解答本題易漏掉討論直線AB的斜率不存在的情況，出現(xiàn)錯誤的原因是對直線的點斜式方程認識不足．
1．關(guān)于拋物線的定義
要注意點F不在定直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線．
2．關(guān)于拋物線的標準方程
拋物線的標準方程有四種不同的形式，這四種標準方程的聯(lián)系與區(qū)別在于：
(1)p的幾何意義：參數(shù)p是焦點到準線的距離，所以p恒為正數(shù)．
(2)方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向．
3．關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì)
拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握，但由于拋物線的離心率等于1，所以拋物線的焦點弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛．例如：
已知過拋物線y2＝2px(p0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011大綱全國)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB等于()
A.45B.35
C．－35D．－45
2．(2011湖北)將兩個頂點在拋物線y2＝2px(p0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則()
A．n＝0B．n＝1
C．n＝2D．n≥3
3．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是()
A．相離B．相交C．相切D．不確定
4．(2011泉州月考)已知點A(－2,1)，y2＝－4x的焦點是F，P是y2＝－4x上的點，為使|PA|＋|PF|取得最小值，則P點的坐標是()
A.－14，1B．(－2,22)
C.－14，－1D．(－2，－22)
5．設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若OA→AF→＝－4，則點A的坐標為()
A．(2，±2)B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2，2)
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011重慶)設(shè)圓C位于拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為________．
7．(2011濟寧期末)已知A、B是拋物線x2＝4y上的兩點，線段AB的中點為M(2,2)，則|AB|＝________.
8．(2010浙江)設(shè)拋物線y2＝2px(p0)的焦點為F，點A(0，2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x＋1所得的弦長為15，求拋物線方程．

10．(12分)(2011韶關(guān)模擬)已知拋物線C：x2＝8y.AB是拋物線C的動弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點為Q，證明：AQ⊥BQ.

11．(14分)(2011濟南模擬)已知定點F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F的直線l2交軌跡C于兩點P、Q，交直線l1于點R，求RP→RQ→的最小值．

學(xué)案53拋物線
自主梳理
1．相等焦點準線
自我檢測
1．C
2．B[因為拋物線的準線方程為x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以拋物線的方程是y2＝8x.所以選B.]
3．B4.C5.B
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化，是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．
解
將x＝3代入拋物線方程
y2＝2x，得y＝±6.
∵62，∴A在拋物線內(nèi)部．
設(shè)拋物線上點P到準線l：
x＝－12的距離為d，由定義知
|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為72，
即|PA|＋|PF|的最小值為72，
此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴點P坐標為(2,2)．
變式遷移1A[
點P到拋物線焦點的距離等于點P到拋物線準線的距離，如圖，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三點共線時取得，此時P，Q的縱坐標都是－1，點P的坐標為14，－1.]
例2解題導(dǎo)引(1)求拋物線方程時，若由已知條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法．若由已知條件可知所求曲線的動點的軌跡，一般用軌跡法；
(2)待定系數(shù)法求拋物線方程時既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數(shù)p的值)．解題關(guān)鍵是定位，最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解；
(3)解決拋物線相關(guān)問題時，要善于用定義解題，即把|PF|轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離，這種“化斜為直”的轉(zhuǎn)化方法非常有效，要注意領(lǐng)會和運用．
解方法一設(shè)拋物線方程為
x2＝－2py(p0)，
則焦點為F0，－p2，準線方程為y＝p2.
∵M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.
∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±26，
準線方程為y＝2.
方法二如圖所示，
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p0)，
則焦點F0，－p2，
準線l：y＝p2，作MN⊥l，垂足為N.
則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，
∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y，
準線方程為y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.
變式遷移2解(1)雙曲線方程化為x29－y216＝1，
左頂點為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p0)且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程為y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設(shè)方程為y2＝mx(m0)或x2＝ny(n0)，代入P點坐標求得m＝8，n＝－1，
∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.
例3解題導(dǎo)引解決焦點弦問題時，拋物線的定義有著廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì)．焦點弦有以下重要性質(zhì)(AB為焦點弦，以y2＝2px(p0)為例)：
①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；
②|AB|＝x1＋x2＋p.
證明(1)方法一由拋物線的方程可得焦點坐標為Fp2，0.設(shè)過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)．
①當斜率存在時，過焦點的直線方程可設(shè)為
y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，
消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)
當k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0，
由韋達定理，得y1y2＝－p2；
②當斜率不存在時，得兩交點坐標為
p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.
綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2.
方法二由拋物線方程可得焦點Fp2，0，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋p2，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A、B坐標滿足x＝ky＋p2，y2＝2px，
消去x，可得y2＝2pky＋p2，
整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.
(2)直線AC的方程為y＝y(tǒng)1x1x，
∴點C坐標為－p2，－py12x1，yC＝－py12x1＝－p2y12px1.
∵點A(x1，y1)在拋物線上，∴y21＝2px1.
又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y(tǒng)1y2y1y21＝y(tǒng)2，∴BC∥x軸．
變式遷移3證明(1)∵y2＝2px(p0)的焦點Fp2，0，設(shè)直線方程為y＝kx－p2(k≠0)，
由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∴y1y2＝－p2，x1x2＝y(tǒng)1y224p2＝p24，
當k不存在時，直線方程為x＝p2，這時x1x2＝p24.
因此，x1x2＝p24恒成立．
(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2
＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.
又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常數(shù)，
所以1|AF|＋1|BF|為定值．
課后練習(xí)區(qū)
1．D[方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.
令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，
∴由兩點間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.
∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF||AF|＝4＋25－452×2×5
＝－45.
方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(xiàn)(1,0)，
∴FA→＝(3,4)，F(xiàn)B→＝(0，－2)，
∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.
∴cos∠AFB＝FA→FB→|FA→||FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]
2．C[
如圖所示，A，B兩點關(guān)于x軸對稱，F(xiàn)點坐標為(p2，0)，設(shè)A(m，2pm)(m0)，則由拋物線定義，
|AF|＝|AA1|，
即m＋p2＝|AF|.
又|AF|＝|AB|＝22pm，
∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①
∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p20，
∴方程①有兩相異實根，記為m1，m2，且m1＋m2＝7p0，m1m2＝p240，
∴m10，m20，∴n＝2.]
3．C
4．A[過P作PK⊥l(l為拋物線的準線)于K，則|PF|＝|PK|，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|.
∴當P點的縱坐標與A點的縱坐標相同時，|PA|＋|PK|最小，此時P點的縱坐標為1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即當P點的坐標為－14，1時，|PA|＋|PF|最?。甝
5．B
6.6－1
解析如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x＝3同時相切，設(shè)圓心的坐標為(a,0)(a3)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝(3－a)2，與拋物線方程y2＝2x聯(lián)立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判別式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此時半徑為3－(4－6)＝6－1.
7．42
解析由題意可設(shè)AB的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯(lián)立得x2－4kx－4m＝0，線段AB中點坐標為(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.
又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，
∴m＝0.從而直線AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42.
8.324
解析拋物線的焦點F的坐標為p2，0，線段FA的中點B的坐標為p4，1，代入拋物線方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故點B的坐標為24，1，故點B到該拋物線準線的距離為24＋22＝324.
9．解設(shè)直線和拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)當拋物線開口向右時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p0)，則y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，
4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分)
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝5x1＋x22－4x1x2
＝5p－222－4×14＝15，(7分)
則p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，
拋物線方程為y2＝12x.(9分)
(2)當拋物線開口向左時，設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p0)，仿(1)不難求出p＝2，
此時拋物線方程為y2＝－4x.(11分)
綜上可得，
所求的拋物線方程為y2＝－4x或y2＝12x.(12分)
10．證明因為直線AB與x軸不垂直，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由y＝kx＋2，y＝18x2，
可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分)
拋物線方程為y＝18x2，求導(dǎo)得y′＝14x.(7分)
所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是
k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x114x2
＝116x1x2＝－1.(10分)
所以AQ⊥BQ.(12分)
11．解(1)由題設(shè)點C到點F的距離等于它到l1的距離，
所以點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，
∴所求軌跡的方程為x2＝4y.(5分)
(2)由題意直線l2的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2－4kx－4＝0.
記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分)
因為直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為－2k，－1.(9分)
RP→RQ→＝x1＋2k，y1＋1x2＋2k，y2＋1
＝x1＋2kx2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4
＝－4(1＋k2)＋4k2k＋2k＋4k2＋4
＝4k2＋1k2＋8，(11分)
∵k2＋1k2≥2，當且僅當k2＝1時取到等號．
RP→RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→RQ→的最小值為16.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)隨機抽樣學(xué)案附答案

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更好地進入課堂環(huán)境中來，減輕教師們在教學(xué)時的教學(xué)壓力。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)隨機抽樣學(xué)案附答案”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

第十章概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例
學(xué)案56隨機抽樣

導(dǎo)學(xué)目標：1.理解隨機抽樣的必要性和重要性.2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本.3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．
自主梳理
1．簡單隨機抽樣
(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中____________抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都________，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：__________和____________．
2．系統(tǒng)抽樣的步驟
假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．
(1)先將總體的N個個體進行________；
(2)確定____________，對編號進行________．當Nn(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝Nn；
(3)在第1段用________________確定第一個個體編號l(l≤k)；
(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號________，再加k得到第3個個體編號________，依次進行下去，直到獲取整個樣本．
3．分層抽樣
(1)定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：
當總體是由________________________________組成時，往往選用分層抽樣．
自我檢測
1．為了了解所加工的一批零件的長度，抽取其中200個零件并測量其長度，在這個問題中，200個零件的長度是()
A．總體B．個體
C．總體的一個樣本D．樣本容量
2．某牛奶生產(chǎn)線上每隔30分鐘抽取一袋進行檢驗，則該抽樣方法為①；從某中學(xué)的30名數(shù)學(xué)愛好者中抽取3人了解學(xué)習(xí)負擔(dān)情況，則該抽樣方法為②.那么()
A．①是系統(tǒng)抽樣，②是簡單隨機抽樣
B．①是分層抽樣，②是簡單隨機抽樣
C．①是系統(tǒng)抽樣，②是分層抽樣
D．①是分層抽樣，②是系統(tǒng)抽樣
3．(2010四川)一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的為160人，具有中級職稱的為320人，具有初級職稱的為200人，其余人員120人．為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本．則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是()
A．12,24,15,9B．9,12,12,7
C．8,15,12,5D．8,16,10,6
4．(2010重慶)某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為()
A．7B．15C．25D．35
5．(2011天津模擬)在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取量為20的樣本，則三級品a被抽到的可能性為________.
探究點一抽樣方法的選取
例1(2011濟寧檢測)要完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會購買力的某項指標；②某中學(xué)的15名藝術(shù)特長生中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負擔(dān)情況．宜采用的抽樣方法依次為()
A．①簡單隨機抽樣法，②系統(tǒng)抽樣法
B．①分層抽樣法，②簡單隨機抽樣法
C．①系統(tǒng)抽樣法，②分層抽樣法
D．①②都用分層抽樣法
變式遷移1某高級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()
A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣
B．②、④都不能為分層抽樣
C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣
D．①、③都可能為分層抽樣
探究點二系統(tǒng)抽樣
例2(2010湖北)將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001,002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
變式遷移2(2009廣東)某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工作為樣本．用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是________．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取______________________人．
探究點三分層抽樣
例3某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()
A．9B．18C．27D．36
變式遷移3某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法(每個分廠的產(chǎn)品為一層)從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h,1020h,1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為________h.

1．簡單隨機抽樣的特點：(1)樣本的總體個數(shù)不多；(2)從總體中逐個不放回地抽取，是不放回抽樣；(3)是一種等機會抽樣，各個個體被抽取的機會均等，保證了抽樣的公平性．
2．系統(tǒng)抽樣的特點：(1)適用于總體個數(shù)較多的情況；(2)剔除多余個體并在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；(3)是等可能抽樣．
3．對于分層抽樣的理解應(yīng)注意：(1)分層抽樣適用于由差異明顯的幾部分組成的情況；(2)在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣；(3)分層抽樣充分利用已掌握的信息，使樣本具有良好的代表性；(4)分層抽樣也是等概率抽樣，而且在每層抽樣時，可以根據(jù)具體情況采用不同的抽樣方法，因此應(yīng)用較為廣泛．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011臺州第一次調(diào)研)現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查：
①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查；②科技報告廳有32排，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請32名聽眾進行座談．③東方中學(xué)共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是()
A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣
B．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣
C．①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層抽樣
D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣
2．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查，這種抽樣方法是()
A．簡單隨機抽樣法B．抽簽法
C．隨機數(shù)法D．分層抽樣法
3．要從已經(jīng)編號(1～60)的60枚最新研制的某型號導(dǎo)彈中隨機抽取6枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導(dǎo)彈的編號可能是()
A．5,10,15,20,25,30B．3,13,23,33,43,53
C．1,2,3,4,5,6D．2,4,8,16,32,48
4．某校共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表．已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級抽取的學(xué)生的人數(shù)為()
一年級二年級三年級
女生373xy
男生377370z
A.24B．18C．16D．12
5．(2011陜西師大附中模擬)某中學(xué)開學(xué)后從高一年級的學(xué)生中隨機抽取90名學(xué)生進行家庭情況調(diào)查，經(jīng)過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學(xué)生進行學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過，估計這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為()
A．180B．400C．450D．2000
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．一個總體有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99，依編號順序平均分成10組，組號依次為1,2,3，…，10，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組中隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是________．
7．(2011舟山月考)某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生．為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名學(xué)生．
8．一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為112，則總體中的個體數(shù)為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)某校高中三年級的295名學(xué)生已經(jīng)編號為1,2，…，295，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1∶5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程．

10．(12分)(2011潮州模擬)潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000,1500))．
(1)求居民月收入在[3000,3500)的頻率；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在[2500,3000)的這段應(yīng)抽多少人？
11．(14分)某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如表所示：

文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計
20至40歲401858
大于40歲152742
總計5545100
(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？
(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？
(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率．

學(xué)案56隨機抽樣
自主梳理
1．(1)逐個不放回地相等(2)抽簽法隨機數(shù)法
2．(1)編號(2)分段間隔k分段(3)簡單隨機抽樣(4)(l＋k)(l＋2k)3.(2)差異明顯的幾個部分
自我檢測
1．C
2．A[因為①中牛奶生產(chǎn)線上生產(chǎn)的牛奶數(shù)量很大，每隔30分鐘抽取一袋，這符合系統(tǒng)抽樣；②中樣本容量和總體容量都很小，采用的是簡單隨機抽樣．]
3．D[由題意，各種職稱的人數(shù)比為160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初級職稱的人數(shù)和其他人員的人數(shù)分別為40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.]
4．B[由題意知青年職工人數(shù)∶中年職工人數(shù)∶老年職工人數(shù)＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由樣本中青年職工為7人，得樣本容量為15.]
5.16
解析每一個個體被抽到的概率都是樣本容量除以總體，即20120＝16.
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引解決本題的關(guān)鍵在于對各種抽樣方法概念的正確理解以及在每一次抽樣的步驟中所采用的抽樣方法．采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定．
B[①中總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成，宜采用分層抽樣法，②中總體中的個體數(shù)較少，宜采用簡單隨機抽樣法．]
變式遷移1D[③中每部分選取的號碼間隔一樣(都是27)，可能為系統(tǒng)抽樣方法，排除A；②可能為分層抽樣，排除B；④不是系統(tǒng)抽樣，排除C，故選D.]
例2解題導(dǎo)引系統(tǒng)抽樣是一種等間隔抽樣，間隔k＝Nn(其中n為樣本容量，N為總體容量)．預(yù)先定出規(guī)則，一旦第1段用簡單隨機抽樣確定出起始個體的編號，那么樣本中的個體編號就確定下來．從小號到大號逐次遞增k，依次得到樣本全部．因此可以聯(lián)想等差數(shù)列的知識結(jié)合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ營區(qū)的編號范圍來求解．
B[由題意，系統(tǒng)抽樣間隔k＝60050＝12，故抽到的個體編號為12k＋3(其中k＝0,1,2,3，…，49)．令12k＋3≤300，解得k≤24.
∴k＝0,1,2，…，24，共25個編號．
所以從Ⅰ營區(qū)抽取25人；
令30012k＋3≤495，解得25≤k≤41.
∴k＝25,26,27，…，41，共17個編號．
所以從Ⅱ營區(qū)抽取17人；
因此從第Ⅲ營區(qū)抽取50－25－17＝8(人)．]
變式遷移23720
解析由分組可知，抽號的間隔為5，又因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37.
40歲以下的年齡段的職工數(shù)為200×0.5＝100(人)，則應(yīng)抽取的人數(shù)為40200×100＝20(人)．
例3解題導(dǎo)引分層抽樣中各層抽取的個體數(shù)依各層個體數(shù)成比例分配．因此要善于利用列比例等式來解決該類問題．必要時引進字母來表示一些未知量．
B[設(shè)該單位老年職工有x人，從中抽取y人．
則160＋3x＝430x＝90，即老年職工有90人，
則90160＝y(tǒng)32y＝18.]
變式遷移31013
解析利用分層抽樣可知從3個分廠抽出的100個電子產(chǎn)品中，每個廠中的產(chǎn)品個數(shù)比也為1∶2∶1，故分別有25,50,25個．再由三個廠子算出的平均值可得100件產(chǎn)品的總的平均壽命為
980×25＋1020×50＋1032×25100＝1013(h)．
課后練習(xí)區(qū)
1．A[①總體較少，宜用簡單隨機抽樣；②已分段，宜用系統(tǒng)抽樣；③各層間差距較大，宜用分層抽樣．]
2．D[由分層抽樣的定義可知，該抽樣為按比例的抽樣．]
3．B[系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，間隔k＝606＝10.]
4．C[∵二年級女生有2000×0.19＝380(人)，
∴三年級共有2000－(373＋377)－(380＋370)＝500(人)．
∴應(yīng)在三年級抽取的人數(shù)為642000×500＝16(人)．]
5．C[設(shè)這個學(xué)校高一年級人數(shù)為x，
則90x＝20100，∴x＝450.]
6．63
解析由題意知，第7組中抽取的號碼的個位數(shù)與6＋7的個位數(shù)相同，即為3；又第7組中號碼的十位上的數(shù)為6，所以在第7組中抽取的號碼是63.
7．40
解析由題知C專業(yè)有學(xué)生1200－380－420＝400(名)，
那么C專業(yè)應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為120×4001200＝40(名)．
8．120
解析分層抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，
則10x＝112x＝120.
9．解按照1∶5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為295÷5＝59，我們把295名同學(xué)分成59組，每組5人．(4分)
第1組是編號為1～5的5名學(xué)生，第2組是編號為6～10的5名學(xué)生，依次下去，第59組是編號為291～295的5名學(xué)生．(8分)
采用簡單隨機抽樣的方法，從第1組5名學(xué)生中抽出一名學(xué)生，不妨設(shè)編號為l(1≤l≤5)，那么抽取的學(xué)生編號為(l＋5k)(k＝0,1,2，…，58)，得到59個個體作為樣本，如當l＝3時的樣本編號為3,8,13，…，288,293.
(12分)
10．解(1)月收入在[3000,3500)的頻率為
0．0003×(3500－3000)＝0.15.(2分)
(2)∵0.0002×(1500－1000)＝0.1，
0．0004×(2000－1500)＝0.2，
0．0005×(2500－2000)＝0.25，
0．1＋0.2＋0.25＝0.550.5.
∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為
2000＋0.5－0.1＋0.20.0005
＝2000＋400＝2400.(6分)
(3)居民月收入在[2500,3000)的頻率為
0．0005×(3000－2500)＝0.25，
所以10000人中月收入在[2500,3000)的人數(shù)為0.25×10000＝2500(人)，
再從10000人中分層抽樣方法抽出100人，則月收入在[2500，3000)的這段應(yīng)抽取100×250010000＝25(人)．
(12分)
11．解(1)因為在20至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．(4分)
(2)從題中所給條件可以看出收看新聞節(jié)目的共45人，隨機抽取5人，則抽樣比為545＝19，故大于40歲的觀眾應(yīng)抽取27×19＝3(人)．(8分)
(3)抽取的5名觀眾中大于40歲的有3人，在20至40歲的有2人，記大于40歲的人為a1，a2，a3,20至40歲的人為b1，b2，則從5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10個，其中恰有1人為20至40歲的有6個，
故所求概率為610＝35.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程學(xué)案有答案

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，教師要準備好教案，這是教師需要精心準備的。教案可以讓上課時的教學(xué)氛圍非?；钴S，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程學(xué)案有答案”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

學(xué)案11函數(shù)與方程
導(dǎo)學(xué)目標：1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值．
自主梳理
1．函數(shù)零點的定義
(1)對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．
(2)方程f(x)＝0有實根函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點函數(shù)y＝f(x)有________．
2．函數(shù)零點的判定
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點存在性定理．
3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象與零點的關(guān)系
Δ0Δ＝0Δ0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c
(a0)的圖象

與x軸的交點________，
________________無交點
零點個數(shù)________________________
4.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟
第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證________________，給定精確度ε；
第二步，求區(qū)間(a，b)的中點c；
第三步，計算______：
①若________，則c就是函數(shù)的零點；
②若________，則令b＝c[此時零點x0∈(a，c)]；
③若________，則令a＝c[此時零點x0∈(c，b)]；
第四步，判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步．
自我檢測
1．(2010福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零點個數(shù)為()
A．0B．1C．2D．3
2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點()
A．至少有一個B．至多有一個
C．有且只有一個D．可能有無數(shù)個
3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是()
A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程的根所在的區(qū)間是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能確定
5．(2011福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究點一函數(shù)零點的判斷
例1判斷函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點個數(shù)．

變式遷移1(2011煙臺模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是()
A．多于4個B．4個
C．3個D．2個
探究點二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解(精確度0.1)．

變式遷移2(2011淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋lnx＋12的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應(yīng)計算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()
A.0，12B．(0,1)f12
C.12，1D.0，12
探究點三利用函數(shù)的零點確定參數(shù)
例3已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍．
變式遷移3若函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
1．全面認識深刻理解函數(shù)零點：
(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實數(shù)x；
(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；
(3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；
(4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．
2．求函數(shù)y＝f(x)的零點的方法：
(1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點；
(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點的近似值，二分法的條件f(a)f(b)0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點．
3．有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論：
(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點；
(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；
(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010天津)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－13x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，則f(x1)的值()
A．恒為負B．等于零
C．恒為正D．不小于零
3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()
4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個零點x1、x2，且x1x2，則()
A．x12,2x25
B．x12，x25
C．x12，x25
D．2x15，x25
5．(2011廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是()
A．4B．3C．2D．1
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x0時，f(x)＝2006x＋log2006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為________．
7．(2011深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________．
8．(2009山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
證明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.

10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0，求實數(shù)p的取值范圍．
11．(14分)(2011杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求證：
(1)a0且－3ba－34；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點；
(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則2≤|x1－x2|574.

答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個一個無4.f(a)f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)f(c)0③f(c)f(b)0
自我檢測
1．C[當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
當x0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函數(shù)有兩個零點．]
2．B3.B4.B5.A
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，解出方程有幾個根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個零點，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧．
解方法一設(shè)f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均為增函數(shù)，
∴f(x)也是增函數(shù)．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，
∴f(x)在(1,3)上存在零點．又f(x)為增函數(shù)，
∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點．
方法二在同一坐標系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個零點．
變式遷移1B[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右
邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個交點，因此零點個數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個．]
例2解題導(dǎo)引①用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區(qū)間、中點坐標、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程；
②在確定方程近似解所在的區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應(yīng)函數(shù)的零點所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長度盡可能小，且滿足f(a)f(b)0；
③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度ε，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|ε時，可停止計算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù)，結(jié)果不唯一．
解設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3.
經(jīng)計算，f(0)＝－30，f(1)＝20，
所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．
取(0,1)的中點0.5，經(jīng)計算f(0.5)0，
又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解，
如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.
(a，b)(a，b)
的中點fa＋b2

(0,1)0.5f(0.5)0
(0.5,1)0.75f(0.75)0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1
至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點0.6875作為函數(shù)f(x)零點的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個近似解．
變式遷移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及l(fā)nx＋12在－12，＋∞上是增函數(shù)，故f(x)在－12，＋∞上也是增函數(shù)，
故f(x)在0，12上存在零點，所以x0∈0，12，
第二次計算應(yīng)計算0和12在數(shù)軸上對應(yīng)的中點
x1＝0＋122＝14.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①當a＝－3－72時，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
當a＝－3＋72時，f(x)＝0的重根x＝3＋72[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一個零點在[－1,1]上；
②當f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)0，
即1a5時，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個零點．
③當y＝f(x)在[－1,1]上有兩個零點時，則
a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，
解得a≥5或a－3－72.
綜上所述實數(shù)a的取值范圍是a1或a≤－3－72.
變式遷移3解方法一(換元)
設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，等價于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實數(shù)根．
(1)當方程①有兩個正實根時，
a應(yīng)滿足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1t2＝a＋10，
解得：－1a≤2－22；
(2)當方程①有一正根一負根時，只需t1t2＝a＋10，
即a－1；
(3)當方程①有一根為0時，a＝－1，此時方程①的另一根為1.
綜上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)當函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在兩個零點時，
實數(shù)a應(yīng)滿足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，
解得－1a≤2－22；
(2)當函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在一個零點，另一個零點在(－∞，0)時，實數(shù)a應(yīng)滿足g(0)＝a＋10，
解得a－1；
(3)當函數(shù)g(t)的一個零點是0時，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時可以求得函數(shù)g(t)的另一個零點是1.
綜上(1)(2)(3)知a≤2－22.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[因為f(－1)＝12－30，f(0)＝10，
所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．]
2．A
3．C[能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)0，D中函數(shù)不連續(xù)．]
4．C
5．B[當x≤1時，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個交點，可得h(x)有兩個零點，當x1時，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個交點，可得函數(shù)h(x)有1個零點，∴函數(shù)h(x)共有3個零點．]
6．3
解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當x0時，f(x)＝2006x＋log2006x在區(qū)間(0，12006)內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3.
7．x1x2x3
解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設(shè)y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
設(shè)y＝lnx，y＝－x.
在同一坐標系內(nèi)畫出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x10x21，令x－x－1＝0，則(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋521，所以x1x2x3.
8．a(chǎn)1
解析設(shè)函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個零點，就是函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個交點，由圖象可知當0a1時兩函數(shù)只有一個交點，不符合；當a1時，因為函數(shù)y＝ax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是a1.
9．證明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)g(12)0.……………………………………………………………………………(8分)
又函數(shù)g(x)在(0，12)上連續(xù)，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)
10．解二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，
使f(c)0的否定是：對于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一個x都有f(x)≤0.……………………(4分)
此時f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0的實數(shù)p的取值范圍是
－3p32.…………………………………………………………………………………(12分)
11．證明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a2c2b，∴3a0,2b0，
∴a0，b0.
又2c＝－3a－2b，由3a2c2b，
∴3a－3a－2b2b.
∵a0，∴－3ba－34.……………………………………………………………………(4分)
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①當c0時，∵a0，
∴f(0)＝c0且f(1)＝－a20，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(7分)
②當c≤0時，
∵a0，
∴f(1)＝－a20且f(2)＝a－c0，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點．
綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(10分)
(3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝－ba2－4－32－ba
＝ba＋22＋2.(12分)
∵－3ba－34，
∴2≤|x1－x2|574.……………………………………………………………………(14分)