高中對數(shù)函數(shù)教案

高考數(shù)學（理科）一輪復習對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案帶答案。

俗話說，凡事預則立，不預則廢。作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學任務。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高考數(shù)學（理科）一輪復習對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案帶答案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

學案8對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
導學目標：1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a0，a≠1)，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．

自主梳理
1．對數(shù)的定義
如果________________，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中____叫做對數(shù)的底數(shù)，______叫做真數(shù)．
2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則
(1)對數(shù)的性質(zhì)(a0且a≠1)
①＝____；②＝____；
③＝____；④＝____.
(2)對數(shù)的重要公式
①換底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②＝，推廣＝________.
(3)對數(shù)的運算法則
如果a0且a≠1，M0，N0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②logaMN＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④＝nmlogaM.
3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a10a1
圖
象

性
質(zhì)(1)定義域：______
(2)值域：______
(3)過點______，即x＝____時，y＝____
(4)當x1時，______
當0x1時，______(5)當x1時，______當0x1時，______
(6)是(0，＋∞)上的______函數(shù)(7)是(0，＋∞)上的______函數(shù)

4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)____________互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線______對稱．
自我檢測
1．(2010四川)2log510＋log50.25的值為()
A．0B．1C．2D．4
2．(2010遼寧)設2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，則m的值為()
A.10B．10C．20D．100
3．(2009遼寧)已知函數(shù)f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝12x；當x4時，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為()
A.124B.112C.18D.38
4．(2010安慶模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f(13)＝0，則滿足0的x的取值范圍是()
A．(0，＋∞)B．(0，12)∪(2，＋∞)
C．(0，18)∪(12，2)D．(0，12)
5．(2011臺州期末)已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，則m與n的大小關系是______.
探究點一對數(shù)式的化簡與求值
例1計算：(1)；
(2)12lg3249－43lg8＋lg245；
(3)已知2lgx－y2＝lgx＋lgy，求.JAB88.CoM

變式遷移1計算：
(1)log2748＋log212－12log242－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.

探究點二含對數(shù)式的大小比較
例2(1)比較下列各組數(shù)的大?。?br> ①log323與log565；
②log1.10.7與log1.20.7.
(2)已知log12blog12alog12c，比較2b,2a,2c的大小關系．

變式遷移2(1)(2009全國Ⅱ)設a＝log3π，b＝log23，c＝log32，則()
A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cb
C．bacD．bca
(2)設a，b，c均為正數(shù)，且2a＝，(12)b＝，(12)c＝log2c，則()
A．a(chǎn)bcB．cba0
C．cabD．bac
探究點三對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
例3已知f(x)＝logax(a0且a≠1)，如果對于任意的x∈[13，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是()
A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
分類討論思想的應用
例(12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a0，a≠1)．
(1)解關于x的不等式：loga(1－ax)f(1)；
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點，求證：直線AB的斜率小于0.
【答題模板】
(1)解∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a0.∴0a1.
∴不等式可化為loga(1－ax)loga(1－a)．
∴1－ax0，1－ax1－a.，即ax1，axa.∴0x1.
∴不等式的解集為(0,1)．[4分]
(2)證明設x1x2，則f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1－ax0，∴ax1.
∴a1時，f(x)的定義域為(－∞，0)；[6分]
0a1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)．
當0a1時，∵x2x10，∴.
∴1.∴0.
∴f(x2)f(x1)，即y2y1.
同理可證，當a1時，也有y2y1.[10分]
綜上：y2y1，即y2－y10.∴kAB＝y(tǒng)2－y1x2－x10.
∴直線AB的斜率小于0.[12分]
【突破思維障礙】
解決含參數(shù)的對數(shù)問題，不可忽視對底數(shù)a的分類討論，即a1或0a1，其次要看定義域，如果將函數(shù)變換，務必保證等價性．
1．求解與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：
(1)確定定義域；
(2)弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(4)若這兩個函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”．
2．用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
(1)同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較
例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，
其中a0且a≠1.
①若a1，則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.
②若0a1，則logaf(x)logag(x)0f(x)g(x)．
(2)同真數(shù)的對數(shù)值大小關系如圖：
圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0cd1ab.
3．常見對數(shù)方程式或?qū)?shù)不等式的解法
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a0且a≠1)等價于f(x)＝g(x)，但要注意驗根．對于logaf(x)logag(x)等價于0a1時，a1時，
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)0或F(logax)0，一般采用換元法求解．

(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010北京市豐臺區(qū)高三一調(diào))設M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N等于()
A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010全國Ⅰ)設a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，則()
A．a(chǎn)bcB．bca
C．cabD．cba
3．(2010天津)若函數(shù)f(x)＝log2x，x0，log12(－x)，x0，若f(a)f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011濟南模擬)設函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝lnx，則有()
A．f(13)f(2)f(12)
B．f(12)f(2)f(13)
C．f(12)f(13)f(2)
D．f(2)f(12)f(13)
5．(2011青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()
A.12B.14C．2D．4
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．2lg5＋23lg8＋lg5lg20＋lg22＝________.
7．(2011湖南師大附中檢測)已知函數(shù)f(x)＝lgax＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值時x的值．

10．(12分)(2011北京東城1月檢測)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；
(3)若a1時，求使f(x)0的x的解集．

11．(14分)(2011鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a1b0)．
(1)求y＝f(x)的定義域；
(2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當a，b滿足什么條件時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

答案自主梳理
1．a(chǎn)x＝N(a0，且a≠1)x＝logaNaN2.(1)①N②0③N④1(2)①logaNlogab②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0y0(6)增(7)減4.y＝logaxy＝x
自我檢測
1．C2.A
3．A[因為32＋log234，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log234，故f(3＋log23)＝123＋log23＝12313＝124.]
4．B[由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|log18x|)f(13)，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|log18x|13，解得x的取值范圍是(0，12)∪(2，＋∞)．]
5．mn
解析∵m0，n0，∵mn＝logaclogcb＝logablogaa＝1，∴mn.
課堂活動區(qū)
例1解題導引在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化．
解(1)方法一利用對數(shù)定義求值：
設＝x，
則(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，
∴x＝－1.
方法二利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解：
＝
＝＝－1.
(2)原式＝12(lg32－lg49)－43lg812＋
12lg245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)
＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5
＝12lg2＋12lg5
＝12lg(2×5)＝12lg10＝12.
(3)由已知得lg(x－y2)2＝lgxy，
∴(x－y2)2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴(xy)2－6(xy)＋1＝0.∴xy＝3±22.
∵x－y0，x0，y0，∴xy1，∴xy＝3＋22，
∴l(xiāng)og(3－22)xy＝log(3－22)(3＋22)
＝log3－2213－22＝－1.
變式遷移1解(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22
＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.
(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25
＝21g2＋lg25＝lg100＝2.
例2解題導引比較對數(shù)式的大小或證明等式問題是對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多，①當?shù)讛?shù)相同時，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進行比較．
解(1)①∵log323log31＝0，
而log565log51＝0，∴l(xiāng)og323log565.
②方法一∵00.71,1.11.2，
∴0log0.71.1log0.71.2.
∴1log0.71.11log0.71.2，
由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.
方法二作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，
如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.
(2)∵y＝log12x為減函數(shù)，
且log12blog12alog12c，∴bac.
而y＝2x是增函數(shù)，∴2b2a2c.
變式遷移2(1)A[a＝log3π1，b＝12log23，則12b1，c＝12log3212，∴abc.]
(2)A[∵a，b，c均為正，
∴l(xiāng)og12a＝2a1，log12b＝(12)b∈(0,1)，
log2c＝(12)c∈(0,1)．
∴0a12，12b1,1c2.
故abc.]
例3解題導引本題屬于函數(shù)恒成立問題，即對于x∈[13，2]時，|f(x)|恒小于等于1，恒成立問題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題．由于本題底數(shù)a為參數(shù)，需對a分類討論．
解∵f(x)＝logax，

則y＝|f(x)|的圖象如右圖．
由圖示，可使x∈[13，2]時恒有|f(x)|≤1，
只需|f(13)|≤1，即－1≤loga13≤1，
即logaa－1≤loga13≤logaa，
亦當a1時，得a－1≤13≤a，即a≥3；
當0a1時，得a－1≥13≥a，得0a≤13.
綜上所述，a的取值范圍是(0，13]∪[3，＋∞)．
變式遷移3C
[畫出函數(shù)f(x)＝|lgx|的圖象如圖所示．∵0ab，f(a)＝f(b)，∴0a1，b1，∴l(xiāng)ga0，lgb0.由f(a)＝f(b)，
∴－lga＝lgb，ab＝1.
∴b＝1a，∴a＋2b＝a＋2a，
又0a1，函數(shù)t＝a＋2a在(0,1)上是減函數(shù)，
∴a＋2a1＋21＝3，即a＋2b3.]
課后練習區(qū)
1．C[∵x≥0，∴y＝(12)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
當0x≤1時，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．]
2．C[∵1a＝log231，1b＝log2e1，log23log2e.
∴1a1b1，∴0ab1.
∵a＝log32log33＝12，∴a12.
b＝ln2lne＝12，∴b12.
c＝5－12＝1512，∴cab.]
3．C[①當a0時，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)f(－a)，即log2a＝log21a，
∴a1a，解得a1.
②當a0時，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)f(－a)，即log2(－a)＝，
∴－a1－a，解得－1a0，
由①②得－1a0或a1.]
4．C[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的圖象關于直線x＝2－x＋x2＝1對稱，又當x≥1時，f(x)＝lnx，所以離對稱軸x＝1距離大的x的函數(shù)值大，
∵|2－1||13－1||12－1|，
∴f(12)f(13)f(2)．]
5．C[當x0時，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
6．3
7．(1,2)
解析因為f(x)＝lga＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以g(x)＝a＋a－2x在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，且g(1)0，于是a－20，且2a－20，即1a2.
8．2008
解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008.
9．解∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函數(shù)f(x)的定義域為[1,9]，
∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必須1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
當log3x＝1，即x＝3時，ymax＝13.
∴當x＝3時，函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則x＋10，1－x0，解得－1x1.
故所求函數(shù)f(x)的定義域為{x|－1x1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)的定義域為{x|－1x1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．………………………………………………………………(8分)
(3)因為當a1時，f(x)在定義域{x|－1x1}內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)0x＋11－x1.
解得0x1.所以使f(x)0的x的解集是{x|0x1}．…………………………………(12分)
11．解(1)由ax－bx0，得(ab)x1，且a1b0，得ab1，所以x0，即f(x)的定義域為(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1x20，a1b0，則0，，所以0，
即．故f(x1)f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．………………………………………………………(8分)
假設函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直線平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y(tǒng)2，這與f(x)是增函數(shù)矛盾．
故函數(shù)y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．…………(10分)
(3)因為f(x)是增函數(shù)，所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)f(1)．這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即當a≥b＋1時，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)

延伸閱讀

2012屆高考數(shù)學第一輪導學案復習：對數(shù)函數(shù)

高三數(shù)學理科復習8-------對數(shù)函數(shù)
【高考要求】對數(shù)函數(shù)（B）
【教學目標】理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)；了解對數(shù)換底公式,知道一般對數(shù)可以轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).
了解對數(shù)函數(shù)模型的實際案例；了解對數(shù)函數(shù)的概念；理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),會畫對數(shù)函數(shù)的圖象.
了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a0,a≠1）（不要求一般地討論反函數(shù)的定義,不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)）.
【教學重難點】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用
【知識復習與自學質(zhì)疑】
1、已知且則
2、已知那么的定義域為，當時，為（填增、減函數(shù)）；當，且時，
3、已知則
4、設函數(shù)，若，則
【交流展示與互動探究】
例1、（1）求值（2）已知求

例2、（1）求函數(shù)為常數(shù)）的定義域。
（2）已知函數(shù)當時，的取值范圍是，求實數(shù)的值

例3、設是實數(shù)，求函數(shù)的最小值，并求相應的的值

【矯正反饋】
1、計算：；=
2、當時，不等式恒成立，則
3、若則的大小關系是
4、若函數(shù)的值域是則的定義域是
5、設函數(shù)有最大值，則不等式的解集為
【遷移應用】
6、若函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)的取值范圍；若函數(shù)的值域是R，則實數(shù)的取值范圍；
7、設的定義域為值域為。
（1）求證（2）求實數(shù)的取值范圍；

高考數(shù)學（理科）一輪復習橢圓學案帶答案

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為高中教師就要精心準備好合適的教案。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“高考數(shù)學（理科）一輪復習橢圓學案帶答案”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

學案51橢圓

導學目標：1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標準方程及其簡單幾何性質(zhì)．
自主梳理
1．橢圓的概念
在平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做________．這兩定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：
(1)若________，則集合P為橢圓；
(2)若________，則集合P為線段；
(3)若________，則集合P為空集．
2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)

標準方程x2a2＋y2b2＝1
(ab0)y2a2＋x2b2＝1
(ab0)
圖形

性
質(zhì)范圍－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點
頂點A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距|F1F2|＝2c
離心率e＝ca∈(0,1)

a，b，c
的關系c2＝a2－b2

自我檢測
1．已知△ABC的頂點B、C在橢圓x23＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()
A．23B．6C．43D．12
2．(2011揭陽調(diào)研)“mn0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知橢圓x2sinα－y2cosα＝1(0≤α2π)的焦點在y軸上，則α的取值范圍是()
A.3π4，πB.π4，3π4
C.π2，πD.π2，3π4
4．橢圓x212＋y23＝1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的()
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
5．(2011開封模擬)橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是(0,2)，那么k等于()
A．－1B．1C.5D．－5
探究點一橢圓的定義及應用
例1(教材改編)一動圓與已知圓O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動圓圓心的軌跡方程．
變式遷移1求過點A(2,0)且與圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．
探究點二求橢圓的標準方程
例2求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；
(2)經(jīng)過兩點A(0,2)和B12，3.

變式遷移2(1)已知橢圓過(3,0)，離心率e＝63，求橢圓的標準方程；
(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(6，1)、P2(－3，－2)，求橢圓的標準方程．

探究點三橢圓的幾何性質(zhì)
例3(2011安陽模擬)已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．

變式遷移3已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(ab0)的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，AB∥OM.
(1)求橢圓的離心率e；
(2)設Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍．
方程思想的應用
例(12分)(2011北京朝陽區(qū)模擬)已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為12，且經(jīng)過點M(1，32)，過點P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B.
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在直線l，滿足PA→PB→＝PM→2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【答題模板】
解(1)設橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
由題意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為x24＋y23＝1.[4分]
(2)若存在直線l滿足條件，由題意可設直線l的方程為y＝k(x－2)＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.[6分]
因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，
設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)0.
整理得32(6k＋3)0，解得k－12.[7分]
又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，
且PA→PB→＝PM→2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝54，
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝54.[9分]
所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4](1＋k2)＝4＋4k23＋4k2＝54，
解得k＝±12.[11分]
所以k＝12.于是存在直線l滿足條件，
其方程為y＝12x.[12分]
【突破思維障礙】
直線與橢圓的位置關系主要是指公共點問題、相交弦問題及其他綜合問題．反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實數(shù)解及實數(shù)解的個數(shù)的問題，它體現(xiàn)了方程思想的應用，當直線與橢圓相交時，要注意判別式大
于零這一隱含條件，它可以用來檢驗所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數(shù)的范圍．對直線與橢圓的位置關系的考查往往結合平面向量進行求解，與向量相結合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算往往更容易實現(xiàn)解題功能，所以在復習過程中要格外重視．
1．求橢圓的標準方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)．當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設方程為x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設為Ax2＋By2＝1(A0，B0且A≠B)，這種形式在解題中更簡便．
2．橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標軸無關的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標系有關的性質(zhì)，如：頂點坐標，焦點坐標等．第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標系變化而相應改變．
3．直線與橢圓的位置關系問題．它是高考的熱點，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎知識、線段的中點、弦長、垂直問題等，分析此類問題時，要充分利用數(shù)形結合法、設而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關系去解決．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011溫州模擬)若△ABC的兩個頂點坐標分別為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為()
A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)
2．已知橢圓x210－m＋y2m－2＝1，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()
A．4B．5C．7D．8
3．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是()
A.32B.22C.2－1D.2
4．(2011天門期末)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()
A．圓B．橢圓
C．雙曲線D．拋物線
5．橢圓x225＋y29＝1上一點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于()
A．2B．4C．8D.32
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______________．
7．(2011唐山調(diào)研)橢圓x29＋y22＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝________；∠F1PF2的大小為________．
8.
如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一點，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，則此橢圓的離心率是______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知方向向量為v＝(1，3)的直線l過點(0，－23)和橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦點，且橢圓的離心率為63.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若已知點D(3,0)，點M，N是橢圓C上不重合的兩點，且DM→＝λDN→，求實數(shù)λ的取值范圍．
10．(12分)(2011煙臺模擬)橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是AB的中點，若|AB|＝22，OC的斜率為22，求橢圓的方程．

11．(14分)(2010福建)已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程．
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

學案51橢圓
自主梳理
1．橢圓焦點焦距(1)ac(2)a＝c(3)ac
自我檢測
1．C2.C3.D4.A5.B
課堂活動區(qū)
例1解如圖所示，設動圓的圓心為C，半徑為r.
則由圓相切的性質(zhì)知，
|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，
∴|CO1|＋|CO2|＝10，
而|O1O2|＝6，
∴點C的軌跡是以O1、O2為焦點的橢圓，其中2a＝10,2c＝6，b＝4.
∴動圓圓心的軌跡方程為
x225＋y216＝1.
變式遷移1解將圓的方程化為標準形式為：
(x＋2)2＋y2＝62，圓心B(－2,0)，r＝6.
設動圓圓心M的坐標為(x，y)，
動圓與已知圓的切點為C.
則|BC|－|MC|＝|BM|，
而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6.
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6|AB|＝4.
∴點M的軌跡是以點B(－2,0)、A(2,0)為焦點、線段AB中點(0,0)為中心的橢圓．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求軌跡方程為x29＋y25＝1.
例2解題導引確定一個橢圓的標準方程，必須要有一個定位條件(即確定焦點的位置)和兩個定形條件(即確定a，b的大小)．當焦點的位置不確定時，應設橢圓的標準方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，或者不必考慮焦點位置，直接設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．
解(1)若橢圓的焦點在x軸上，
設方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)．
∵橢圓過點A(3,0)，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝32b，∴b＝1，∴方程為x29＋y2＝1.
若橢圓的焦點在y軸上，設方程為y2a2＋x2b2＝1(ab0)．
∵橢圓過點A(3,0)，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝32b，
∴a＝9，∴方程為y281＋x29＝1.
綜上可知橢圓的方程為x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
(2)設經(jīng)過兩點A(0,2)，B12，3的橢圓標準方程為mx2＋ny2＝1，將A，B坐標代入方程得4n＝114m＋3n＝1m＝1n＝14，∴所求橢圓方程為x2＋y24＝1.
變式遷移2解(1)當橢圓的焦點在x軸上時，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，從而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴橢圓的標準方程為x29＋y23＝1.
當橢圓的焦點在y軸上時，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴橢圓的標準方程為x29＋y227＝1.
∴所求橢圓的標準方程為x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
(2)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．
∵橢圓經(jīng)過P1、P2點，∴P1、P2點坐標適合橢圓方程，
則6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②
①②兩式聯(lián)立，解得m＝19，n＝13.
∴所求橢圓方程為x29＋y23＝1.
例3解題導引(1)橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的關系．
(2)對△F1PF2的處理方法定義式的平方余弦定理面積公式
|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
(1)解設橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn.
∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤m＋n22＝a2(當且僅當m＝n時取等號)，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范圍是12，1.
(2)證明由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面積只與短軸長有關．
變式遷移3解(1)∵F1(－c,0)，則xM＝－c，yM＝b2a，
∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
(2)設|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
當且僅當r1＝r2時，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
課后練習區(qū)
1．A2.D3.C4.B5.B
6.x236＋y29＝17.2120°8.53
9．解(1)∵直線l的方向向量為v＝(1，3)，
∴直線l的斜率為k＝3.
又∵直線l過點(0，－23)，
∴直線l的方程為y＋23＝3x.
∵ab，∴橢圓的焦點為直線l與x軸的交點．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴橢圓方程為x26＋y22＝1.(6分)
(2)若直線MN⊥y軸，則M、N是橢圓的左、右頂點，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若MN與y軸不垂直，設直線MN的方程為x＝my＋3(m≠0)．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得(m2＋3)y2＋6my＋3＝0.
設M、N坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則y1＋y2＝－6mm2＋3，①
y1y2＝3m2＋3，②
Δ＝36m2－12(m2＋3)＝24m2－360，∴m232.
∵DM→＝(x1－3，y1)，DN→＝(x2－3，y2)，DM→＝λDN→，顯然λ0，且λ≠1，
∴(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.
∵m232，得2λ＋1λ10，即λ2－2λ＋10，λ2－10λ＋10，
解得5－26λ5＋26且λ≠1.
綜上所述，λ的取值范圍是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.(12分)
10．解方法一設A(x1，y1)、B(x2，y2)，
代入橢圓方程并作差得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，
代入上式可得b＝2a.(4分)
由方程組ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4b－1a＋b＝4，(8分)
將b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求橢圓的方程是x23＋2y23＝1.(12分)
方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.(2分)
設A(x1，y1)、B(x2，y2)，
則|AB|＝k2＋1x1－x22＝24b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①(6分)
設C(x，y)，則x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵OC的斜率為22，∴ab＝22.(9分)
代入①，得a＝13，b＝23.
∴橢圓方程為x23＋2y23＝1.(12分)
11．解方法一(1)依題意，可設橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知其左焦點為F′(－2,0)．
從而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故橢圓C的方程為x216＋y212＝1.(5分)
(2)假設存在符合題意的直線l，設其方程為y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.(7分)
因為直線l與橢圓C有公共點，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－43≤t≤43.(9分)
另一方面，由直線OA與l的距離d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.(12分)
由于±213[－43，43]，所以符合題意的直線l不存在．(14分)
方法二(1)依題意，可設橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1(ab0)，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3(舍去)．
從而a2＝16.(3分)
所以橢圓C的方程為x216＋y212＝1.(5分)
(2)同方法一．

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，高中教師要準備好教案，這是每個高中教師都不可缺少的。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

學案14對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
一、課前準備：
【自主梳理】
1．對數(shù)：
（1）一般地，如果，那么實數(shù)叫做________________，記為________，其中叫做對數(shù)的_______，叫做________．
（2）以10為底的對數(shù)記為________，以為底的對數(shù)記為_______．
（3），．
2．對數(shù)的運算性質(zhì)：
（1）如果，那么，
．
（2）對數(shù)的換底公式：．
3．對數(shù)函數(shù)：
一般地，我們把函數(shù)____________叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是______．
4．對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：
a10a1
圖
象
性
質(zhì)定義域：___________
值域：_____________
過點（1，0），即當x＝1時，y＝0
x∈（0，1）時_________
x∈（1，＋∞）時________x∈（0，1）時_________
x∈（1，＋∞）時________
在___________上是增函數(shù)在__________上是減函數(shù)

【自我檢測】
1．的定義域為_________．
2．化簡：．
3．不等式的解集為________________．
4．利用對數(shù)的換底公式計算：．
5．函數(shù)的奇偶性是____________．
6．對于任意的，若函數(shù)，則與的大小關系是___________________________．
二、課堂活動：
【例1】填空題：
（1）．
（2）比較與的大小為___________．
（3）如果函數(shù)，那么的最大值是_____________．
（4）函數(shù)的奇偶性是___________．
【例2】求函數(shù)的定義域和值域．

【例3】已知函數(shù)滿足．
（1）求的解析式；
（2）判斷的奇偶性；
（3）解不等式．
課堂小結

三、課后作業(yè)
1．．
2．函數(shù)的定義域為_______________．
3．函數(shù)的值域是_____________．
4．若，則的取值范圍是_____________．
5．設則的大小關系是_____________．
6．設函數(shù)，若，則的取值范圍為_________________．
7．當時，不等式恒成立，則的取值范圍為______________．
8．函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的最小值為____________．
9．已知．
（1）求的定義域；
（2）判斷的奇偶性并予以證明；
（3）求使的的取值范圍．

10．對于函數(shù)，回答下列問題：
（1）若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若的值域為，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實數(shù)的取值范圍．

四、糾錯分析
錯題卡題號錯題原因分析

學案14對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
一、課前準備：
【自主梳理】
1．對數(shù)
（1）以為底的的對數(shù)，，底數(shù)，真數(shù)．
（2），．
（3）0，1．
2．對數(shù)的運算性質(zhì)
（1），,．
（2）．
3．對數(shù)函數(shù)
，．
4．對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a10a1
圖
象
性
質(zhì)定義域：（0，+∞）
值域：R
過點（1，0），即當x＝1時，y＝0
x∈（0，1）時y＜0
x∈（1，＋∞）時y＞0x∈（0，1）時y＞0
x∈（1，＋∞）時y＜0
在（0，+∞）上是增函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)
【自我檢測】
1．2．3．
4．5．奇函數(shù)6．．
二、課堂活動：
【例1】填空題：
（1）3．
（2）．
（3）0．
（4）奇函數(shù)．

【例2】解：由得．所以函數(shù)的定義域是（0，1）．
因為，所以，當時，，函數(shù)的值域為；當時，，函數(shù)的值域為．
【例3】解：（1），所以．
（2）定義域（-3，3）關于原點對稱，所以
，所以為奇函數(shù)．
（3），所以當時，解得
當時，解得．
三、課后作業(yè)
1．2．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
7．．
8．．
9．解：（1）由得，函數(shù)的定義域為（-1，1）；
（2）因為定義域關于原點對稱，所以
,所以函數(shù)是奇函數(shù)．
（3）
當時，解得；當時，解得．

10．解：（1）由題可知的解集是，所以，解得
（2）由題可知取得大于0的一切實數(shù)，所以，解得
（3）由題可知在上恒成立，令
解得或解得，綜上．

高考數(shù)學（理科）一輪復習函數(shù)模型及其應用學案帶答案

學案12函數(shù)模型及其應用
導學目標：1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征．知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用．
自主梳理
1．三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
性質(zhì)y＝ax(a1)y＝logax
(a1)y＝xn(n0)
在(0，＋∞)上的單調(diào)性
增長速度
圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值變化而不同
2.三種增長型函數(shù)之間增長速度的比較
(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a1)與冪函數(shù)y＝xn(n0)
在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會小于xn，但由于y＝ax的增長速度________y＝xn的增長速度，因而總存在一個x0，當xx0時有________．
(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a1)與冪函數(shù)y＝xn(n0)
對數(shù)函數(shù)y＝logax(a1)的增長速度，不論a與n值的大小如何總會________y＝xn的增長速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個實數(shù)x0，使xx0時有____________．
由(1)(2)可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，＋∞)上，總會存在一個x0，使xx0時有_____________________．
3．函數(shù)模型的應用實例的基本題型
(1)給定函數(shù)模型解決實際問題；
(2)建立確定性的函數(shù)模型解決問題；
(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題．
4．函數(shù)建模的基本程序
自我檢測
1．下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()
A．v＝1100exB．v＝100lnx
C．v＝x100D．v＝100×2x
2．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為()
A．45.606B．45.6
C．45.56D．45.51
3．(2010陜西)某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()
A．y＝[x10]B．y＝[x＋310]
C．y＝[x＋410]D．y＝[x＋510]
4．(2011湘潭月考)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖象正確的是()
5．一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過________小時，才能開車？(精確到1小時)
探究點一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型
例1(2011陽江模擬)某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y＝x25－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

變式遷移1某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．
(1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

探究點二分段函數(shù)模型
例2據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)
的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．
(1)當t＝4時，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由．

變式遷移2某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)．
(1)求y關于x的函數(shù)；
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．

探究點三指數(shù)函數(shù)模型
例3諾貝爾獎發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎金總額平均分成6份，獎勵給分別在6項(物理、化學、文學、經(jīng)濟學、生理學和醫(yī)學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數(shù)逐年增加．假設基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)
(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結果歸納出函數(shù)f(x)的表達式；
(2)試根據(jù)f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由．
(參考數(shù)據(jù)：1.03129＝1.32)

變式遷移3(2011商丘模擬)現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)12的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過1010個？
(參考數(shù)據(jù)：lg3＝0.477，lg2＝0.301)

1．解答應用問題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型；
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；
(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；
(4)還原：將數(shù)學結論還原為實際問題的意義．
2．考查函數(shù)模型的知識表現(xiàn)在以下幾個方面：
(1)利用函數(shù)模型的單調(diào)性比較數(shù)的大??；
(2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式；
(3)函數(shù)性質(zhì)與圖象相結合，運用“數(shù)形結合”解答一些綜合問題．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)．現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()
X1.953.003.945.106.12
Y0.971.591.982.352.61
A.y＝2xB．y＝log2x
C．y＝12(x2－1)D．y＝2.61cosx
2．擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(單位：元)，其中m0，[m]表示不大于m的最大整數(shù)(如[3.72])＝3，[4]＝4)，當m∈[0.5,3.1]時，函數(shù)f(m)的值域是
()
A．{1.06,2.12,3.18,4.24}
B．{1.06,1.59,2.12,2.65}
C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}
D．{1.59,2.12,2.65}
3．(2011秦皇島模擬)某商店出售A、B兩種價格不同的商品，由于商品A連續(xù)兩次提價20%，同時商品B連續(xù)兩次降價20%，結果都以每件23元售出，若商店同時售出這兩種商品各一件，則與價格不升不降時的情況比較，商店盈利情況是()
A．多賺約6元B．少賺約6元
C．多賺約2元D．盈利相同
4．國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應得稿費(扣稅前)為()
A．4000元B．3800元
C．4200元D．3600元
5．(2011滄州月考)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝12x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為()
A．18萬件B．20萬件
C．16萬件D．8萬件
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2009年產(chǎn)生的垃圾量為at，由此預測，該區(qū)下一年的垃圾量為__________t,2014年的垃圾量為__________t.
7．(2010金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻的厚度不計)．

8．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費為1.8元．某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如下表所示：
型號小包裝大包裝
重量100克300克
包裝費0.5元0.7元
銷售價格3.00元8.4元
則下列說法中正確的是________(填序號)
①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2010湖南師大附中仿真)設某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺，根據(jù)企業(yè)月度報表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關系：m＝92x－14，n＝－14x2＋5x＋74，當m－n≥0時，稱不虧損企業(yè)；當m－n0時，稱虧損企業(yè)，且n－m為虧損額．
(1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺電機？
(2)當月總產(chǎn)值為多少時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為多少？
10．(12分)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該塊地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝購地總費用建筑總面積)

11．(14分)(2011鄂州模擬)某賓館有相同標準的床位100張，根據(jù)經(jīng)驗，當該賓館的床價(即每張床每天的租金)不超過10元時，床位可以全部租出，當床位高于10元時，每提高1元，將有3張床位空閑．為了獲得較好的效益，該賓館要給床位一個合適的價格，條件是：①要方便結賬，床價應為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租的收入必須高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入(即除去每日的費用支出后的收入)．
(1)把y表示成x的函數(shù)，并求出其定義域；
(2)試確定該賓館將床位定價為多少時，既符合上面的兩個條件，又能使凈收入最多？

答案自主梳理
1．增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)越來越快越來越慢相對平穩(wěn)y軸x軸2.(1)快于axxn(2)慢于logaxxnaxxnlogax
自我檢測
1．A[由e2，知當x增大時，1100ex增大更快．]
2．B[依題意，可設甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，
∴總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴當x＝10時，Smax＝45.6(萬元)．]
3．B[每10個人可以推選1個，(xmod10)6可以再推選一個，即如果余數(shù)(xmod10)≥7相當于給x多加了3，所以可以多一個10出來．]
4．A
5．5
解析設x小時后，血液中的酒精含量不超過0.09mg/mL，
則有0.334x≤0.09，即34x≤0.3.
估算或取對數(shù)計算，得5小時后，可以開車．
課堂活動區(qū)
例1解(1)每噸平均成本為yx(萬元)．
則yx＝x5＋8000x－48
≥2x58000x－48＝32，
當且僅當x5＝8000x，即x＝200時取等號．
∴年產(chǎn)量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元．
(2)設年獲得總利潤為R(x)萬元，
則R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000
＝－x25＋88x－8000
＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，
∴x＝210時，R(x)有最大值為－15×(210－220)2＋1680＝1660.
∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元．
變式遷移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛．
(2)設每輛車的月租金為x元(x≥3000)，租賃公司的月收益為y元，
則y＝x100－x－300050－x－300050×50
－100－x－300050×150
＝－x250＋162x－21000
＝－150(x－4050)2＋307050，
當x＝4050時，ymax＝307050.
答當每輛車月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大為307050.
例2解(1)由圖象可知：
當t＝4時，v＝3×4＝12(km/h)，
∴s＝12×4×12＝24(km)．
(2)當0≤t≤10時，s＝12t3t＝32t2，
當10t≤20時，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
當20t≤35時，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
綜上，可知S＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈10，20]，－t2＋70t－550，t∈20，35].
(3)∵t∈[0,10]時，smax＝32×102＝150650，
t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450650，
∴當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40.∵20t≤35，∴t＝30.
∴沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城．
變式遷移2解(1)當甲的用水量不超過4噸時，即5x≤4，乙的用水量也不超過4噸，
y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸，即3x≤4，且5x4時，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
當乙的用水量超過4噸，即3x4時，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.
(2)由于y＝f(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，
當x∈0，45時，y≤f4526.4；
當x∈45，43時，y≤f4326.4；
當x∈43，＋∞時，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲戶用水量為5x＝7.5噸，
付費S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙戶用水量為3x＝4.5噸，
付費S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
例3解題導引指數(shù)函數(shù)模型的應用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結合進行考查．在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示．通?？杀硎緸閥＝a(1＋p)x(其中a為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．
解(1)由題意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－12f(1)6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－12f(2)×6.24%
＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．
(2)2008年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136，
故2009年度諾貝爾獎各項獎金為1612f(10)6.24%≈136(萬美元)，與150萬美元相比少了約14萬美元，是假新聞．
變式遷移3解現(xiàn)有細胞100個，先考慮經(jīng)過1,2,3,4個小時后的細胞總數(shù)，
1小時后，細胞總數(shù)為
12×100＋12×100×2＝32×100；
2小時后，細胞總數(shù)為
12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；
3小時后，細胞總數(shù)為
12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；
4小時后，細胞總數(shù)為
12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；
可見，細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關系為：
y＝100×(32)x，x∈N*，
由100×(32)x1010，得(32)x108，
兩邊取以10為底的對數(shù)，
得xlg328，∴x8lg3－lg2，
∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，
∴x45.45.
答經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)超過1010個．
課后練習區(qū)
1．B[通過檢驗可知，y＝log2x較為接近．]
2．B[當0.5≤m1時，[m]＝0，f(m)＝1.06；
當1≤m2時，[m]＝1，f(m)＝1.59；
當2≤m3時，[m]＝2，f(m)＝2.12；
當3≤m≤3.1時，[m]＝3，f(m)＝2.65.]
3．B[設A、B兩種商品的原價為a、b，
則a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23
a＝23×2536，b＝23×2516，a＋b－46≈6元．]
4．B[設扣稅前應得稿費為x元，則應納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y＝00x≤800，x－800×14%800x≤4000，11%xx4000.
如果稿費為4000元應納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費應在800～4000元之間，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.]
5．A[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，
當x＝18時，L(x)有最大值．]
6．a(chǎn)(1＋b)a(1＋b)5
解析由于2009年的垃圾量為at，年增長率為b，故下一年的垃圾量為a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2011年的垃圾量為a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量為a(1＋b)5t.
7．2500m2
解析設所圍場地的長為x，則寬為200－x4，其中0x200，場地的面積為x×200－x4≤14x＋200－x22
＝2500m2，
等號當且僅當x＝100時成立．
8．②④
9．解(1)由已知，
m－n＝92x－14－－14x2＋5x＋74
＝14x2－12x－2.……………………………………………………………………………(3分)
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
據(jù)題意，x0，所以x≥4.
故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺電機．………………………………(6分)
(2)若企業(yè)虧損最嚴重，則n－m取最大值．
因為n－m＝－14x2＋5x＋74－92x＋14
＝－14x－12－9＝94－14(x－1)2.………………………………………………………(9分)
所以當x＝1時，n－m取最大值94，
此時m＝92－14＝174.
故當月總產(chǎn)值為174萬元時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為94萬元．………………(12分)
10．解設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，
則f(x)＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)．…………(5分)
∵f(x)＝560＋48(x＋225x)≥560＋482x225x＝560＋48×30＝2000.……………(10分)
當且僅當x＝225x時，上式取等號，即x＝15時，f(x)min＝2000.
所以樓房應建15層．……………………………………………………………………(12分)
11．解(1)依題意有
y＝100x－575x≤10，[100－x－10×3]x－575x10，……………………………………………(4分)
由于y0且x∈N*，
由100x－5750，x≤10.得6≤x≤10，x∈N*.
由x10，[100－x－10×3]x－5750
得10x≤38，x∈N*，
所以函數(shù)為
y＝100x－575x∈N*，且6≤x≤10，－3x2＋130x－575x∈N*，且10x≤38，
定義域為{x|6≤x≤38，x∈N*}．…………………………………………………………(6分)
(2)當x＝10時，y＝100x－575(6≤x≤10，x∈N*)取得最大值425元，……………(8分)
當x10時，y＝－3x2＋130x－575，當且僅當x＝－1302×－3＝653時，y取最大值，但x∈N*，所以當x＝22時，y＝－3x2＋130x－575(10x≤38，x∈N*)取得最大值833元．(12分)
比較兩種情況，可知當床位定價為22元時凈收入最多．……………………………(14分)