高中函數(shù)的應(yīng)用教案

函數(shù)的性質(zhì)。

《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座
第四講—函數(shù)的基本性質(zhì)
一．課標(biāo)要求(例題5，練習(xí)題7，習(xí)題9)
1．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；
2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
二．命題走向
從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。
預(yù)測2011年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。
預(yù)測明年的對本講的考察是：
（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個或1個填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計成為新的熱點。
三．要點精講
1．單調(diào)性
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；
注意：
○1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；
○2必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時，總有f(x1)f(x2)
（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。
（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射
g:x→u=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)
y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；
②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。
（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟
利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：
○1任取x1，x2∈D，且x1x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3變形（通常是因式分解和配方）；
○4定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；
○5下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。
（5）簡單性質(zhì)
①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；
②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；
③在公共定義域內(nèi)：
增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；
增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。

2．奇偶性
（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；
如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.
如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。
注意：
○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；
例如：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數(shù)分別在和內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但是不能說它在整個定義域即內(nèi)是單調(diào)遞減的，只能說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
○2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。
（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；
○2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；
○3作出相應(yīng)結(jié)論：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。
（3）簡單性質(zhì)：
①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；
一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；
若是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱；
若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點中心對稱；
②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。
注意：
○1函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
○2函數(shù)最大（小）應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳τ谌我獾膞∈I，都有
f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）．函數(shù)的最值的求法
①若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。
②利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
③基本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。
④導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時，一般采用此法
⑤數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。
4．周期性
（1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；
（2）性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)T，則稱它為f(x)的最小正周期；
②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。
（3）周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況：
①函數(shù)值之和等于零型，
即函數(shù)對于定義域中任意滿足，則有，故函數(shù)的周期是
②函數(shù)圖象有，兩條對稱軸型。
函數(shù)圖象有，兩條對稱軸，即，，從而得，故函數(shù)的周期是
③兩個函數(shù)值之積等于，即函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)型
若，則得，所以函數(shù)的周期是；同理若，則的周期是
四．典例解析
題型一判斷證明函數(shù)的單調(diào)性
例1．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。
（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。
解：（1）依題意，對一切，有，即。
∴對一切成立，則，∴，
∵，∴。
（2）(定義法)設(shè)，則
，
由，得，，
∴，
即，∴在上為增函數(shù)。
（導(dǎo)數(shù)法）∵，
∴
∴在上為增函數(shù)
點評：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔。
例2．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。
解：（1）函數(shù)的定義域為，
分解基本函數(shù)為、
顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：
所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。
（2）解：，，
令，得或，
令，或
∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。
點評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。
練習(xí)1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函數(shù)
在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)
的單調(diào)增區(qū)間為
2．（2007天津改編）在上定義的函數(shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（）
A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
[解析]C；由知的圖象關(guān)于直線對稱，由在區(qū)間是減函數(shù)知在區(qū)間是增函數(shù)，又由及是奇函數(shù)，得到
，進(jìn)而得，所以是以4為周期的函數(shù)，故在上是減函數(shù)。
題型二：判斷函數(shù)的奇偶性
例3．討論下述函數(shù)的奇偶性：

解：（1）函數(shù)定義域為R，
，
∴f(x)為偶函數(shù)；
（另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。
（2）須要分兩段討論：
①設(shè)方法正確解題過程不對！
②設(shè)
③當(dāng)x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，對x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)；
（3），∴函數(shù)的定義域為，
∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的圖象由兩個點A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點對稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。
例4．(2002天津文.16)設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫正確答案的序號）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。③可以看成y=－f（－x）,那么－f（x）≠—y所以③不正確。
點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。
題型三：最值問題
例題5（2000年上海）已知函數(shù)
當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；
[解題思路]當(dāng)時，，這是典型的“對鉤函數(shù)”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)；
[解析]當(dāng)時，
，。在區(qū)間上為增函數(shù)。
在區(qū)間上的最小值為。
【名師指引】對于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否則會得到
而認(rèn)為其最小值為，但實際上，要取得等號，必須使得，這時
所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉(zhuǎn)化化歸思想；
題型四：周期問題
例題6．（執(zhí)信中學(xué)09屆訓(xùn)練題）設(shè)是定義在上的正值函數(shù),且滿足
.若是周期函數(shù),則它的一個周期是（）
.；.；.；.
[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得
，，
，所以，即的一個周期是6
例題7．（06年安徽改編）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________
[解析]；由得，進(jìn)而得
所以
例題8．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（）
A．B．C．D．
解：因為y=f(2x)關(guān)于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x)=f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一個周期為2b－2a，
故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。
點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。
例題9．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵是以為周期的周期函數(shù)，
∴，
又∵是奇函數(shù)，
∴，
∴。
②當(dāng)時，由題意可設(shè)，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函數(shù)，
∴，
又知在上是一次函數(shù)，
∴可設(shè)，而，
∴，∴當(dāng)時，，
從而當(dāng)時，，故時，。
∴當(dāng)時，有，
∴。
當(dāng)時，，
∴
∴。
點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。

五．思維總結(jié)
1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；
2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；
3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；
4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。
5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。
6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運用定義或求導(dǎo)解決。

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函數(shù)的簡單性質(zhì)

§2.1.3函數(shù)的簡單性質(zhì)（一）
——函數(shù)的單調(diào)性（1）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：
理解函數(shù)單調(diào)性的概念，能正確地判定和討論函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【教學(xué)過程】：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．畫出的圖象，觀察（1）x∈;（2）x∈;（3）x∈（-∞，+∞）
當(dāng)x的值增大時，y值的變化情況。

2．觀察實例：課本P34的實例，怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫上述時間段內(nèi)“隨著時間的推移氣溫逐漸升高”這一特征？

二、新課講授：
1．增函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為A，區(qū)間，若對于區(qū)間內(nèi)的，當(dāng)時，
都有，則稱函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，為
圖象示例：
2．減函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為A，區(qū)間，若對于區(qū)間內(nèi)的，當(dāng)時，
都有，則稱函數(shù)在是單調(diào)減函數(shù)，為
圖象示例：
3．單調(diào)性：函數(shù)在上是，則稱在具有單調(diào)性
4.單調(diào)區(qū)間：

三、典例欣賞：
例1．證明：（1）函數(shù)在上是增函數(shù)．
（2）函數(shù)在上是減函數(shù)．

變題：（1）判斷函數(shù)在（０，１）的單調(diào)性。
（2）若函數(shù)在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，試求的取值范圍。

例2．（1）如圖，已知函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的圖象（包括端點），根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間。

變題1：作出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

變題2：函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

變題3：函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析表達(dá)式。

例3．（1）函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù),比較f（a2－a＋1）與f（34）的大小關(guān)系。

（2）已知在上是減函數(shù)，且則的取值范圍是_____________。

變題：已知在定義域上是減函數(shù)，且則的取值范圍是_____________。

【反思小結(jié)】：
【針對訓(xùn)練】：班級姓名學(xué)號
1．在區(qū)間上是減函數(shù)的是________________.
(1)(2)(3)(4)
2．若函數(shù)是實數(shù)集R上的增函數(shù)，a是實數(shù)，則下面不等式中正確的是_________.
(1)(2)(3)(4)
3．已知函數(shù)f(x)=x2－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f()之間的大小關(guān)系為.
4、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則______
5．已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在區(qū)間（－∞，1）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是。
6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
7．已知，指出的單調(diào)區(qū)間.
8．在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是____.
9．函數(shù)的遞增區(qū)間是，則的遞增區(qū)間是
10．求證：（1）函數(shù)f(x)=x2+1在上是減函數(shù).

（2）函數(shù)f(x)=1-在上是增函數(shù).
（3）函數(shù)在是減函數(shù).

10．函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

11．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試求的取值范圍。

12．判斷函數(shù)內(nèi)的單調(diào)性.

13．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試求的取值范圍。

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

總課題對數(shù)函數(shù)分課時第5課時總課時總第33課時
分課題對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)課型新授課
教學(xué)目標(biāo)熟悉對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求一些與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；對數(shù)形式函數(shù)單調(diào)區(qū)間及值域的求法。
重點對數(shù)函數(shù)的圖象的變換。
難點對數(shù)函數(shù)的圖象的變換。
一、復(fù)習(xí)引入
1、對數(shù)函數(shù)的概念及其與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

2、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

3、與對數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)及其性質(zhì)

4、課前練習(xí)
（1）已知，則的大小。

（2）函數(shù)且恒過定點。
（3）將函數(shù)的圖象向得到函數(shù)的圖象；
將明函數(shù)的圖象向得到函數(shù)的圖象。
（4）函數(shù)的定義域為，求的反函數(shù)的定義域與值域分別。

二、例題分析
例1、畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例2、比較與圖像的關(guān)系，并討論函數(shù)與之間的關(guān)系。

變式：畫出的圖像，并利用函數(shù)圖像求函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間。

例3、判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明。

例4、求函數(shù)在上的最值。

三、隨堂練習(xí)
1、已知函數(shù)，，，的圖象如圖所示，
則下式中正確的是。
（1）（2）
（3）（4）
2、函數(shù)的奇偶性是。
3、在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像。
（1）（2）

四、回顧小結(jié)
1、函數(shù)圖像的作法；2、對數(shù)形式函數(shù)單調(diào)區(qū)間及值域的求法。
課后作業(yè)
班級：高一（）班姓名__________
一、基礎(chǔ)題
1、若函數(shù)，則的大小關(guān)系為。
2、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________________。
3、下列函數(shù)在上為增函數(shù)是___________________。
（1）（2）（3）（4）
4、函數(shù)的定義域是。

二、提高題
5、已知函數(shù)。
（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并證明。

6、作出下列函數(shù)的圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）（2）

三、能力題
7、對于任意，若函數(shù)，試比較與的大小。

8、已知，，求的最大值及取最大值時的值。

探究：關(guān)于的兩方程，的根分別是，求的值。（圖象法）
得分：____________________

反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是由小編為大家整理的“反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用”，歡迎閱讀，希望您能閱讀并收藏。

反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

只有定義域和值域一一對應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)，反函數(shù)是由原函數(shù)派生出來的，它的定義域、對應(yīng)法則、值域完全由原函數(shù)決定。因此利用這一關(guān)系可以將原函數(shù)的問題與反函數(shù)的問題相互轉(zhuǎn)化，使問題容易解決?，F(xiàn)在看一下反函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
⒈利用反函數(shù)的定義求函數(shù)的值域
例1：求函數(shù)y=的值域。
分析：這種函數(shù)可以利用分離常數(shù)法或反函數(shù)法求值域，下面利用反函數(shù)法來求解。解：由y=得y(2x+1)=x-1
∴(2y-1)x=-y-1
∴x=
∵x是自變量，是存在的，
∴2y-10，∴y。
故函數(shù)y=的值域為：{y│y}。
點評：形如y=的函數(shù)都可以用反函數(shù)法求它的值域。
⒉原函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域互換的應(yīng)用
例2：已知f(x)=4-2，求f(0)。
分析：要求f(0)，只需求f(x)=0時自變量x的值。
解：令f(x)=0，得4-2=0，∴2（2-2）=0，
∴2=2或2=0（舍），
∴x=1。
故f(0)=1。
點評：反函數(shù)的函數(shù)值都可以轉(zhuǎn)化為求與之對應(yīng)的原函數(shù)的自變量之值，反之也成立。
⒊原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的應(yīng)用
例3：求函數(shù)y=（x(-1，+)）的圖像與其反函數(shù)圖像的交點。
分析：可以先求反函數(shù)，再聯(lián)立方程組求解；也可以利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱求解，這里用后一種方法求解。只要原函數(shù)與反函數(shù)不是同一函數(shù)，它們的交點就在直線y=x上。
解：由得或
∴原函數(shù)和反函數(shù)圖像的交點為（0，0）和（1，1）。
點評：利用利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱的性質(zhì)，可以簡化運算，提高準(zhǔn)確率。但要注意原函數(shù)與反函數(shù)不能是同一函數(shù)，它們的交點才在直線y=x上。

⒋原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同的應(yīng)用
例4：已知f(x)=2+1的反函數(shù)為f(x)，求f(x)0的解集。
分析：因為f(x)=2+1在R上為增函數(shù)，所以f(x)在R上也為增函數(shù)。又因為原函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域互換，所以f(x)中的x的范圍就是f(x)的范圍。
解：由f(x)=2+11得f(x)中的x1。
又∵f(x)0且f(x)=2+1在R上為增函數(shù)，
∴ff(0)，
∴xf(0)=2。
故f(x)0的解集為：{x│1x2}。
點評：利用原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同的性質(zhì)，可以避免求反函數(shù)這一復(fù)雜的運算，從而減少了失誤。
⒌原函數(shù)與反函數(shù)的還原性即x及=x的應(yīng)用
例5：函數(shù)f(x)=(a、b、c是常數(shù))的反函數(shù)是=，求a、b、c的值。
分析：本題可以利用=x，將反函數(shù)的條件轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的關(guān)系來應(yīng)用，利用恒等找到關(guān)于a、b、c的方程組，即可求解。
解：∵=
∴====x
∴(3a+b)x-a+2b=(c+3)+(2c-1)x
∴
∴
點評：上述解法利用了原函數(shù)與反函數(shù)的還原性，避免了求反函數(shù)，若求反函數(shù)，步驟非常煩瑣，容易出現(xiàn)計算失誤。

正余弦函數(shù)的性質(zhì)

1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)
教學(xué)目的：
知識目標(biāo)：要求學(xué)生能理解三角函數(shù)的奇、偶性和單調(diào)性；
能力目標(biāo)：掌握正、余弦函數(shù)的奇、偶性的判斷，并能求出正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
德育目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的意志，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。
教學(xué)重點：正、余弦函數(shù)的奇、偶性和單調(diào)性；
教學(xué)難點：正、余弦函數(shù)奇、偶性和單調(diào)性的理解與應(yīng)用
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義，反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢？
二、講解新課：
1.奇偶性
請同學(xué)們觀察正、余弦函數(shù)的圖形，說出函數(shù)圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？
(1)余弦函數(shù)的圖形
當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。
例如：f(-)=,f()=,即f(-)=f()；……由于cos(－x)=cosx∴f(-x)=f(x).
以上情況反映在圖象上就是：如果點（x,y）是函數(shù)y=cosx的圖象上的任一點,那么,與它關(guān)于y軸的對稱點(-x,y)也在函數(shù)y=cosx的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)。

(2)正弦函數(shù)的圖形
觀察函數(shù)y=sinx的圖象，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān)系？
這個事實反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢？函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。
也就是說，如果點（x,y）是函數(shù)y=sinx的圖象上任一點，那么與它關(guān)于原點對稱的點（-x,-y）也在函數(shù)y=sinx的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。

2.單調(diào)性
從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：
當(dāng)x∈［－，］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.
當(dāng)x∈［，］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.
結(jié)合上述周期性可知：
正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；
在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
3.有關(guān)對稱軸
觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知
y=sinx的對稱軸為x=k∈Zy=cosx的對稱軸為x=k∈Z
練習(xí)1。（1）寫出函數(shù)的對稱軸；
（2）的一條對稱軸是（C）
(A)x軸，(B)y軸，(C)直線，(D)直線
思考：P46面11題。

4.例題講解
例1判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1)(2)

例2函數(shù)f(x)＝sinx圖象的對稱軸是；對稱中心是.

例3．P38面例3

例4不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0；
①②
例5求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
思考：你能求的單調(diào)遞增區(qū)間嗎？

練習(xí)2：P40面的練習(xí)

三、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)
1．單調(diào)性
2．奇偶性
3．周期性
五、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)十。