高中生物一輪復習教案

高考數(shù)學（理科）一輪復習曲線與方程學案含答案。

學案55曲線與方程

導學目標：了解曲線的方程與方程的曲線的對應關系．
自主梳理
1．曲線的方程與方程的曲線
在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下的關系：
(1)__________________都是這個方程的______．
(2)以這個方程的解為坐標的點都是________________，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
2．平面解析幾何研究的兩個主要問題
(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；
(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)．
3．求曲線方程的一般方法(五步法)
求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟：
(1)建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對(x，y)表示________________________；
(2)寫出適合條件p的點M的集合P＝____________；
(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0為________；
(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在________．
自我檢測
1．(2011湛江月考)已知動點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線中點的軌跡方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一動圓與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是()
A．雙曲線的一支B．橢圓
C．拋物線D．圓
3．(2011佛山模擬)已知直線l的方程是f(x，y)＝0，點M(x0，y0)不在l上，則方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲線是()
A．直線lB．與l垂直的一條直線
C．與l平行的一條直線D．與l平行的兩條直線
4．若M、N為兩個定點且|MN|＝6，動點P滿足PM→PN→＝0，則P點的軌跡是()
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
5．(2011江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究點一直接法求軌跡方程
例1動點P與兩定點A(a,0)，B(－a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線．

變式遷移1已知兩點M(－2,0)、N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為______________．
探究點二定義法求軌跡方程
例2(2011包頭模擬)已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼担髣訄A圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線．

變式遷移2在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B－a2，0，Ca2，0，且滿足條件sinC－sinB＝12sinA，則動點A的軌跡方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究點三相關點法(代入法)求軌跡方程
例3如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程．

變式遷移3已知長為1＋2的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且AP→＝22PB→.求點P的軌跡C的方程．

分類討論思想的應用JAb88.CoM

例(12分)
過定點A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點M，l2與y軸交于點N，如圖所示，求線段MN的中點P的軌跡方程．
多角度審題要求點P坐標，必須先求M、N兩點，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點且垂直，只要l1的斜率存在，設一參數(shù)k1即可求出P點坐標，再消去k1即得點P軌跡方程．
【答題模板】
解(1)當l1不平行于y軸時，設l1的斜率為k1，則k1≠0.因為l1⊥l2，
所以l2的斜率為－1k1，
l1的方程為y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程為y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M點的橫坐標為x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N點的縱坐標為y1＝b＋ak1，[6分]
設MN中點P的坐標為(x，y)，則有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)當l1平行于y軸時，MN中點為a2，b2，其坐標滿足方程③.
綜合(1)(2)知所求MN中點P的軌跡方程為2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思維障礙】
引進l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標，求出點P的坐標，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在．
【易錯點剖析】
當AM⊥x軸時，AM的斜率不存在，此時MN中點為a2，b2，易錯點是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點a2，b2.
1．求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點，列式，代換，化簡，證明五個步驟，但最后的證明可以省略．(2)定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程．(3)代入法：動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x′，y′)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法．(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程．
2．本節(jié)易錯點：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時，應考慮是否符合曲線的定義．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓的一個動點，如果M是線段F1P的中點，則動點M的軌跡是()
A．圓B．橢圓
C．雙曲線的一支D．拋物線
2．(2011唐山模擬)已知A、B是兩個定點，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，則點C的軌跡為()
A．雙曲線B．雙曲線的一支
C．橢圓D．線段
3．長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，AC→＝2CB→，則點C的軌跡是()
A．線段B．圓C．橢圓D．雙曲線
4．(2011銀川模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)為兩個定點．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是()
A．雙曲線B．橢圓
C．拋物線D．圓
5．已知F1、F2是橢圓x24＋y23＝1的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足|MF1|－|MF2|＝2，則動點M的軌跡是()
A．雙曲線B．雙曲線的一個分支
C．兩條射線D．一條射線
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為______________．
8．平面上有三點A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，則動點C的軌跡方程為__________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知拋物線y2＝4px(p0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程．

10．(12分)(2009寧夏，海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，|OP||OM|＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

11．(14分)(2011石家莊模擬)在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，－3)和F2(0，3)為焦點、離心率為32的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)點M的軌跡方程；
(2)|OM→|的最小值．
學案55曲線與方程
自主梳理
1．(1)曲線上的點的坐標解(2)曲線上的點3.(1)曲線上任意一點M的坐標(2){M|p(M)}(4)最簡形式(5)曲線上
自我檢測
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
當m＝0時，C2：y＝0，此時C1與C2顯然只有兩個交點；
當m≠0時，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點，當圓與直線相切時，m＝±33，
即直線處于兩切線之間時滿足題意，
則－33m0或0m33.
綜上知－33m0或0m33.]
課堂活動區(qū)
例1解題導引①在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；
②由于已知條件中，直線PA、PB的斜率存在，因此軌跡曲線應除去A、B兩點；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲線有以下幾種情況：
1°AB0，表示焦點在x軸上的橢圓；
2°A＝B0，表示圓；
3°0AB，表示焦點在y軸上的橢圓；
4°A0B，表示焦點在x軸上的雙曲線；
5°A0B，表示焦點在y軸上的雙曲線；
6°A，B0，無軌跡．
解設點P(x，y)，則kAP＝y(tǒng)x－a，kBP＝y(tǒng)x＋a.
由題意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴點P的軌跡方程為kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)當k＝0時，(*)式即y＝0，點P的軌跡是直線AB(除去A、B兩點)．
(2)當k≠0時，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點)．
②若k0，(*)式可化為x2a2＋y2－ka2＝1.
1°當－1k0時，點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去A、B兩點)；
2°當k＝－1時，(*)式即x2＋y2＝a2，點P的軌跡是以原點為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點)；
3°當k－1時，點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去A、B兩點)．
變式遷移1y2＝－8x
解析由題意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移項兩邊平方，化簡得y2＝－8x.
例2解題導引(1)由于動點M到兩定點O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化；
(2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)．
解
如圖所示，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
設動圓M的半徑為r，則
由動圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1；
由動圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴點M的軌跡方程為4x29－4y27＝1(x0)．
變式遷移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A點軌跡是以B，C為焦點的雙曲線右支，其中實半軸長為a4，焦距為|BC|＝a.
∴虛半軸長為a22－a42＝34a，由雙曲線標準方程得為16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解題導引相關點法也叫坐標轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法．其題目特征是：點A的運動與點B的運動相關，且點B的運動有規(guī)律(有方程)，只需將A的坐標轉(zhuǎn)移到B的坐標中，整理即可得點A的軌跡方程．
解設動點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x1，y1)，則點N的坐標為(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直線x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直線x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
聯(lián)立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又點Q在雙曲線x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得動點P的軌跡方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
變式遷移3解設A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因為|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化簡得x22＋y2＝1.∴點P的軌跡方程為x22＋y2＝1.
課后練習區(qū)
1．B[
如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a(設橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
連接MO，由三角形的中位線可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點的橢圓．]
2．B[A、B是兩個定點，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以點C軌跡為雙曲線的一支．]
3．C[設C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
設拋物線的焦點為F，因為A、B在拋物線上，
所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準線l的距離AM、BN(如圖所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
過O作OR⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓．]
5．D[因為|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以軌跡為一條射線．]
6．4π
解析設P(x，y)，由題知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圓的面積為4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
設A(x，y)，y≠0，則Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化簡得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三點構(gòu)成三角形，
∴A不能落在x軸上，即y≠0.
方法二
定義法．如圖所示，
設A(x，y)，D為AB的中點，過A作AE∥CD交x軸于E，
則E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距離為常數(shù)6.
∴A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共線，故A點縱坐標y≠0.
故A點軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解設M(x，y)，直線AB斜率存在時，
設直線AB的方程為y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
設A、B兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在時，經(jīng)驗證也符合上式．
故M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以橢圓C的方程為x216＋y27＝1.(4分)
(2)設M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及點P在橢圓C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①當λ＝34時，化簡得9y2＝112，
所以點M的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)．
軌跡是兩條平行于x軸的線段．(7分)
②當λ≠34時，方程變形為x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
當0λ34時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分．
當34λ1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓．(12分)
11．解(1)橢圓的方程可寫為y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲線C的方程為x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
設P(x0，y0)，因為P在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切線AB的方程為y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
設A(x,0)和B(0，y)，由切線方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得點M的坐標為(x，y)，
由x0，y0滿足C的方程，得點M的軌跡方程為1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
當且僅當x2－1＝4x2－1，即x＝3時，上式取等號．
故|OM→|的最小值為3.(14分)

延伸閱讀

高考數(shù)學（理科）一輪復習冪函數(shù)學案含答案

學案9冪函數(shù)
導學目標：1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的圖象，了解它們的變化情況．
自主梳理
1．冪函數(shù)的概念
形如______的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中____是自變量，____是常數(shù)．
2．冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下：
定義域值域奇偶性單調(diào)性過定點
y＝xRR奇?↗(1,1)
y＝x2R[0，＋∞)偶[0，＋∞)↗
(－∞，0]↙
y＝x3RR奇?↗
y＝
[0，＋∞)[0，＋∞)非奇
非偶[0，＋∞)↗
y＝x－1(－∞，0)
∪(0，＋∞)(－∞，0)
∪(0，＋∞)奇(－∞，0)↙
(0，＋∞)↙
(2)所有冪函數(shù)在________上都有定義，并且圖象都過點(1,1)，且在第____象限無圖象．
(3)α0時，冪函數(shù)的圖象通過點________________，并且在區(qū)間(0，＋∞)上是________，α0時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，圖象________原點．
自我檢測
1．(2011石家莊月考)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±12四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
2．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應順序是()

A．②①③④B．②③①④
C．④①③②D．④③①②
3．(2011滄州模擬)設α∈{－1,1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為()
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
4．與函數(shù)y＝xx＋1的圖象形狀一樣的是()
A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝1xD．y＝x＋1
5．已知點(33，33)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝D．f(x)＝
探究點一冪函數(shù)的定義與圖象
例1已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(2，14)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)求當x為何值時：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．

變式遷移1若點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(－2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)＝f(x)，f(x)≤g(x)，g(x)，f(x)g(x)，
試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間．

探究點二冪函數(shù)的單調(diào)性
例2比較下列各題中值的大?。?br> (1)，；(2)，；
(3)，；(4)，和.

變式遷移2(1)比較下列各組值的大?。?br> ①________；
②0.20.5________0.40.3.
(2)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，則m的取值范圍是__________________________．
探究點三冪函數(shù)的綜合應用
例3(2011葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求滿足的a的范圍．

變式遷移3已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2，2)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

1．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準．
2．在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．右圖是函數(shù)y＝(m，n∈N*，m、n互質(zhì))的圖象，則()
A．m，n是奇數(shù)，且mn1
B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn1
D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且mn1
2．(2010陜西)下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x0，y0，函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()
A．冪函數(shù)B．對數(shù)函數(shù)
C．指數(shù)函數(shù)D．余弦函數(shù)
3．下列函數(shù)圖象中，正確的是()
4．(2010安徽)設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是()
A．a(chǎn)cbB．a(chǎn)bc
C．cabD．bca
5．下列命題中正確的是()
①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0)；
②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；
③當n＝0時，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；
④冪函數(shù)y＝xn當n0時是增函數(shù)；
⑤冪函數(shù)y＝xn當n0時在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減?。?br> A．①和④B．④和⑤
C．②和③D．②和⑤
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011邯鄲模擬)若冪函數(shù)y＝的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為________．
7．已知a＝xα，b＝，c＝，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小順序是________．
8．已知函數(shù)f(x)＝xα(0α1)，對于下列命題：①若x1，則f(x)1；②若0x1，則0f(x)1；③當x0時，若f(x1)f(x2)，則x1x2；④若0x1x2，則f(x1)x1f(x2)x2.
其中正確的命題序號是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)設f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當－1≤x1時，y＝f(x)的表達式是冪函數(shù)，且經(jīng)過點(12，18)．求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達式．

10．(12分)已知f(x)＝(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．

11．(14分)(2011荊州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(k∈Z)滿足f(2)f(3)．
(1)求k的值并求出相應的f(x)的解析式；
(2)對于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q0，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域為[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，請說明理由．

答案自主梳理
1．y＝xαxα2.(2)(0，＋∞)四(3)(0,0)，(1,1)增函數(shù)不過
自我檢測
1．B[方法一由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，n0時不過原點，故C3，C4對應的n值均為負，C1，C2對應的n值均為正；
由增(減)快慢知n(C1)n(C2)n(C3)n(C4)．
故C1，C2，C3，C4的n值依次為
2，12，－12，－2.
方法二作直線x＝2分別交C1，C2，C3，C4于點A1，A2，A3，A4，則其對應點的縱坐標顯然為22,，，2－2，故n值分別為2，12，－12，－2.]
2．D[第一個圖象過點(0,0)，與④對應；第二個圖象為反比例函數(shù)圖象，表達式為y＝kx，③y＝x－1恰好符合，
∴第二個圖象對應③；
第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝ax，且a1，①y＝2x恰好符合，∴第三個圖象對應①；
第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象，表達式為y＝logax，且a1，②y＝log2x恰好符合，∴第四個圖象對應②.
∴四個函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應順序為④③①②.]
3．A4.C5.B
課堂活動區(qū)
例1解(1)設f(x)＝xα，
∵圖象過點(2，2)，故2＝(2)α，
解得α＝2，∴f(x)＝x2.
設g(x)＝xβ，∵圖象過點(2，14)，
∴14＝2β，解得β＝－2.
∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐標系下作出f(x)＝x2與g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．

由圖象可知，f(x)，g(x)的圖象均過點(－1，1)和(1,1)．
∴①當x1，或x－1時，f(x)g(x)；
②當x＝1，或x＝－1時，f(x)＝g(x)；
③當－1x1且x≠0時，f(x)g(x)．
變式遷移1解求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，
如例1圖所示，
則有：h(x)＝x－2，x－1或x1，x2，－1≤x≤1.
根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0,1)；單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
例2解題導引比較兩個冪的大小關鍵是搞清楚是底數(shù)相同，還是指數(shù)相同，若底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；若指數(shù)相同，利用冪函數(shù)的性質(zhì)；若底數(shù)、指數(shù)皆不相同，考慮用中間值法，常用0和1“搭橋”進行分組．
解(1)函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，∴30.830.7.
(2)函數(shù)y＝x3是增函數(shù)，∴0.2130.233.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；0＝1；
0，∴.
變式遷移2(1)①②
(2)m0
解析根據(jù)冪函數(shù)y＝x1.3的圖象，
當0x1時，0y1，∴00.71.31.
又根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.7的圖象，
當x1時，y1，∴1.30.71.
于是有0.71.31.30.7.
對于冪函數(shù)y＝xm，由(0.71.3)m(1.30.7)m知，當x0時，隨著x的增大，函數(shù)值也增大，∴m0.
例3解∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上遞減，
∴m2－2m－30，解得－1m3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函數(shù)的圖象關于y軸對稱，
∴m2－2m－3是偶數(shù)，
而22－2×2－3＝－3為奇數(shù)，
12－2×1－3＝－4為偶數(shù)，
∴m＝1.
而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均為減函數(shù)，
∴等價于a＋13－2a0，
或0a＋13－2a，或a＋103－2a，
解得a－1或23a32.
故a的范圍為{a|a－1或23a32}．
變式遷移3解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m與m＋1中必有一個為偶數(shù)，
∴m(m＋1)為偶數(shù)．
∴函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，2)，
∴2＝，即.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.
解得1≤a32.
∴a的取值范圍為[1，32)．
課后練習區(qū)
1．C[由圖象知，函數(shù)為偶函數(shù)，
∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．
又函數(shù)圖象在第一限內(nèi)上凸，∴mn1.]
2．C[∵(x＋y)α≠xαyα，
∴冪函數(shù)f(x)＝xα不具有此性質(zhì)．
∵loga(x＋y)≠logaxlogay，
∴對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax不具有此性質(zhì)．
∵ax＋y＝axay，∴指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax具有此性質(zhì)．
∵cos(x＋y)≠cosxcosy，
∴余弦函數(shù)y＝cosx不具有此性質(zhì)．]
3．C[對A、B，由y＝x＋a知a1，可知A、B圖象不正確；
D中由y＝x＋a知0a1，∴y＝logax應為減函數(shù)，D錯．]
4．A[∵y＝在x∈(0，＋∞)遞增，
∴，即ac，
∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)遞減，
∴，即cb，
∴acb.]
5．D
6．1或2
解析由m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0解得m＝1或2.
經(jīng)檢驗m＝1或2都適合．
7．cab
解析∵α∈(0,1)，∴1ααα2.
又∵x∈(0,1)，∴xα，即cab.
8．①②③
解析作出y＝xα(0α1)在第一象限內(nèi)的圖象，如圖所示，
可判定①②③正確，
又fxx表示圖象上的點與原點連線的斜率，
當0x1x2時應有fx1x1fx2x2，故④錯．
9．解設在[－1,1)中，f(x)＝xn，
由點(12，18)在函數(shù)圖象上，求得n＝3.……………………………………………………(4分)
令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)，
∴f(x－2k)＝(x－2k)3.……………………………………………………………………(8分)
又f(x)周期為2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.
即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．………………………………………………………………(12分)
10．解由條件知1－n2＋2n＋30，
－n2＋2n＋30，解得－1n3.…………………………………………………………(4分)
又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.
當n＝0,2時，f(x)＝x13，
∴f(x)在R上單調(diào)遞增．…………………………………………………………………(8分)
∴f(x2－x)f(x＋3)轉(zhuǎn)化為x2－xx＋3.
解得x－1或x3.
∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．………………………………………(12分)
11．解(1)∵f(2)f(3)，
∴f(x)在第一象限是增函數(shù)．
故－k2＋k＋20，解得－1k2.
又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.
當k＝0或k＝1時，－k2＋k＋2＝2，
∴f(x)＝x2.…………………………………………………………………………………(6分)
(2)假設存在q0滿足題設，由(1)知
g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．
∵g(2)＝－1，∴兩個最值點只能在端點(－1，g(－1))和頂點(2q－12q，4q2＋14q)處取得．
……………………………………………………………………………………………(8分)
而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，
∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，…………………………………………………………………(12分)
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
解得q＝2.∴存在q＝2滿足題意．……………………………………………………(14分)

高考數(shù)學（理科）一輪復習函數(shù)與方程學案有答案

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，教師要準備好教案，這是教師需要精心準備的。教案可以讓上課時的教學氛圍非常活躍，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么，你知道教案要怎么寫呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高考數(shù)學（理科）一輪復習函數(shù)與方程學案有答案”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

學案11函數(shù)與方程
導學目標：1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似值．
自主梳理
1．函數(shù)零點的定義
(1)對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．
(2)方程f(x)＝0有實根函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點函數(shù)y＝f(x)有________．
2．函數(shù)零點的判定
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點存在性定理．
3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象與零點的關系
Δ0Δ＝0Δ0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c
(a0)的圖象

與x軸的交點________，
________________無交點
零點個數(shù)________________________
4.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟
第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證________________，給定精確度ε；
第二步，求區(qū)間(a，b)的中點c；
第三步，計算______：
①若________，則c就是函數(shù)的零點；
②若________，則令b＝c[此時零點x0∈(a，c)]；
③若________，則令a＝c[此時零點x0∈(c，b)]；
第四步，判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復第二、三、四步．
自我檢測
1．(2010福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零點個數(shù)為()
A．0B．1C．2D．3
2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點()
A．至少有一個B．至多有一個
C．有且只有一個D．可能有無數(shù)個
3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是()
A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，則方程的根所在的區(qū)間是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能確定
5．(2011福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究點一函數(shù)零點的判斷
例1判斷函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點個數(shù)．

變式遷移1(2011煙臺模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是()
A．多于4個B．4個
C．3個D．2個
探究點二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解(精確度0.1)．

變式遷移2(2011淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋lnx＋12的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________．以上橫線上應填的內(nèi)容為()
A.0，12B．(0,1)f12
C.12，1D.0，12
探究點三利用函數(shù)的零點確定參數(shù)
例3已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍．
變式遷移3若函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．
1．全面認識深刻理解函數(shù)零點：
(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實數(shù)x；
(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；
(3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；
(4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．
2．求函數(shù)y＝f(x)的零點的方法：
(1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點；
(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點的近似值，二分法的條件f(a)f(b)0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點．
3．有關函數(shù)零點的重要結(jié)論：
(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點；
(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；
(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010天津)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－13x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，則f(x1)的值()
A．恒為負B．等于零
C．恒為正D．不小于零
3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()
4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個零點x1、x2，且x1x2，則()
A．x12,2x25
B．x12，x25
C．x12，x25
D．2x15，x25
5．(2011廈門月考)設函數(shù)f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是()
A．4B．3C．2D．1
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x0時，f(x)＝2006x＋log2006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為________．
7．(2011深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是______________．
8．(2009山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
證明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.

10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0，求實數(shù)p的取值范圍．
11．(14分)(2011杭州調(diào)研)設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求證：
(1)a0且－3ba－34；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點；
(3)設x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則2≤|x1－x2|574.

答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個一個無4.f(a)f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)f(c)0③f(c)f(b)0
自我檢測
1．C[當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
當x0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函數(shù)有兩個零點．]
2．B3.B4.B5.A
課堂活動區(qū)
例1解題導引判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，解出方程有幾個根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個零點，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧．
解方法一設f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均為增函數(shù)，
∴f(x)也是增函數(shù)．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，
∴f(x)在(1,3)上存在零點．又f(x)為增函數(shù)，
∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點．
方法二在同一坐標系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個零點．
變式遷移1B[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右
邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個交點，因此零點個數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個．]
例2解題導引①用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區(qū)間、中點坐標、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程；
②在確定方程近似解所在的區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應函數(shù)的零點所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長度盡可能小，且滿足f(a)f(b)0；
③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度ε，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|ε時，可停止計算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù)，結(jié)果不唯一．
解設f(x)＝2x3＋3x－3.
經(jīng)計算，f(0)＝－30，f(1)＝20，
所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．
取(0,1)的中點0.5，經(jīng)計算f(0.5)0，
又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解，
如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.
(a，b)(a，b)
的中點fa＋b2

(0,1)0.5f(0.5)0
(0.5,1)0.75f(0.75)0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1
至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點0.6875作為函數(shù)f(x)零點的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個近似解．
變式遷移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及l(fā)nx＋12在－12，＋∞上是增函數(shù)，故f(x)在－12，＋∞上也是增函數(shù)，
故f(x)在0，12上存在零點，所以x0∈0，12，
第二次計算應計算0和12在數(shù)軸上對應的中點
x1＝0＋122＝14.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①當a＝－3－72時，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
當a＝－3＋72時，f(x)＝0的重根x＝3＋72[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一個零點在[－1,1]上；
②當f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)0，
即1a5時，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個零點．
③當y＝f(x)在[－1,1]上有兩個零點時，則
a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，
解得a≥5或a－3－72.
綜上所述實數(shù)a的取值范圍是a1或a≤－3－72.
變式遷移3解方法一(換元)
設2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函數(shù)f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，等價于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實數(shù)根．
(1)當方程①有兩個正實根時，
a應滿足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1t2＝a＋10，
解得：－1a≤2－22；
(2)當方程①有一正根一負根時，只需t1t2＝a＋10，
即a－1；
(3)當方程①有一根為0時，a＝－1，此時方程①的另一根為1.
綜上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)當函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在兩個零點時，
實數(shù)a應滿足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，
解得－1a≤2－22；
(2)當函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在一個零點，另一個零點在(－∞，0)時，實數(shù)a應滿足g(0)＝a＋10，
解得a－1；
(3)當函數(shù)g(t)的一個零點是0時，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時可以求得函數(shù)g(t)的另一個零點是1.
綜上(1)(2)(3)知a≤2－22.
課后練習區(qū)
1．B[因為f(－1)＝12－30，f(0)＝10，
所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．]
2．A
3．C[能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)0，D中函數(shù)不連續(xù)．]
4．C
5．B[當x≤1時，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個交點，可得h(x)有兩個零點，當x1時，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個交點，可得函數(shù)h(x)有1個零點，∴函數(shù)h(x)共有3個零點．]
6．3
解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當x0時，f(x)＝2006x＋log2006x在區(qū)間(0，12006)內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3.
7．x1x2x3
解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
設y＝lnx，y＝－x.
在同一坐標系內(nèi)畫出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x10x21，令x－x－1＝0，則(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋521，所以x1x2x3.
8．a(chǎn)1
解析設函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個零點，就是函數(shù)y＝ax(a0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個交點，由圖象可知當0a1時兩函數(shù)只有一個交點，不符合；當a1時，因為函數(shù)y＝ax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是a1.
9．證明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)g(12)0.……………………………………………………………………………(8分)
又函數(shù)g(x)在(0，12)上連續(xù)，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)
10．解二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，
使f(c)0的否定是：對于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一個x都有f(x)≤0.……………………(4分)
此時f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0的實數(shù)p的取值范圍是
－3p32.…………………………………………………………………………………(12分)
11．證明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a2c2b，∴3a0,2b0，
∴a0，b0.
又2c＝－3a－2b，由3a2c2b，
∴3a－3a－2b2b.
∵a0，∴－3ba－34.……………………………………………………………………(4分)
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①當c0時，∵a0，
∴f(0)＝c0且f(1)＝－a20，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(7分)
②當c≤0時，
∵a0，
∴f(1)＝－a20且f(2)＝a－c0，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點．
綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(10分)
(3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝－ba2－4－32－ba
＝ba＋22＋2.(12分)
∵－3ba－34，
∴2≤|x1－x2|574.……………………………………………………………………(14分)

高考數(shù)學（理科）一輪復習直線及其方程學案帶答案

第九章解析幾何
學案47直線及其方程

導學目標：1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關系．
自主梳理
1．直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義：當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為________．
②傾斜角的范圍為______________．
(2)直線的斜率
①定義：一條直線的傾斜角α的________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
②過兩點的直線的斜率公式：
經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝______________________.
2．直線的方向向量
經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的一個方向向量為P1P2→，其坐標為________________，當斜率k存在時，方向向量的坐標可記為(1，k)．
3．直線的方程和方程的直線
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和坐標平面上的直線l，如果直線l上任意一點的坐標都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一個解作為點的坐標都在__________，就稱直線l是方程Ax＋By＋C＝0的直線，稱方程Ax＋By＋C＝0是直線l的方程．
4．直線方程的五種基本形式
名稱方程適用范圍
點斜式不含直線x＝x0
斜截式不含垂直于x軸的直線
兩點式不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用
5.線段的中點坐標公式
若點P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點M的坐標為(x，y)，則x＝，y＝，此公式為線段P1P2的中點坐標公式．
自我檢測
1．(2011銀川調(diào)研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m三點共線，則m的值為()
A.12B．－12C．－2D．2
2．直線l與兩條直線x－y－7＝0，y＝1分別交于P、Q兩點，線段PQ的中點為(1，－1)，則直線l的斜率為()
A．－32B.32C.23D．－23
3．下列四個命題中，假命題是()
A．經(jīng)過定點P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經(jīng)過兩個不同的點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)來表示
C．與兩條坐標軸都相交的直線不一定可以用方程xa＋yb＝1表示
D．經(jīng)過點Q(0，b)的直線都可以表示為y＝kx＋b
4．(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．已知直線l的方向向量與向量a＝(1,2)垂直，且直線l過點A(1,1)，則直線l的方程為()
A．x－2y－1＝0B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
探究點一傾斜角與斜率

例1已知兩點A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率．

變式遷移1直線xsinα－y＋1＝0的傾斜角的變化范圍是()
A.0，π2B．(0，π)
C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π
探究點二直線的方程
例2(2011武漢模擬)過點M(0,1)作直線，使它被兩直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程．

變式遷移2求適合下列條件的直線方程：
(1)經(jīng)過點P(3,2)且在兩坐標軸上的截距相等；
(2)經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍．

探究點三直線方程的應用

例3過點P(2,1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使：
(1)△AOB面積最小時l的方程；
(2)|PA||PB|最小時l的方程．
變式遷移3為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護區(qū)不能占用，經(jīng)測量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，應如何設計才能使草坪面積最大？
探究點四數(shù)形結(jié)合思想
例4已知實數(shù)x，y滿足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
試求y＋3x＋2的最大值與最小值．

變式遷移4直線l過點M(－1,2)且與以點P(－2，－3)、Q(4,0)為端點的線段恒相交，則l的斜率范圍是()
A．[－25，5]B．[－25，0)∪(0,5]
C．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D．[－25，π2)∪(π2，5]
1．要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的范圍為0°≤α180°，熟記斜率公式k＝y(tǒng)2－y1x2－x1，該公式與兩點順序無關．已知兩點坐標(x1≠x2)，根據(jù)該公式可以求出經(jīng)過兩點的直線斜率，而x1＝x2，y1≠y2時，直線斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.
2．當直線沒有斜率(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時，不能用兩點式y(tǒng)－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求直線方程，但都可以寫成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以化成一般式，但是有些直線的一般式方程不能化成點斜式、斜截式、兩點式或截距式．
3．使用直線方程時，一定要注意限制條件以免解題過程中丟解，如點斜式的使用條件是直線必須有斜率，截距式的使用條件是截距存在且不為零，兩點式的使用條件是直線不與坐標軸垂直．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011臨沂月考)已知直線l經(jīng)過A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()
A．(0，π)B.0，π4∪π2，π
C.0，π4D.π4，π2∪π2，π
2．若直線l：y＝kx－3與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()
A.π6，π3B.π6，π2
C.π3，π2D.π6，π2
3．點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，那么2x＋4y的最小值是()
A．22B．42
C．16D．不存在
4．(2011宜昌調(diào)研)點A(a＋b，ab)在第一象限內(nèi)，則直線bx＋ay－ab＝0不經(jīng)過的象限是()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．(2011包頭期末)經(jīng)過點P(2，－1)，且在y軸上的截距等于它在x軸上的截距的2倍的直線l的方程為()
A．2x＋y＝2B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．過兩點A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直線l的傾斜角為45°，則m＝________.
7．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是________．
8．設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是________________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知兩點A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直線AB的斜率k；
(2)求直線AB的方程；
(3)已知實數(shù)m∈－33－1，3－1，求直線AB的傾斜角α的范圍．

10．(12分)(2011秦皇島模擬)已知線段PQ兩端點的坐標分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點，求m的范圍．
11．(14分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程．

學案47直線及其方程
自主梳理
1．(1)①正向向上0°②0°≤α180°(2)①正切值tanα②y2－y1x2－x12.(x2－x1，y2－y1)3.Ax＋By＋C＝0
直線l上4.y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)5.x1＋x22y1＋y22
自我檢測
1．A2.D3.D4.C5.D
課堂活動區(qū)
例1解題導引斜率與傾斜角常與三角函數(shù)聯(lián)系，本題需要挖掘隱含條件，判斷角的范圍．關鍵是熟練掌握好根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍這一類題型．
解設直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α，
由題意可知：tan2α＝－2－－53－－1＝34，∴2tanα1－tan2α＝34.
整理得3tan2α＋8tanα－3＝0.
解得tanα＝13或tanα＝－3，∵tan2α＝340，
∴0°2α90°，∴0°α45°，∴tanα0，
故直線l的斜率為13.
變式遷移1D[直線xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
當0≤k≤1時，傾斜角的范圍是0，π4，
當－1≤k0時，傾斜角的范圍是3π4，π.]
例2解題導引(1)對直線問題，要特別注意斜率不存在的情況．
(2)求直線方程常用方法——待定系數(shù)法．
待定系數(shù)法就是根據(jù)所求的具體直線設出方程，然后按照它們滿足的條件求出參數(shù)．
解過點M且與x軸垂直的直線是y軸，它和兩已知直線的交點分別是0，103和(0,8)，
顯然不滿足中點是點M(0,1)的條件．
故可設所求直線方程為y＝kx＋1，與兩已知直線l1、l2分別交于A、B兩點，聯(lián)立方程組y＝kx＋1，x－3y＋10＝0，①
y＝kx＋1，2x＋y－8＝0，②
由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.
∵點M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.
故所求直線方程為x＋4y－4＝0.
變式遷移2解(1)設直線l在x，y軸上的截距均為a，
若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，
∴l(xiāng)的方程為y＝23x，即2x－3y＝0.
若a≠0，則設l的方程為xa＋ya＝1，
∵l過點(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：設直線y＝3x的傾斜角為α，
則所求直線的傾斜角為2α.
∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.
又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－34(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3解題導引先設出A、B所在的直線方程，再求出A、B兩點的坐標，表示出△ABO的面積，然后利用相關的數(shù)學知識求最值．
確定直線方程可分為兩個類型：一是根據(jù)題目條件確定點和斜率或確定兩點，進而套用直線方程的幾種形式，寫出方程，此法稱直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質(zhì)，先設出方程(含參數(shù)或待定系數(shù))，再確定參數(shù)值，然后寫出方程，這種方法稱為間接法．
解設直線的方程為xa＋yb＝1(a2，b1)，
由已知可得2a＋1b＝1.
(1)∵22a1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝12ab≥4.
當且僅當2a＝1b＝12，
即a＝4，b＝2時，S△AOB取最小值4，
此時直線l的方程為x4＋y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，變形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA||PB|
＝2－a2＋1－022－02＋1－b2
＝[2－a2＋1][1－b2＋4]
≥2a－24b－1.
當且僅當a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3時，|PA||PB|取最小值4.
此時直線l的方程為x＋y－3＝0.
變式遷移3解如圖所示建立直角坐標系，則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，
∴線段EF的方程為x30＋y20＝1(0≤x≤30)．
在線段EF上取點P(m，n)，
作PQ⊥BC于點Q，
PR⊥CD于點R，設矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－m30)．
∴S＝(100－m)(80－20＋23m)
＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．
∴當m＝5時，S有最大值，這時|EP||PF|＝30－55＝5.
所以當矩形草坪的兩邊在BC、CD上，一個頂點在線段EF上，且這個頂點分EF成5∶1時，草坪面積最大．
例4解題導引解決這類問題的關鍵是弄清楚所求代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率取值范圍問題，簡化了運算過程，收到事半功倍的效果．
解由y＋3x＋2的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P(－2，－3)與曲線段AB上任一點(x，y)的直線的斜率k，由圖可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴43≤k≤8，
故y＋3x＋2的最大值為8，最小值為43.
變式遷移4C
[如圖，過點M作y軸的平行線與線段PQ相交于點N.
kMP＝5，kMQ＝－25.
當直線l從MP開始繞M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到MN時，傾斜角在增大，斜率也在增大，這時，k≥5.當直線l從MN開始逆時針旋轉(zhuǎn)到MQ時，
∵正切函數(shù)在(π2，π)上仍為增函數(shù)，
∴斜率從－∞開始增加，增大到kMQ＝－25，
故直線l的斜率范圍是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]
課后練習區(qū)
1．B2.B3.B4.C5.D
6．－27.[34π，π)8.x＋y－5＝0
9．解(1)當m＝－1時，
直線AB的斜率不存在；(1分)
當m≠－1時，k＝1m＋1.(3分)
(2)當m＝－1時，AB的方程為x＝－1，(5分)
當m≠－1時，AB的方程為y－2＝1m＋1(x＋1)，
即y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.(7分)
∴直線AB的方程為x＝－1或y＝xm＋1＋2m＋3m＋1.
(8分)
(3)①當m＝－1時，α＝π2；
②當m≠－1時，
∵k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，
∴α∈π6，π2∪π2，2π3.(10分)
綜合①②，知直線AB的傾斜角
α∈π6，2π3.(12分)
10.
解直線x＋my＋m＝0恒過A(0，－1)點．(2分)
kAP＝－1－10＋1＝－2，
kAQ＝－1－20－2＝32，(5分)
則－1m≥32或－1m≤－2，
∴－23≤m≤12且m≠0.(9分)
又m＝0時直線x＋my＋m＝0與線段PQ有交點，
∴所求m的范圍是－23≤m≤12.(12分)
11．(1)證明直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x＋2＝01－y＝0，解之得x＝－2y＝1，
∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)．(4分)
(2)解由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－1＋2kk，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有－1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k0；(7分)
當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(9分)
(3)解由l的方程，得A－1＋2kk，0，
B(0,1＋2k)．依題意得－1＋2kk0，1＋2k0，
解得k0.(11分)
∵S＝12|OA||OB|
＝121＋2kk|1＋2k|
＝121＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此時l：x－2y＋4＝0.(14分)

高考數(shù)學（理科）一輪復習直線與直線的位置關系學案含答案

學案48直線與直線的位置關系

導學目標：1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
自主梳理
1．兩直線的位置關系
平面上兩條直線的位置關系包括平行、相交、重合三種情況．
(1)兩直線平行
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1∥l2________________________.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，
l1∥l2________________________.
(2)兩直線垂直
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2k1k2＝____.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2A1A2＋B1B2＝____.
2．兩條直線的交點
兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
如果兩直線相交，則交點的坐標一定是這兩個方程組成的方程組的____；反之，如果這個方程組只有一個公共解，那么以這個解為坐標的點必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交點，就看l1、l2構(gòu)成的方程組是否有________．
3．有關距離
(1)兩點間的距離
平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝__________________________________.
(2)點到直線的距離
平面上一點P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________________.
(3)兩平行線間的距離
已知l1、l2是平行線，求l1、l2間距離的方法：
①求一條直線上一點到另一條直線的距離；
②設l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝________________.
自我檢測
1．(2011濟寧模擬)若點P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點P在不等式2x＋y－30表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實數(shù)a的值為()
A．7B．－7C．3D．－3
2．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點()
A．(0,4)B．(0,2)
C．(－2,4)D．(4，－2)
3．已知直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：mx＋ny＋p＝0，則ambn＝－1是直線l1⊥l2的()
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．(2009上海)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()
A．1或3B．1或5
C．3或5D．1或2
5．已知2x＋y＋5＝0，則x2＋y2的最小值是________.
探究點一兩直線的平行與垂直
例1已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求滿足以下條件的a、b的值：
(1)l1⊥l2且l1過點(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且原點到這兩條直線的距離相等．

變式遷移1已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，
(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；
(2)l1⊥l2時，求a的值．

探究點二直線的交點坐標
例2已知直線l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.當m為何值時，三條直線不能構(gòu)成三角形．

變式遷移2△ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點A的坐標為(1,2)，求BC邊所在直線的方程．

探究點三距離問題
例3(2011廈門模擬)已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1與l2的距離是7510.
(1)求a的值；
(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：
①點P在第一象限；
②點P到l1的距離是點P到l2的距離的12；
③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是2∶5.
若能，求點P的坐標；若不能，說明理由．

變式遷移3已知直線l過點P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用
例(12分)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
【答題模板】
解(1)設A′(x，y)，再由已知
∴A′－3313，413.[4分]
(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上．設對稱點M′(a，b)，則得M′613，3013.[6分]
設直線m與直線l的交點為N，則由
得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.[8分]
(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，
如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關于點A(－1，－2)的對稱點M′，N′均在直線l′上，
易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分]
再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.[12分]
方法二∵l∥l′，∴設l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)，
∵點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點到直線的距離公式得
|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9，[10分]
∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.[12分]
方法三設P(x，y)為l′上任意一點，
則P(x，y)關于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，[10分]
∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.[12分]
【突破思維障礙】
點關于直線對稱是軸對稱中最基本的，要抓住兩點：一是已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；二是已知點與對稱點為端點的線段中點在對稱軸上．直線關于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于點的對稱，直線關于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于直線的對稱．
【易錯點剖析】
(1)點關于線對稱，不能轉(zhuǎn)化為“垂直”及“線的中點在軸上”的問題．
(2)線關于線對稱，不能轉(zhuǎn)化為點關于線的對稱問題；線關于點的對稱，不能轉(zhuǎn)化為點關于點的對稱問題．
1．在兩條直線的位置關系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關系．解題時認真畫出圖形，有助于快速準確地解決問題．判斷兩直線平行與垂直時，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論．
2．運用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求兩平行直線間的距離時，一定要把x、y項系數(shù)化為相等的系數(shù)．
3．對稱思想是高考熱點，主要分為中心對稱和軸對稱兩種，關鍵要把握對稱問題的本質(zhì)，必要情況下可與函數(shù)的對稱軸建立聯(lián)系．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．直線3x＋2y＋4＝0與2x－3y＋4＝0()
A．平行B．垂直
C．重合D．關于直線y＝－x對稱
2．(2011六安月考)若直線x＋ay－a＝0與直線ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，則a的值是()
A．2B．－3或1C．2或0D．1或0
3．已知直線l的傾斜角為3π4，直線l1經(jīng)過點A(3,2)、B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b等于()
A．－4B．－2C．0D．2
4．P點在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為2，則P點坐標為()
A．(1,2)B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)
5．設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤18，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是()
A.24，12B.2，22
C.2，12D.22，12

二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011重慶云陽中學高三月考)直線l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，則m的值為______．
7．設直線l經(jīng)過點(－1,1)，則當點(2，－1)與直線l的距離最大時，直線l的方程為______________．
8．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為22，則m的傾斜角可以是
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正確答案的序號是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011福州模擬)k為何值時，直線l1：y＝kx＋3k－2與直線l2：x＋4y－4＝0的交點在第一象限．

10．(12分)已知點P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求過點A且與點P1，P2距離相等的直線方程．

11．(14分)(2011杭州調(diào)研)過點P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程．
自主梳理
1．(1)k1＝k2且b1≠b2A1A2＝B1B2≠C1C2(2)－10
2．解交點唯一解3.(1)x2－x12＋y2－y12
(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2
自我檢測
1．D2.B3.A4.C
5.5
課堂活動區(qū)
例1解題導引運用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b時，要特別注意直線斜率不存在時的特殊情況．運用直線的一般式Ax＋By＋C＝0時，要特別注意A、B為0時的情況，求解兩直線平行或垂直有關的問題并與求直線方程相聯(lián)系，聯(lián)立方程組求解，對斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法研究．
解(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，則a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.
又l1過(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，
∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情況不存在，即k2≠0.
若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.
由l1⊥l2，得k1k2＝ab(1－a)＝－1.
由l1過(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，
解之得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率存在，
∴k1＝k2，即ab＝1－a.
又原點到兩直線的距離相等，且l1∥l2，
∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即4b＝b.
解之得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.
∴a、b的值為2和－2或23和2.
變式遷移1解(1)方法一當a＝1時，
l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1與l2不平行；
當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不平行；
當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝11－ax－(a＋1)，
l1∥l2－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，
綜上可知，a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．
方法二由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0.
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l(xiāng)1∥l2aa－1－1×2＝0aa2－1－1×6≠0a2－a－2＝0，aa2－1≠6.
∴a＝－1，故當a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．
(2)方法一當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直；
當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不垂直；
當a≠1且a≠0時，l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝11－ax－(a＋1)，
由－a211－a＝－1a＝23.
方法二由A1A2＋B1B2＝0，
得a＋2(a－1)＝0a＝23.
例2解題導引①轉(zhuǎn)化思想的運用
三條直線l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形l1、l2、l3交于一點或至少有兩條直線平行
三條直線交于一點l2與l3的交點在l1上l2與l3對應方程組的解適合l1的方程
②分類討論思想的運用
本題依據(jù)直線的位置關系將不能構(gòu)成三角形的情況分成兩類，分類應注意按同一標準，不重不漏．
解當三條直線共點或至少有兩條直線平行時，不能圍成三角形．
①三條直線共點時，
由mx＋y＝0，2x＋3my＝4，得x＝42－3m2y＝－4m2－3m2(m2≠23)，
即l2與l3的交點為42－3m2，－4m2－3m2，
代入l1的方程得4×42－3m2＋7×－4m2－3m2－4＝0，
解得m＝13，或m＝2.
②當l1∥l2時，4＝7m，∴m＝47；
當l1∥l3時，4×3m＝7×2，∴m＝76；
當l2∥l3時，3m2＝2，即m＝±63.
∴m取集合－63，13，63，47，76，2中的元素時，三條直線不能構(gòu)成三角形．
變式遷移2解可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，
則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為
y－2＝－32(x－1)，y－2＝x－1，
即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.
由3x＋2y－7＝0x＋y＝0，得B(7，－7)，
由x－y＋1＝02x－3y＋1＝0，得C(－2，－1)，
所以BC邊所在直線的方程為2x＋3y＋7＝0.
例3解題導引在應用平行線間的距離公式求兩條平行線間的距離時，應注意公式的適用條件，即在兩條平行線的方程中x與y的系數(shù)化為分別對應相等的條件下，才能應用該公式．
如本例中求兩條直線2x－y＋a＝0與－4x＋2y＋1＝0間的距離時，需將前一條直線化為－4x＋2y－2a＝0，或?qū)⒑笠粭l直線化為2x－y－12＝0后，再應用平行線間的距離公式．
解(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a0)，l2：4x－2y－1＝0，
∴兩條平行線l1與l2間的距離為d＝|2a＋1|25，
由已知，可得|2a＋1|25＝7510.
又a0，可解得a＝3.
(2)設點P的坐標為(x，y)，
由條件①，可知x0，y0.
由條件②和③，
可得|2x－y＋3|5＝|4x－2y－1|455|2x－y＋3|5＝2|x＋y－1|2，
化簡得4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1||2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，
也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，
解得y＝12，或8x＋2y－5＝0.
當y＝12時，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
解得x＝－30或x＝－230，均舍去．
由8x＋2y－5＝0|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
化簡得8x＋2y－5＝0x－2y＋4＝0，或8x＋2y－5＝03x＝－2，
解得x＝19y＝3718或x＝－230y＝316(舍去)．
即存在滿足題設條件的點P，其坐標為19，3718.
變式遷移3解方法一若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意．
當直線l的斜率存在時，則設直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，
由y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.
由y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.
由兩點間的距離公式，得
3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，
解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.
綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1.
方法二因為兩平行線間的距離
d＝|6－1|2＝522，
如圖，直線l被兩平行線截得的線段長為5，
設直線l與兩平行線的夾角為θ，
則sinθ＝22，所以θ＝45°.
因為兩平行線的斜率是－1，
故所求直線的斜率不存在或為0.
又因為直線l過點P(3,1)，
所以直線l的方程為x＝3或y＝1.
課后練習區(qū)
1．B2.C3.B4.C5.D
6．－17.3x－2y＋5＝08.①⑤
9．解由y＝kx＋3k－2x＋4y－4＝0，得x＝12－12k4k＋1y＝7k－24k＋1.(5分)
∵兩直線的交點在第一象限，
∴12－12k4k＋107k－24k＋10，∴27k1.(11分)
即當27k1時，
兩直線的交點在第一象限．(12分)
10．解設所求直線為l，由于l過點A且與點P1，P2距離相等，所以有兩種情況，
(1)當P1，P2在l同側(cè)時，有l(wèi)∥P1P2，此時可求得l的方程為
y－2＝5－3－4－2(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分)
(2)當P1，P2在l異側(cè)時，l必過P1P2的中點(－1,4)，此時l的方程為x＝－1.(10分)
∴所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.
(12分)
11．解設點A(x，y)在l1上，
由題意知x＋xB2＝3，y＋yB2＝0，∴點B(6－x，－y)，(6分)
解方程組2x－y－2＝0，6－x＋－y＋3＝0，
得x＝113，y＝163，∴k＝163－0113－3＝8.(12分)
∴所求的直線方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.(14分)