高中物理動(dòng)能定理教案

余弦定理教案。

教學(xué)設(shè)計(jì)
整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析
對(duì)余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過(guò)向量知識(shí)給予證明的．一是進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)向量工具性的認(rèn)識(shí)，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問(wèn)題中的威力．課后仍鼓勵(lì)學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述出來(lái)，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡(jiǎn)的目的．
應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問(wèn)題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形；(2)已知三角形的三邊解三角形．在已知兩邊及其夾角解三角形時(shí)，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問(wèn)題．在已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理．用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜．用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大?。?br> 根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時(shí)．一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用．
三維目標(biāo)
1．通過(guò)對(duì)余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用；了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系；知道解三角形問(wèn)題的幾種情形．
2．通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識(shí)；同時(shí)通過(guò)正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美．
3．加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想；這些數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識(shí)，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理；理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形．
教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形．
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過(guò)程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理．現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受．
思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來(lái)呢？也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢？根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說(shuō)向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎？
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1通過(guò)對(duì)任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問(wèn)題.那么如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢？
2能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長(zhǎng)的關(guān)系式或計(jì)算公式呢？
3余弦定理的內(nèi)容是什么？你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎？余弦定理與以前學(xué)過(guò)的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近？
4余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么？
5余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問(wèn)題？怎樣求解？
6正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別？
活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過(guò)觀察、猜想、證明而推廣到一般．
如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對(duì)于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢？下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題．
如下圖，在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b、c、∠A來(lái)表示a.
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究．由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形．在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過(guò)CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解．探究過(guò)程如下：
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得
a2＝CD2＋BD2.
∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，
又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2cAD＋AD2，
∴a2＝b2－AD2＋c2－2cAD＋AD2＝b2＋c2－2cAD.
又∵在Rt△ADC中，AD＝bcosA，
∴a2＝b2＋c2－2bccosA.
類似地可以證明b2＝c2＋a2－2cacosB.
c2＝a2＋b2－2abcosC.
另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2＋b2＝c2也符合上述結(jié)論．
這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——余弦定理．下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用．
教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：ab＝|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角．
用向量法探究余弦定理的具體過(guò)程如下：
如下圖，設(shè)CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，那么c＝a－b，
|c|2＝cc＝(a－b)(a－b)
＝aa＋bb－2ab
＝a2＋b2－2abcosC.
所以c2＝a2＋b2－2abcosC.
同理可以證明a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB.
這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過(guò)程如下：
如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式
AB＝bcosC－a2＋bsinC－02，
∴c2＝b2cos2C－2abcosC＋a2＋b2sin2C，
整理，得c2＝a2＋b2－2abcosC.
同理可以證明：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB.
余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即
a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC
余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量．從而由三角形的三邊可確定三角形的三個(gè)角，得到余弦定理的另一種形式：
cosA＝b2＋c2－a22bccosB＝c2＋a2－b22cacosC＝a2＋b2－c22ab
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系．學(xué)生容易看出，若△ABC中，C＝90°，則cosC＝0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2＝a2＋b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣；勾股定理是余弦定理的特例．另外，從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．
應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問(wèn)題：
①已知三角形的三邊解三角形，這類問(wèn)題是三邊確定，故三角也確定，有唯一解；
②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問(wèn)題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也唯一確定，故解唯一．不會(huì)產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問(wèn)題．
把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問(wèn)題．教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)定理可解決的問(wèn)題類型會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的情況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會(huì)更好些呢？教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜．用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角．教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧．
討論結(jié)果：
(1)、(2)、(3)、(6)見(jiàn)活動(dòng)．
(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：
cosA＝b2＋c2－a22bccosB＝c2＋a2－b22cacosC＝a2＋b2－c22ab
(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問(wèn)題：
一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角．
應(yīng)用示例
例1如圖，在△ABC中，已知a＝5，b＝4，∠C＝120°，求c.
活動(dòng)：本例是利用余弦定理解決的第二類問(wèn)題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成．
解：由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos120°，
因此c＝52＋42－2×5×4×－12＝61.
例2如圖，在△ABC中，已知a＝3，b＝2，c＝19，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積．(精確到0.1)
活動(dòng)：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出最大邊所對(duì)的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角．教材中這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理．實(shí)際教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會(huì)三次利用余弦定理分別求出三個(gè)角，或先求出最小邊所對(duì)的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵(lì)，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個(gè)定理的內(nèi)涵．
解：由余弦定理，得
cos∠BCA＝a2＋b2－c22ab＝32＋22－1922×3×2＝9＋4－1912＝－12，
因此∠BCA＝120°，
再由正弦定理，得
sinA＝asin∠BCAc＝3×3219＝33219≈0.5960，
因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去)．
因此∠B＝180°－∠A－∠BCA≈23.4°.
設(shè)BC邊上的高為AD，則
AD＝csinB＝19sin23.4°≈1.73.
所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.
點(diǎn)評(píng)：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)，體會(huì)兩種方法存在的差異．當(dāng)所求的角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，已知a＝14，b＝20，c＝12，求A、B和C.(精確到1°)
解：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝202＋122－1422×20×12＝0.7250，
∴A≈44°.
∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝142＋202－1222×14×20＝113140≈0.8071，
∴C≈36°.
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(－2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)
活動(dòng)：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)．
解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得
AB＝[6－－2]2＋5－82＝73，
BC＝－2－42＋8－12＝85，
AC＝6－42＋5－12＝25.
在△ABC中，由余弦定理，得
cosA＝AB2＋AC2－BC22ABAC＝2365≈0.1047，
因此∠A≈84.0°.
點(diǎn)評(píng)：三角形三邊的長(zhǎng)作為中間過(guò)程，不必算出精確數(shù)值．
變式訓(xùn)練
用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例．
解：如例3題圖，AB→＝(－8,3)，AC→＝(－2，－4)，
∴|AB→|＝73，|AC→|＝20.
∴cosA＝AB→AC→|AB→||AC→|
＝－8×－2＋3×－473×20
＝2365≈0.1047.
因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
活動(dòng)：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC＝12acsinB可以求出．若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的．
解法一：由正弦定理，得8sinA＝7sin60°，
∴A1＝81.8°，A2＝98.2°.
∴C1＝38.2°，C2＝21.8°.
由7sin60°＝csinC，得c1＝3，c2＝5，
∴S△ABC＝12ac1sinB＝63或S△ABC＝12ac2sinB＝103.
解法二：由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacosB，
∴72＝c2＋82－2×8×ccos60°.
整理，得c2－8c＋15＝0，
解之，得c1＝3，c2＝5.∴S△ABC＝12ac1sinB＝63或S△ABC＝12ac2sinB＝103.
點(diǎn)評(píng)：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏；而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意．
綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍；已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c＝2，C＝60°.
(1)若△ABC的面積等于3，求a，b；
(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積．
解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－2abcos60°＝c2，即a2＋b2－ab＝4，
又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC＝3，ab＝4.
聯(lián)立方程組a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理及已知條件，得b＝2a，
聯(lián)立方程組a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.
所以△ABC的面積S＝12absinC＝233.
知能訓(xùn)練
1．在△ABC中，已知C＝120°，兩邊a與b是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則c的值為…
()
A.3B．7C．3D.7
2．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為x2＋x＋1，x2－1,2x＋1(x＞1)，求三角形的最大角．
答案：
1．D解析：由題意，知a＋b＝3，ab＝2.
在△ABC中，由余弦定理，知
c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab
＝(a＋b)2－ab
＝7，
∴c＝7.
2．解：比較得知，x2＋x＋1為三角形的最大邊，設(shè)其對(duì)角為A.
由余弦定理，得
cosA＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋122x2－12x＋1
＝－12.
∵0＜A＜180°，∴A＝120°，
即三角形的最大角為120°.
課堂小結(jié)
1．教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，然后再讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問(wèn)題．
2．教師指出：從方程的觀點(diǎn)來(lái)分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量．要通過(guò)課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的．
3．思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理．
作業(yè)
課本習(xí)題1—1A組4、5、6；習(xí)題1—1B組1～5.
設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會(huì)有“令你自己滿意”的探究成果．這樣能夠不同程度地開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸．“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題通過(guò)啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來(lái)，而展現(xiàn)的過(guò)程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮．
縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處．環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會(huì)強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識(shí)，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于最佳狀態(tài)．在整個(gè)教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動(dòng)量大，這是貫穿整個(gè)教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線．
備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題
1．向量方法證明三角形中的射影定理
如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.
∵AC→＋CB→＝AB→，
∴AC→(AC→＋CB→)＝AC→AB→.
∴AC→AC→＋AC→CB→＝AC→AB→.
∴|AC→|2＋|AC→||CB→|cos(180°－C)＝|AB→||AC→|cosA.
∴|AC→|－|CB→|cosC＝|AB→|cosA.
∴b－acosC＝ccosA，
即b＝ccosA＋acosC.
同理，得a＝bcosC＋ccosB，c＝bcosA＋acosB.
上述三式稱為三角形中的射影定理．
2．解斜三角形題型分析
正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有一個(gè)元素是邊)，那么這個(gè)三角形一定可解．
關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：
(1)已知兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊，如A、B、a，解△ABC.
解：①根據(jù)A＋B＋C＝π，求出角C；
②根據(jù)asinA＝bsinB及asinA＝csinC，求b、c.
如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來(lái)求解．求解過(guò)程中盡可能應(yīng)用已知元素．
(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.
解：①根據(jù)c2＝a2＋b2－2abcosC，求出邊c；
②根據(jù)cosA＝b2＋c2－a22bc，求出角A；
③由B＝180°－A－C，求出角B.
求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對(duì)的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解．
(3)已知兩邊及其中一條邊所對(duì)的角，如a、b、A，解△ABC.
解：①asinA＝bsinB，經(jīng)過(guò)討論求出B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出角C；
③再根據(jù)asinA＝csinC，求出邊c.
(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.
解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A＋B＋C＝180°，求出第三個(gè)角．
另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然需注意要先求較小邊所對(duì)的銳角．
(5)已知三角，解△ABC.
解：滿足條件的三角形可以作出無(wú)窮多個(gè)，故此類問(wèn)題解不唯一．
3．“可解三角形”與“需解三角形”
解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問(wèn)題的一個(gè)重要工具．但在具體解題時(shí)，有些同學(xué)面對(duì)較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問(wèn)題，往往不知如何下手．至于何時(shí)用正弦定理或余弦定理也是心中無(wú)數(shù)，這既延長(zhǎng)了思考時(shí)間，更影響了解題的速度和質(zhì)量．但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了．
所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形；而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形．當(dāng)一個(gè)題目的圖形中三角形個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解．在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況．
“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問(wèn)題的思考時(shí)間．一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析問(wèn)題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰?，去探究?br> 二、備用習(xí)題
1．△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，則△ABC的面積S為()
A.152B.15C．2D．3
2．已知一個(gè)三角形的三邊為a、b和a2＋b2＋ab，則這個(gè)三角形的最大角是()
A．75°B．90°C．120°D．150°
3．已知銳角三角形的兩邊長(zhǎng)為2和3，那么第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是()
A．(1,5)B．(1，5)C．(5，5)D．(5，13)
4．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新三角形的形狀為()
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．由增加的長(zhǎng)度確定
5．(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知a＝3，b＝3，C＝30°，則A＝__________.
(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a＝3，b＝4，c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC的值為_(kāi)_________．
6．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sinC＝2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀．
7．在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S＝a2－(b－c)2，求tanA2的值．
參考答案：
1．A解析：由b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)(b－2c)＝0，得b＝2c；①
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝b2＋c2－74bc.②
解①②，得b＝4，c＝2.
由cosA＝78，得sinA＝158，
∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4×2×158＝152.
2．C解析：設(shè)最大角為θ，由余弦定理，得a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosθ，
∴cosθ＝－12.∴θ＝120°.
3．D解析：若x為最大邊，由余弦定理，知4＋9－x22×2×3＞0，即x2＜13，∴0＜x＜13.
若x為最小邊，則由余弦定理知4＋x2－9＞0，即x2＞5，
∴x＞5.綜上，知x的取值范圍是5＜x＜13.
4．A解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長(zhǎng)度為x.
則c＋x為新三角形的最長(zhǎng)邊．設(shè)其所對(duì)的角為θ，由余弦定理知，
cosθ＝a＋x2＋b＋x2－c＋x22a＋xb＋x＝2a＋b－cx＋x22a＋xb＋x＞0.
∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形．
5．(1)30°(2)612解析：(1)∵a＝3，b＝3，C＝30°，由余弦定理，有
c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2×3×3×32＝3，
∴a＝c，則A＝C＝30°.
(2)∵bccosA＋cacosB＋abcosC＝b2＋c2－a22＋c2＋a2－b22＋a2＋b2－c22
＝a2＋b2＋c22＝32＋42＋622＝612.
6．解：由正弦定理，得sinCsinB＝cb，
由sinC＝2sinBcosA，得cosA＝sinC2sinB＝c2b，
又根據(jù)余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc，
故c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2.
于是，得b2＝a2，故b＝a.
又因?yàn)?a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
故(a＋b)2－c2＝3ab.由a＝b，得4b2－c2＝3b2，
所以b2＝c2，即b＝c.故a＝b＝c.
因此△ABC為正三角形．
7．解：S＝a2－(b－c)2，又S＝12bcsinA，
∴12bcsinA＝a2－(b－c)2，
有14sinA＝－b2＋c2－a22bc＋1，
即142sinA2cosA2＝1－cosA.
∴12sinA2cosA2＝2sin2A2.
∵sinA2≠0，故12cosA2＝2sinA2，∴tanA2＝14.
第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問(wèn)題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識(shí)我們會(huì)探究出什么樣的解題規(guī)律呢？由此展開(kāi)新課．
思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)我們?cè)趹?yīng)用正弦定理解三角形時(shí)，已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角往往得出不同情形的解，有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)又無(wú)解，這究竟是怎么回事呢？本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開(kāi)新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語(yǔ)言敘述其內(nèi)容.能寫(xiě)出定理的哪些變式？
2正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問(wèn)題？
3解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些？
4為什么有時(shí)解三角形會(huì)出現(xiàn)矛盾，即無(wú)解呢？比如：,①已知在△ABC中，a＝22cm，b＝25cm，A＝135°，解三角形；,②已知三條邊分別是3cm，4cm，7cm，解三角形.
活動(dòng)：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問(wèn)正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么？各式中有幾個(gè)量？有什么作用？用方程的思想寫(xiě)出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等．可讓學(xué)生填寫(xiě)下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時(shí)可
用的定理和公式適用類型備注
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA
b2＝a2＋c2－2accosB
c2＝b2＋a2－2bacosC(1)已知三邊
(2)已知兩邊及其夾角
類型(1)(2)有解時(shí)只有一解
正弦定理
asinA＝bsinB＝csinC＝2R
(3)已知兩角和一邊
(4)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無(wú)解
三角形面積公式
S＝12bcsinA
＝12acsinB
＝12absinC
(5)已知兩邊及其夾角

對(duì)于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時(shí)的邊角互化．對(duì)于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A＞90°?a2＞b2＋c2；∠A＝90°?a2＝b2＋c2；∠A＜90°?a2＜b2＋c2.
以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無(wú)章、無(wú)規(guī)碰撞之感，覺(jué)得好像更難以把握了，要的就是這個(gè)效果，在看似學(xué)生亂提亂問(wèn)亂說(shuō)亂寫(xiě)的時(shí)候，教師適時(shí)地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺(jué)，幻燈片除以上2張外，還有：
asinA＝bsinB＝csinC＝2R；a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.
出示幻燈片后，必要時(shí)教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評(píng)．
與學(xué)生一起討論解三角形有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況．如問(wèn)題(4)中的①會(huì)出現(xiàn)如下解法：
根據(jù)正弦定理，sinB＝bsinAa＝25sin133°22≈0.8311.
∵0°＜B＜180°，∴B≈56.21°或B≈123.79°.
于是C＝180°－(A＋B)≈180°－(133°＋56.21°)＝－9.21°或C＝180°－(A＋B)≈180°－(133°＋123.79°)＝－76.79°.
到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來(lái)，顯然是錯(cuò)誤的．問(wèn)題出在哪里呢？在檢驗(yàn)以上計(jì)算無(wú)誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件．由a＝22cm，b＝25cm，這里a＜b，而A＝133°是一個(gè)鈍角，根據(jù)三角形的性質(zhì)應(yīng)用A＜B，即B也應(yīng)該是一個(gè)鈍角，但在一個(gè)三角形中是不可能有兩個(gè)鈍角的．這說(shuō)明滿足已知條件的三角形是不存在的．同樣②中滿足條件的三角形也是不存在的，因?yàn)楦鶕?jù)我們所學(xué)過(guò)的三角形知識(shí)，任何三角形的兩邊之和都大于第三邊．而三邊在條件3cm，4cm，7cm中兩邊和等于或小于第三邊，在此情況下當(dāng)然也無(wú)法解出三角形．
討論結(jié)果：
(1)、(3)、(4)略．
(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問(wèn)題：
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)．
③已知三邊，求三個(gè)角．
④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．
應(yīng)用示例
例1在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，b＝acosC且△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為13.
(1)判斷△ABC的形狀；
(2)求△ABC的面積．
活動(dòng)：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過(guò)本例帶動(dòng)正弦定理、余弦定理的知識(shí)串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b＝acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件．很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB＝2RsinAcosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b＝aa2＋b2－c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的．引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)于涉及三角形的三角函數(shù)變換．內(nèi)角和定理A＋B＋C＝180°非常重要，常變的角有A2＋B2＝π2－C2，2A＋2B＋2C＝2π，sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sinA2＝cosB＋C2，cosA2＝sinB＋C2等，三個(gè)內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°)．
解：(1)方法一：∵b＝acosC，
∴由正弦定理，得sinB＝sinAcosC.
又∵sinB＝sin(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinAcosC，
即cosAsinC＝0.
又∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，即A＝π2.
∴△ABC是A＝90°的直角三角形．
方法二：∵b＝acosC，
∴由余弦定理，得b＝aa2＋b2－c22ab，
2b2＝a2＋b2－c2，即a2＝b2＋c2.
由勾股定理逆定理，知△ABC是A＝90°的直角三角形．
(2)∵△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由(1)知斜邊a＝12.
又∵△ABC最小角的正弦值為13，
∴Rt△ABC的最短直角邊長(zhǎng)為12×13＝4.
另一條直角邊長(zhǎng)為122－42＝82，
∴S△ABC＝12×4×82＝162.
點(diǎn)評(píng)：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向．因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且cosA＝45.
(1)求sin2B＋C2＋cos2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面積S＝3，求a.
解：(1)sin2B＋C2＋cos2A＝1－cosB＋C2＋cos2A
＝1＋cosA2＋2cos2A－1＝5950.
(2)∵cosA＝45，∴sinA＝35.
由S△ABC＝12bcsinA得3＝12×2c×35，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝4＋25－2×2×5×45＝13，
∴a＝13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若a＝7，c＝5，∠A＝120°，求邊長(zhǎng)b及△ABC外接圓半徑R.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他．點(diǎn)撥學(xué)生注意體會(huì)邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用．
解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋52－2×5×bcos120°＝49，
∴b2＋5b－24＝0.
解得b＝3.(負(fù)值舍去)．
由正弦定理：asinA＝2R，即7sin120°＝2R，解得R＝733.
∴△ABC中，b＝3，R＝733.
點(diǎn)評(píng)：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會(huì)這種解題方法，并探究其他的解題思路．
變式訓(xùn)練
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋3bc，求：
(1)A的大?。?br> (2)2sinBcosC－sin(B－C)的值．
解：(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，
∴∠A＝30°.
(2)2sinBcosC－sin(B－C)
＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsinC)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝sin(B＋C)
＝sinA
＝12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝∠BCD＝75°，∠ACB＝∠BDC＝45°，DC＝3，求：
(1)AB的長(zhǎng)；
(2)四邊形ABCD的面積．
活動(dòng)：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會(huì)正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用．
解：(1)因?yàn)椤螧CD＝75°，∠ACB＝45°，所以∠ACD＝30°.
又因?yàn)椤螧DC＝45°，
所以∠DAC＝180°－(75°＋45°＋30°)＝30°.所以AD＝DC＝3.
在△BCD中，∠CBD＝180°－(75°＋45°)＝60°，
所以BDsin75°＝DCsin60°，BD＝3sin75°sin60°＝6＋22.
在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos75°＝(3)2＋(6＋22)2－2×3×6＋22×6－24＝5，所以AB＝5.
(2)S△ABD＝12×AD×BD×sin75°＝12×3×6＋22×6＋24＝3＋234.
同理，S△BCD＝3＋34.
所以四邊形ABCD的面積S＝6＋334.
點(diǎn)評(píng)：本例解答對(duì)運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡(jiǎn)潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣．
變式訓(xùn)練
如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解：(1)因?yàn)椤螧CD＝90°＋60°＝150°，
CB＝AC＝CD，
所以∠CBE＝15°.
所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝6＋24.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，
故AE＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－2.
例4在△ABC中，求證：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.
活動(dòng)：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過(guò)余弦定理；二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理．另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B＝2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形．
證法一：(化為三角函數(shù))
a2sin2B＋b2sin2A＝(2RsinA)22sinBcosB＋(2RsinB)22sinAcosA＝8R2sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝22RsinA2RsinBsinC＝2absinC.
所以原式得證．
證法二：(化為邊的等式)
左邊＝a22sinBcosB＋b22sinAcosA＝a22b2Ra2＋c2－b22ac＋b22a2Rb2＋c2－a22bc＝ab2Rc(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝ab2Rc2c2＝2abc2R＝2absinC.
點(diǎn)評(píng)：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinAcosA，正弦兩角和公式sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB；由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二．
變式訓(xùn)練
在△ABC中，求證：
(1)a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C；
(2)a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．
證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)
asinA＝bsinB＝csinC＝k，
顯然k≠0，所以
左邊＝a2＋b2c2＝k2sin2A＋k2sin2Bk2sin2C＝sin2A＋sin2Bsin2C＝右邊．
(2)根據(jù)余弦定理，得
右邊＝2(bcb2＋c2－a22bc＋cac2＋a2－b22ca＋aba2＋b2－c22ab)
＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)
＝a2＋b2＋c2＝左邊．

知能訓(xùn)練
1．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S＝c2－(a－b)2，則tanC2等于()
A.12B.14C.18D．1
2．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A＋C2－cos2B＝72.
(1)求角B的度數(shù)；
(2)若b＝3，a＋c＝3，且a＞c，求a、c的值．
答案：
1．B解析：由余弦定理及面積公式，得
S＝c2－a2－b2＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝12absinC，
∴1－cosCsinC＝14.
∴tanC2＝1－cosCsinC＝14.
2．解：(1)由題意，知4cos2B－4cosB＋1＝0，∴cosB＝12.
∵0＜B＜180°，∴B＝60°.
(2)由余弦定理，知3＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝9－3ac，
∴ac＝2.①
又∵a＋c＝3，②
解①②聯(lián)立的方程組，得a＝2，c＝1或a＝1，c＝2.
∵a＞c，∴a＝2，c＝1.
課堂小結(jié)
教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問(wèn)題，特別是已知兩邊及其一邊的對(duì)角時(shí)解的情況，通過(guò)例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問(wèn)題以及聯(lián)系其他知識(shí)的小綜合問(wèn)題．學(xué)到了具體問(wèn)題具體分析的良好思維習(xí)慣．
教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問(wèn)題是確定線段的長(zhǎng)度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、三個(gè)角；解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了．正弦定理與余弦定理是刻畫(huà)三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素；余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素．
作業(yè)
課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.
補(bǔ)充作業(yè)
1．在△ABC中，若tanAtanB＝a2b2，試判斷△ABC的形狀．
2．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，A＝60°，B＞C，b、c是方程x2－23x＋m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長(zhǎng)．
解答：1.由tanAtanB＝a2b2，得sinAcosBcosAsinB＝a2b2，
由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴sinAcosBcosAsinB＝4R2sin2A4R2sin2B.
∴sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B.
∴A＋B＝90°或A＝B，
即△ABC為等腰三角形或直角三角形．
2．由韋達(dá)定理，得bc＝m，S△ABC＝12bcsinA＝12msin60°＝34m＝32，
∴m＝2.
則原方程變?yōu)閤2－23x＋2＝0，
解得兩根為x＝3±1.
又B＞C，∴b＞c.
故b＝3＋1，c＝3－1.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝6，得a＝6.
∴所求三角形的三邊長(zhǎng)分別為a＝6，b＝3＋1，c＝3－1.
設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過(guò)一些典型的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時(shí)，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系．
本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對(duì)換個(gè)角度看問(wèn)題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺(jué)地從一個(gè)思維過(guò)程轉(zhuǎn)換到另一個(gè)思維過(guò)程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識(shí)．換一個(gè)角度看問(wèn)題，變通一下，也許會(huì)有意想不到的效果．
備課資料
一、正弦定理、余弦定理課外探究
1．正、余弦定理的邊角互換功能
對(duì)于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開(kāi)始熟悉，在解三角形的問(wèn)題中常會(huì)用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問(wèn)題中，也常會(huì)用到它們．兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決．
【例1】已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角，且sinAsinB＝32，求a＋bb的值．
解：∵asinA＝bsinB，∴sinAsinB＝ab.又sinAsinB＝32(這是角的關(guān)系)，
∴ab＝32(這是邊的關(guān)系)．于是，由合比定理，得a＋bb＝3＋22＝52.
【例2】已知△ABC中，三邊a、b、c所對(duì)的角分別是A、B、C，且2b＝a＋c.
求證：sinA＋sinC＝2sinB.
證明：∵a＋c＝2b(這是邊的關(guān)系)，①
又asinA＝bsinB＝csinC，∴a＝bsinAsinB，②
c＝bsinCsinB.③
將②③代入①，得bsinAsinB＋bsinCsinB＝2b.整理，得sinA＋sinC＝2sinB(這是角的關(guān)系)．
2．正、余弦定理的巧用
某些三角習(xí)題的化簡(jiǎn)和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問(wèn)題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：
【例3】求sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°的值．
解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°，
∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角．
設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2＋b2－2abcos150°＝c2.(*)
而由正弦定理，知a＝2Rsin20°，b＝2Rsin10°，c＝2Rsin150°，代入(*)式，得sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝14.∴原式＝14.
二、備用習(xí)題
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，則此三角形()
A．無(wú)解B．只有一解
C．有兩解D．解的個(gè)數(shù)不確定
2．△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc，則A等于()
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．△ABC中，若acosB＝bcosA，則該三角形一定是()
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．△ABC中，tanAtanB＜1，則該三角形一定是()
A．銳角三角形B．鈍角三角形
C．直角三角形D．以上都有可能
5．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，則△ABC的面積是__________．
6．在△ABC中，已知A＝120°，b＝3，c＝5，求：
(1)sinBsinC；
(2)sinB＋sinC.
7．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉＝14.
(1)求sin2B＋C2＋cos2A的值；
(2)若a＝4，b＋c＝6，且b＜c，求b、c的值．
參考答案：
1．A解析：∵a＜b，且A＝130°＞90°，因此無(wú)解．
2．C解析：由已知，得a2－c2＝b2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc.
由余弦定理，得
cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.
∴A＝120°.
3．D解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得
sinAcosB＝sinBcosA，即sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∴2A＝2B或2A＝180°－2B，
即A＝B或A＋B＝90°.
因此三角形為等腰三角形或直角三角形．
4．B解析：由已知條件，得sinAcosAsinBcosB＜1，即cosA＋BcosAcosB＞0，cosCcosAcosB＜0.
說(shuō)明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù)．
因此三角形為鈍角三角形．
5．23或3解析：由ACsin30°＝ABsinC，知sinC＝32.
若∠C＝60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC＝12AB×AC＝23.
若∠C＝120°，則∠A＝30°，S△ABC＝12AC×ABsin30°＝3.
6．解法一：(1)∵b＝3，c＝5，A＝120°，
∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5×(－12)＝49.∴a＝7.
由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝3×327＝3314，sinC＝csinAa＝5314，
∴sinBsinC＝45196.
(2)由(1)知，sinB＋sinC＝8314＝437.
解法二：(1)由余弦定理，得a＝7，
由正弦定理a＝2RsinA，得R＝a2sinA＝733，
∴sinB＝b2R＝32×733＝3314，sinC＝c2R＝5314.
∴sinBsinC＝45196.
(2)由(1)知，sinB＋sinC＝8314＝437.
7．解：(1)sin2B＋C2＋cos2A＝12[1－cos(B＋C)]＋(2cos2A－1)＝12(1＋cosA)＋(2cos2A－1)＝12(1＋14)＋(18－1)＝－14.
(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即16＝36－52bc.∴bc＝8.
由b＋c＝6，bc＝8，bc，∴b＝2，c＝4.

相關(guān)知識(shí)

余弦定理導(dǎo)學(xué)案

余弦定理導(dǎo)學(xué)案
高二年級(jí)數(shù)學(xué)組
知能目標(biāo)解讀
1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的過(guò)程，并體會(huì)向量在解決三角形的度量問(wèn)題時(shí)的作用.?
2.了解余弦定理的幾種變形公式及形式.?
3.會(huì)從方程的角度來(lái)理解余弦定理的作用及適用范圍，并會(huì)用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問(wèn)題.?
4.能熟練應(yīng)用余弦定理解三角形以及現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：余弦定理的證明及其應(yīng)用.?
難點(diǎn)：處理三角形問(wèn)題恰當(dāng)?shù)剡x擇正弦定理或余弦定理.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
一、余弦定理?
1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么有如下結(jié)論：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?即三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律.也是解三角形的重要工具.
?注意：
（1）在余弦定理的每一個(gè)等式中含有四個(gè)量，利用方程的思想，可以知三求一.?
（2）余弦定理也為求三角形的有關(guān)量（如面積，外接圓，內(nèi)切圓等）提供了工具，它可以用來(lái)判定三角形的形狀，證明三角形中的有關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛.?
2.關(guān)于公式的變形：將余弦定理稍加變形，可以得到另外的形式，我們稱為余弦定理的推論.掌握這些表達(dá)形式，可以幫助我們深入理解和靈活應(yīng)用余弦定理.?
cosA=，cosB=，cosC=.?
由上述變形，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角為銳角.從這一點(diǎn)說(shuō)，余弦定理可以看作勾股定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例.?
二、余弦定理的證明?
教材中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用.另外，對(duì)余弦定理的證明，還可以應(yīng)用解析法、幾何法等方法證明.?
證明：方法1：（解析法）如圖所示，以A為原點(diǎn)，△ABC的邊AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.?

則A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),?
由兩點(diǎn)間的距離公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0)2,?
即a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證b2=a2+c2-2accosB,?
c2=a2+b2-2abcosC.
方法2：（幾何法）如圖.當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA,?

AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.?
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA)2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?
如圖，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，過(guò)C作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線，垂足為D，

則AD=bcosA,CD=bsinA.?
BD=AD-AB=bcosA-c.?
在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.?
所以a2=b2+c2-2bccosA.?
同理可證：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
三、余弦定理的應(yīng)用?
余弦定理主要適用以下兩種題型:?
（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時(shí)只有一解；?
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理，必有一解.
注意：?
在應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中涉及的是邊長(zhǎng)的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時(shí)需要特別注意三角形三邊長(zhǎng)度應(yīng)滿足的基本條件.
知能自主梳理
1.余弦定理
（1）語(yǔ)言敘述：?
三角形任何一邊的平方等于減去的積的.?
（2）公式表達(dá):?
a2=;?
b2=;?
c2=.?
(3)變形:?
cosA=;?
cosB=;?
cosC=.?
2.余弦定理及其變形的應(yīng)用?
應(yīng)用余弦定理及其變形可解決兩類解三角形的問(wèn)題，一類是已知兩邊及其解三角形，另一類是已知解三角形.
［答案］1.(1)其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角的余弦兩倍(2)b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC(3)
2.夾角三邊?
思路方法技巧
命題方向已知三邊解三角形
［例1］在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC.
?［分析］在三角形中，大邊對(duì)大角，所以a邊所對(duì)角最大.
?［解析］∵a＞c＞b,∴A為最大角,?
由余弦定理得，cosA==＝，?
又∵0°＜A＜180°,?∴A=120°，
∴sinA=sin120°=.?
由正弦定理＝得，?
sinC===.?
∴最大角A為120°，sinC=.?
［說(shuō)明］（1）求sinC也可用下面方法求解：?
cosC===，
∴C為銳角.?
sinC==＝.?
(2)在解三角形時(shí)，有時(shí)既可用余弦定理，也可用正弦定理.
變式應(yīng)用1
在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大內(nèi)角.?
［解析］設(shè)b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0).?
則a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.?
∴a是最大邊，即角A是△ABC的最大角.?
由余弦定理，得cosA==-,?
∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角為120°.
命題方向已知兩邊及一角解三角形
［例2］△ABC中，已知b=3,c=3,∠B=30°,解三角形.
［分析］由題目可知以下信息：?
①已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.?
②求另外的兩角和另一邊.?
解答本題可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的邊和角，也可由余弦定理列出關(guān)于邊長(zhǎng)a的方程，求出邊a,再由正弦定理求角A，角C.
［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,?
得32=a2+(3)2-2a×3×cos30°,?
∴a2-9a+18=0,得a=3或6.?
當(dāng)a=3時(shí)，∠A=30°,∠C=120°.?
當(dāng)a=6時(shí)，由正弦定理sinA===1.?
∴∠A=90°,∴∠C=60°.?
解法二：由bc,∠B=30°,bcsin30°=3×=知本題有兩解.?
由正弦定理sinC===,?
∴∠C=60°或120°，?
當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠A=90°,?
由勾股定理a===6.?
當(dāng)∠C=120°時(shí)，∠A=30°，△ABC為等腰三角形，?
∴a=3.?
［說(shuō)明］知兩邊和一角解三角形時(shí)有兩種方法：?
（1）利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出此邊長(zhǎng).?
(2)直接用正弦定理，先求角再求邊.?
用方法（2）時(shí)要注意解的情況，用方法（1）就避免了取舍解的麻煩.?
變式應(yīng)用2
在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且cosA=,若a=4,b+c=6,且bc,求b、c的值.?
［解析］余弦定理得?
cosA==，?
∴=,?
又b+c=6,a=4,
∴bc=8,?
b=2
c=4
b=4
c=2
又bc,∴b=2,c=4.?
命題方向判斷三角形的形狀
［例3］△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，確定△ABC的形狀.?［分析］由于已知條件等式中既含有邊的關(guān)系，又含有角的關(guān)系，因此在判斷三角形的形狀時(shí)，可考慮將邊統(tǒng)一成角或?qū)⒔墙y(tǒng)一成邊.?
［解析］解法一：利用角的關(guān)系來(lái)判斷.?
∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).?
又∵2cosAsinB=sinC,?
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,?
∴sin(A-B)=0.?
∵A與B均為△ABC的內(nèi)角，∴A=B.?
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,
根據(jù)余弦定理，上式可化為2abcosC+2ab=3ab,?
解得cosC=,∴C=60°.?
故△ABC為等邊三角形.?
解法二：利用邊的關(guān)系來(lái)確定.?
由正弦定理，得=.?
由2cosAsinB=sinC,得?
cosA==.?
又∵cosA=,∴=,?
即c2=b2+c2-a2,∴a=b.
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?
∴(a+b)2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,?
∴b=c,∴a=b=c.?
因此△ABC為等邊三角形.?
［說(shuō)明］判斷三角形的形狀主要有兩種思路：其一是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)代數(shù)變換（一般是因式分解）得到邊的關(guān)系，最終判斷出該三角形的形狀；其二是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換得到角的關(guān)系，最終判斷該三角形的形狀.在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)針對(duì)具體的題目，靈活選用解決問(wèn)題的方法.
變式應(yīng)用3
△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是()?
A.銳角三角形B.直角三角形?
C.鈍角三角形D.非鈍角三角形?
［答案］C?
［解析］利用余弦定理判斷最大角的余弦值是大于0、等于0還是小于0，即可對(duì)其形狀作出判斷.?因?yàn)閏osB==-0,所以B為鈍角，即△ABC是鈍角三角形.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向利用余弦定理確定范圍問(wèn)題
［例4］設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.?
［分析］一邊大于兩邊差而小于兩邊和是任一個(gè)三角形三邊都成立的條件.若是在銳角或鈍角三角形中，三邊的制約條件還要更強(qiáng).若△ABC為銳角三角形，則有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC為鈍角三角形，最大邊為a,則一定有a2＞b2+c2,這些都是可以從余弦定理中直接推導(dǎo)的.?
［解析］2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,?

2a+1＞0
∴a＞0?
2a-1＞0，

解得a＞,此時(shí)2a+1最大.?
∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三邊，還需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.?
設(shè)最長(zhǎng)邊2a+1所對(duì)的角為θ,則cosθ==＜0,?
解得＜a＜8,∴a的取值范圍是2＜a＜8.
?［說(shuō)明］本題易忽視構(gòu)成三角形的條件a＞2,而直接應(yīng)用余弦定理求解，從而使a的范圍擴(kuò)大.
變式應(yīng)用4.
已知銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，求x的取值范圍.
［解析］由三角形三邊的關(guān)系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.?
又∵三角形為銳角三角形，由余弦定理可知任一邊的平方小于另兩邊平方和.?

x2＜22+32
即
32＜x2+22

x2＜13

x2＞5
5＜x2＜13
即
x＞0

解得＜x＜，?
∴x的取值范圍為（，）.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題?
1.在△ABC中，若abc,且c2a2+b2,則△ABC為（）?
A.直角三角形B.銳角三角形?
C.鈍角三角形D.不存在?
［答案］B?
［解析］∵abc,且c2a2+b2,∴∠C為銳角.又∵∠C為最大角.故選B.
2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2=ac，且c=2a,則cosB=（）?
A.B.
C.D.
［答案］B?
［解析］由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB===.
3.（2011四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是()
A.(0,］B.［,π)?
C.(0,］D.［,π)?
［答案］C?
［解析］本題主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,
∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA=≥=，∴0A≤，故選C.
二、填空題?
4.已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和5，它們的夾角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，則第三邊的長(zhǎng)是.
［答案］?
［解析］解2x2+3x-2=0，得x1=或x2=-2（舍去）.
∴夾角的余弦值為，根據(jù)余弦定理得第三邊長(zhǎng)為=.
5.在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于，則三邊長(zhǎng)為.?
［答案］3，5，7?
［解析］∵a-b=2,b-c=2，∴abc,?
∴最大角為A.sinA=，若A為銳角，則A=60°，?又CBA,∴A+B+C180°，這顯然不可能，∴A為鈍角.
∴cosA=-,?
設(shè)c=x,則b=x+2,a=x+4.?
∴=-，
∴x=3，故三邊長(zhǎng)為3，5，7.
三、解答題?
6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABC的面積.
［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴()2--2=0,?
解得=2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=6,與b=2c
聯(lián)立解得b=4,c=2.∵cosA=,?
∴sinA==,?
∴S△ABC=bcsinA=.
?

課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題?
1.在△ABC中，b=5,c=5,A=30°,則a等于（）?
A.5B.4C.3D.10
［答案］A
［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,?
∴2×5×5×cos30°＝52＋（5）2-a2,
∴a2=25,∴a=5.
2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,則角A為（）?
A.B.C.D.或
［答案］C
［解析］∵a2=b2+c2+bc,?
∴cosA===,?
又∵0Aπ,∴A=.
3.在△ABC中，若a=+1,b=-1,c=,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）?
A.60°B.90°C.120°D.150°
［答案］C?
［解析］顯然＞+1＞-1,?
∴cosC==-＝－,∴C=120°.
4.△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,則∠C的大小為()?
A.B.C.D.π
［答案］B?
［解析］∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a)且p∥q，
∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，?
即a2+b2-c2=ab,
∴cosC===.?
∴C=.
5.在△ABC中，已知2a2=c2+(b+c)2,則∠A的值為（）?
A.30°B.45°C.120°D.135°
［答案］D
［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,?
∴a2=b2+c2+bc,
∴b2+c2-a2＝-bc,?
又b2+c2-a2=2bccosA,
∴2bccosA=-bc,
∴cosA=-,
∴A=135°.
6.（2011重慶理，6）若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a+b)2-c2=4，且C=60°，則ab的值為()?
A.B.8-4C.1D.
［答案］A?
［解析］本題主要考查余弦定理的應(yīng)用.?
在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,?
∴(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,選A.
7.在△ABC中，三邊長(zhǎng)AB=7,BC=5,AC=6,則等于()?
A.19B.-14?C.-18D.-19
［答案］D
［解析］在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,?
則cosB==.?
又=｜｜｜｜c(diǎn)os(π-B)?
=-｜｜｜｜c(diǎn)osB?
＝－7×5×=-19.
8.在△ABC中，若△ABC的面積S=(a2+b2-c2)，則∠C為（）?
A.B.C.D.
［答案］A
［解析］由S=(a2+b2-c2),得absinC=×2abcosC,∴tanC=1,∴C=.
二、填空題?
9.在△ABC中，b=,c=2,A=45°,那么a的長(zhǎng)為.?
［答案］
［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2××2×=+8-==,所以a=.
10.在△ABC中，AB=3,BC=,AC=4,則邊AC上的高為.?
［答案］
［解析］如圖，cosA=＝，
∴sinA=.?

∴.BD=ABsinA=.
11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面積為12，則cos2C=.
［答案］
［解析］由題意得S△ABC=ACBCsinC=12,
即×5×8×sinC=12,則sinC=.?
∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（）2=.
12.在△ABC中，B=60°,b2=ac,則三角形的形狀為.?
［答案］等邊三角形?
［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,?
∵b2=ac,?
∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c)2=0,?
∴a=c.?
又∵B=60°,∴A=C=60°.?
故△ABC為等邊三角形.
三、解答題?
13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
［解析］解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.
由a+c=8,ac=15,則a、c是方程x2-8x+15=0的兩根.
解得a=5,c=3或a=3,c=5.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5×＝19.?
∴b=.?
解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，?
∴B=60°.?
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15×＝19.?
∴b＝.
14.(2011大綱文，18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA+csinC-asinC=bsinB.?
(1)求B；?
（2）若A=75°,b=2,求a,c.
［分析］利用三角形正弦定理，將已知條件asinA+csinC-asinC=bsinB中的角轉(zhuǎn)化為邊，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.?
［解析］（1）∵asinA+csinC-asinC=bsinB
∴a2+c2-ac=b2?
∴a2+c2-b2=ac?
∴cosB===
∴B=45°?
(2)由(1)得B=45°?
∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°?
由正弦定理==
∴a====
c=.?
［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查考生利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.解三角形的實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即方程問(wèn)題，具體操作過(guò)程的關(guān)鍵是正確分析邊角的關(guān)系，能依據(jù)題設(shè)條件合理的設(shè)計(jì)解題程序，進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，要抓住兩個(gè)定理應(yīng)用的信息；當(dāng)遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和邊的一次式，則大多用正弦定理，若是以上特征不明顯，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用.
15.在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.?
(1)求sinBsinC;?
(2)求sinB+sinC.?
［分析］已知兩邊及其夾角，由余弦定理可求出第三邊a,再由正弦定理求出sinB,sinC.?
［解析］（1）∵b=3,c=5,A=120°,?
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-2×3×5×（-）=49.?
∴取正值a=7.?
由正弦定理，得sinB==,?
sinC=
∴sinBsinC=.?
(2)由（1）可得sinB+sinC=.
16.已知三角形的一個(gè)角為60°,面積為10cm2，周長(zhǎng)為20cm，求此三角形各邊長(zhǎng).
［解析］設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,B=60°,則依題意，得?
a+b+c=20?
cos60°=
acsin60°=10,
a+b+c=20,①?
∴b2=a2+c2-ac，②?
ac=40.③
由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④?
將②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,?
再將③代入④，得a+c=13.?

a+c=13?a=5?a=8?
,得,或
ac=40c=8c=5.

∴b=7.?
∴該三角形的三邊長(zhǎng)為5cm,7cm,8cm.

正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

正余弦定理的應(yīng)用

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。那么如何寫(xiě)好我們的高中教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的正余弦定理的應(yīng)用，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

課時(shí)5正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用
一、課前演練：
1、ΔABC中,sin2A=sin2B則ΔABC的形狀為
2、在中，各邊分別為，且，
則外接圓的直徑為
3、在中，，則=
4、在一幢20米高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?00，塔底的仰角為450，那么這座塔的高度是_________米.
5、在中，若則的面積為
6、三角形的兩邊分別是5和3，他們夾角的余弦是方程的
根，則三角形的面積
7、在中，滿足條件,,,則，
的面積等于
8、在中，且，求和.

二、例題剖析：
例1：在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，求邊。

例2：已知三角形的一個(gè)角為，面積為，周長(zhǎng)為，求三角形的各邊長(zhǎng)。

例3：在中，角對(duì)邊分別為，且,
（1）.求的值.（2）若，且，求的面積.

例4：如圖所示，在地面上有一旗桿，為測(cè)得它的高度，在地面上取一線段，，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角，又測(cè)得。求旗桿的高度（精確到）。

例5：某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營(yíng)救，試問(wèn)艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間（）

例6:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值

三、課后反饋：
1.在中，若，則
2.在中，已知，則.
3.在中，①；②；③；
④.其中恒為常數(shù)的是
4.若，則是
5.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為
6.在中，的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，則為
7、某人向正東方向走了km后向右轉(zhuǎn)了，然后沿新方向走了km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為km，那么的值為；
8、有一長(zhǎng)為m的斜坡，它的傾斜角是，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改成，則坡底要延伸m；
9、甲船在B島的正南A處，km，甲船以km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以km/h的速度向北偏東的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是h;
10、一艘船以km/h的速度沿著與水流方向成的方向航行，已知河水流速為km/h，則經(jīng)過(guò)h，該船實(shí)際航程為;
11、海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，那么B島和C島間的距離是海里；
12.已知中,，且，求.

13、如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問(wèn)：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間?

14.某人坐在火車(chē)上看風(fēng)景，他看見(jiàn)遠(yuǎn)處有一座寶塔在與火車(chē)前進(jìn)方向成角的直線上，1分鐘后，他看見(jiàn)寶塔在與火車(chē)前進(jìn)方向成角的直線上，設(shè)火車(chē)的速度是100km/h,求寶塔離鐵路線的垂直距離。

15、如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D.現(xiàn)測(cè)得，CD=s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔尖A的仰角為，求塔高AB.

正、余弦定理的應(yīng)用舉例

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)高中教師都不可缺少的。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。你知道如何去寫(xiě)好一份優(yōu)秀的高中教案呢？以下是小編為大家收集的“正、余弦定理的應(yīng)用舉例”歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

2.2.2正、余弦定理的應(yīng)用舉例（2）
知識(shí)梳理
2.解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題，通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。
3.解題應(yīng)根據(jù)已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡(jiǎn)潔、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確。
典例剖析
題型一正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用
例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值
解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴當(dāng)θ－＝即θ＝時(shí)，ｙmax＝2＋
評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見(jiàn)正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)予以重視?
題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用
例2如圖，有兩條相交成角的直線、，交點(diǎn)是，甲、乙分別在、上，
起初甲離點(diǎn)千米，乙離點(diǎn)千米，后來(lái)兩人同時(shí)用每小時(shí)千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用包含的式子表示小時(shí)后兩人的距離；
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？
解：（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是、，
則
，
∴起初，兩人的距離是．
（2）設(shè)甲、乙兩人小時(shí)后的位置分別是，
則，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，．
（3），
∴當(dāng)時(shí)，即在第分鐘末，最短。
答：在第分鐘末，兩人的距離最短。
評(píng)析：（2）中，分0t和t兩種情況進(jìn)行討論，但對(duì)兩種情形的結(jié)果進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)有統(tǒng)一的表達(dá)式，從而（3）中求最值是對(duì)這個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的。
備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)MGA＝（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為的函數(shù)，
（2）求y＝的最大值與最小值。
解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以AG＝，MAG＝，由正弦定理
得，
則S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2）
因?yàn)椋?br> 所以當(dāng)＝或＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)。
點(diǎn)擊雙基
1．在△ABC中，，則△ABC的面積為（）
A.B.C.D.1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
====
答案：C

2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測(cè)得對(duì)面一塔頂C的仰角為60,塔基D的俯角為45,則這座塔的高是()
A.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,
CB=ABtan60=20所以這座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（）
A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100°
C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°
解：A,B可根據(jù)余弦定理求解，只有一解，選項(xiàng)C中，A為銳角，且ab,只有一解.
選項(xiàng)D中所以有兩個(gè)解。
答案：D
4.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時(shí)航行____。
解：10海里
5．某人站在山頂向下看一列車(chē)隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛車(chē)與第三輛車(chē)的俯角差，則第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的距離與第二輛車(chē)與第三輛車(chē)的距離之間的關(guān)系為（）
A.B.
C.D.不能確定大小
解：依題意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BCCD,即
答案：C
課后作業(yè)
1.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（）
A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里
答案：A
2.邊長(zhǎng)分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（）
A.90B.120C.135D.150
解：用余弦定理算出中間的角為60.
答案：B
3.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（）
A.sinA+cosA=B.＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由＞0，得＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（）
A．B．C．D．
解：a
答案：B
5.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少要（）
A．450a元B．225a元C．150a元D.300a元
解：S==150購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少要150a元
答案：C
6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）
A．分鐘B．分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘
解：設(shè)航行時(shí)間為t小時(shí)，則兩船相距
=
t=-小時(shí)=分鐘
答案：A
7.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為60°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）
A．5000米B．5000米C．4000米D．米

解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000
答案：A
8如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A75°B60°C50°D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大
答案：C
二．填空題
9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測(cè)得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西方向。這時(shí)燈塔C與D相距海里
答案：
10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍是
解：asinBba,即xsin602x
答案：
11．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為
km
答案：
三．解答題
12.某人在M汽車(chē)站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，汽車(chē)前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車(chē)站？

解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車(chē)前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
則sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中，由正弦定理得MC===35
從而有MB=MC-BC=15
答：汽車(chē)還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車(chē)站。
13．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．
，
，
．
在中，由余弦定理，

14.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，
，又的面積為.（1）求角C的大?。唬?）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因?yàn)?，所以?br> 又因?yàn)?，所?br> 所以，===5
●思悟小結(jié)
1.三角形中的邊角問(wèn)題的求解，或三角形的形狀的判定，及其與三角形有關(guān)的問(wèn)題的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角恒等變形去解決。
2.判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理及三角變換將已知的邊角關(guān)系全轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或全轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后判定三角形的形狀。注意變換過(guò)程中等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。
3.正確理解實(shí)際問(wèn)題中的仰角、俯角、方位角、坡腳、坡比等名詞術(shù)語(yǔ)。