高中函數教案

函數及性質。

函數及性質

一.【復習目標】
1.理解函數單調性的概念,理解函數的周期性.
2.會利用函數的性質描繪函數的圖象,討論函數、方程、不等式相關問題.
3.體會數形結合及函數與方程的數學思想方法.
二、【課前熱身】
1．函數y=的反函數()
A.是奇函數，它在（0，+）上是減函數。
B.是偶函數，它在（0，+）上是減函數。
C.是奇函數，它在（0，+上是增函數。
D.是偶函數，它在（0，+上是增函數。
2．若定義在R上的偶函數f（x）在（-，0）上是減函數，且=2。那么不等式的解集為()
（A）（0.5，1）（B）（0，0.5）。
（C）（0，0.5）（D）（2，+）

3．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對一切x，總有f（x+4）=f（x），
若f（63）=2，則f（5）與f（7）的大小關系是-------------------

4．已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）(）
（A）在區(qū)間（-2，0）上是增函數。（B）在區(qū)間（0，2）上是增函數。
（C）在區(qū)間（-1，0）上是減函數。（D）在區(qū)間（0，1）上是減函數。
三.【例題探究】
例1．設函數，其中a是實數，n是自然數，且n，若f（x）當x時有意義，求a的取值范圍。

例2．設函數，當點（x，y）在y=f（x）的反函數圖象上運動時，對應的點（）在y=g（x）的圖象上。
(1).求的表達式。
(2).當時，求的最小值。
例3．定義在R上的單調函數f(x)滿足且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數；
(2)若f(k3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．
四、【方法點撥】
1.函數不等式的求解要注意結合函數的單調性,特別要重視定義域的作用
2.不等式恒成立問題要注意等價轉化.

沖刺強化訓練(2)
1.函數與的圖象關于直線對稱，則的單調遞增區(qū)間是（）
2．方程的解所在區(qū)間是（）
A．（0，2）B。（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
3．設函數的反函數為，又函數的圖象關于直線對稱，，那么的值為(）
A．-1B.-2C.D.
4.設偶函數是定義在實數集上的周期為2的周期函數，當時，
則當時，的解析式是（）
5.函數的單調遞增區(qū)間是:
6．設定義在R上的函數的最小正周期為2，且在區(qū)間內單調遞減，則
的大小關系是：________________________.
7.已知函數
（1）求函數的反函數。
（2）如果，求a的值，并畫出的圖象。

8．給出函數
（1）對任意的實數都有，求實數a的范圍。
（2）試判斷在上的增減性，并給予證明

9.設函數
(1)求函數的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由；
(3)指出在區(qū)間上的單調性，并予以證明.

參考答案
一、[課前熱身]
1．C2．B3．4．C
二、[例題探究]
例1．分析：使函數f（x）=lg有意義的的集合滿足：
即。。。。。。①
因的定義域是，故對于一切，①式恒成立。由函數
在上是減函數知函數在
上是增函數。故在上的最大值是
。故所求范圍是（。
說明：利用函數的單調性求函數的值域或最值是一種重要的方法。
例2．分析：(1)易求。。
（2）由g（x）—f—1（x）0得：。
故即。
說明：二次函數的最值不一定在頂點取得，當時，的最值為。
例3．分析：欲證f(x)為奇函數即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數得到證明．
(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，又由(1)f(x)是奇函數．
f(k3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k3＜-3+9+2，
3-(1+k)3+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．
R恒成立．
說明：問題(2)的上述解法是根據函數的性質．f(x)是奇函數且在x∈R上是增函數，把問題轉化成二次函數f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數f(t)進行研究求解．本題還有更簡捷的解法：分離系數由k3＜-3+9+2得
上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．

沖刺強化訓練(2)
1.C2、C3．B4.C5.6．
7.（1）反函數。（2）。圖象略。
8（1）。（2）增函數。
9.證明：（I）
故f(x)在（0，1上是減函數，而在（1，+∞）上是增函數，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和，故
（II）0x1時，
曲線y=f(x)在點P（x0，y0）處的切線方程為：
∴切線與x軸、y軸正向的交點為
故所求三角形面積聽表達式為：

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對數函數的性質及簡單應用

2.2.2對數函數的性質及簡單應用
一、內容與解析
(一）內容：對數函數的性質
（二）解析：本節(jié)課要學的內容是對數函數的性質及簡單應用,其核心(或關鍵)是對數函數的性質,理解它關鍵就是要利用對數函數的圖象.學生已經掌握了對數函數的圖象特點,本節(jié)課的內容就是在此基礎上的發(fā)展.由于它是構造復雜函數的基本元素之一，所以對數函數的性質是本單元的重要內容之一.教學的重點是掌握對數函數的性質,解決重點的關鍵是利用對數函數的圖象，通過數形結合的思想進行歸納總結。
二、教學目標及解析
(一)教學目標:
1.掌握對數函數的性質并能簡單應用
(二)解析:
(1)就是指根據對數函數的兩類圖象總結并理解對數函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、函數值的分布特征等性質，并能將這些性質應用到簡單的問題中。
三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學中,學生可能遇到的問題是底數a對對數函數圖象和性質的影響,產生這一問題的原因是學生對參量認識不到位，往往將參量等同于自變量.要解決這一問題,就是要將參量的取值多元化，最好應用幾何畫板的快捷性處理這類問題,其中關鍵是應用好幾何畫板.

四、教學支持條件分析
在本節(jié)課()的教學中,準備使用(),因為使用(),有利于().

五、教學過程
問題1.先畫出下列函數的簡圖，再根據圖象歸納總結對數函數的相關性質。
設計意圖:
師生活動(小問題):
1.這些對數函數的解析式有什么共同特征？
2.通過這些函數的圖象請從值域、單調性、奇偶性方面進行總結函數的性質。
3.通過這些函數圖象請從函數值的分布角度總結相關性質
4.通過這些函數圖象請總結：當自變量取一個值時，函數值隨底數有什么樣的變化規(guī)律？

問題2.先畫出下列函數的簡圖，根據圖象歸納總結對數函數的相關性質。

問題3.根據問題1、2填寫下表
圖象特征函數性質
a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1
向y軸正負方向無限延伸函數的值域為R+
圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數
函數圖象都在y軸右側函數的定義域為R
函數圖象都過定點（1,0）
自左向右,圖象逐漸上升自左向右,圖象逐漸下降增函數減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于0，橫坐標大于1在第一象限內的圖象縱坐標都大于0，橫標大于0小于1
在第四象限內的圖象縱坐標都小于0，橫標大于0小于1在第四象限內的圖象縱坐標都小于0，橫標大于1

[設計意圖]發(fā)現(xiàn)性質、弄清性質的來龍去脈，是為了更好揭示對數函數的本質屬性，傳統(tǒng)教學往往讓學生在解題中領悟。為了扭轉這種方式，我先引導學生回顧指數函數的性質，再利用類比的思想，小組合作的形式通過圖象主動探索出對數函數的性質。教學實踐表明：當學生對對數函數的圖象已有感性認識后，得到這些性質必然水到渠成

例1.比較下列各組數中兩個值的大?。?br> (1)log23.4,log28.5（2）log0.31.8,log0.32.7
（3）loga5.1,loga5.9(a＞0,且a≠1)
變式訓練：1.比較下列各題中兩個值的大小:
⑴log106log108⑵log0.56log0.54
⑶log0.10.5log0.10.6⑷log1.50.6log1.50.4
2．已知下列不等式，比較正數m，n的大?。?br> (1)log3mlog3n(2)log0.3mlog0.3n
(3)logamlogan(0a1)(4)logamlogan(a1)
例2.（1）若且，求的取值范圍
（2）已知，求的取值范圍；

六、目標檢測
1.比較，，的大小：
2.求下列各式中的x的值
（1）
（2）
（3）

函數的性質

《新課標》高三數學（人教版）第一輪復習單元講座
第四講—函數的基本性質
一．課標要求(例題5，練習題7，習題9)
1．通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；
2．結合具體函數，了解奇偶性的含義；
二．命題走向
從近幾年來看，函數性質是高考命題的主線索，不論是何種函數，必須與函數性質相關聯(lián)，因此在復習中，針對不同的函數類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。
預測2011年高考的出題思路是：通過研究函數的定義域、值域，進而研究函數的單調性、奇偶性以及最值。
預測明年的對本講的考察是：
（1）考察函數性質的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數出研究函數性質的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數的性質，以組合形式、一題多角度考察函數性質預計成為新的熱點。
三．要點精講
1．單調性
（1）定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數（減函數）；
注意：
○1函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質；
○2必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)
（2）如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。
（3）設復合函數y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射
g:x→u=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增（或減）函數，y=f(u)在B上也是增（或減）函數，則函數
y=f[g(x)]在A上是增函數；
②若u=g(x)在A上是增（或減）函數，而y=f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y=f[g(x)]在A上是減函數。
（4）判斷函數單調性的方法步驟
利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：
○1任取x1，x2∈D，且x1x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3變形（通常是因式分解和配方）；
○4定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
○5下結論（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性相同；
②偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函數增函數是增函數；減函數減函數是減函數；
增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數。

2．奇偶性
（1）定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數；
如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。
如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.
如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。
注意：
○1函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；
例如：函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函數的單調遞減區(qū)間為和
○2由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。
（2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：
○1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；
○2確定f(－x)與f(x)的關系；
○3作出相應結論：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；
一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；
若是偶函數，則的圖象關于直線對稱；
若是奇函數，則的圖象關于點中心對稱；
②設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數y=f(x)的最小值。
注意：
○1函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
○2函數最大（?。撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑?，即對于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）．函數的最值的求法
①若函數是二次函數或可化為二次函數型的函數，常用配方法。
②利用函數的單調性求最值：先判斷函數在給定區(qū)間上的單調性，然后利用函數的單調性求最值。如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
③基本不等式法：當函數是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。
④導數法：當函數比較復雜時，一般采用此法
⑤數形結合法：畫出函數圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。
4．周期性
（1）定義：如果存在一個非零常數T，使得對于函數定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數；
（2）性質：①f(x+T)=f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數T，則稱它為f(x)的最小正周期；
②若周期函數f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數，且周期為。
（3）周期性不僅僅是三角函數的專利，抽象函數的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況：
①函數值之和等于零型，
即函數對于定義域中任意滿足，則有，故函數的周期是
②函數圖象有，兩條對稱軸型。
函數圖象有，兩條對稱軸，即，，從而得，故函數的周期是
③兩個函數值之積等于，即函數值互為倒數或負倒數型
若，則得，所以函數的周期是；同理若，則的周期是
四．典例解析
題型一判斷證明函數的單調性
例1．（2001天津，19）設，是上的偶函數。
（1）求的值；（2）證明在上為增函數。
解：（1）依題意，對一切，有，即。
∴對一切成立，則，∴，
∵，∴。
（2）(定義法)設，則
，
由，得，，
∴，
即，∴在上為增函數。
（導數法）∵，
∴
∴在上為增函數
點評：本題用了兩種方法：定義法和導數法，相比之下導數法比定義法更為簡潔。
例2．（1）求函數的單調區(qū)間；
（2）已知若試確定的單調區(qū)間和單調性。
解：（1）函數的定義域為，
分解基本函數為、
顯然在上是單調遞減的，而在上分別是單調遞減和單調遞增的。根據復合函數的單調性的規(guī)則：
所以函數在上分別單調遞增、單調遞減。
（2）解：，，
令，得或，
令，或
∴單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。
點評：該題考察了復合函數的單調性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。
練習1．函數的單調增區(qū)間為（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函數
在上是減函數，在上是減函數，所以函數
的單調增區(qū)間為
2．（2007天津改編）在上定義的函數是奇函數，且，若在區(qū)間是減函數，則函數（）
A.在區(qū)間上是增函數，區(qū)間上是增函數
B.在區(qū)間上是增函數，區(qū)間上是減函數
C.在區(qū)間上是減函數，區(qū)間上是增函數
D.在區(qū)間上是減函數，區(qū)間上是減函數
[解析]C；由知的圖象關于直線對稱，由在區(qū)間是減函數知在區(qū)間是增函數，又由及是奇函數，得到
，進而得，所以是以4為周期的函數，故在上是減函數。
題型二：判斷函數的奇偶性
例3．討論下述函數的奇偶性：

解：（1）函數定義域為R，
，
∴f(x)為偶函數；
（另解）先化簡：，顯然為偶函數；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。
（2）須要分兩段討論：
①設方法正確解題過程不對！
②設
③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，對x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)為偶函數；
（3），∴函數的定義域為，
∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的圖象由兩個點A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，∴f(x)既是奇函數，又是偶函數；
點評：判斷函數的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數的定義域，若函數的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。
例4．(2002天津文.16)設函數f（x）在（－∞，+∞）內有定義，下列函數：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必為奇函數的有_____（要求填寫正確答案的序號）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。③可以看成y=－f（－x）,那么－f（x）≠—y所以③不正確。
點評：該題考察了判斷抽象函數奇偶性的問題。對學生邏輯思維能力有較高的要求。
題型三：最值問題
例題5（2000年上海）已知函數
當時，求函數的最小值；
[解題思路]當時，，這是典型的“對鉤函數”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或導數；
[解析]當時，
，。在區(qū)間上為增函數。
在區(qū)間上的最小值為。
【名師指引】對于函數若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否則會得到
而認為其最小值為，但實際上，要取得等號，必須使得，這時
所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉化為求函數的最值。本題考查求函數的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數單調性，二次函數的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉化化歸思想；
題型四：周期問題
例題6．（執(zhí)信中學09屆訓練題）設是定義在上的正值函數,且滿足
.若是周期函數,則它的一個周期是（）
.；.；.；.
[解析]；由是定義在上的正值函數及得
，，
，所以，即的一個周期是6
例題7．（06年安徽改編）函數對于任意實數滿足條件，若則__________
[解析]；由得，進而得
所以
例題8．若y=f(2x)的圖像關于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（）
A．B．C．D．
解：因為y=f(2x)關于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x)=f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一個周期為2b－2a，
故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。
點評：考察函數的對稱性以及周期性，類比三角函數中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數是周期函數，其周期為2（b－a）。
例題9．已知函數是定義在上的周期函數，周期，函數是奇函數又知在上是一次函數，在上是二次函數，且在時函數取得最小值。
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵是以為周期的周期函數，
∴，
又∵是奇函數，
∴，
∴。
②當時，由題意可設，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函數，
∴，
又知在上是一次函數，
∴可設，而，
∴，∴當時，，
從而當時，，故時，。
∴當時，有，
∴。
當時，，
∴
∴。
點評：該題屬于普通函數周期性應用的題目，周期性是函數的圖像特征，要將其轉化成數字特征。

五．思維總結
1．判斷函數的奇偶性，必須按照函數的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；
2．對函數奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函數的定義域關于原點對稱這是函數具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映；
3．若奇函數的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數”是f(0)=0的非充分非必要條件；
4．奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，因此根據圖象的對稱性可以判斷函數的奇偶性。
5．若存在常數T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內任意x恒成立，則稱T為函數f(x)的周期，一般所說的周期是指函數的最小正周期周期函數的定義域一定是無限集。
6．單調性是函數學習中非常重要的內容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數”的內容，所以解決單調性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數的單調性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數有關的單調性問題一般需要用單調性定義解決。注意，關于復合函數的單調性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴格的解答還是應該運用定義或求導解決。

函數概念及性質

二師生互動
例1函數的定義域
練一練
求函數的定義域
例2例2已知函數是偶函數，且時，.
（1）求的值；（2）求時的值；
（3）當0時，求的解析式．
練一練
設函數．
（1）求它的定義域；（2）判斷它的奇偶性；
（3）求證：；
（4）求證：在上遞增.

三鞏固練習
1..函數的值域是（）
A．B.C.D.
2.若函數的值域是，則函數的值域是（）
A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]
3若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數，則a的值范圍是（）
A．B．C．（0，1）D．
4函數的圖像關于（）
A．軸對稱B．直線對稱C．坐標原點對稱D．直線對稱
5已知定義域為R的函數f(x)在上為減函數,且y=f(x+8)函數為偶函數,則()
A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)
6設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有值為（）
（A）（B）（C）（D）
7在上的最大值為，最小值為.

四課后反思

五課后鞏固練習
1.已知函數f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5］.
(1)當a＝－1時，求函數f(x)的最大值和最小值；
(2)求實數a的取值范圍，使y＝f(x)在［－5,5］上是單調函數.
2.設，當時，恒成立，求實數a的取值范圍

整合函數性質教案

第一章單元小結（二）

(一)教學目標
1．知識與技能
整合函數性質建構知識網絡，以便于進一步理解和掌握函數的性質.提升綜合運用函數性質的能力.
2．過程與方法
在整合函數性質、綜合運用函數性質的過程中，培養(yǎng)學生分析、觀察、思考的教學能力、提升學生的歸納、推理能力.
3．情感、態(tài)度與價值觀
在學習過程中，通過知識整合，能力培養(yǎng)，激發(fā)學生的學習興趣.養(yǎng)成合作、交流的良好學習品質.
(二)教學重點與難點
重點：整合知識、構建單元知識系統(tǒng).
難點：提升綜合應用能力.
(三)教學方法
動手練習與合作交流相結合.在回顧、反思中整合知識，在綜合問題探究、解答中提升能力.加深對知識的準確、到位的理解與應用.
(四)教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
回顧反思
構建體系
函數性質單元知識網絡
生：借助課本.并回顧學習過程.整理函數掌握函數的有關性質歸納知識的縱橫聯(lián)系.
師生合作：學生口述單元基本知識及相互聯(lián)系，老師點評、闡述、板書網絡圖.整理知識，培養(yǎng)歸納能力.
形成知識網絡系統(tǒng).
經典例題
剖析
升華能力

例1試討論函數f(x)=，x(–1，1)的單調性(其中a≠0).

例2試計論并證明函數y=f(x)=x+(a＞0)在定義域上的單調性，函數在(0，+∞)上是否有最小值？

例3已知f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數，且滿足f(xy)=
f(x)+f(y)，f(2)=1.
（1）求證：f(8)=3；
（2）解不等式
f(x)–f(x–2)＞3.

例4已知函數f(x)，當x、y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求證：f(x)是奇函數；
（2）如果x∈R+，f(x)＜0，并且f(1)=，試求f(x)在區(qū)間[–2，6]上的最值.

師生合作：學生獨立嘗試完成例1~例4并由學生代表板書解答過程.老師點評.師生共同小結解題思絡.
例1【解析】設–x＜x1＜x2＜1，
即△x=x2–x1＞0，
則△y=f(x2)–f(x2)
=
=
∵–1＜x1＜x2＜1，
∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.
|x1x2|＜1，即–1＜x1x2＜1，x1x2+1＞0，
∴＜0.
因此，當a＞0時，△y=f(x2)–f(x1)＜0，
即f(x1)＞f(x2)，此時函數為減函數；
當a＜0時，△y=f(x2)–f(x1)＞0，
即f(x1)＜f(x2)，此時函數為增函數.
例2【解析】函數y=x+(a＞0)在區(qū)間(–∞，–)上是增函數，在區(qū)間[–，0]上是減函數，在區(qū)間(0，]上是減函數，在區(qū)間(，+∞)上是增函數.
先證明y=x+(a＞0)在(0，+∞)上的增減性，
任取0＜x1＜x2，
則△x=x1–x2＜0，
△y=f(x1)–f(x2)
=(x1+)–(x2+)
=(x1–x2)+(–)
=(x1–x2)+
=(x1–x2)(1–)
=△x.
∵0＜x1＜x2，
∴△x=x1–x2＜0，x1x2＞0.
（1）當x1，x2∈(0，)時，0＜x1x2＜a，∴x1x2–a＜0，
此時①＞0時，
△y=f(x1)–f(x2)＞0，
∴f(x)在(0，)上是減函數.
（2）當x1，x2∈[，+∞）時，x1x2＞a，∴x1x2–a＞0，
此時①＜0，△y=f(x1)–f(x2)＜0，
∴f(x)在[，+∞）上是增函數，
同理可證函數f(x)在(–∞，–)上為增函數，
在[–，0)上為減函數.
由函數f(x)=x+在[0，)上為減函數，且在[，+∞)上為增函數知道，f(x)≥f()=2，其中x∈(0，+∞)，
∴f(x)min=2，
也可以配方求f(x)=x+(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，
∴f(x)=x+=()2+2，
當且僅當x=時，f(x)min=2.

例3【解析】（1）在f(xy)=f(x)+f(y)中，
設x=y=2，則有f(4)=f(2)+f(2)，
設x=4，y=2，
則有f(8)=f(4)+f(2)
=3f(2)=3.
（2）由f(x)–f(x–2)＞3，
得f(x)＞f(8)+f(x–2)=f[8(x–2)]，
∵f(x)是(0，+∞)上的增函數，
∴，解得2＜x＜，
故原不等式的解集為{x|2＜x＜}.
例4【解析】（1）∵函數定義域為R，其定義域關于原點對稱，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
令y=–x，x、–x∈R，
代入f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0，
∴f(x)+f(–x)=0，得
f(–x)=–f(x)，
∴f(x)為奇函數.
（2）設x、y∈R+，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(x+y)–f(x)=f(y)，
∵x∈R+，f(x)＜0，
∴f(x+y)–f(x)＜0，
∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＜x，
∴f(x)在(0，+∞)上是減函數.
又∵f(x)為奇函數，
f(0)=0，
∴f(x)在(–∞，+∞)上是減函數.
∴在區(qū)間[–2，6]上f(–2)為最大值，f(6)為最小值.
∵f(1)=，
∴f(–2)=–f(2)=–2f(1)=1，
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]
=–3，
∴f(x)在區(qū)間[–2，6]上的最大值為1，最小值為–3.動手嘗試練習，培養(yǎng)并提高解題能力.
備選例題
例1用定義證明函數y=f(x)=是減函數.
【解析】∵x2+1＞0對任意實數x均成立，
∴函數y=f(x)=的定義域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，則△x=x2–x1＞0，
△y=f(x2)–f(x1)
=
=
=–(x2–x1)
=(x2+x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞=|x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1+x2––＜0，
+＞|x1|+|x2|＞0，
∴f(x2)–f(x1)＜0，
∴y=f(x)=在R上是減函數.
例2已知函數f(x)的定義域為R，滿足f(–x)=＞0，且g(x)=f(x)+c（c為常數）在區(qū)間[a，b]上是減函數.判斷并證明g(x)在區(qū)間[–b，–a]上的單調性.
解析：設–b≤x1＜x2≤–a，
則△x=x2–x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數，
∴g(–x1)＜g(–x2)，即f(–x1)+c＜f(–x2)+c，
則f(–x1)＜f(–x2)，又∵f(–x)=＞0，
∴，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x1)+c＞f(x2)+c，即g(x1)＞g(x2)，
△y=g(x2)–g(x1)＜0，
∴g(x)在區(qū)間[–b，–a]上是減函數.