簡單的教案小學(xué)

高二 數(shù)學(xué) 4.3 定積分的簡單應(yīng)用 教案。

4.3定積分的簡單應(yīng)用
教學(xué)過程：
一．知識(shí)回顧
1、求曲邊梯形的思想方法是什么？
2、定積分的幾何意義是什么？
3、微積分基本定理是什么？
二．新知探究
（一）利用定積分求平面圖形的面積
例1．計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.
【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。

【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：
1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。
練習(xí)：計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.
例2．計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.
分析：首先畫出草圖，并設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．與例1不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線與x軸的交點(diǎn)．

四．拓展提高
求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。

五．歸納總結(jié)
總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.
因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.
2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：
（1）畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；
（2）對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；
（3）確定被積函數(shù)；
（4）求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。
3、幾種常見的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：
型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；③由兩條曲線與直線

圖（1）圖（2）圖（3）
所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））；
六．作業(yè)設(shè)計(jì)
1、必做題：P58練習(xí)（1）（2）；P60A組1；2、選做題：P60B組3。
七．精彩一練
1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。（WWw.111642.cOM 優(yōu)美句子網(wǎng)）

2、求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，－3）
和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。

八．學(xué)后反思

擴(kuò)展閱讀

高二數(shù)學(xué)選修2-2定積分的簡單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題

一、基礎(chǔ)過關(guān)
1．用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是()
A．caf(x)dx
B．|caf(x)dx|
C．baf(x)dx＋cbf(x)dx
D．cbf(x)dx－baf(x)dx
2．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積為()
A．ln2B．ln2－1
C．1＋ln2D．2ln2
3．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成圖形的面積等于()
A．1－1(x－x3)dxB．1－1(x3－x)dx
C．210(x－x3)dxD．20－1(x－x3)dx
4．曲線y＝x2－1與x軸所圍成圖形的面積等于()
A.13B.23
C．1D.43
5．由曲線y＝x與y＝x3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為________．
6．由y＝x2，y＝14x2及x＝1圍成的圖形的面積S＝________.
二、能力提升
7．設(shè)f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈1，2]，則20f(x)dx等于()
A.34B.45C.56D．不存在

8．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c0)圍成圖形的面積是23，則c等于()
A.13B.12C．1D.23
9．從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為________．
10．求曲線y＝6－x和y＝8x，x＝0圍成圖形的面積．

11．求曲線y＝x2－1(x≥0),直線x＝0，x＝2及x軸圍成的封閉圖形的面積．

12．設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2,4)移動(dòng)，如果直線OP，曲
線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.
(1)當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)S1＋S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．

高二數(shù)學(xué)定積分學(xué)案練習(xí)題

§1.5.2定積分
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.定積分的概念
說明：⑴定積分是一個(gè)常數(shù)；
⑵用定義求定積分的一般方法是：①分割；②以直代曲；③作和；④逼近.
2.定積分的幾何意義
一般地，定積分的幾何意義是，在區(qū)間上曲線與軸所圍成圖形面積的代數(shù)和（即軸上方的面積減去軸下方的面積）
二、例題
例1.計(jì)算定積分.

例2.利用定積分的定義求定積分，并用幾何意義來驗(yàn)證.

例3.運(yùn)用定積分的幾何意義求下列定積分的值.
⑴⑵⑶⑷

三、課堂練習(xí)
1.定積分的幾何意義是由所圍成的圖形的面積.
2.如圖，陰影部分的面積分別以表示，
則定積分=.
3.計(jì)算下列定積分
⑴

4.用定積分表示下列圖⑴，圖⑵中陰影部分的面積.

四、課堂小結(jié)
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.計(jì)算定積分=.
2.設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為，則在到這一時(shí)間段內(nèi)，該物體經(jīng)過的位移=.
3.設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力（為質(zhì)點(diǎn)所在位置）的作用沿軸由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，若處處平行于軸，則在該過程中變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功=.
4.若，則=.
5.利用幾何意義說明等式成立的理由.

6.簡化下列各式，并畫出各式所表示的圖形的面積.
⑴⑵

定積分

4.1.2定積分
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
復(fù)習(xí)：
1．回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟：
分割→以直代曲→求和→取極限（逼近
2．對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)．
二．新課講授
1．定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)
將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：
如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：
其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。
說明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是．
（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限：
（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；
變力做功
2．定積分的幾何意義
說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)．（可以先不給學(xué)生講）．
分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。
考察和式
不妨設(shè)
于是和式即為
陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）
2．定積分的性質(zhì)
根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：
性質(zhì)1
性質(zhì)2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）
性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4
（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）
說明：①推廣：
②推廣:
③性質(zhì)解釋：

三．典例分析
例1．計(jì)算定積分
分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。
即：
思考：若改為計(jì)算定積分呢？
改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問題）
四．課堂練習(xí)
計(jì)算下列定積分
1．
2．
五．回顧總結(jié)
1．定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．

4.1.1定積分的背景——面積和路程問題

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。必須要寫好了教案課件計(jì)劃，未來的工作就會(huì)做得更好！究竟有沒有好的適合教案課件的范文？以下是小編收集整理的“4.1.1定積分的背景——面積和路程問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

4.1.1定積分的背景——面積和路程問題
教學(xué)過程:
一、問題引入
師：1.求下圖中陰影部分的面積：
師：對(duì)于哪些圖形的面積，大家會(huì)求呢？（學(xué)生回憶，回答）
師：對(duì)于，，，圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來求呢？（一問激起千層浪，開門見山，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生未知的東西，學(xué)生往往比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來探究這種曲邊圖形的面積的求法。
二、學(xué)生活動(dòng)與意義建構(gòu)
1、讓學(xué)生自己探求，討論（3—4分鐘）
2、讓學(xué)生說出自己的想法
希望學(xué)生說出以的面積近似代替曲邊三角形的面積，但誤差很大，如何減小誤差呢？希望學(xué)生討論得出將曲邊三角形進(jìn)行分割，形成若干個(gè)曲邊梯形。（在討論的過程中滲透分割的思想）
師：如何計(jì)算每個(gè)曲邊梯形的面積呢？（通過討論希望學(xué)生能出以下三種方案，在討論的過程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)）

方案一方案二方案三

方案一：用一個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。
方案二：用一個(gè)大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
方案三：以梯形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
（對(duì)于其中的任意一個(gè)曲邊梯形，我們可以用“直邊”來代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點(diǎn)時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生探求，討論得出，讓學(xué)生體會(huì)“以曲代直”的思想，從近似中認(rèn)識(shí)精確，給學(xué)生探求的機(jī)會(huì)）
師：這樣，我們就可以計(jì)算出任意一個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，從而可以計(jì)算出整個(gè)曲邊三角形面積的近似值，（求和），并且分割越細(xì)，面積的近似值就越精確，當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個(gè)曲邊三角形的面積，以方案一為例：
⑴分割細(xì)化
將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，，…，，…，，每個(gè)區(qū)間的長度為（學(xué)生回答），過各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作，，…，，…，。
⑵以直代曲
對(duì)區(qū)間上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為一邊的長，以為鄰邊的長的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即
（當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，在上任一點(diǎn)的函數(shù)值作為矩形的一邊長都可以，常取左右端點(diǎn)或中點(diǎn)，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的解題提供了方法）
⑶作和
因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以個(gè)小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值：
（復(fù)習(xí)符號(hào)的運(yùn)用）
⑷逼近
當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，即無限趨近于（趨向于）
當(dāng)趨向時(shí)，無限趨近于，無限趨近于，故上式的結(jié)果無限趨近于，，即所求曲邊三角形面積是。（在逼近的過程中，難點(diǎn)是求在此應(yīng)給學(xué)生一些時(shí)間探求自然數(shù)的平方和，
最好在講數(shù)列知識(shí)時(shí)補(bǔ)充進(jìn)去。新教材有很多知識(shí)點(diǎn)前后順序編排的有所不妥，有好多知識(shí)應(yīng)該先有伏筆，而不是要用到什么就補(bǔ)充什么，在研究解析幾何中直線部分時(shí)，這個(gè)問題也有所體現(xiàn)）
3、分成兩組，分別以方案二、方案三按上述四個(gè)步驟重新計(jì)算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計(jì)算結(jié)果與方案一進(jìn)行比較。
（設(shè)計(jì)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的合作交流的能力，優(yōu)化解題方案）
師：請(qǐng)用流程圖表示求曲邊三角形面積的過程
4、反思
在求曲邊梯形面積過程中，你認(rèn)為最讓你感到困難的是什么？（如何分割，求和逼近是兩大難點(diǎn)）
（在新課程的課堂教學(xué)過程中，經(jīng)常性地問學(xué)生一些這樣的問題，可以讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程起到一個(gè)自查作用，查漏補(bǔ)缺，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自查意識(shí)是一個(gè)很好的途徑，也可以活躍課堂氣氛）
三、數(shù)學(xué)應(yīng)用
1、典型例題
師：在方案一中，和式（*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不僅是有直觀的幾何意義，還有豐富的實(shí)際背景。
例1：火箭發(fā)射后的速度為（單位），假定，對(duì)函數(shù)按（*）式所作的和具有怎樣的意義？
解：將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長度為，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為，雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化很小，可以用來代替火箭在第一個(gè)小區(qū)間上的速度，這樣，
火箭在第一個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程
同理火箭在第二個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)行的路程
從而
火箭在內(nèi)運(yùn)行的路程總和
這就是函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上按（*）式所作的和的實(shí)際背景。
（由于學(xué)生初次遇到這類問題，語言表達(dá)比較困難，故教師在教學(xué)過程中最好采用對(duì)話式教學(xué)，邊說邊寫，規(guī)范板書）
例2：如圖，有兩個(gè)點(diǎn)電荷、，電量分別為、，固定電荷將電荷從距為處移到距為處，求庫侖力對(duì)電荷所做的功。
先分析，再讓學(xué)生嘗試書寫，然后投影解題過程。
（設(shè)計(jì)兩道例題的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的文字表達(dá)能力，二是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用，也為后面的定積分的物理意義變力所做的功，變速運(yùn)動(dòng)的位移埋下伏筆）
學(xué)生練習(xí)：課本P46練習(xí)
四、回顧反思
知識(shí)點(diǎn)：⑴求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；⑵數(shù)學(xué)知識(shí)在物理上的應(yīng)用。
反思消化：⑴對(duì)今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你覺得有什么困難？
⑵在以前的學(xué)習(xí)過程中，有哪些地方用到了與今天類似的方法？
（希望學(xué)生能回憶起初中圓的周長、高中球的表面積以及線性回歸方程等類似的內(nèi)容）
五、布置作業(yè)：
1、探究：有沒有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、課課練P411.2.