高中不等式教案

歸納法證明不等式1。

選修4-5學(xué)案§4.1.1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式姓名
☆學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;
2.會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.
知識(shí)情景：
關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：
10.驗(yàn)證n取時(shí)命題(即n＝時(shí)命題成立)(歸納奠基）；
20.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題(歸納遞推）.
30.由10、20知，對(duì)于一切n≥的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）
要訣:遞推基礎(chǔ),歸納假設(shè),結(jié)論寫(xiě)明.

☆數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：
例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

例2已知x-1，且x0，nN*，n≥2．求證：(1+x)n1+nx.

例3證明:如果為正整數(shù))個(gè)正數(shù)的乘積,
那么它們的和.

例4證明:

例5.當(dāng)時(shí),求證:

選修4-5練習(xí)§4.1.1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）姓名
1、已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的
值為()
A.30B.26C.36D.6
2、.觀(guān)察下列式子：
…則可歸納出_________.
3、已知,,則的值分別為_(kāi)________，由此猜想
_________.
4、用數(shù)學(xué)歸納法證明:能被8整除.
5、用數(shù)學(xué)歸納法證明

6、.用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求證：

8、已知，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
9、.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

答案:
1.關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來(lái)證明其正確性：
10.驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立(即n＝時(shí)命題成立)(歸納奠基）；
20.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.
30.由10、20知，對(duì)于一切n≥的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）
要訣:遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.
例1⑴當(dāng)時(shí),上式左邊右邊,不等式成立.
⑵設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即有.
那么,當(dāng)時(shí),
=
例2證明:(1)當(dāng)n=2時(shí)，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵x0，∴1+2x+x21+2x=右,∴n=2時(shí)不等式成立
（2）假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即(1+x)k1+kx
當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤-1，所以1+x0，于是
左邊=(1+x)k+1右邊=1+(k+1)x．
因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x．
這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．
根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立.
例3證明:⑴當(dāng)時(shí),有，命題成立.
⑵設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即若個(gè)正數(shù)的乘積,
那么它們的和.
那么當(dāng)時(shí),已知個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足.
若個(gè)正數(shù)都相等,則它們都是1.其和為,命題成立.
若這個(gè)正數(shù)不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)
(否則與矛盾).不妨設(shè).
例4證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,由于故不等式成立.
(2)假設(shè)n=k()時(shí)命題成立,即
則當(dāng)n=k+1時(shí),
即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.
由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.
例5（1）
練習(xí)
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，
f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1?－(2k+7)3k
=(6k+27)3k－(2k+7)3k
=(4k+20)3k=36(k+5)3k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
、、、
4、證:(1)當(dāng)n=1時(shí),A1=5+2+1=8,命題顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),Ak能被8整除,即是8的倍數(shù).
那么:
因?yàn)锳k是8的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是8的倍數(shù),所以Ak+1也是8的倍數(shù),
即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.
由(1)、(2)知對(duì)一切正整數(shù)n,An能被8整除.
5．證明：1當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-=，右邊==，所以等式成立。
2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，
即。
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。
綜上所述，等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立。
6．證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13
=42k+113+3(42k+1+3k+2?)
∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.
由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.
7．證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即．
則當(dāng)時(shí)，
所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立．
8.證明：
（1）當(dāng)n=2時(shí)，，∴命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即．
則當(dāng)時(shí)，
所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立．
9、證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)，，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即．
則當(dāng)時(shí)，，
∵，∴，（*）
從而，
∴．
即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知，對(duì)一切都成立．

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構(gòu)造函數(shù)法在不等式證明中運(yùn)用

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不等式的證明歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是考察學(xué)生數(shù)學(xué)能力的主要方面。不等式的證明方法多種多樣，根據(jù)所給不等式的特征，巧妙的構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用一元二次函數(shù)的判別式、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性等來(lái)證明不等式，統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)法。本文通過(guò)一些具體的例子來(lái)探討一下怎樣借助構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式。
一、構(gòu)造函數(shù)利用判別式證明不等式
①構(gòu)造函數(shù)正用判別式證明不等式
在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。
例1.設(shè)：a、b、c∈R，證明：成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。
解析：令
⊿＝
∵b、c∈R，∴⊿≤0
即：，∴恒成立。
當(dāng)⊿＝0時(shí)，，此時(shí)，，
∴時(shí)，不等式取等號(hào)。
例2.已知：且，求證：。
解析：消去c得：，此方程恒成立，
∴⊿＝，即：。
同理可求得
②構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式
對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：
由，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問(wèn)題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。

例3.設(shè)且，
求證：﹤6。
解析：構(gòu)造函數(shù)：
＝
由，得⊿≤0，即⊿＝.
∴﹤6.
例4.設(shè)且，求的最小值。
解析：構(gòu)造函數(shù)
＝
由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0
∴當(dāng)時(shí)，
二、構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)有界性證明不等式
例5.設(shè)﹤1，﹤1，﹤1，求證：﹥-1.
解析：令為一次函數(shù)。
由于﹥0，且﹥0，
∴在時(shí)恒有﹥0.
又∵，∴﹥0，即：﹥0
評(píng)注：考慮式中所給三個(gè)變量的有界性，可以視其為單元函數(shù)，轉(zhuǎn)化為。
三、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式
例6.設(shè)，求證：﹥
解析：設(shè)，當(dāng)﹥0時(shí)，是增函數(shù)，
又＝﹥＝，
而，∴﹥，∴﹥
故有：﹥
例7.求證：當(dāng)﹥0時(shí)，﹥。
解析：令，∵﹥0，∴﹥0.
又∵在處連續(xù)，∴在上是增函數(shù)，
從而，當(dāng)﹥0時(shí)，﹥＝0，
即：﹥成立。
評(píng)注：利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式和比較大小是常見(jiàn)的方法，特別是在引入導(dǎo)數(shù)后，單調(diào)性的應(yīng)用將更加普遍。
四、構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性證明不等式
例8.求證：﹤。
解析：設(shè)-，＝＝＝＝.
所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。
當(dāng)﹥0時(shí)，﹤0，故﹤0；當(dāng)﹤0時(shí)，依圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)知﹤0。
故當(dāng)時(shí)，恒有﹤0，即﹤
評(píng)注：這里實(shí)質(zhì)上是根據(jù)函數(shù)奇偶性來(lái)證明的，如何構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)充分利用其性質(zhì)是關(guān)健。
由上述幾種情況可以看出，能否順利地構(gòu)造函數(shù)利用其函數(shù)性質(zhì)和使用數(shù)學(xué)思想來(lái)證明不等式，最重要的是要有扎實(shí)的基本功和多種思維品質(zhì)，敢于打破常規(guī)，創(chuàng)造性地思維，才能獨(dú)辟蹊徑，使問(wèn)題獲得妙解。

歸納法

俗話(huà)說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。你知道怎么寫(xiě)具體的教案內(nèi)容嗎？小編收集并整理了“歸納法”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)—數(shù)學(xué)選修2-2[人教版B]
2.3.1數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)目標(biāo)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。
教學(xué)重點(diǎn)：
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)：推理與證明方法
二、引入新課
1、數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法
2、數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0，k∈N*)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立.
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.
由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確
4、例子
例1
用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對(duì)一切n∈N*都成立.
例2用數(shù)學(xué)歸納法證明
例3判斷下列推證是否正確，若是不對(duì)，如何改正.
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝，等式成立
②設(shè)n=k時(shí)，有
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有
即n=k+1時(shí)，命題成立
根據(jù)①②問(wèn)可知，對(duì)n∈N＊，等式成立
課堂練習(xí)：第80頁(yè)練習(xí)
課后作業(yè)：第82頁(yè)A:1,2,3

不等式的性質(zhì)1

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓講的知識(shí)能夠輕松被學(xué)生吸收，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。你知道怎么寫(xiě)具體的高中教案內(nèi)容嗎？下面是由小編為大家整理的“不等式的性質(zhì)1”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

不等式的證實(shí)1

古人云，工欲善其事，必先利其器。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容，幫助教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫(xiě)呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的不等式的證實(shí)1，僅供參考，歡迎大家閱讀。