小學數(shù)學數(shù)學教案
發(fā)表時間：2020-11-12數(shù)學歸納法。
每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在認真準備自己的教案課件了吧。寫好教案課件工作計劃，才能規(guī)范的完成工作！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“數(shù)學歸納法”，相信能對大家有所幫助。
1.4數(shù)學歸納法教學過程：
一、創(chuàng)設情境，啟動思維
情境一、財主兒子學寫字的笑話、“小明弟兄三個，大哥叫大毛……”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；
教師總結(jié)：財主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題.人們通常也會用歸納法思考問題，小孩也會由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.
情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒灐?br> 1、這里有一袋球共12個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么判斷？
啟發(fā)回答:
方法一：把它全部倒出來看一看．特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．
方法二：一個一個拿，拿一個看一個．
比如結(jié)果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點：有順序，有過程．
2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？
情境三:回顧等差數(shù)列通項公式推導過程：
設計意圖：首先設計情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學生學習的積極性．情境三點出兩種歸納法的不同特點.通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點引出打下伏筆.
二、師生互動，探究問題
承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？歸納法特點是什么？上述歸納法有什么不同呢？
學生回答以上問題，得出結(jié)論：
1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點：由特殊→一般；
2.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；
3.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.
在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法有著廣泛的應用．例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，地震預測用的就是歸納法．
4.引導學生舉例：
⑴不完全歸納法實例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式:(V為頂點數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù))
⑵完全歸納法實例：如證明圓周角定理時，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論．
設計意圖：從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，并在這里我安排學生舉完全歸納法的實例和不完全歸納法實例，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納法，并引導學生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.
三、借助史料,引申思辨
問題1：已知＝（n∈N），
(1)分別求；；；．
(2)由⑴你會有怎樣的一個猜想？這個猜想正確嗎？
問題2：費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．他曾認為，當n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結(jié)論便不成立．
教師總結(jié):有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個數(shù)上！
問題3：,當n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？
驗證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合數(shù)．
承上啟下：這里算了39個數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來,尋求數(shù)學證明.
教師設問：,不完全歸納法為什么會出錯？如何彌補不足？怎么給出證明呢？
設計意圖：在生活引例與已學數(shù)學知識的基礎上，進一步引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學大師都有可能如此．那么，不完全歸納法價值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補呢？結(jié)論正確性怎樣給出證明？學生一定會帶著許多問題進入下一階段探究.
四、實例再現(xiàn)，激發(fā)興趣
1、演示多米諾骨牌游戲視頻.
師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：
⑴第一塊要倒下;
⑵當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下;
當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下.
再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．
2、學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學模型）.
設計意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習．另外，這個環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學生大膽猜想、類比概括能力方面實踐的不夠好．應該讓學生在類比多米諾骨牌游戲的基礎上說出數(shù)學歸納法原理，教師給予肯定和補充即可。事實上，情境的設計都是為學生更好的知識遷移而服務的。概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，突破口就是學生的概括過程．
五、類比聯(lián)想，形成概念
1、類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項公式(師生共同完成,教師強調(diào)步驟及注意點)
(1)當n＝1時等式成立；
(2)假設當n＝k時等式成立,即,
則=,即n＝k＋1時等式也成立．
于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式對任何n∈都成立．
2．數(shù)學歸納法原理(學生表述,教師補正)：
（1）（遞推奠基）：n取第一個值(例如)時命題成立；
（2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設）
利用它證明當n=k+1時結(jié)論也正確.（歸納證明）
由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．
3、數(shù)學歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）
設計意圖：至此，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理,揭示遞推過程.教師強調(diào)數(shù)學歸納法特點.數(shù)學歸納法實際上是一種以數(shù)學歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.
六、討論交流，深化認識
例1、數(shù)列中,＝1,(n∈),通項公式是什么？你是怎么得到的？
探討一：觀察數(shù)列特點，變形解出.
探討二：先計算，，的值，再推測通項的公式,最后用數(shù)學歸納法證明結(jié)論．
設計意圖：通過典型例題使學生探究嘗試，一方面體驗“觀察—歸納—猜想—證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能使他們體驗數(shù)學方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力．不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.
七、反饋練習,鞏固提高
（請兩位同學板演以下兩題，教師指正）
1、用數(shù)學歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
2、首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是．
3、用數(shù)學歸納法證明：時，下列推證是否正確，說出理由？
證明：假設時，等式成立
就是成立
那么
=
這就是說當時等式成立，
所以時等式成立.
4、判斷下列推證是否正確，若是不對，如何改正.
求證：
證明：①當n=1時，左邊＝右邊＝，等式成立.
②設n=k時，有
那么，當n=k+1時，有
，即n=k+1時，命題成立
根據(jù)①②可知，對n∈N＊，等式成立.
設計意圖：練習題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗學生的學習水平，保證不盲目拔高，同時不沖淡本節(jié)課的重點，對例題是一個很好的對比與補充．通過3，4的易錯辨析，進一步體會數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟、一個結(jié)論，“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.
八、總結(jié)歸納，加深理解
1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法；
2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法；
3、數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；
4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想．
九、布置作業(yè),課外延伸
十、書面作業(yè)：見教材P56
課后思考題：
1.是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：
對一切自然數(shù)n都成立并證明你的結(jié)論.
2.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1
對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論（a=3,b=11,c=10）
設計意圖:思考題則起著承上啟下的作用,它既是“觀察—歸納—猜想—證明”的完整思維探究過程的再體驗，也是對下節(jié)課內(nèi)容的鋪墊與伏筆．
相關(guān)知識
高二數(shù)學數(shù)學歸納法007
俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助高中教師在教學期間更好的掌握節(jié)奏。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高二數(shù)學數(shù)學歸納法007”，希望能對您有所幫助，請收藏。
數(shù)學歸納法教學目標
1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．
2.了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟．
3.抽象思維和概括能力進一步得到提高．
教學重點與難點
重點：歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析．
難點：數(shù)學歸納法中遞推思想的理解．
教學過程設計
（一）引入
師：從今天開始，我們來學習數(shù)學歸納法．什么是數(shù)學歸納法呢?應該從認識什么是歸納法開始．
（板書課題．數(shù)學歸納法）
（二）什么是歸納法（板書）
師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點．
問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦?
（可準備一袋白球．問題用小黑板或投影幻燈片事先準備好）
生：把它例出來看一看就可以了．
師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做?
生：一個一個拿，拿一個看一個．
師：對．問題的結(jié)果是什么呢?
（演示操作過程）
第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．問題2：在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出）
生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）．
師：同學們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點嗎?
生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法．
特點是由特殊一般（板書）．
師：很好!其實在中學數(shù)學中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項，求它的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列項公式用的也是歸納法，今后的學高考￥資%源~網(wǎng)習還會看到歸納法的運用．
在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法．
還應該指出，問題1和問題2運用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了，由此而得了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然有無數(shù)個，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項體現(xiàn)的規(guī)律，進行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法．
（三）歸納法的認識（板書）
歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）．
師；用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3．
問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給出）（給學生一定的計算、思考時間）
生：經(jīng)過計算，我的結(jié)論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．
師：你計算了幾個數(shù)得到的結(jié)論?
生：4個．
師：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4這4個數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧?
生：對．
師：有沒有不同意見?
生：我驗了n＝8，這時有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對吧!師：那你的結(jié)論是什么呢?
（動員大家思考，糾正）
生：我的結(jié)論是：
當n＝1，2，3，4，5時，7n-3＜6（7n+9）；
當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）．
師：由以上的研究過程，我們應該總結(jié)什么經(jīng)驗呢?
首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測．請把你們計算結(jié)果填入下表內(nèi)：
師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹慎地分析．由上表可看到，當n依1，2，3，4，…變動時，相應的7n-3的值以后一個是前一個的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認，當n取較大值時，7n-3＞6（7n+9）會成立的．
師：對問題3推測有誤的同學完全不必過于自責，接受教訓就可以了．其實在數(shù)學史上，一些世界級的數(shù)學大師在運用歸納法時，也曾有過失誤．
資料1（事先準備好，由學生閱讀）
費馬（Fermat）是17世紀法國著名數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．
但是，費馬曾認為，當n∈N+時，+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．
18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了+1＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．
師：有的同學說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢?今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上!
再請看數(shù)學史上的另一個資料（仍由學生閱讀）：
資料2
f（n）＝n2+n+41,當n∈N+時，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)?
f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61,
f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131,
f（10）＝151，…f（39）＝1601．
但f（40）＝1681＝412是合數(shù)．
師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行!我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來．
師：歸納法為什么會出錯呢?
生：完全歸納法不會出錯．
師：對!但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢?
生：由于用不完全歸納法時，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份．
師：完全同意．那么怎么辦呢?
生：應該予以證明．
師：大家同意吧?對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結(jié)論的正確性，應接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數(shù)學問題，應尋求數(shù)學證明．
（四）歸納與證明（板書）
師：怎么證明呢?請結(jié)合以下問題1思考．
生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了．
師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明．數(shù)學上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想．
師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢?（稍作醞釀，使學生把注意力更集中起來）
師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個正式研究此課題的是意大利科學家莫羅利科．他運用遞推的思想予以證明．
結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球．
然后再構(gòu)造一個命題予以證明．命題的條件是：“設某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”．這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性．
大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢?
生：是．第一次拿出的是白球已確認，反復運用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球．
師：對．它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明．生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎?
生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排．
生：再例如多米諾骨牌游戲．
（有條件可放一段此種游戲的錄相）
師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：
（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；
（2）第一張牌被推倒．
用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學歸納法．
（五）數(shù)學歸納法（板書）
師：用數(shù)學歸納法證明以上推測問題而得的命題，應該證明什么呢?
生：先證n＝1時，公式成立（第一步）；
再證明：若對某個自然數(shù)（n＝k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n＝k+1）公式也成立（第二步）．
師：這兩步的證明自己會進行嗎?請先證明第一步．
生：當n＝1時，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此時公式成立．
（應追問各步計算推理的依據(jù)）
師：再證明第二步．先明確要證明什么?
生：設n＝k時，公式成立，即ak＝．以此為條件來證明n＝k+1時，公式也成立，即ak+1＝也成立．
師：應注意，這里是證明遞推關(guān)系成立，證明ak+1＝成立時，必須用到ak＝這個條件生：依已知條件，ak+1＝．
師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學歸納法進行的證明的基本要求．
師：請小結(jié)一下用數(shù)學歸納法作證明應有的基本步驟．
生：共兩步（學生說，教師板書）：
（1）n＝1時，命題成立；
（2）設n＝k時命題成立，則當n＝k+1時，命題也成立．
師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）．第一步應證明n＝6時，不等式成立．
（若有時間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時間可布置學生課下思考）
（六）小結(jié)
師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：
（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法．
（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．
（3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學歸納法進行．
（4）數(shù)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．
數(shù)學歸納法在數(shù)學中有廣泛的應用，將從下節(jié)課開始學習．
（七）課外作業(yè)
（1）閱讀課本
（2）書面作業(yè)課堂教學設計說明
1.數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢?于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n＝k時命題成立呢?教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機．
數(shù)學歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束．
把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內(nèi)容中的數(shù)學思想的一種嘗試．
2.在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究．3.理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n＝k+1命題成立時必須用到n＝k時命題成立這個條件．
例如用數(shù)學歸納法證明：（n∈N+）時，其中第二步采用下面證法：
設n＝k時，等式成立，即，則當n＝k+1時，
，
即n＝k+1時等式也成立．
這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n＝k，n＝k+1時命題到底成立不成立，而是n＝k時命題成立作為條件能否保證n＝k+1時命題成立這個結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應改為
以下理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向
高二數(shù)學數(shù)學歸納法的應用008
一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，幫助教師能夠井然有序的進行教學。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？以下是小編為大家收集的“高二數(shù)學數(shù)學歸納法的應用008”僅供您在工作和學習中參考。
7.5數(shù)學歸納法的應用一、教學內(nèi)容分析
1．本小節(jié)的重點是用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學時應對書寫與表達提出嚴格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時，更要注意說理清楚，并以此作為培養(yǎng)學生邏輯推理能力的一個抓手.
2．本小節(jié)的難點是用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點的關(guān)鍵是在授課時要重點分析“補項法”的證明思路：通過補項為運用歸納假設創(chuàng)造條件.不要讓學生單純機械地模仿.另外還常用作差方法，通過相減后，證明差能被某數(shù)（或某式）整除,再利用歸納假設可得當n=k+1時命題成立.
二、教學目標設計
1．會用數(shù)學歸納法證明等式；
2．會用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除；
3．進一步掌握數(shù)學歸納法的證明步驟與數(shù)學歸納法的實質(zhì).
三、教學重點及難點：
用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.
四、教學流程設計
五、教學過程設計
1．復習回顧：
用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，是缺一不可的.如果只完成步驟（i）而缺少步驟（ii）不能說明命題對從n0開始的一切正整數(shù)n都成立.
如+1，當n=0、1、2、3、4時都是素數(shù)，而n=5時，+1=641×6700417不是素數(shù).
同樣只有步驟（ii）而缺少步驟（i），步驟（ii）的歸納假設就沒有根據(jù)，遞推就沒有基礎，就可能得出不正確的結(jié)論.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a為任何數(shù)）
2．講授新課:
用數(shù)學歸納證明等式
例1:用數(shù)學歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2
例2：用數(shù)學歸納法證明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）.
[說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向?qū)W生指出：
(1)由于證明當n=k+1等式成立時，需證明的￥資%源~網(wǎng)結(jié)論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學生在證明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當n=k+1正確時，需用恒等變形，技巧較高，對基礎較差的學生來說完成很困難，這時可通過左、右邊的多項式乘法來完成.
如求證：…（nN*）.
證明：
（1）當n=1時，左邊=1，右邊=×1×（4-1）=1等式成立.
（2）假設當n=k（kN*）時等式成立，即,
則n=k+1時，
又
即等式成立.
由（1）（2）知，等式對任何nN*都成立.
(3)用數(shù)學歸納法證明恒等式成立時，在逆推過程中應注意等式左右的項數(shù)的變化.由當n=k到n=k+1時項數(shù)的增加量可能多于一項，各項也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點仔細分析項數(shù)及各項的變化情況.
例如：求證：
（*）.
例3（補充）在1與9之間插入2n-1個正數(shù)數(shù)，使1，，9成等比數(shù)列，在1與9之間又插入2n-1個正數(shù)，使1，，9成等差數(shù)列.設，,
（1）求、
（2）設，是否存在最大自然數(shù)m，使對于nN*都有被m整除，試說明理由.
解：（1）
（2）
當n=1時，=64
當n=2時，=320=5×64
當n=3時，=36×64
由此猜想：最大自然數(shù)m=64
用數(shù)學歸納法證明上述猜想：
1.當n=1時，猜想顯然成立;
2.假設當n=k（kN*）時成立，即能被64整除，
則當n=k+1時，
由歸納假設知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.
由1、2知，能被64整除（nN*）.
又因為，所以存在最大自然數(shù)64，使能被64整除（nN*）.
[說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學歸納法的綜合題.在第（1）小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，起到了對等差、等比數(shù)列知識的復習作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可讓學生完成），同時本例的第（2）小題既復習了用數(shù)學歸納法證明數(shù)式的整除性，又為進一步掌握歸納—猜測—論證的問題提供了保證，是否選用本題教師可根據(jù)學校學生的實際數(shù)學學習水平?jīng)Q定.
3.鞏固練習:
練習7.6(2)1,2,3
4．課后習題：
習題7.5A組習題7.5B組
5.課堂小結(jié):
（1）本節(jié)中心內(nèi)容是數(shù)學歸納法的應用，數(shù)學歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題；
（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明;歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結(jié)論的推理方法，它屬于歸納推理.而數(shù)學歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！
(3)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；數(shù)學歸納法證題的步驟：
①驗證P()成立.
②假設P(k)成立(k∈N*且k≥)，推證P(k+1)成立.
數(shù)學歸納法的核心，是在驗證P()正確的基礎上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎或起點，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當?shù)剡\用歸納假設是關(guān)鍵.
(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學習中你有何感想？你能否體會到數(shù)學歸納法的魅力？
六．教學設計說明
1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機．
數(shù)學歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束．
把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內(nèi)容中的數(shù)學思想的一種嘗試．
2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究．
3．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件．
即n=k+1時等式也成立．
這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n=k，n=k+1時命題到底成立不成立，而是n=k時命題成立作為條件能否保證n=k+1時命題成立這個結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應改為
以上理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向．
歸納法證明不等式1
選修4-5學案§4.1.1數(shù)學歸納法證明不等式姓名
☆學習目標：1.理解數(shù)學歸納法的定義、數(shù)學歸納法證明基本步驟;
2.會運用數(shù)學歸納法證明不等式
重點：應用數(shù)學歸納法證明不等式.
知識情景：
關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：
10.驗證n取時命題(即n＝時命題成立)(歸納奠基）；
20.假設當時命題成立，證明當n=k＋1時命題(歸納遞推）.
30.由10、20知，對于一切n≥的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）
要訣:遞推基礎,歸納假設,結(jié)論寫明.
☆數(shù)學歸納法的應用：
例1.用數(shù)學歸納法證明不等式.
例2已知x-1，且x0，nN*，n≥2．求證：(1+x)n1+nx.
例3證明:如果為正整數(shù))個正數(shù)的乘積,
那么它們的和.
例4證明:
例5.當時,求證:
選修4-5練習§4.1.1數(shù)學歸納法證明不等式（1）姓名
1、已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的
值為()
A.30B.26C.36D.6
2、.觀察下列式子：
…則可歸納出_________.
3、已知,,則的值分別為_________，由此猜想
_________.
4、用數(shù)學歸納法證明:能被8整除.
5、用數(shù)學歸納法證明
6、.用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求證：
8、已知，，用數(shù)學歸納法證明：
9、.求證：用數(shù)學歸納法證明．
答案:
1.關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：
10.驗證n取第一個值時命題成立(即n＝時命題成立)(歸納奠基）；
20.假設當n=k時命題成立，證明當n=k＋1時命題也成立(歸納遞推）.
30.由10、20知，對于一切n≥的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）
要訣:遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.
例1⑴當時,上式左邊右邊,不等式成立.
⑵設當時,不等式成立,即有.
那么,當時,
=
例2證明:(1)當n=2時，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵x0，∴1+2x+x21+2x=右,∴n=2時不等式成立
（2）假設n=k(k≥2)時，不等式成立，即(1+x)k1+kx
當n=k+1時，因為x-1，所以1+x0，于是
左邊=(1+x)k+1右邊=1+(k+1)x．
因為kx2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+11+(k+1)x．
這就是說，原不等式當n=k+1時也成立．
根據(jù)(1)和(2)，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立.
例3證明:⑴當時,有，命題成立.
⑵設當時，命題成立，即若個正數(shù)的乘積,
那么它們的和.
那么當時,已知個正數(shù)滿足.
若個正數(shù)都相等,則它們都是1.其和為,命題成立.
若這個正數(shù)不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)
(否則與矛盾).不妨設.
例4證:(1)當n=1時,左邊=,右邊=,由于故不等式成立.
(2)假設n=k()時命題成立,即
則當n=k+1時,
即當n=k+1時,命題成立.
由(1)、(2)原不等式對一切都成立.
例5（1）
練習
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，
f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1?－(2k+7)3k
=(6k+27)3k－(2k+7)3k
=(4k+20)3k=36(k+5)3k－2?(k≥2)
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
、、、
4、證:(1)當n=1時,A1=5+2+1=8,命題顯然成立.
(2)假設當n=k時,Ak能被8整除,即是8的倍數(shù).
那么:
因為Ak是8的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是8的倍數(shù),所以Ak+1也是8的倍數(shù),
即當n=k+1時,命題成立.
由(1)、(2)知對一切正整數(shù)n,An能被8整除.
5．證明：1當n=1時，左邊=1-=，右邊==，所以等式成立。
2假設當n=k時，等式成立，
即。
那么，當n=k+1時，
這就是說，當n=k+1時等式也成立。
綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。
6．證明：(1)當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，
42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13
=42k+113+3(42k+1+3k+2?)
∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴當n=k+1時也成立.
由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.
7．證明：（1）當n=2時，右邊=，不等式成立．
（2）假設當時命題成立，即．
則當時，
所以則當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．
8.證明：
（1）當n=2時，，∴命題成立．
（2）假設當時命題成立，即．
則當時，
所以則當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．
9、證明：（1）當n=1時，，不等式成立；
當n=2時，，不等式成立；
當n=3時，，不等式成立．
（2）假設當時不等式成立，即．
則當時，，
∵，∴，（*）
從而，
∴．
即當時，不等式也成立．
由（1），（2）可知，對一切都成立．
高二上冊數(shù)學《數(shù)學歸納法》教學設計
一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助教師緩解教學的壓力，提高教學質(zhì)量。那么，你知道教案要怎么寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡上為大家精心整理了《高二上冊數(shù)學《數(shù)學歸納法》教學設計》，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！
高二上冊數(shù)學《數(shù)學歸納法》教學設計
教材分析：
“數(shù)學歸納法”既是高中數(shù)學中的一種重要的數(shù)學方法。它貫通了高中數(shù)學的幾大知識點：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)……在教學過程中，教師應著力解決的內(nèi)容是：使學生理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用）。只有真正了解了數(shù)學歸納法的實質(zhì)，掌握了證題步驟，學生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關(guān)問題。本節(jié)課是數(shù)學歸納法的第一節(jié)課，有兩大難點：使學生理解數(shù)學歸納法證題的有效性；遞推步驟中歸納假設的利用。不突破以上難點，學生往往會懷疑數(shù)學歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會對以后的學習造成極大的阻礙。根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容和學生實際水平，本節(jié)課采用“引導發(fā)現(xiàn)法”和“講練結(jié)合法”。通過課件的動畫模擬展示，引發(fā)和開啟學生的探究熱情，通過“師生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深層實質(zhì)。
教學目標
1、知識和技能目標
(1)了解數(shù)學推理的常用方法（歸納法）
(2)了解數(shù)學歸納法的原理及使用范圍。
(3)初步掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟和一個結(jié)論。
(4)會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的等式問題。
2、過程與方法目標
通過多米諾骨牌實驗加深對數(shù)學歸納法的原理的理解，使學生理解理論與實際的辨證關(guān)系。在學習中培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識，解決問題和數(shù)學交流的能力,學會用總結(jié)、歸納、演繹類比探求新知識。
3.情感態(tài)度價值觀目標
通過對問題的探究活動，親歷知識的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊涵的數(shù)學思想；體驗探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟“數(shù)學美”，激發(fā)學習熱情，培養(yǎng)他們手腦并用，多思勤練的好習慣和勇于探索的治學精神。初步形成正確的數(shù)學觀，創(chuàng)新意識和科學精神。
教學重點和難點
教學重點：（1）使學生理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)。
（2）掌握數(shù)學歸納法證題步驟,尤其是遞推步驟中歸納假設和恒等變換的運用。
教學難點：
（1）數(shù)學歸納法的原理；
教學方法：講授法、引導發(fā)現(xiàn)法、類比探究法、講練結(jié)合法
教學過程：
（一）:
如何通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？
（二）新課講解
1、多米諾骨牌實驗
要使所有的多米諾骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？
（1）第一張牌被推倒（奠基作用）
（2）任意一張牌倒下必須保證它的下一張牌倒下（遞推作用）
于是可以獲得結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下。
2、類比總結(jié)（板書）
板書例1
引導學生總結(jié)數(shù)學歸納法步驟：
第二步的證明沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法
注意：遞推基礎不可少，
歸納假設要用到，
結(jié)論寫明莫忘掉。
用數(shù)學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：
①明確首取值n0并驗證真假。（必不可少）
②“假設n=k時命題正確”并寫出命題形式。
③分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時
命題形式的差別。弄清左端應增加的項。
④明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因
式分解、添拆項、配方等，并用上假設。
課堂練習
①用數(shù)學歸納法證明：在驗證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（C）
A．1B.C．D.
②用數(shù)學歸納法證明命題時，假設那么
③課本37頁練習1,2,3
（三）、課堂小結(jié)
1、數(shù)學歸納法能夠解決哪一類問題？
一般被應用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題
2、數(shù)學歸納法證明命題的步驟是什么？
兩個步驟和一個結(jié)論，缺一不可
3、數(shù)學歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？
關(guān)鍵在第二步，即歸納假設要用到，解題目標要明確
4、數(shù)學歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？
遞推思想，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題
注意類比思想的運用
（四）、作業(yè):39頁習題2-3A組1,2,3
（五）、板書設計:
數(shù)學歸納法（一）例1：……學生板演
數(shù)學歸納法：證明：…………
1.…………
2.……
…………
