小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教案

高二數(shù)學(xué)教案：《算法的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)。

高二數(shù)學(xué)教案：《算法的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解算法的含義，體會(huì)算法的思想；

2.能夠用自然語(yǔ)言敘述算法，知道正確的算法應(yīng)滿足的要求；

3.會(huì)寫(xiě)出數(shù)值性計(jì)算的算法問(wèn)題和解線性方程（組）的算法；

【新知自學(xué)】

問(wèn)題1.你知道在家里燒開(kāi)水的基本過(guò)程嗎？

問(wèn)題2.兩個(gè)大人和兩個(gè)小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次最多能渡1 個(gè)大人或兩個(gè)小孩，他們四人都會(huì)劃船，但都不會(huì)游泳。試問(wèn)他們?cè)鯓佣蛇^(guò)河去？

請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)渡河方案。

問(wèn)題3.猜物品的價(jià)格游戲：

現(xiàn)在一商品，價(jià)格在0~8000元之間，解決這一問(wèn)題有什么策略？

新知梳理：

1.算法的概念：

數(shù)學(xué)中的算法通常是指；

現(xiàn)代算法通常是指.

2.算法與 計(jì)算機(jī)

計(jì)算機(jī)解決任何問(wèn)題都要依賴于 ，只有將解決問(wèn)題的過(guò)程分解為若干個(gè) ，即算法，并用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語(yǔ)言”準(zhǔn)確地描述出來(lái)，計(jì)算機(jī)才能解決問(wèn)題.

3.算法的特點(diǎn)：

（1）確定性；（2）有限性；（3）普遍性；（4）不唯一性.

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：1. 下列關(guān)于算法的描述正確的是（ ）

A.算法與求解一個(gè)問(wèn)題的方法相同

B.算法只能解決一個(gè)問(wèn)題，不能重復(fù)使用

C.算法過(guò)程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切

D.有的算法執(zhí)行完以后，可能沒(méi)有結(jié)果.

2.下列可以看成算法的是（ ）

A.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí) ，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽(tīng)講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題

B.今天餐廳的飯真好吃

C.這道數(shù)學(xué)題難做

D.方程 無(wú)實(shí)數(shù)根

3.下列各式的值不能用算法求解的是（）

A.

B.

C.

D.

【合作探究】

典例精析

例題1.給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法.

變式練習(xí)：1.給出求1+2+3+…+10 0的一個(gè)算法.

例題2．寫(xiě)出解方程 的一個(gè)算法.

變式練習(xí)：2.寫(xiě)出解方程組 的一個(gè)算法.

例題3.設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題2的算法.

變式練習(xí)：3.一位商人有9枚銀元，其中有1枚略輕的是假銀元，你能用天平（無(wú)砝碼）將假銀元找出來(lái)嗎？試寫(xiě)出一個(gè)算法.

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.下列關(guān)于算法的敘述中，不正確的是（ ）

A.計(jì)算機(jī)解決任何問(wèn)題都需要算法

B.只有將要解決的問(wèn)題分解為若干步驟，并且用計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別的語(yǔ)言描述出來(lái)，計(jì)算機(jī)才能解決問(wèn)題

C.算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果

D.解決同一個(gè)問(wèn)題的算法并不唯一，而且每一個(gè)算法都要一步一步執(zhí)行，每一步都要產(chǎn)生確切的結(jié)果

2.下列敘述能稱為算法的個(gè)數(shù)為（ ）

①植樹(shù)需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟.

②順序進(jìn)行下列運(yùn)算： ， ， ， .

③從棗莊乘火車(chē)到徐州，從徐州乘飛機(jī)到廣州.

④求所有能被3整除的正數(shù)，即3,6,9,12，….

3.求 的值的一個(gè)算法是：

第一步：求 得到結(jié)果3；

第二步：將第一步所得結(jié)果3乘5，得到結(jié)果15；

第三步： &nb

第四步：再將105乘9得到945；

第五步：再將945乘11，得到10395，即為最后結(jié)果.

【課時(shí)作業(yè)】

1.下列關(guān)于算法的說(shuō)法，正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①求解某一問(wèn)題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

2.關(guān)于方程 的求根問(wèn)題，下列說(shuō)法正確的是（ ）[工作總結(jié)之家 DG15.COm]

A.只能設(shè)計(jì)一種算法

B.可以設(shè)計(jì)兩種算法

C.不能 設(shè)計(jì)算法

D.不能根據(jù)解題過(guò)程設(shè)計(jì)算法

3.早上從起床到出門(mén)需要洗臉?biāo)⒀溃?分鐘）、刷水壺（2分鐘）、燒水（8分鐘）、泡面（3分鐘）、吃飯（10分鐘）、聽(tīng)廣播（8分鐘）幾個(gè)步驟.從下列選項(xiàng)中選 出最好的 一種算法.

A.第一步洗臉?biāo)⒀?、第二步刷水壺、第三步燒水、第四步泡面、第五步吃飯、第六步?tīng)廣播

B.第一步刷水壺、第二步燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第三步泡面、第四步吃飯、第五步?tīng)廣播

C.第一步刷水壺、第二步燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第三步泡面、第四步吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播

D.第一步吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播、第二步泡面、第三步燒水 同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、第四步刷水?/p>

4.給出下列算法：

第一步，輸入 的值.

第二步，當(dāng) 時(shí)，計(jì)算 ；否則執(zhí)行下一步.

第三步，計(jì)算 .

第四步 ，輸出 .

當(dāng)輸入 時(shí)，輸出 = .

5.求二次函數(shù) 的最值的一個(gè)算法如下，請(qǐng)將其補(bǔ)充完整：

第一步，計(jì)算 .

第二步， .

第三步， .

6.一般一元二次方程組

（其中 ）的求解步驟（參照課本填空）

第一步，

第二步，

第三步，

第四步，

第五步， 　．

7. 寫(xiě)出判斷整數(shù) 是否為質(zhì)數(shù)的算法．

8.已知直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn) ， ，寫(xiě)出求直線 的方程的一個(gè)算法.

9.寫(xiě)出求 中最小值的算法.

延伸閱讀

算法的概念

課題：算法的概念
教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：了解算法。分析算法。2、能力目標(biāo)：體驗(yàn)程序的獨(dú)特魅力，了解編程加工的內(nèi)在機(jī)制，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。3、情感目標(biāo)：通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)信息的加工，激發(fā)學(xué)生的興趣，增加學(xué)生的成就感。
重點(diǎn)：如何分析算法，算法的概念，算法的表示
難點(diǎn)：如何寫(xiě)算法。理解用算法描述實(shí)際問(wèn)題，理解人的思維在計(jì)算機(jī)工作中發(fā)揮的作用。
教學(xué)方法：講授法，演示法，歸納法
教學(xué)反思：
教學(xué)過(guò)程
一、導(dǎo)入
在學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)時(shí)，既要掌握所使用的某種計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言如PASCAL語(yǔ)言，更好掌握解題的方法和步驟，這是程序設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵。語(yǔ)言只是一個(gè)工具，只懂得語(yǔ)言的規(guī)則并不能編制出有效的高質(zhì)量的程序，下面所講座的算法，就是研究解題的步驟和方法，這是編程的基礎(chǔ)，同時(shí)也是我們解數(shù)理化題的基礎(chǔ)。
著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家沃思提出一個(gè)公式:
??數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)+算法=程序
二新授
什么是算法：廣義地說(shuō)，為解決一個(gè)問(wèn)題而采取的方法和步驟，就稱為“算法”。
或者說(shuō)：算法是解題方法的精確描述。解決一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，就是實(shí)現(xiàn)一個(gè)算法的過(guò)程。
1．做任何事情都有一定的步驟。例如要計(jì)算

的值，無(wú)論手算，心算，或用算盤(pán)，計(jì)算器計(jì)算，都要經(jīng)過(guò)有限的事先設(shè)計(jì)好的步驟。
2、對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，往往有不同的解題方法和步驟
如

方法1：順序計(jì)算1-1/2+1/3-1/4+1/5……+1/99-1/100，一直加到100加99次
方法2：先計(jì)算+，再計(jì)算減，即1+1/3+1/5……+1/99，1/2+1/4+1/6……+1/100當(dāng)然各種方法有優(yōu)劣之分。
3、不僅數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題要研究算法，實(shí)際上，做任何事情。都需要事先設(shè)想好的步驟和方法，這就是算法。
計(jì)算機(jī)算法可分為兩大類別：
數(shù)值運(yùn)算
非數(shù)值運(yùn)算
數(shù)值運(yùn)算舉例：求數(shù)值解，例如求方程的根、求函數(shù)的定積分等。
非數(shù)值運(yùn)算舉例：人名排序，圖書(shū)資料檢索等.
三、簡(jiǎn)單算法舉例
為了理解如何設(shè)計(jì)算法，下面舉幾個(gè)算法的簡(jiǎn)單例子。

[例1]有兩個(gè)杯子A和B，分別盛有果汁和酒，要求將這兩個(gè)杯子進(jìn)行互換。
（請(qǐng)學(xué)生回答，并要求說(shuō)清楚明確的步驟）
學(xué)生所回答的步驟就是算法的描述：
根據(jù)常識(shí)，必須增加一個(gè)空杯C作為過(guò)渡。
其算法表示
步驟1：先將A杯中的果汁倒在C杯中；
步驟2：再講B杯中的酒倒在A杯中；
步驟3：最后將C杯中的果汁倒在B杯中。
此問(wèn)題可以抽象為數(shù)值運(yùn)算中的交換兩個(gè)變量的值，簡(jiǎn)化為：
①A→C
②B→A
③C→B

[例2]從十個(gè)數(shù)中挑選出最大的數(shù)。
創(chuàng)設(shè)情景：這個(gè)問(wèn)題的思路可以用“打描臺(tái)”來(lái)比喻。第一個(gè)同學(xué)先上講臺(tái)，然后第二個(gè)同學(xué)上去比試，勝者（個(gè)子高的）留在講臺(tái)上，依次輪流，一直到第十個(gè)人比完為止（）一共九次）最后留在講臺(tái)上的同學(xué)就是勝者（個(gè)子最高的同學(xué)）。
算法描述：
1．先任選一個(gè)數(shù)放在變量A中；
2．將第二個(gè)數(shù)與變量A中的數(shù)進(jìn)行比較，大者放在變量A中；
3．再將第三個(gè)數(shù)與變量A中的數(shù)進(jìn)行比較，大者放在變量A中；
：
：
：
10．最后將第十個(gè)數(shù)與變量A中的數(shù)進(jìn)行比較，大者放在變量A中。

這樣寫(xiě)算法雖然正確，但是太煩瑣了，可以簡(jiǎn)化為如下：
1．?dāng)?shù)X→A，計(jì)數(shù)器0→N；
2．下一個(gè)數(shù)Y與A比較，大者→A；
3．N+1→N；（增加一次比較次數(shù)）
4．若N﹤9，執(zhí)行第2步，否則停止循環(huán)，此時(shí)A中的數(shù)最大。
顯然，用“循環(huán)”表示的算法比較簡(jiǎn)練。
如果題目要求改為“從1000個(gè)數(shù)中挑選最大者”，只許需要將算法里面的第4步中的“9”改為“999”即可。

[例3]求兩個(gè)正整數(shù)m和n的最大公約數(shù)。
解題之前介紹“輾轉(zhuǎn)相除法”求最大公約數(shù)的方法?！拜氜D(zhuǎn)”就字面意思來(lái)講是翻來(lái)覆去的意思，因此“輾轉(zhuǎn)相除法”的格式可以形象地表示為：
將m和n賦具體值，m=60，n=14，板書(shū)具體求解方法。
用m作被除數(shù)，n作除數(shù)，r做余數(shù)。
具體方法（算法）為：
①求m/n的余數(shù)r；
②若r=0，則n為最大公約數(shù)，若r≠0，執(zhí)行第③步；
③將n→m，將r→n中；
④返回重新執(zhí)行第①步。
注意：如果事先不知道M,N兩個(gè)數(shù)誰(shuí)大誰(shuí)小，應(yīng)（可）在第一步之前增加一個(gè)步驟，比較一下兩個(gè)數(shù)的大小，大數(shù)在m中，小數(shù)在n中。

四、算法的特性
1、有窮性：一個(gè)算法應(yīng)該包含有限個(gè)操作步驟，而不能是無(wú)限的。
2、確定性：算法的每個(gè)步驟都應(yīng)該是明確無(wú)誤的，不能含義模糊，使執(zhí)行者無(wú)所適從。
3、有零個(gè)或者多個(gè)輸入
4、有一個(gè)或者多個(gè)輸出
5、有效性：算法中的每一步都應(yīng)該能有效地執(zhí)行，執(zhí)行算法最后應(yīng)該能得到確定的結(jié)果。

五、歸納總結(jié)
算法的概念；
算法的描述；
算法的特性：
有窮性：包含有限的操作步驟
確定性：算法中的每一個(gè)步驟都應(yīng)當(dāng)是確定的
有零個(gè)或多個(gè)輸入：輸入是指在執(zhí)行算法時(shí)需要從外界取得必要的信息
有一個(gè)或多個(gè)輸出：算法的目的是為了求解，“解”就是輸出
有效性：算法中的每一個(gè)步驟都應(yīng)當(dāng)能有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果。
對(duì)于程序設(shè)計(jì)人員來(lái)說(shuō)，我們不僅要會(huì)使用現(xiàn)成的算法，還要會(huì)設(shè)計(jì)算法，即要設(shè)計(jì)出算法中的每一個(gè)步驟。

六、練習(xí)
①用輾轉(zhuǎn)相除法求324和180的最大公約數(shù)。

七、板書(shū)設(shè)計(jì)

八、課后記

高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)

高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能

⑴理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析；

⑵基本能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫(xiě)出算法程序.

2、過(guò)程與方法

在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)比我們常見(jiàn)的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟.

3、情感與價(jià)值觀

⑴通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).

⑵在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法的過(guò)程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.

難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言.

三、教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入課題

1.研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的算法，主要從哪幾方面展開(kāi)？

算法步驟、程序框圖和編寫(xiě)程序三方面展開(kāi).

2.在程序框圖中算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)有哪幾種？

順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

3.在程序設(shè)計(jì)中基本的算法語(yǔ)句有哪幾種？

輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句

4.思考1:18與30的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？

5.思考2:對(duì)于8251與6105這兩個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？

由于它們公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.有沒(méi)有其它的方法可以較簡(jiǎn)單的找出它們的最大公約數(shù)呢？

（板書(shū)課題）

（二）師生互動(dòng)、探究新知

1.輾轉(zhuǎn)相除法

思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？

我們發(fā)現(xiàn)6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.

思考4：重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)嗎？

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法，也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.

利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

第二步：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

第三步：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

……

依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù).

思考5:你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個(gè)計(jì)算機(jī)程序嗎？

第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).

第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.

第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

INPUTm，n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

思考6:如果用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？

INPUTm，n

WHILEn0

r=mMODn

m=n

n=r

WEND

PRINTm

END

2.更相減損術(shù)

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.”

翻譯出來(lái)為：

第一步：任意給出兩個(gè)正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步.

第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).

例1（課本P36例1）用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98與63的最大公約數(shù)是7。

練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12）

（三）講練結(jié)合，鞏固提高

例2：分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求168與93的最大公約數(shù).

輾轉(zhuǎn)相除法：

168=93×1+75，

93=75×1+18，

75=18×4+3，

18=3×6.

更相減損術(shù):

168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.

例3：求325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

因?yàn)?25=130×2+65，130=65×2，所以325與130的最大公約數(shù)是65.

因?yàn)?70=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65與270最大公約數(shù)是5.

故325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是5.

練習(xí):用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？

第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).

第二步，計(jì)算m-n所得的差k.

第三步，比較n與k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

討論:該算法的程序框圖如何表示？

討論:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述？

（四）小結(jié)

1、輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止，這時(shí)的較小的數(shù)即為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

2、更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)即為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

（五）布置作業(yè)

P45練習(xí)：1題.

P48習(xí)題1.3A組：1題

§1.1.1算法的概念

§1.1.1算法的概念

【教學(xué)目標(biāo)】：

（1）了解算法的含義，體會(huì)算法的思想。

（2）能夠用自然語(yǔ)言敘述算法。

（3）掌握正確的算法應(yīng)滿足的要求。

（4）會(huì)寫(xiě)出解線性方程（組）的算法。

（5）會(huì)寫(xiě)出一個(gè)求有限整數(shù)序列中的最大值的算法。

【教學(xué)重點(diǎn)】算法的含義、解二元一次方程組和判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。.

【教學(xué)難點(diǎn)】把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為算法語(yǔ)言。.

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

學(xué)法：

1、寫(xiě)出的算法，必須能解決一類問(wèn)題(如：判斷一個(gè)整數(shù)n(n1)是否為質(zhì)數(shù)；求任意一個(gè)方程的近似解；……)，并且能夠重復(fù)使用。

2、要使算法盡量簡(jiǎn)單、步驟盡量少。
3、要保證算法正確，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行，如：讓計(jì)算機(jī)計(jì)算1×2×3×4×5是可以做到的，但讓計(jì)算機(jī)去執(zhí)行“倒一杯水”“替我理發(fā)”等則是做不到的。

教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)，TI-voyage200圖形計(jì)算器

【教學(xué)過(guò)程】

一、本章章頭圖說(shuō)明

章頭圖體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的聯(lián)系，它們的基礎(chǔ)都是“算法”。

算法作為一個(gè)名詞，在中學(xué)教科書(shū)中并沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)，我們?cè)诨A(chǔ)教育階段還沒(méi)有接觸算法概念。但是我們卻從小學(xué)就開(kāi)始接觸算法，熟悉許多問(wèn)題的算法。如，做四則運(yùn)算要先乘除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具體體現(xiàn)。廣義地說(shuō)，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書(shū)是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法，即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問(wèn)題的程序。

古代的計(jì)算工具：算籌與算盤(pán).

20世紀(jì)最偉大的發(fā)明：計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)是強(qiáng)大的實(shí)現(xiàn)各種算法的工具。

例1：解二元一次方程組：

分析：解二元一次方程組的主要思想是消元的思想，有代入消元和加減消元兩種消元的方法，下面用加減消元法寫(xiě)出它的求解過(guò)程.

解：第一步：②-①×2，得：5y=3；③

第二步：解③得；

第三步：將代入①，得.

學(xué)生探究：對(duì)于一般的二元一次方程組來(lái)說(shuō)，上述步驟應(yīng)該怎樣進(jìn)一步完善？
老師評(píng)析：本題的算法是由加減消元法求解的，這個(gè)算法也適合一般的二元一次方程組的解法。下面寫(xiě)出求方程組的解的算法：

例2：寫(xiě)出求方程組的解的算法.

解：第一步：②×a1-①×a2，得：③

第二步：解③得；

第三步：將代入①，得

利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示：（吸引學(xué)生的注意力）

運(yùn)行結(jié)果：

（其中輸入a1=1,b1=-2,m1=-1,a2=2

b2=1,m2=1，當(dāng)然可輸入其它數(shù)值)

算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

說(shuō)明：

1.“算法”沒(méi)有一個(gè)精確化的定義，教科書(shū)只對(duì)它作了描述性的說(shuō)明.

2.算法的特點(diǎn):

(1)有限性：

一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的.

(2)確定性：

算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：

算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.

(4)不唯一性：

求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

(5)普遍性：

很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

例題講評(píng)：

例3、任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)做出判斷.

分析：（1）質(zhì)數(shù)是只能被1和自身整除的大于1的整數(shù).

（2）要判斷一個(gè)大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)，只要根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，用比這個(gè)整數(shù)小的數(shù)去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)便是質(zhì)數(shù).

解：算法：

第一步：判斷n是否等于2.若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n＞2，則執(zhí)行第二步.

第二步：依次從2~（n-1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù).若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒(méi)有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù).

說(shuō)明：本算法是用自然語(yǔ)言的形式描述的.設(shè)計(jì)算法一定要做到以下要求：

（1）寫(xiě)出的算法必須能解決一類問(wèn)題，并且能夠重復(fù)使用.

（2）要使算法盡量簡(jiǎn)單、步驟盡量少.

（3）要保證算法正確，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行.

利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示：(學(xué)生已經(jīng)被吸引住了)

運(yùn)行例4、.用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求方程的近似根的算法.

分析：該算法實(shí)質(zhì)是求的近似值的一個(gè)最基本的方法.

解：設(shè)所求近似根與精確解的差的絕對(duì)值不超過(guò)0.005，算法：

第一步：令.因?yàn)椋栽O(shè)x1=1，x2=2.

第二步：令，判斷f（m）是否為0.若是，則m為所求；若否，則繼續(xù)判斷大于0還是小于0.

第三步：若，則x1=m；否則，令x2=m.

第四步：判斷是否成立？若是，則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步.

說(shuō)明：按以上步驟，我們將依次得到課本第4頁(yè)的表1-1和圖1.1-1.于是，開(kāi)區(qū)間（1.4140625，1.41796875）中的實(shí)數(shù)都滿足假設(shè)條件的原方程是近似根.運(yùn)行結(jié)果：

練習(xí)1：

寫(xiě)出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法。

解：算法1：

第一步：移項(xiàng)，得x2－2x－3＝0；①

第二步：①式兩邊同加1并配方，得（x－1）2＝4；②

第三步：②式兩邊開(kāi)方，得x－1＝±2；③

第四步：解③得x＝3或x＝－1。

算法2：

第一步：計(jì)算方程的判別式判斷其符號(hào)△＝22＋4×3＝16＞0；

第二步：將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，

得x1＝3，x2＝－1

評(píng)析：比較兩種算法，算法2更簡(jiǎn)單，步驟少，所以利用公式解決問(wèn)題是最理想、合算的算法。因此在尋求算法的過(guò)程中，首先是利用公式。

下面設(shè)計(jì)一個(gè)求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下：

第一步：計(jì)算△＝b2＋4ac；

第二步：若△＜0；

第三步：輸出方程無(wú)實(shí)根；

第四步：若△≥0；

第五步：計(jì)算并輸出方程根x1,2＝。

練習(xí)2、求1×3×5×7×9×11的值，寫(xiě)出其算法。
第一步，先求1×3，得到結(jié)果3；
第二步，將第一步所得結(jié)果3再乘以5，得到結(jié)果15；
第三步，再將15乘以7，得到結(jié)果105；
第四步，再將105乘以9，得到945；
第五步，再將945乘以11，得到10395，即是最后結(jié)果。

評(píng)析：求解某個(gè)問(wèn)題的算法不同于求解一個(gè)具體問(wèn)題的方法，算法必須能夠解決一類問(wèn)題，并且能夠重復(fù)使用；算法過(guò)程要能一步一步地執(zhí)行，每一步操作必須確切，能在有限步后得出結(jié)果。

練習(xí)3、有藍(lán)和黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，請(qǐng)你設(shè)計(jì)算法解決這一問(wèn)題。

分析：由于兩個(gè)墨水瓶中的墨水不能直接交換，故可以考慮通過(guò)引入第三個(gè)空墨水瓶的辦法進(jìn)行交換。

解：算法步驟如下：

第一步：取一只空的墨水瓶，設(shè)其為白色；

第二步：將黑墨水瓶中的藍(lán)墨水裝入白瓶中；

第三步：將藍(lán)墨水瓶中的黑墨水裝入黑瓶中；

第四步：將白瓶中的藍(lán)墨水裝入藍(lán)瓶中；

第五步：交換結(jié)束。

評(píng)析：對(duì)于這種非數(shù)值性問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)首先建立過(guò)程模型，根據(jù)過(guò)程設(shè)計(jì)步驟，完成算法。

小結(jié)

1、算法概念和算法的基本思想

（1）算法與一般意義上具體問(wèn)題的解法的聯(lián)系與區(qū)別；

（2）算法的五個(gè)特征。

2、利用算法的思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題，能寫(xiě)出一此簡(jiǎn)單問(wèn)題的算法

3、兩類算法問(wèn)題

（1）數(shù)值性計(jì)算問(wèn)題，如：解方程（或方程組），解不等式（或不等式組），套用公式判斷性的問(wèn)題，累加，累乘等一類問(wèn)題的算法描述，可通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型借助一般數(shù)學(xué)計(jì)算方法，分解成清晰的步驟，使之條理化即可。

（2）非數(shù)值性計(jì)算問(wèn)題，如：排序、查找、變量變換、文字處理等需先建立過(guò)程模型，通過(guò)模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述。

4、利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示時(shí)，開(kāi)始學(xué)生看，想，探究，然后模范、創(chuàng)新。圖形計(jì)算器為學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)自我發(fā)揮的平臺(tái)。

作業(yè)：（課本第4頁(yè)練習(xí)）

1、任意給定一個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求以這個(gè)數(shù)為半徑的圓的面積.

解：算法步驟：

第一步：輸入任意一個(gè)正實(shí)數(shù)r；

第二步：計(jì)算以r為半徑的圓的面積：；

第三步：輸出圓的面積S.

2、任意給定一個(gè)大于1的正整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求出n的所有因數(shù).

解：算法步驟：

第一步：依次以2～（n-1）為除數(shù)去除n，檢查余數(shù)是否為0.若是，則是n的因數(shù)；若不是，則不是n的因數(shù)；

第二步：在n的因數(shù)中加入1和n；

第三步：輸出n的所有因數(shù).

運(yùn)行結(jié)果：

（即32的公因數(shù)為1，2，4，8，16，32）

高二數(shù)學(xué)集合的概念教案3

一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么如何寫(xiě)好我們的教案呢？小編收集并整理了“高二數(shù)學(xué)集合的概念教案3”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

第1課時(shí)集合的概念
一、集合
1．集合是一個(gè)不能定義的原始概念，描述性定義為：某些指定的對(duì)象就成為一個(gè)集合，簡(jiǎn)稱．集合中的每一個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的．
2．集合中的元素屬性具有：
(1)確定性；(2)；(3)．
3．集合的表示法常用的有、和韋恩圖法三種，有限集常用，無(wú)限集常用，圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系．
二、元素與集合的關(guān)系
4．元素與集合是屬于和的從屬關(guān)系，若a是集合A的元素，記作，若a不是集合B的元素，記作．但是要注意元素與集合是相對(duì)而言的．
三、集合與集合的關(guān)系
5．集合與集合的關(guān)系用符號(hào)表示．
6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就說(shuō)集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），記作．
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同時(shí)集合B中都是集合A的元素，就說(shuō)集合A等于集合B，記作．
8．真子集：如果就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作．
9．若集合A含有n個(gè)元素，則A的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
10．空集是一個(gè)特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解題時(shí)不可忽視．

例1.已知集合，試求集合的所有子集.
例2.
例2.設(shè)集合，，，求實(shí)數(shù)a的值.

例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.?（1）若A是空集，求m的取值范圍；?（2）若A中只有一個(gè)元素，求m的值；?（3）若A中至多只有一個(gè)元素，求m的取值范圍.?

例4.若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、}，且A∩B＝{2，5}，試求實(shí)數(shù)的值．

變式訓(xùn)練1.若a,bR,集合求b-a的值.

變式訓(xùn)練2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。

變式訓(xùn)練3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求實(shí)數(shù)a的值；?
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.?

變式訓(xùn)練4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，}，其中a≠0，若A＝B，求q的值

1．本節(jié)的重點(diǎn)是集合的基本概念和表示方法，對(duì)集合的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)給定的集合，確定集合的元素，并真正認(rèn)識(shí)集合中元素的屬性，特別要注意代表元素的形式，不要將點(diǎn)集和數(shù)集混淆．
2．利用相等集合的定義解題時(shí)，特別要注意集合中元素的互異性，對(duì)計(jì)算的結(jié)果要加以檢驗(yàn)．
3．注意空集φ的特殊性，在解題時(shí)，若未指明集合非空，則要考慮到集合為空集的可能性．
4．要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，如化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應(yīng)用．