小學數學數學教案

高二數學教案：《平面向量的坐標表示》教學設計。

高二數學教案：《平面向量的坐標表示》教學設計

一、學情分析

本節(jié)課是在學生已學知識的基礎上進行展開學習的，也是對以前所學知識的鞏固和發(fā)展，但對學生的知識準備情況來看，學生對相關基礎知識掌握情況是很好，所以在復習時要及時對學生相關知識進行提問，然后開展對本節(jié)課的鞏固性復習。而本節(jié)課學生會遇到的困難有：數軸、坐標的表示；平面向量的坐標表示；平面向量的坐標運算。

二、考綱要求

1.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

3.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.

4.能用坐標表示兩個向量的夾角,理解用坐標表示的平面向量垂直的條件.

三、教學過程

(一) 知識梳理:

1.向量坐標的求法

(1)若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝_________________

| |＝_______________

（二）平面向量坐標運算

1．向量加法、減法、數乘向量

設 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，則

+ ＝ － ＝ λ ＝ ．

2.向量平行的坐標表示

設 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，則 ∥ ?________________.

（三）核心考點·習題演練

考點1.平面向量的坐標運算

例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設 (1)求3 + -3 ;

(2)求滿足 =m +n 的實數m,n;

練：（2015江蘇,6)已知向量 =(2,1), =(1,-2),若m +n =(9,-8)

(m,n∈R),則m-n的值為　.

考點2平面向量共線的坐標表示

例2:平面內給定三個向量 =(3,2), =(-1,2), =(4,1)

若( +k )∥(2 - ),求實數k的值;

練：(2015，四川，4)已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4).若λ為實數,( +λ )∥ ,則λ= ()

思考:向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用?

方法總結:

1.向量共線的兩種表示形式

設a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應用②.

2.兩向量共線的充要條件的作用

判斷兩向量是否共線(平行的問題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數的值.

考點3平面向量數量積的坐標運算

例3“已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,

則 的值為　; 的最大值為　.

【提示】解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可建立直角坐標系利用向量的數量積的坐標表示來運算，這樣可以使數量積的運算變得簡捷.

練：(2014,安徽，13）設 =(1,2)

, =(1,1), = +k .若 ⊥ ,則實數k的值等于()

【思考】兩非零向量 ⊥ 的充要條件: · =0?　.

解題心得:

(1)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.

(2)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可建立直角坐標系利用向量的數量積的坐標表示來運算，這樣可以使數量積的運算變得簡捷.

(3)兩非零向量a⊥b的充要條件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.

考點4：平面向量模的坐標表示

例4：(2015湖南,理8)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC,若點P的坐標為(2,0),則 的最大值為()

A.6 B.7 C.8 D.9

練：（2016，上海，12）

在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線上一個動點，則 的取值范圍是？

解題心得:

求向量的模的方法:

(1)公式法,利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;

(2)幾何法,利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解..

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年級高一學科數學課題平面向量坐標表示
授課時間撰寫人
學習重點平面向量的坐標運算．

學習難點對平面向量坐標運算的理解
學習目標
1.會用坐標表示平面向量的加減與數乘運算；
2.能用兩端點的坐標，求所構造向量的坐標；

教學過程
一自主學習
思考1：設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據向量的線性運算性質，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據向量的坐標表示，向量＋，－，λ的坐標分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個向量和與差的坐標運算法則：
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.
實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.
思考3：已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標如何？

二師生互動
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點，，，試求頂點的坐標.

變式：若與的交點為，試求點的坐標.

練1.已知向量的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點的坐標，求，的坐標.
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點的坐標為，則的坐標為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設點，，且
，則點的坐標為.
5.作用于原點的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點B的坐標為__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點，及，，，求點、、的坐標。

四課后反思

五課后鞏固練習
1.若點、、，且，，則點的坐標為多少？點的坐標為多少？向量的坐標為多少？

2.已知向量，，，試用來表示.

高二數學《平面向量的坐標表示》復習課教案

高二數學《平面向量的坐標表示》復習課教案

一、學情分析
本節(jié)課是在學生已學知識的基礎上進行展開學習的，也是對以前所學知識的鞏固和發(fā)展，但對學生的知識準備情況來看，學生對相關基礎知識掌握情況是很好，所以在復習時要及時對學生相關知識進行提問，然后開展對本節(jié)課的鞏固性復習。而本節(jié)課學生會遇到的困難有：數軸、坐標的表示；平面向量的坐標表示；平面向量的坐標運算。
二、考綱要求
1.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.
2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
3.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.
4.能用坐標表示兩個向量的夾角,理解用坐標表示的平面向量垂直的條件.
三、教學過程
(一)知識梳理:
1.向量坐標的求法
(1)若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＝_________________
||＝_______________
（二）平面向量坐標運算
1．向量加法、減法、數乘向量
設＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則
+＝－＝λ＝．
2.向量平行的坐標表示
設＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則∥________________.

（三）核心考點·習題演練
考點1.平面向量的坐標運算
例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(1)求3+-3;
(2)求滿足=m+n的實數m,n;
練：（2015江蘇,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)
(m,n∈R),則m-n的值為.
考點2平面向量共線的坐標表示
例2:平面內給定三個向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)
若(+k)∥(2-),求實數k的值;
練：(2015，四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ為實數,(+λ)∥,則λ=()
思考:向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用?
方法總結:
1.向量共線的兩種表示形式
設a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥ba=λb(b≠0);②a∥bx1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標的應用②.
2.兩向量共線的充要條件的作用
判斷兩向量是否共線(平行的問題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數的值.
考點3平面向量數量積的坐標運算
例3“已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,
則的值為;的最大值為.
【提示】解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可建立直角坐標系利用向量的數量積的坐標表示來運算，這樣可以使數量積的運算變得簡捷.
練：(2014,安徽，13）設=(1,2),=(1,1),=+k.若⊥,則實數k的值等于()

【思考】兩非零向量⊥的充要條件:·=0.
解題心得:
(1)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.
(2)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可建立直角坐標系利用向量的數量積的坐標表示來運算，這樣可以使數量積的運算變得簡捷.
(3)兩非零向量a⊥b的充要條件:a·b=0x1x2+y1y2=0.
考點4：平面向量模的坐標表示
例4：(2015湖南,理8)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC,若點P的坐標為(2,0),則的最大值為()
A.6B.7C.8D.9
練：（2016，上海，12）
在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線上一個動點，則的取值范圍是？
解題心得:
求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;
(2)幾何法,利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解..
五、課后作業(yè)（課后習題1、2題）

平面向量共線的坐標表示

平面向量共線的坐標表示
教學目的：
（1）理解平面向量的坐標的概念；
（2）掌握平面向量的坐標運算；
（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.
教學重點：平面向量的坐標運算
教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性
授課類型：新授課
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1．平面向量的坐標表示
分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得
把叫做向量的（直角）坐標，記作
其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，特別地，，，.
2．平面向量的坐標運算
若，，
則，，.
若，，則
二、講解新課：
∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0
設=(x1，y1)，=(x2，y2)其中.
由=λ得，(x1，y1)=λ(x2，y2)消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵∴x2，y2中至少有一個不為0
（2）充要條件不能寫成∵x1，x2有可能為0
(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥()
三、講解范例：
例1已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.
例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.
例4若向量=(-1，x)與=(-x，2)共線且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)與=(-x，2)共線∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=±∵與方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？
解：∵=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，=(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴∥
又∵=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，=(2，4)，2×4-2×60∴與不平行
∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD
四、課堂練習：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）?
A.-3B.-1C.1D.3
3.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).與共線，則x、y的值可能分別為（）
A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.
6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.
五、小結（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設計（略）
八、課后記：

平面向量的坐標表示

總課題向量的坐標表示總課時第23課時
分課題平面向量的坐標運算分課時第2課時
教學目標掌握平面向量的坐標表示及坐標運算
重點難點掌握平面向量的坐標表示及坐標運算；平面向量坐標表示的理解
引入新課
1、在直角坐標平面內一點是如何表示的？。
2、以原點為起點，為終點，能不能也用坐標來表示呢？例：
3、平面向量的坐標表示。

4、平面向量的坐標運算。
已知、、實數，那么
；；。
例題剖析
例1、如圖，已知是坐標原點，點在第一象限，，，求向量的坐標。

例2、如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標。

例3、用向量的坐標運算解：如圖，質量為的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為，求斜面對物體的摩擦力。

例4、已知，，是直線上一點，且，求點的坐標。
鞏固練習
1、與向量平行的單位向量為（）
、、、或、

2、已知是坐標原點，點在第二象限，，，求向量的坐標。

3、已知四邊形的頂點分別為，，，，求向量，的坐標，并證明四邊形是平行四邊形。
4、已知作用在原點的三個力，，，求它們的合力的坐標。
5、已知是坐標原點，，，且，求的坐標。
課堂小結
平面向量的坐標表示；平面向量的坐標運算。
課后訓練
班級：高一（）班姓名__________
一、基礎題
1、若向量，，則，的坐標分別為（）
、，、，、，、，
2、已知，終點坐標是，則起點坐標是。
3、已知，，向量與相等.則。
4、已知點，，，則。
5、已知的終點在以，為端點的線段上，則的最大值和最小值分別等于。
6、已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為，，，求第四個頂點的坐標。

7、已知向量，，點為坐標原點，若向量，，求向量的坐標。

8、已知點，及，，求點，和的坐標。

三、能力題
9、已知點，，，若點滿足，
當為何值時：（1）點在直線上？（2）點在第四象限內？