高中向量的教案

平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算。

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家收集的“平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算”供您參考，希望能夠幫助到大家。

平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算
教學(xué)目的：
（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；
（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.
授課類型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
二、講解新課：
1．平面向量的坐標(biāo)表示
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得
…………○1
我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作
…………○2
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，○2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.
特別地，，，.
如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定.
設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示.
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）若，，則，
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
設(shè)基底為、，則
即，同理可得
（2）若，，則
一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).
==(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)
（3）若和實(shí)數(shù)，則.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
設(shè)基底為、，則，即
三、講解范例：
例1已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標(biāo).
例2已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).
例3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn).
解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由得D1=(2，2)
當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(6，0)
例4已知三個力(3，4)，(2，5)，(x，y)的合力++=，求的坐標(biāo).
解：由題設(shè)++=得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)
即：∴∴(5，1)
四、課堂練習(xí)：
1．若M(3，-2)N(-5，-1)且，求P點(diǎn)的坐標(biāo)
2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則2=.
3．已知：四點(diǎn)A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：

擴(kuò)展閱讀

§3.1.4空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示

§3.1.4空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示
【學(xué)情分析】：
本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間這樣做，一方面復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念讓學(xué)生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力。
【教學(xué)目標(biāo)】：
（1）知識與技能：掌握空間向量基本定理，會判斷空間向量共面
（2）過程與方法：正交分解推導(dǎo)入手，掌握空間向量基本定理
（3）情感態(tài)度與價值觀：認(rèn)識將空間向量的正交分解，能夠?qū)⒖臻g向量在某組基上進(jìn)行分解
【教學(xué)重點(diǎn)】：
空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用
【教學(xué)難點(diǎn)】：
空間向量的分解
【教學(xué)過程設(shè)計】：
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計意圖
一．溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)空間向量的正交分解和基本定理
二．新課講授1．空間向量的正交分解
設(shè)，，是空間的三個兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)O。對于空間任意一個向量，設(shè)Q為點(diǎn)P在，所確定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得
而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對，使得
從而
以平面向量的基本定理為基礎(chǔ)，層層遞進(jìn)，得到空間向量的正交分解形式。
由此可知，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{}，使得，稱，，為向量在，，上的分向量。
2．空間向量的基本定理
如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個基底，叫做基向量。
空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底
如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使記
推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使
注意介紹單位正交基、正交基、基的特殊與一般的關(guān)系，以幫助學(xué)生理解概念。
三．典例講練例1．如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量
解：

∴
向量的分解過程中注意向量的運(yùn)算的正確使用。
四．練習(xí)鞏固1、如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和
解：
課本P94練習(xí)1、2、3
五．拓展與提高1．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量（）
A．互不相等B．至多有兩個相等C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等
2．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
充分認(rèn)識基底的特征，即線性無關(guān)的三個向量就可以構(gòu)成空間的一個基底。
六．小結(jié)1．正交分解的推導(dǎo)和空間向量基本定理
2．如何將向量用坐標(biāo)表示
3．任意空間向量在某組基底下的分解
七．作業(yè)課本P97習(xí)題3.1第6題

練習(xí)與測試：
（基礎(chǔ)題）
1如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和
解：

2．設(shè)向量是空間一個基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個基底的向量是（）
A．B．C．D．
3．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個向量（）
A．互不相等B．至多有兩個相等C．至少有兩個相等D．有且只有兩個相等
4．若a、b、c是空間的一個基底，下列各組
①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能構(gòu)成空間基底的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
5．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則△BCD是()
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定
6．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝，
則x＋y＋z＝．
7．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，
G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，
以｛，，｝為基底，則＝．

（中等題）
8．已知四面體中，兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）
(1).(2).
(3).(4).
不一定成立的是.

9,已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。

平面向量坐標(biāo)表示

平面向量坐標(biāo)表示
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)課題平面向量坐標(biāo)表示
授課時間撰寫人
學(xué)習(xí)重點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)對平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會用坐標(biāo)表示平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算；
2.能用兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，求所構(gòu)造向量的坐標(biāo)；

教學(xué)過程
一自主學(xué)習(xí)
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè)=(x1,y1)=(x2,y2)則＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量＋，－，λ的坐標(biāo)分別如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
兩個向量和與差的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
思考3：已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐標(biāo)如何？

二師生互動
例1已知，，求和.

例2已知平行四邊形的頂點(diǎn)，，，試求頂點(diǎn)的坐標(biāo).

變式：若與的交點(diǎn)為，試求點(diǎn)的坐標(biāo).

練1.已知向量的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷
練2.已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求，的坐標(biāo).
⑴
⑵
⑶
⑷

三鞏固練習(xí)
1.若向量與向量相等，則（）
A.B.
C.D.
2.已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為（）
A.B.
C.D.
3.已知，，則等于（）
A.B.C.D.
4.設(shè)點(diǎn)，，且
，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
5.作用于原點(diǎn)的兩力，，為使它們平衡，則需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知點(diǎn)，及，，，求點(diǎn)、、的坐標(biāo)。

四課后反思

五課后鞏固練習(xí)
1.若點(diǎn)、、，且，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？向量的坐標(biāo)為多少？

2.已知向量，，，試用來表示.

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開展，作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓講的知識能夠輕松被學(xué)生吸收，使教師有一個簡單易懂的教學(xué)思路。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”，相信能對大家有所幫助。

2.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、課題：2.3.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
二、教學(xué)目標(biāo)：1．掌握兩向量平行時坐標(biāo)表示的充要條件；
2．能利用兩向量平行的坐標(biāo)表示解決有關(guān)綜合問題。
三、教學(xué)重、難點(diǎn)：1．向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示；
2．應(yīng)用向量平行的充要條件證明三點(diǎn)共線和兩直線平行的問題。
四、教學(xué)過程：
（一）復(fù)習(xí)：
1．已知，，求，的坐標(biāo)；
2．已知點(diǎn)，及，，，求點(diǎn)、、的
坐標(biāo)。
歸納：（1）設(shè)點(diǎn)，，則；
（2），，則，
，；
3．向量與非零向量平行的充要條件是：.
（二）新課講解：
1．向量平行的坐標(biāo)表示：
設(shè)，，（），且，
則，∴.
∴，∴.
歸納：向量平行（共線）的充要條件的兩種表達(dá)形式：
①；
②且設(shè)，（）

例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．

例2已知，，，求證、、三點(diǎn)共線．
證明：，，
又，∴.∵直線、直線有公共點(diǎn)，
∴，，三點(diǎn)共線。
例3已知，，若與平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，則以，為基底，求.
解：令，則.
，∴，
∴，∴.

例5已知點(diǎn)，，，，向量與平行嗎？直線平
行與直線嗎？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴與不平行，
∴、、不共線，與不重合，
所以，直線與平行。

五、小結(jié)：1．熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達(dá)形式；
2．會用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點(diǎn)共線和兩直線平行；
3．明白判斷兩直線平行與兩向量平行的異同。
六、作業(yè)：
補(bǔ)充：1．已知，，，且，，求點(diǎn)，的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；
2．已知，，，試用，表示；
3．設(shè)，

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

一位優(yōu)秀的教師不打無準(zhǔn)備之仗，會提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要精心準(zhǔn)備好合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》，希望能對您有所幫助，請收藏。

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
第4課時
§2.3.1平面向量基本定理
教學(xué)目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；
（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).
教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.
教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.
授課類型：新授課
教具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時λ與方向相同；λ0時λ與方向相反；λ=0時λ=
2．運(yùn)算定律
結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實(shí)數(shù)λ，使=λ.
二、講解新課：
平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
三、講解范例：
例1已知向量，求作向量2.5+3.
例2如圖ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)M，且=，=，用，表示，，和
例3已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點(diǎn)，求證：+++=4
例4（1）如圖，，不共線，=t(tR)用，表示.
（2）設(shè)不共線，點(diǎn)P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點(diǎn)共線.
例5已知a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)與c共線.
四、課堂練習(xí)：
1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系
A.不共線B.共線C.相等D.無法確定
3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()
A.3B.-3C.0D.2
4.已知a、b不共線，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c與b共線，則λ1=.
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a=λ1e1+λ2e2，則a與e1_____，a與e2_________(填共線或不共線).
五、小結(jié)（略）
六、課后作業(yè)（略）：
七、板書設(shè)計（略）
八、課后記：