一元二次方程高中教案

高一數(shù)學二次函數(shù)教學設(shè)計24。

2.5函數(shù)、方程與不等式
第一課時二次函數(shù)、二次方程與二次不等式
教學進程
一、問題情景
1．初中代數(shù)問題：二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系。
畫出下列函數(shù)的圖象，并觀察所畫的圖象與x軸有幾個公共點？
(1)y=x2-2x-3
(2)y=x2-2x+1
(3)y=x2-2x+3
2．問題1。在函數(shù)y=x2-2x-3的圖象上任取一點P(x,y),觀察當點P在拋物線上移動時,隨著點P的橫坐標的變化,P的縱坐標有什么變化?
問題2.(1)y=0時,x的取值集合是
(2)y0時,x的取值集合是
(3)y0時,x的取值集合是
二、學生活動
(1)要求學生畫出函數(shù)的圖象，
(2)引導學生根據(jù)圖象回答問題.
三、數(shù)學理論
1.問題3.
一般地,二次函數(shù)y=ax2+bx+C(a0)與相應(yīng)的二次方程與二次不等式有下列關(guān)系:
=b2-4ac0=00
y=ax2+bx+C
(a0)的圖象
ax2+bx+C=0
(a0)的根
ax2+bx+C0
(a0)的解集
ax2+bx+C0
(a0)的解集
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+C(a≠0)的零點.

三、數(shù)學應(yīng)用
1.例題
例題1.求下列不等式的解集
(1)3x2+5x0
(2)4x2-4x+10
(3)–x2+2x-30www.lvshijia.net

2.練習
求下列不等式的解集
(1)x2-3x-100
(2)–3x2+5x-40
(3)x(1-x)x(2x-3)+1

3.例題2如圖是一個二次函數(shù)y=f(x)的圖象.
(1)寫出這個二次函數(shù)的零點.
(2)寫出這個二次函數(shù)的解析式.
(3)確定f(-4)f(-1)、f(0)f(2)的符號.

四、建構(gòu)數(shù)學
問題5
由例題2的圖象可以發(fā)現(xiàn)零點附近的函數(shù)值有什么特點?
(1)(非二重根)
(2)
問題6
若x0是二次函數(shù)y=ax2+bx+C的零點,且mx0n,那么f(m)f(n)0一定成立嗎?
五、回顧反思
(1)三個二次的關(guān)系;
(2)一元二次不等式的解法;
(3)函數(shù)f(x)=0的零點概念及其特點.
(4)思考題：若方程x2+2mx+3=0的兩根都小于1，試求m的取值范圍。
六、課外作業(yè)
P76、P81.1,2,

精選閱讀

高一數(shù)學上冊知識點整理：二次函數(shù)

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師提前熟悉所教學的內(nèi)容。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《高一數(shù)學上冊知識點整理：二次函數(shù)》，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

高一數(shù)學上冊知識點整理：二次函數(shù)

I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x？)(x-x？)[僅限于與x軸有交點A（x？，0）和B（x？，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax？，x？=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）

V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
頂點坐標
對稱軸
y=ax^2
(0，0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h，0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h，k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減?。?br> 4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x？，0)和B(x？，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x？-x？|
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△0．圖象與x軸沒有交點．當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x？)(x-x？)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．

高一數(shù)學必修一第一輪復習知識點：二次函數(shù)

一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學。所以你在寫教案時要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“高一數(shù)學必修一第一輪復習知識點：二次函數(shù)”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

高一數(shù)學必修一第一輪復習知識點：二次函數(shù)

I.定義與定義表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a0時，拋物線向上開口;當a0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)

V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
頂點坐標
對稱軸
y=ax^2
(0，0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h，0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h，k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
當h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0，k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當h0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a0時，開口向上，當a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△0.圖象與x軸沒有交點.當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0;當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).

高一數(shù)學教案：《函數(shù)》教學設(shè)計

高一數(shù)學教案：《函數(shù)》教學設(shè)計

教學目標

1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示法，會求函數(shù)的定義域．

（1）了解函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射．能理解函數(shù)是由定義域，值域，對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體．

（2）能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點．

（3）能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號，能正確求解各類函數(shù)的定義域．

2．通過函數(shù)概念的學習，使學生在符號表示，運算等方面的能力有所提高．

學過什么函數(shù)?

(要求學生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學過的函數(shù)例子)

學生舉出如 等，待學生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個例子，問學生．

提問1． 是函數(shù)嗎?

(由學生討論， 發(fā)表各自的意見，有的認為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個變量，也有的認為是函數(shù)，理由是可以可做 ．)

教師由此指出我們爭論的焦點，其實就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點，將它完善與深化．

二、新課

現(xiàn)在請同學們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)

提問2．新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．

學生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì)．

(板書)2．2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

高一數(shù)學教案：《函數(shù)與方程》教學設(shè)計（二）

高一數(shù)學教案：《函數(shù)與方程》教學設(shè)計（二）

教學目標：

1．通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進行實際求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用．

2．通過本節(jié)內(nèi)容的學習，讓學生體會到在現(xiàn)實世界中，等是相對的，而不等是絕對的，這樣可以加深對數(shù)學的理解．

教學重點：

用二分法求方程的近似解；

教學難點：

二分法原理的理解．

教學方法：

講授法與合作交流相結(jié)合．

教學過程：

一、問題情境

1．情境：（1）復習函數(shù)零點的定義以及函數(shù)零點存在的條件；

（2）給出函數(shù)f (x)＝lgx＋x－3存在零點的區(qū)間；

2．問題：如何求方程lgx＝3－x的近似解？

二、學生活動

用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0區(qū)間(2，3)上的根的近似值．

三、建構(gòu)數(shù)學

1． 對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a) f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地

把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．

2．給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟：

（1）確定f(a) f(b)＜0，從而確定零點存在的區(qū)間(a，b)；

（2）求區(qū)間(a，b)的中點x1，并計算f(x1)；

（3）判斷零點范圍：若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)f(x)的零點；若f(a) f(x1)＜0，則零點x1(a，x1)，令b＝x1，否則令a＝x1；

（4）判斷精確度：若區(qū)間兩個端點的近似值相同（符合精確度要求），這個近似值即為所求，否則重復(2)～(4)．

四、數(shù)學運用

例1　求方程x2－2x－1＝0在區(qū)間(－1，0)上的近似解(精確到0.1)．

例2　借助計算器用二分法求方程lgx＝3－x的近似解(精確到0.1)

變式訓練：利用計算器求方程2x＋x＝4的近似解(精確到0.1)．

練習

1．確定下列函數(shù)f (x)的零點與方程的根存在的區(qū)間(k，k＋1)(kZ)：

（1）函數(shù)f (x)＝x3－3x－3有零點的區(qū)間是　 ．

（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的區(qū)間是　 ．

（3）方程5x2－7x－1＝0負根所在的區(qū)間是　 ．

（4）函數(shù)f (x)＝lgx＋x－3有零點的區(qū)間是 ．

2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點x0＝2.5，那么下一個有根區(qū)間是 ．

3．已知方程x3－3x－3＝0在實數(shù)范圍內(nèi)有且只有一個根，用二分法求根的近似解(精確到0.1)．

五、要點歸納與方法小結(jié)

1．二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進行實際求解．

2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．

六、作業(yè)

P96練習第1，2，3題．