高中圓的方程教案

2.2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

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圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師營造一個良好的教學(xué)氛圍。所以你在寫高中教案時要注意些什么呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，希望對您的工作和生活有所幫助。

總課題圓與方程總課時第33課時
分課題圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分課時第1課時
教學(xué)目標(biāo)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓心坐標(biāo)和圓的半徑．會用代定系數(shù)法求圓的基本量、、．

重點難點根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓心坐標(biāo)和圓的半徑．會用代定系數(shù)法求圓的基本量、、．

引入新課
問題1．在前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，只要給出適當(dāng)?shù)臈l件就可以寫出直線的方程．那么，一個圓能不能用方程表示出來呢？

問題2．要求一個圓的方程需要哪些條件？如何求得呢？
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：

2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_________________________________________________________．
例題剖析
例1求圓心是，且經(jīng)過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

例2已知隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為，高為的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？

思考：假設(shè)貨車的最大寬度為那么貨車要駛?cè)朐撍淼溃薷邽槎嗌伲?br> 例3（1）已知圓的直徑的兩個端點是，．求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知圓的直徑的兩個端點是，．求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

例4求過點，，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

鞏固練習(xí)
1．圓：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為__________；__________．
2．圓心為且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
3．以為圓心且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
4．若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是．
5．求過點且與軸切于原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

課堂小結(jié)
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)；根據(jù)圓的方程寫出圓心坐標(biāo)和半徑；用代定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
課后訓(xùn)練
一基礎(chǔ)題
1．寫出滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）圓心在原點，半徑為：；
（2）經(jīng)過點，圓心為：；
（3）經(jīng)過點，圓心為：；
（4）與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在直線上：；
（5）經(jīng)過點和，且圓心在軸上：．
2．求以點為圓心，并與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3．已知點和，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

4．已知半徑為的圓過點，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

5．求過兩點和，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
二提高題
6．已知點在圓的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍．

7．若圓經(jīng)過點且和直線相切，并且圓心在直線上，
求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案

文章來源自3edu教育網(wǎng)興趣、增強了信心

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)

俗話說，居安思危，思則有備，有備無患。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師有計劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)”，歡迎您閱讀和收藏，并分享給身邊的朋友！

教學(xué)目標(biāo)

(一)知識目標(biāo)

1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑；

2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。

(二)能力目標(biāo)

1．進一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力；

2.通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、證明等合情推理方法，提高學(xué)生運算能力、邏輯思維能力；

3.通過運用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。

(三)情感目標(biāo)

通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。

教學(xué)重、難點

(一)教學(xué)重點

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握。

(二)教學(xué)難點

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。

教學(xué)方法

選用引導(dǎo)―探究式的教學(xué)方法。

教學(xué)手段

借助多媒體進行輔助教學(xué)。

教學(xué)過程

Ⅰ.復(fù)習(xí)提問、引入課題

師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系及求曲線方程的方法。請同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點的軌跡？

生：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo)為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點M的集合P＝｛M︳p（M）｝；③用坐標(biāo)表示條件，列出方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。⑤證明以化簡后方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點（一般省略）。［多媒體演示］

師：這就是建系、設(shè)點、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標(biāo)題］

師：前面我們曾證明過圓心在原點，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.

若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點，半徑為r的圓的方程？

生：x2+y2=r2.

師：你是怎樣得到的？（引導(dǎo)啟發(fā)）圓上的點滿足什么條件？

生：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑。即，亦即x2+y2=r2.

師：x2+y2=r2表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點，半徑為r.有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至C（a,b）點（如圖），方程又是怎樣的？

生：此圓是到點C(a,b)的距離等于半徑r的點的集合，

由兩點間的距離公式得

即：（x-a）2+(y-b)2=r2

Ⅱ.講授新課、嘗試練習(xí)

師：方程（x-a）2+(y-b)2=r2叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

特別：當(dāng)圓心在原點，半徑為r時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2.

師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由哪些量決定？

生：由圓心坐標(biāo)（a,b）及半徑r決定。

師：很好！實際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨立變量即可。

1、寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：［多媒體演示］

①圓心在原點，半徑是3：________________________

②圓心在點C（3，4），半徑是：______________________

③經(jīng)過點P（5，1），圓心在點C（8，－3）：_______________________

2、變式題［多媒體演示］

①求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。

答案：(x-1)2+(y-3)2=

②已知圓的方程是(x-a)2+y2=a2,寫出圓心坐標(biāo)和半徑。

答案：C（a,0）,r=|a|

Ⅲ.例題分析、鞏固應(yīng)用

師：下面我們通過例題來看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.

［例1］已知圓的方程是x2+y2=17，求經(jīng)過圓上一點P（，）的切線的方程。

師：你打算怎樣求過P點的切線方程？

生：要求經(jīng)過一點的直線方程，可利用直線的點斜式來求。

師：斜率怎樣求？

生：。。。。。。

師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看（如圖）

生：切線與過切點的半徑垂直，故斜率互為負(fù)倒數(shù)

半徑OP的斜率K1＝，所以切線的斜率K＝－＝－

所以所求切線方程：y-=－(x-)

即：x+y=17(教師板書)

師：對照圓的方程x2+y2=17和經(jīng)過點P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？

生：。。。。。。

師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點P（，）有何關(guān)系？

（若看不出來，再看一例）

［例1/］圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程。

答案：2x+3y=13即：2x+3y－13＝0

師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學(xué)生紛紛舉手回答）

生：分別用切點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。

師：若將已知條件中圓半徑改為r，點改為圓上任一點（xo,yo）,則結(jié)論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！

生：xox+yoy=r2.

師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明？

生：。。。。。。

［例2］已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點P（xo,yo）的切線的方程。

解：如圖(上一頁)，因為切線與過切點的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)

∵半徑OP的斜率K1＝，∴切線的斜率K＝－＝－

∴所求切線方程：y-yo=－(x-xo)

即：xox+yoy=xo2+yo2亦即：xox+yoy=r2.(教師板書)

當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。

歸納總結(jié)：圓的方程可看成x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點的坐標(biāo)xo、yo替換，可得到切線方程

［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M）

引導(dǎo)學(xué)生分析，共同完成解答。

師生分析：①建系；②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)）；③求系數(shù)（求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）；④利用方程求A2P2的長度。

解：以AB所在直線為X軸，O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系。則圓心在Y軸上，設(shè)為

（0，b）,半徑為r，那么圓的方程是x2+(y-b)2=r2.

∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組：

解得：b=-10.5,r2=14.52

∴圓的方程為x2+(y＋10.5)2=14.52.

將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

且取y0

得：y=

≈14.36-10.5=3.86(M)

答：支柱A2P2的長度約為3.86M。

Ⅳ.課堂練習(xí)、課時小結(jié)

課本Ｐ77練習(xí)2，3

師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運用圓的方程解決實際問題.

Ⅴ.問題延伸、課后作業(yè)

(一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2=r2上時，試求過P點的圓的切線方程。

課本Ｐ81習(xí)題7.7:1，2，3，4

(二)預(yù)習(xí)課本Ｐ77～Ｐ79

教學(xué)設(shè)計說明

設(shè)計思想：

在教學(xué)過程中，教師遵循數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構(gòu)主義教育理論，創(chuàng)設(shè)一系列數(shù)學(xué)實驗環(huán)境，在情境中讓學(xué)生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導(dǎo)加以證明，強調(diào)主動建構(gòu)，從深層次加強學(xué)生對知識的感知度，使學(xué)生能更好地理解和掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計理念：

設(shè)計的根本出發(fā)點是促進學(xué)生的發(fā)展。教師以合作者的身份參與，課堂上建立平等、互助、融洽的關(guān)系，師生共同研究，共同提高。

設(shè)計思路：

本節(jié)課的設(shè)計與教材的呈現(xiàn)方式有所不同，教材只是教學(xué)的藍本，教師在理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)發(fā)揮主觀能動作用，對教材資源進行再加工、再創(chuàng)造，這樣教學(xué)有利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的有機結(jié)合，也有利于學(xué)生從深層次理解和掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。鑒于此，本節(jié)在給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，運用簡單、特殊的到復(fù)雜、一般的數(shù)學(xué)思想，使用了觀察、猜測、經(jīng)驗歸納等方法進行合情地推理，同時引導(dǎo)學(xué)生對照圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數(shù)學(xué)中的美——對稱、簡潔。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用是本節(jié)的難點。為了突破難點，設(shè)計三個例題。第一、二個例題，從特殊到一般給出切線方程，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第三個例題，充分利用多媒體的動感演示，刺激學(xué)生的感官，引起更強的注意，從而使學(xué)生理解理論來源于實踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，增強應(yīng)用意識；同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。最后設(shè)計了“問題延伸”，讓學(xué)生帶著問題走進課堂，又帶著問題走出課堂，激發(fā)學(xué)生不斷求知、不斷探索的欲望。

在整個教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機的結(jié)合起來，教師的每項措施都是為了力求給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動手、動腦、動口并且主動參與學(xué)習(xí)的機會，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，促使學(xué)生掌握知識，解決問題。

媒體設(shè)計：

采用powerpoint媒體。本節(jié)知識容量大，同時又有圖形。為了在短時間內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，節(jié)省時間。同時動態(tài)演示圖形，刺激學(xué)生的感官，引起更強的注意，提高課堂教學(xué)效率。

圓的方程（第1課時）——圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）知識目標(biāo)：ａ、在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

ｂ、會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心，能根據(jù)條件寫出圓的方程；

ｃ、利用圓的方程解決與圓有關(guān)的實際問題.

（2）能力目標(biāo)：ａ、進一步培養(yǎng)學(xué)生用解析法研究幾何問題的能力；

ｂ、使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解；

ｃ、增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.

（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2、教學(xué)重點、難點

（1）教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其應(yīng)用.

（2）教學(xué)難點：①會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

②選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決與圓有關(guān)的實際問題.

3、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境（啟迪思維）

問題一：已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？

[引導(dǎo)]：畫圖建系

[學(xué)生活動]：嘗試寫出曲線的方程（對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復(fù)習(xí)）

解：以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則半圓的方程為x2＋y2＝16（y≥0）

將x＝2.7代入，得

即在離隧道中心線2.7m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此貨車不能駛?cè)脒@個隧道。

（二）深入探究（獲得新知）

問題二：1、根據(jù)問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為的圓的方程？

答：x2＋y2＝r2

2、如果圓心在，半徑為時又如何呢？

[學(xué)生活動]：探究圓的方程。

[教師預(yù)設(shè)]：方法一：坐標(biāo)法

如圖，設(shè)M（x,y）是圓上任意一點，根據(jù)定義點M到圓心C的距離等于r,所以圓C就是集合P={M||MC|=r}

由兩點間的距離公式，點M適合的條件可表示為①

把①式兩邊平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：圖形變換法

方法三：向量平移法

（三）應(yīng)用舉例（鞏固提高）

I．直接應(yīng)用（內(nèi)化新知）

問題三：1、寫出下列各圓的方程（課本P77練習(xí)1）

（1）圓心在原點，半徑為3；

（2）圓心在，半徑為

（3）經(jīng)過點，圓心在點

2、根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑

（1）（2）

II．靈活應(yīng)用（提升能力）

問題四：1、求以為圓心，并且和直線相切的圓的方程.

[教師引導(dǎo)]由問題三知：圓心與半徑可以確定圓.

2、求過點，圓心在直線上且與軸相切的圓的方程.

[教師引導(dǎo)]應(yīng)用待定系數(shù)法尋找圓心和半徑.

3、已知圓的方程為，求過圓上一點的切線方程.

[學(xué)生活動]探究方法

[教師預(yù)設(shè)]

多媒體課件演示：

方法一：待定系數(shù)法（利用幾何關(guān)系求斜率—垂直）

方法二：待定系數(shù)法（利用代數(shù)關(guān)系求斜率—聯(lián)立方程）

方法三：軌跡法（利用勾股定理列關(guān)系式）

方法四：軌跡法（利用向量垂直列關(guān)系式）

4、你能歸納出具有一般性的結(jié)論嗎？

已知圓的方程是，經(jīng)過圓上一點的切線的方程是：

III．實際應(yīng)用（回歸自然）

問題五：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）。

[多媒體課件演示創(chuàng)設(shè)實際問題情境]

（四）反饋訓(xùn)練（形成方法）

問題六：1、求以C（－1，－5）為圓心，并且和y軸相切的圓的方程.

2、已知點A（－4，－5），B（6，－1），求以AB為直徑的圓的方程.

3、求過點，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

4、求圓x2＋y2＝13過點P（-2，3）的切線方程.

5、已知圓的方程為，求過點的切線方程.

（五）小結(jié)反思（拓展引申）

1、課堂小結(jié)：

（1）知識性小結(jié)：

①圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

當(dāng)圓心在原點時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

②已知圓的方程是，經(jīng)過圓上一點的切線的方程是：

（2）方法性小結(jié)：

①求圓的方程的方法：I.找出圓心和半徑；II.待定系數(shù)法

②求解應(yīng)用問題的一般方法

2、分層作業(yè)：（A）鞏固型作業(yè)：課本P81-82：（習(xí)題7.6）1、2、4

（B）思維拓展型作業(yè)：

試推導(dǎo)過圓上一點的切線方程.

3、激發(fā)新疑：

問題七：1、把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開后是什么形式？

2、方程：的曲線是什么圖形？

設(shè)計說明

圓是學(xué)生比較熟悉的曲線.初中平面幾何對圓的基本性質(zhì)作了比較系統(tǒng)的研究，因此這節(jié)課的重點就放在了用解析法研究它的方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一些應(yīng)用上.首先，在已有圓的定義和求曲線方程的一般步驟的基礎(chǔ)上，用實際問題引導(dǎo)學(xué)生探究獲得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由潛入深的解決問題,并通過最終在實際問題中的應(yīng)用，增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.另外，為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，我分別在引例和問題四中，設(shè)計了兩次由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.在問題的設(shè)計中，我用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，并且使學(xué)生的有效思維量加大，隨時對所學(xué)知識和方法產(chǎn)生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設(shè)計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成.

本節(jié)課的設(shè)計了五個環(huán)節(jié)，以問題為紐帶，以探究活動為載體，使學(xué)生在問題的指引下、我的指導(dǎo)下把探究活動層層展開、步步深入，充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，應(yīng)用啟發(fā)式的教學(xué)方法把學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，在解決問題的同時提鍛煉了思維、提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心。