高中函數(shù)的應(yīng)用教案

《二次函數(shù)的應(yīng)用(一)》教學(xué)設(shè)計。

《二次函數(shù)的應(yīng)用(一)》教學(xué)設(shè)計

一、學(xué)生知識狀況分析

通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質(zhì)。學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，對解決這類問題有了一定處理經(jīng)驗。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：

能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．

能力目標(biāo)：

1．通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分析判斷能力．

2．通過運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．

情感態(tài)度與價值觀：

1．經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．

2．能夠?qū)鉀Q問題的基本策略進(jìn)行反思，形成個人解決問題的風(fēng)格．

3．進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)習(xí)的信心，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力．

三、教學(xué)重點(diǎn)

1．經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值．

2．能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實際問題．

四、教學(xué)難點(diǎn)

能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決最大面積的問題．

五、教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

探究一：

如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，AN=40m，AM=30m，

(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示？

(2)設(shè)矩形的面積ym2，當(dāng)x取何值時,y的最大？最大值是多少？

《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計

設(shè)計目的：對于這個問題，教師將其作為例題，不論是對問題本身的分析，還是具體的解法過程，都將作出細(xì)致、規(guī)范的講解和示范。具體的過程如下：

分析：(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是△EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計即《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計．所以AD＝BC＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計(40－x)．

(2)要求面積y的最大值，即求函數(shù)y＝AB·AD＝x·《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計(40－x)的最大值，就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了．

y＝－《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計(x－20)2＋300．

當(dāng)x＝20時，y最大＝300．

即當(dāng)x取20m時，y的值最大，最大值是300m2．

探究二：

如果把矩形改為如下圖所示的位置，其頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上.其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計

設(shè)計目的：通過兩種情況的分析，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力，關(guān)鍵是教會學(xué)生方法，也是這類問題的難點(diǎn)所在，即怎樣設(shè)未知數(shù)，怎樣轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題.在此基礎(chǔ)上對變式三進(jìn)行探究，進(jìn)而總結(jié)此類題型，得出解決問題的一般方法.

二、例題講解

某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m．當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)？此時，窗戶的面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m2）

《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計

分析：x為半圓的半徑，也是矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關(guān)系．要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大。

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

∴y＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計．

設(shè)窗戶的面積是S(m2)，則

S＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計πx2＋2xy

＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計πx2＋2x·《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計

＝－3.5x2＋7.5x

＝－3.5(x2－《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計x)

＝－3.5(x－《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計)2＋《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計．

∴當(dāng)x＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計≈1.07時，S最大＝《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計≈4.02．

因此，當(dāng)x約為1.07m時，窗戶通過的光線最多。此時，窗戶的面積約為4.02m2.

三、歸納總結(jié)

“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路：

1.理解問題;

2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系;

3.用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系;

4.運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解;

5.檢驗結(jié)果的合理性,給出問題的解答.

四、鞏固練習(xí)

習(xí)題2.8第1題

《二次函數(shù)的應(yīng)用（一）》教學(xué)設(shè)計1.一根鋁合金型材長為6m，用它制作一個“日”字型的窗框，如果恰好用完整條鋁合金型材，那么窗架的長、寬各為多少米時，窗架的面積最大？

五、談?wù)劚竟?jié)課你的收獲。

六、布置作業(yè)：

習(xí)題2．82

六、教學(xué)反思

在課堂教學(xué)過程中，注重以學(xué)生的自主探究為主，從提出問題到解決問題，說明知識來源于生活，而又服務(wù)于生活，體現(xiàn)了理論聯(lián)系實際的教學(xué)原則。通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生不但從實際問題中理解數(shù)學(xué)知識，體會數(shù)學(xué)的樂趣，而且從能力上、思想上都達(dá)到一個新的境界。

通過本節(jié)課的教學(xué)看到學(xué)生在計算上還存在很大問題，在這方面要注意培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確計算能力，同時還看到學(xué)生的潛力很大，作為教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，為學(xué)生的發(fā)展提供足夠的時間和空間。

擴(kuò)展閱讀

二次函數(shù)的一些應(yīng)用

二次函數(shù)的概念

九年級數(shù)學(xué)上冊導(dǎo)學(xué)稿

課題26.1二次函數(shù)的概念課型新授課執(zhí)筆人

審核人級部審核講學(xué)時間第8周第1導(dǎo)學(xué)稿

教師寄語辛勤就有收獲，細(xì)心、認(rèn)真努力就會獲得喜悅。

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．從實際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.2.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的一般形式.

教學(xué)重點(diǎn)二次函數(shù)的概念和解析式

教學(xué)難點(diǎn)會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

教學(xué)方法合作學(xué)習(xí)探究應(yīng)用

學(xué)生自主活動材料

一．前置自學(xué)

（一）準(zhǔn)備知識

一次函數(shù)一般式：.正比例函數(shù)一般式：

反比例函數(shù)一般式：.

（二）嘗試探究

1．一個正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x的關(guān)系式為.

2．n邊形有個頂點(diǎn)，從一個頂點(diǎn)出發(fā)，可作條對角線.因此，n邊形的對角線總數(shù)d=.

3．某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在年產(chǎn)量是20件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件，一年后的產(chǎn)量是件，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是件，即兩年后的產(chǎn)量為.

二．合作探究

1.思考：上述三個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？這樣的函數(shù)的名稱是什么？

2.歸納：我們把形如(其中a,b,c是常數(shù),)的函數(shù)叫做函數(shù).

其中x是自變量，a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.

3.嘗試應(yīng)用（1）分別指出上述三個函數(shù)解析式中各項的系數(shù)、次數(shù).

（2）下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?若是請指出各項的系數(shù)？

(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1(3)y=2x3－3x2

(4)y=5x4－3x＋1（5）y=x-2－x(6)+1

三．拓展提升

1.若函數(shù)+6為二次函數(shù)，則m的值為。

2.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)(2)（3）（4）

3.一個圓柱的高等于底面的半徑，寫出它的表面積s與它半徑r之間的關(guān)系式：.

4.n只球隊參加比賽，每兩隊之間進(jìn)行一次比賽，寫出比賽場次數(shù)m與球隊數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式:；若每兩隊之間進(jìn)行兩次比賽呢？.

6.一個長方形的長是寬的2倍，寫出這個長方形的面積與寬之間的函數(shù)關(guān)系式：.

7.某種商品的價格是2元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價。如果每次降價的百分率都是x，經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，y與x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？.

8.函數(shù)中，（1）m取什么值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？（2）m取什么值時，此函數(shù)是反比例函數(shù)？（3）m取什么值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？

四．當(dāng)堂反饋

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是,分別指出二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項.

(1)y=x+(2)s=3-2t(3)y=(x+3)-x(4)y=-x(5)v=10πr

2.若函數(shù)為二次函數(shù)，則m的值為.

認(rèn)識二次函數(shù)

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識點(diǎn)，老師需要提前準(zhǔn)備教案，準(zhǔn)備教案課件的時刻到來了。在寫好了教案課件計劃后，新的工作才會如魚得水！你們知道哪些教案課件的范文呢？以下是小編為大家收集的“認(rèn)識二次函數(shù)”但愿對您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

34.1認(rèn)識二次函數(shù)（第1課時）教案

教學(xué)任務(wù)分析

教學(xué)

目標(biāo)

知識與技能

1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義；2．會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；[

3．會根據(jù)公式確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題；

過程與方法

通過畫二次函數(shù)的圖象，提高動手能力；

經(jīng)歷畫圖、觀察、分析、總結(jié)、歸納的過程，總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì).

情感態(tài)度價值觀

體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；

重點(diǎn)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

難點(diǎn)

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)流程安排

活動說明

活動目的

活動1回顧一次函數(shù)

活動2二次函數(shù)概念學(xué)習(xí)

活動3解析

活動4觀察

活動5布置作業(yè)

為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備

學(xué)二次函數(shù)的有關(guān)概念

鞏固二次函數(shù)

小結(jié)復(fù)習(xí)

加強(qiáng)練習(xí)

課前準(zhǔn)備

教具

學(xué)具

補(bǔ)充材料

電腦、投影儀

課件資源、投影儀

教學(xué)過程設(shè)計

問題與情景

師生行為

設(shè)計意圖

活動1：

1.我們以前學(xué)過函數(shù)，函數(shù)是用來描述一個量與另一個量之間的對應(yīng)關(guān)系的，大家回憶一下，我們到現(xiàn)在都學(xué)過哪些函數(shù)？

2.請描述一下你對一次函數(shù)、反比例函數(shù)是如何理解的.

3.在現(xiàn)實生活中，我們除了接觸到一次函數(shù)、反函數(shù)，我們還會遇到另外一種函數(shù)——二次函數(shù)，現(xiàn)在我們就來認(rèn)識二次函數(shù).

活動2：

我們看引言中正方體的表面積的問題.

正方體的六個面是全等的正方形（圖26.1–1），設(shè)正方體的棱長為x，表面積為y，顯然對于x的每一個值，y都有一個對應(yīng)值，即y是x的函數(shù)，它們的具體關(guān)系可以表示為

y＝6x2①

我們再來看幾個問題.

問題1多邊形的對角線數(shù)d與邊數(shù)n有什么關(guān)系？

問題2某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎么樣表示？

小組討論，引導(dǎo)學(xué)生找出其中的量與量之間的關(guān)系，列出函數(shù)式.

活動3：解析

問題1由圖26.1–2可以想出，如果多邊形有n條邊，那么它有________個頂點(diǎn).從一個頂點(diǎn)出發(fā)，連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂點(diǎn)，可以作_________條對角線.

因為像線段MN與NM那樣，連接相同兩頂點(diǎn)的對角線是同一條對角線，所以多邊形的對角線總數(shù)

,

即

.②

②式表示了多邊形的對角線數(shù)d與邊數(shù)n之間的關(guān)系，對于n的每一個值，d都有一個對應(yīng)值，即d是n的函數(shù).

問題2這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件，一年后的產(chǎn)量是_________件，再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是_________件，即兩年后的產(chǎn)量為

y＝20（1＋x）2,

即

y＝20x2＋40x＋20.③

③式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系，對于x的每一個值，y都有一個對應(yīng)值，即y是x的函數(shù).

活動4：觀察

函數(shù)①②③有什么共同點(diǎn)？與我們已學(xué)過的正比例函數(shù)，反比例函數(shù)和一次函數(shù)有什么不同？

在上面的問題中，函數(shù)都是用自變量的二次式表示的.一般地，形如

y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）

的函數(shù)，叫做二次函數(shù)（quadraticfunction）.其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)有：一次函數(shù)y＝ax＋b（a≠0）,其中包括正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）,反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.

可以發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)的名稱都反映了函數(shù)表達(dá)式與自變量的關(guān)系.

活動5：練習(xí)

1．一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S與半徑r之間的關(guān)系式.

2．n支球隊參加比賽，每兩隊之間進(jìn)行一場比賽.寫出比賽場次數(shù)m與球隊數(shù)n之間的關(guān)系式.

活動6：小結(jié)

學(xué)生討論，總結(jié)出本節(jié)所學(xué)的知識.

師引導(dǎo)設(shè)問

學(xué)生回答

師引導(dǎo)設(shè)問

學(xué)生活動：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)是一次函數(shù)，例如：y=2x+1，y=x等都是一次函數(shù).形如y=（k≠0）的函數(shù)就是反函數(shù)，例如：y=.

引導(dǎo)設(shè)問

學(xué)生解答，教師點(diǎn)評

學(xué)生解答教師點(diǎn)評

學(xué)生解答教師巡視指導(dǎo)

學(xué)生解答教師點(diǎn)評

學(xué)生回答教師點(diǎn)評

學(xué)生解答教師點(diǎn)評

并給予鼓勵

生回答問題，教師點(diǎn)評.

學(xué)生討論

回憶到現(xiàn)在都學(xué)過的函數(shù)

回憶一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念

引出二次函數(shù)

從實際情境中感受二次函數(shù)

認(rèn)識二次函數(shù)

加深對二次函數(shù)的認(rèn)識

學(xué)二次函數(shù)的概念

加深一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的認(rèn)識

對二次函數(shù)的概念進(jìn)行鞏固

總結(jié)本節(jié)知識