一元二次方程高中教案

《二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系》知識(shí)點(diǎn)整理。

老師職責(zé)的一部分是要弄自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。對(duì)教案課件的工作進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的計(jì)劃，接下來的工作才會(huì)更順利！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“《二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系》知識(shí)點(diǎn)整理”，希望能對(duì)您有所幫助，請(qǐng)收藏。

《二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系》知識(shí)點(diǎn)整理

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
對(duì)稱軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當(dāng)h0時(shí)，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．
當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=ax^2;向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象；
當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x+h)?+k的圖象；
當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)?+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時(shí)，可以簡(jiǎn)記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。?br> 4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|另外，拋物線上任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)△0．圖象與x軸沒有交點(diǎn)．當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0；當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)。

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一元二次方程

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第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學(xué)目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識(shí)一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會(huì)一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
課時(shí)安排
本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時(shí)
22．2降次7課時(shí)
22．3實(shí)際問題與一元二次方程3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)
22.1一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程的定義．
難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
課堂練習(xí)P271、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡(jiǎn)形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.11、2題．
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)是,常數(shù)項(xiàng)是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識(shí)，請(qǐng)學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識(shí)，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項(xiàng)，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習(xí)：P281、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.14、6題
達(dá)標(biāo)測(cè)試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對(duì)于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元二次方程與二次函數(shù)

中考數(shù)學(xué)專題4一元二次方程與二次函數(shù)

第一部分真題精講

【例1】已知：關(guān)于的方程．

⑴求證：取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．

①求二次函數(shù)的解析式；

②已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立；

⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式．

【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對(duì)稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個(gè)一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號(hào)，也必須過該點(diǎn)。于是通過代點(diǎn)，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個(gè)不等式,最終分析出a為何值時(shí)不等式取等號(hào),于是可以得出結(jié)果.

【解析】

解：（1）分兩種情況：

當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，（不要遺漏）

∴當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)時(shí)，原方程為關(guān)于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會(huì)是完全平方式，大家注意就是了）

綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，

∴.（關(guān)于Y軸對(duì)稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0）

∴.

∴拋物線的解析式為.

②∵，（判斷大小直接做差）

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.

（3）由②知，當(dāng)時(shí)，.

∴、的圖象都經(jīng)過.（很重要，要對(duì)那個(gè)等號(hào)有敏銳的感覺）

∵對(duì)于的同一個(gè)值，，

∴的圖象必經(jīng)過.

又∵經(jīng)過，

∴.（巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算）

設(shè).

∵對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，

∴，

∴.

又根據(jù)、的圖象可得，

∴.（a0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴拋物線的解析式為.

【例2】關(guān)于的一元二次方程.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問給點(diǎn)求解析式，比較簡(jiǎn)單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.

【解析】：

（1）由題意得

解得

解得

當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）由題意得

解得（舍）(始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0)

（3）拋物線的對(duì)稱軸是

由題意得(關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握)

與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(這種情況考試中容易遺漏)

另設(shè)過點(diǎn)的直線（）

把代入，得，

整理得

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

解得

綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)說明理由；

（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與軸無交點(diǎn)，求的最小值．

【思路分析】拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點(diǎn)，然后建立二元方程組，

十分麻煩，計(jì)算量大，浪費(fèi)時(shí)間并且可能出錯(cuò)。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。而拋物線只有一個(gè)未知系數(shù)，所以輕松寫出對(duì)稱軸求出b。第二問依然是判別式問題，比較簡(jiǎn)單。第三問考平移，也是這類問題的一個(gè)熱點(diǎn)，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察。考生一定要把握平移后解析式發(fā)生的變化，即左加右減(單獨(dú)的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果。

【解析】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱并且到對(duì)稱軸距離相等．

所以，拋物線對(duì)稱軸，所以，．

（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0．

因?yàn)椋?16-8=80．

所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別是

，．

（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位后的解析式為．

若使拋物線的圖象與軸無交點(diǎn)，只需無實(shí)數(shù)解即可．

由==0，得

又是正整數(shù)，所以得最小值為2．

【例4】已知拋物線，其中是常數(shù)．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式．

【思路分析】本題第一問較為簡(jiǎn)單，用直接求頂點(diǎn)的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個(gè)關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)式,節(jié)省了時(shí)間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點(diǎn)的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點(diǎn)的可能取值.

（1）依題意，得，

∴

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)，

∴的根是整數(shù)．

∴是整數(shù)．

∵，

∴是整數(shù)．

∴是整數(shù)的完全平方數(shù)．

∵，

∴．(很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手)

∴取1，4，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴的值為2或．

∴拋物線的解析式為或．

【例5】已知：關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)）

（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個(gè)固定點(diǎn)；

（3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的解析式．

【思路分析】本題第一問比較簡(jiǎn)單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m-1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點(diǎn)既是求一個(gè)和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對(duì)于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對(duì)其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=-1時(shí),Y=0，而這一點(diǎn)恰是拋物線橫過的X軸上固定點(diǎn).如果想不到因式分解,由于本題固定點(diǎn)的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個(gè)根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因?yàn)榈诙栔幸亚蟪隽硪桓?所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡(jiǎn)單.

解：（1）

∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

∴

∵,

∴的取值范圍是且.

（2）證明：令得.

∴.

∴(這樣做是因?yàn)橐呀?jīng)知道判別式是,計(jì)算量比較小,如果根號(hào)內(nèi)不是完全平方就需要注意了)

∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,

∴無論取何值，拋物線總過定點(diǎn)

（3）∵是整數(shù)∴只需是整數(shù).

∵是整數(shù)，且,

∴

當(dāng)時(shí)，拋物線為．

把它的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線解析式為

【總結(jié)】中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點(diǎn)無非也就是因式分解，判別式，對(duì)稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點(diǎn)問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計(jì)算認(rèn)真，尤其是求根公式的應(yīng)用一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性。這種題目大多包涵多個(gè)小問。第一問往往是考驗(yàn)判別式大于0，不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對(duì)其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，考生需要熟記對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)等多個(gè)公式的直接應(yīng)用。至于根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應(yīng)用了也不會(huì)扣分，考生還是盡量掌握為好，在實(shí)際應(yīng)用中能節(jié)省大量的時(shí)間。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).

（1）求的值；

（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線

與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.

【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡(jiǎn)單.第二問要分情況討論當(dāng)k取何值時(shí)方程有整數(shù)根,一個(gè)個(gè)代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個(gè)表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對(duì)稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.

【思考2】已知：關(guān)于的一元二次方程

（1）若求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值．

【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個(gè)值一個(gè)個(gè)試就可以試出來結(jié)果。本題給定一個(gè)比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計(jì)算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對(duì)解不等式做出了考察.

【思考3】已知:關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc

（c≠0）的圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

（2）求代數(shù)式的值；

（3）求證:關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實(shí)數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實(shí)際的考試過程中,考生在化簡(jiǎn)判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導(dǎo)致失分.

【思考4】已知：關(guān)于的一元二次方程．

（1）求證：不論取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值．

【思路分析】這一題第二問有些同學(xué)想到直接平方來去絕對(duì)值,然后用韋達(dá)定理進(jìn)行求解,但是這樣的話計(jì)算量就會(huì)非常大,所以此題繞過韋達(dá)定理,直接用根的判別式寫出,

發(fā)現(xiàn)都是關(guān)于m的一次表達(dá)式,做差之后會(huì)得到一個(gè)定值.于是問題輕松求解.這個(gè)題目告訴我們高級(jí)方法不一定簡(jiǎn)單,有的時(shí)候最笨的辦法也是最好的辦法.

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）由題意得，．

∴．

∵為正整數(shù)，

∴．

（2）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為零；

當(dāng)時(shí)，方程無整數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根．

綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個(gè)單位得到的圖象的解析式為．

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于

兩點(diǎn)，則，．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得；

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得．

由圖象可知，符合題意的的取值范圍為．

【思考2解析】

證明：

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）

∵方程有兩個(gè)整數(shù)根，必須使且m為整數(shù)．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依題意k-1≠0.

∴.

∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）證明：方程②的判別式為Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,則-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.

(ii)證法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，

∴方程(k-1)x=2的根為正實(shí)數(shù).

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

證法二:若ac0,

∵拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點(diǎn),

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由證法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

綜上,方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【思考4解析】

（1）-

不論取何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意．

∴的值為4．

解一元二次方程

每個(gè)老師在上課前需要規(guī)劃好教案課件，是時(shí)候?qū)懡贪刚n件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，才能更好的在接下來的工作輕裝上陣！你們會(huì)寫適合教案課件的范文嗎？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“解一元二次方程”，僅供參考，大家一起來看看吧。

28.2解一元二次方程
教學(xué)目的知識(shí)技能認(rèn)識(shí)形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，并會(huì)用直接開平方法解．
配方法解一元二次方程x2＋px＋q＝0.
數(shù)學(xué)思考用直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是用平方根的定義來進(jìn)行降次的，直接開平方法解一元二次方程，必須化成形如x2＝p（p≥0）或（mx+n）2＝p（p≥0）的形式來求解.
配方法是把方程x2＋px＋q＝0轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程再應(yīng)用直接開平方法求解
解決問題通過兩邊同時(shí)開平方，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)往往由未知（新知識(shí)）向已知（舊知識(shí)）轉(zhuǎn)化，這是研究數(shù)學(xué)問題常用的方法，化未知為已知．
情感態(tài)度通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生感覺到由未知向已知的轉(zhuǎn)化美.
教學(xué)難點(diǎn)用配方法解一元二次方程
知識(shí)重點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?br> 教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖

教
學(xué)
過
程
問題一：填空
如果，那么.
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用開平方的方法，解x2＝p（p≥0）形式的方程.
學(xué)生活動(dòng)：在老師的引導(dǎo)下，初步了解一元二次方程的直接開平方法.
問題二：解方程
教師活動(dòng)：與學(xué)生一起探究此種形式的方程的解法.
學(xué)生活動(dòng)：仿照上題，解此問題，并總結(jié)出形如（mx+n）2＝p（p≥0）方程的解法.
練習(xí)：解下列方程：
（1）(2)
問題三：解方程：
師生一起探究解法，通過配方把該方程轉(zhuǎn)化為（mx+n）2＝p（p≥0）形式的方程，再用直接開平方法求解.
做一做
把下列方程化成的形式.
例題1：解方程
教師活動(dòng)：給學(xué)生作出配方法解方程的示范.重點(diǎn)在配方的方法：在方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解.
學(xué)生總結(jié)配方法解形如x2＋px＋q＝0的一元二次方程的方法.

從學(xué)生已知的知識(shí)入手，解決形如x2＝p（p≥0）類型的方程，引導(dǎo)進(jìn)入直接開平法法.

解決并練習(xí)形如（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程，

在解決形如x2＝p（p≥0）和（mx+n）2＝p（p≥0）類型的方程的基礎(chǔ)上，給學(xué)生設(shè)置懸念，探究這個(gè)方程的解法.
引出配方法.

在轉(zhuǎn)化的同時(shí)，給學(xué)生講解配方的方法，為配方法解一元二次方程作準(zhǔn)備.

提高學(xué)生的總結(jié)歸納能力.
課堂練習(xí)解下列方程：
課本24頁習(xí)題2
學(xué)生完成后，交流結(jié)果，交流配方法解一元二次方程的步驟、方法

使學(xué)生體會(huì)在解決問題的過程中與他人合作的重要性.

小結(jié)與作業(yè)
課堂
小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直接開平方法和配方法進(jìn)行總結(jié).

本課
作業(yè)34頁習(xí)題1、3把學(xué)習(xí)延伸到課外，鞏固課上所學(xué).

課后隨筆（課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改進(jìn)設(shè)想）