一元二次方程高中教案

二次函數(shù)與一元二次方程導學案。

教案課件是老師需要精心準備的，到寫教案課件的時候了。在寫好了教案課件計劃后，才能夠使以后的工作更有目標性！有沒有好的范文是適合教案課件？以下是小編收集整理的“二次函數(shù)與一元二次方程導學案”，希望能為您提供更多的參考。

九年級（下）數(shù)學學科導學案
主備人：復備人：備課組審核人：班級：小組：學號：姓名：編號：12
課題：2.8二次函數(shù)與一元二次方程的關系
學習目標：1.理解二次函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根2.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標

一、課前熱身(填空)：
1.拋物線y=x2+2x-4的對稱軸是_______,開口方向是______,頂點坐標是__________
二、合作探究
2.二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如下圖所示。
1）每個圖象與x軸有幾個交點？
2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3)說說二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?
四.知識運用
4.閱讀教材P73~75左圖是y=x2+2x-10的圖像
你能利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？
5.左圖是y=x2+2x-10的圖像，利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程x2+2x-10=2的近似根
6.（2007天津市）知一拋物線與x軸的交點是、B（1，0），且經(jīng)過點C（2，8）。
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點坐標。

三、歸納總結
結論：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:_____________________________________________.當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點時,交點的_______就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
3.一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h=－4.9t2＋19.6t來表示．其中t（s）表示足球被踢出后經(jīng)過的時間．
（1）作出函數(shù)h=－4.9t2＋19.6t的圖像
（2）當t=1時，足球的高度是多少？
（3）t為何值時，h最大？
（4）經(jīng)過多長時間球落地？
（5）方程－4.9t2＋19.6t=0的根的實際意義是什么？能在圖上表示嗎?
（6）方程14.7=－4.9t2＋19.6t的根的實際意義是什么？你能在圖上表示嗎?

7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點B．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點P（m，m）與點Q均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．

相關推薦

一元二次方程

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細設想教案課件了。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《一元二次方程》，僅供參考，大家一起來看看吧。

第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關系，運用一元二次方程分析和解決實際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學目標
1.一分析實際問題中的等量關系并求解其中未知數(shù)為背景，認識一元二次方程及其有關概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學模型作用，進一步提高在實際問題中運用方程這種重要數(shù)學工具的基本能力。
教學重點、難點
重點：
1．一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。
難點：
1.一元二次方程及其有關概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關系以及靈活運用
課時安排
本章教學時約需課時，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時
22．2降次7課時
22．3實際問題與一元二次方程3課時
教學活動、習題課、小結
22.1一元二次方程
教學目的
1．使學生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式．
教學重點、難點
重點：一元二次方程的定義．
難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別．
教學過程
復習提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結合上述有關方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復習，引導學生答出）
學過的幾類方程是
沒學過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復習中學生未學過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時指導學生把學過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導學生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導學生認識到：任何一個一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項、常數(shù)項；a，b分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)．
【注意】二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)(a=0時，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
課堂練習P271、2題
歸納總結
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習題22.11、2題．
達標測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個B.2個C.3個D.4個
2.關于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數(shù),一次項和常數(shù)項,下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項是,一次項是,常數(shù)項是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時
直接開平方法
教學目的
1．使學生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導學生通過特殊情況下的解方程，小結、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學重點、難點
重點：準確地求出方程的根．
難點：正確地表示方程的兩個根．
教學過程
復習過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習：P281、2
歸納總結
1．本節(jié)主要學習了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習題22.14、6題
達標測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是
C.當c≥0時,方程可化為:
D.當c=0時,
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

中考數(shù)學復習：一元二次方程與二次函數(shù)

中考數(shù)學專題4一元二次方程與二次函數(shù)

第一部分真題精講

【例1】已知：關于的方程．

⑴求證：取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

⑵若二次函數(shù)的圖象關于軸對稱．

①求二次函數(shù)的解析式；

②已知一次函數(shù)，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應的函數(shù)值均成立；

⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式．

【思路分析】本題是一道典型的從方程轉函數(shù)的問題，這是比較常見的關于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達式表示出來,再利用,構建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結果.

【解析】

解：（1）分兩種情況：

當時，原方程化為，解得，（不要遺漏）

∴當，原方程有實數(shù)根.

當時，原方程為關于的一元二次方程，

∵.

∴原方程有兩個實數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了）

綜上所述，取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根.

（2）①∵關于的二次函數(shù)的圖象關于軸對稱，

∴.（關于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項系數(shù)一定為0）

∴.

∴拋物線的解析式為.

②∵，（判斷大小直接做差）

∴（當且僅當時，等號成立）.

（3）由②知，當時，.

∴、的圖象都經(jīng)過.（很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）

∵對于的同一個值，，

∴的圖象必經(jīng)過.

又∵經(jīng)過，

∴.（巧妙的將表達式化成兩點式，避免繁瑣計算）

設.

∵對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應的函數(shù)值均成立，

∴，

∴.

又根據(jù)、的圖象可得，

∴.（a0時,頂點縱坐標就是函數(shù)的最小值）

∴.

∴.

而.

只有，解得.

∴拋物線的解析式為.

【例2】關于的一元二次方程.

（1）當為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點與點關于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.

【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.

【解析】：

（1）由題意得

解得

解得

當且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

（2）由題意得

解得（舍）(始終牢記二次項系數(shù)不為0)

（3）拋物線的對稱軸是

由題意得(關于對稱軸對稱的點的性質(zhì)要掌握)

與拋物線有且只有一個交點(這種情況考試中容易遺漏)

另設過點的直線（）

把代入，得，

整理得

有且只有一個交點，

解得

綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有，

【例3】

已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點．

（1）求的值；

（2）判斷關于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；

（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值．

【思路分析】拿到題目，很多同學不假思索就直接開始代點，然后建立二元方程組，

十分麻煩，計算量大，浪費時間并且可能出錯。但是仔細看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標是一樣的，說明他們關于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個熱點，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察。考生一定要把握平移后解析式發(fā)生的變化，即左加右減(單獨的x),上加下減(表達式整體)然后求出結果。

【解析】

(1)因為點P、Q在拋物線上且縱坐標相同，所以P、Q關于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．

所以，拋物線對稱軸，所以，．

（2）由（1）可知，關于的一元二次方程為=0．

因為，=16-8=80．

所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是

，．

（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式為．

若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數(shù)解即可．

由==0，得

又是正整數(shù)，所以得最小值為2．

【例4】已知拋物線，其中是常數(shù)．

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點（坐標為整數(shù)的點），求此拋物線的解析式．

【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個關于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點式,節(jié)省了時間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點的可能取值.

（1）依題意，得，

∴

∴拋物線的頂點坐標為

（2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點，

∴的根是整數(shù)．

∴是整數(shù)．

∵，

∴是整數(shù)．

∴是整數(shù)的完全平方數(shù)．

∵，

∴．(很多考生想不到這種變化而導致后面無從下手)

∴取1，4，

當時，；當時，．

∴的值為2或．

∴拋物線的解析式為或．

【例5】已知：關于的一元二次方程（為實數(shù)）

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個固定點；

（3）若是整數(shù)，且關于的一元二次方程有兩個不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個單位長度，求平移后的解析式．

【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m-1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點既是求一個和未知系數(shù)無關的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進行因式分解得到y(tǒng)=(mx-x-1)(x+1)就可以看出當x=-1時,Y=0，而這一點恰是拋物線橫過的X軸上固定點.如果想不到因式分解,由于本題固定點的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個根,標準答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因為第二問中已求出另一根,所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單.

解：（1）

∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,

∴

∵,

∴的取值范圍是且.

（2）證明：令得.

∴.

∴(這樣做是因為已經(jīng)知道判別式是,計算量比較小,如果根號內(nèi)不是完全平方就需要注意了)

∴拋物線與軸的交點坐標為,

∴無論取何值，拋物線總過定點

（3）∵是整數(shù)∴只需是整數(shù).

∵是整數(shù)，且,

∴

當時，拋物線為．

把它的圖象向右平移個單位長度，得到的拋物線解析式為

【總結】中考中一元二次方程與二次函數(shù)幾乎也是必考內(nèi)容，但是考點無非也就是因式分解，判別式，對稱軸，兩根范圍，平移以及直線與拋物線的交點問題?？傮w來說這類題目不難，但是需要計算認真，尤其是求根公式的應用一定要注意計算的準確性。這種題目大多包涵多個小問。第一問往往是考驗判別式大于0，不要忘記二次項系數(shù)為0或者不為0的情況。第2,3問基于函數(shù)或者方程對其他知識點進行考察，考生需要熟記對稱軸，頂點坐標等多個公式的直接應用。至于根與系數(shù)的關系（韋達定理）近年來中考已經(jīng)盡量避免提及，雖不提倡但是應用了也不會扣分，考生還是盡量掌握為好，在實際應用中能節(jié)省大量的時間。

第二部分發(fā)散思考

【思考1】已知關于的一元二次方程有實數(shù)根，為正整數(shù).

（1）求的值；

（2）當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線

與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.

【思路分析】去年中考原題,相信有些同學已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關于對稱軸的翻折,旋轉問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問題,一定要熟練掌握關于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.

【思考2】已知：關于的一元二次方程

（1）若求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求的值．

【思路分析】本題也是整根問題，但是不像上題，就三個值一個個試就可以試出來結果。本題給定一個比較大的區(qū)間,所以就需要直接用求根公式來計算.利用已知區(qū)間去求根的判別式的區(qū)間,也對解不等式做出了考察.

【思考3】已知:關于x的一元一次方程kx=x+2①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc

（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.

（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；

（2）求代數(shù)式的值；

（3）求證:關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有兩個不相等的實數(shù)根.

【思路分析】本題有一定難度，屬于拉分題目。第一問還好，分類討論K的取值即可。第二問則需要將k用a,b表示出來,然后代入代數(shù)式進行轉化.第三問則比較繁瑣,需要利用題中一次方程的根為正實數(shù)這一條件所帶來的不等式,去證明二次方程根的判別式大于0.但是實際的考試過程中,考生在化簡判別式的過程中想不到利用已知條件去套未知條件,從而無從下手導致失分.

【思考4】已知：關于的一元二次方程．

（1）求證：不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程的兩個實數(shù)根滿足，求的值．

【思路分析】這一題第二問有些同學想到直接平方來去絕對值,然后用韋達定理進行求解,但是這樣的話計算量就會非常大,所以此題繞過韋達定理,直接用根的判別式寫出,

發(fā)現(xiàn)都是關于m的一次表達式,做差之后會得到一個定值.于是問題輕松求解.這個題目告訴我們高級方法不一定簡單,有的時候最笨的辦法也是最好的辦法.

第三部分思考題解析

【思考1解析】

解：（1）由題意得，．

∴．

∵為正整數(shù)，

∴．

（2）當時，方程有一個根為零；

當時，方程無整數(shù)根；

當時，方程有兩個非零的整數(shù)根．

綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意．

當時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為．

（3）設二次函數(shù)的圖象與軸交于

兩點，則，．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當直線經(jīng)過點時，可得；

當直線經(jīng)過點時，可得．

由圖象可知，符合題意的的取值范圍為．

【思考2解析】

證明：

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）

∵方程有兩個整數(shù)根，必須使且m為整數(shù)．

又∵12＜m＜40，

∴5＜＜9．

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k-1)x=2.

依題意k-1≠0.

∴.

∵方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1=2,k2=3.

（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），

∴0=a-b+kc,kc=b-a.

∴

=

（3）證明：方程②的判別式為Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac.

由a≠0,c≠0,得ac≠0.

(i)若ac0,則-4ac0.故Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)

根.

(ii)證法一:若ac0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc.

Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac

=(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根為正實數(shù)，

∴方程(k-1)x=2的根為正實數(shù).

由x0,20,得k-10.

∴4ac(k-1)0.

∵(a-kc)20,

∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

證法二:若ac0,

∵拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點,

∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc0.

(b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1).

由證法一知k-10,

∴b2-4acb2-4akc0.

∴Δ=b2-4ac0.此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

綜上,方程②有兩個不相等的實數(shù)根.

【思考4解析】

（1）-

不論取何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根

（2）由原方程可得

∴--

∴

又∵

∴

∴-

經(jīng)檢驗：符合題意．

∴的值為4．

一元二次方程學案