小學圓教案

九年級數學圓和圓的位置關系。

3.6圓和圓的位置關系

本節(jié)課要學習的內容是圓和圓的位置關系，其中包括利用平移實驗直觀地探索圓和圓之間的幾種位置關系，通過討論兩圓圓心之間的距離d與兩圓半徑R和r之間的關系來確定兩圓的位置關系．重點和難點是通過學生動手操作和互相交流探索出圓和圓之間的幾種位置關系．

在教學中教師不要只強調結論，要關注學生的動手操作過程，關注他們互相交流的過程．看學生是否能積極地投入到數學活動中去，在他們困難的時候要適時地給予幫助，要多加鼓勵，提高他們學習數學的興趣，只要學生有了興趣就成功了一半，他們就能敢于面對數學活動中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功體驗．

通過學習本節(jié)課的內容，使學生具備一定的識圖能力，體會數學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，敢于發(fā)表自己的觀點，并尊重和理解他人的見解，能從交流中獲益．

教學目標

(一)教學知識點

1．了解圓與圓之間的幾種位置關系．

2．了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯(lián)系．

(二)能力訓練要求

1.經歷探索兩個圓之間位置關系的過程，訓練學生的探索能力．

2．通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關系，發(fā)展學生的識圖能力和動手操作能力．

(三)情感與價值觀要求

1．通過探索圓和圓的位置關系，體驗數學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．

2．經歷探究圖形的位置關系，豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，發(fā)展形象思維．

教學重點

探索圓與圓之間的幾種位置關系，了解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關系的聯(lián)系．

教學難點

探索兩個圓之間的位置關系，以及外切、內切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關

系的過程．

教學方法

教師講解與學生合作交流探索法

教具準備

投影片三張

第一張：(記作§3．6A)

第二張：(記作§3．6B)

第三張：(記作§3．6C)

教學過程

Ⅰ．創(chuàng)設問題情境，引入新課

[師]我們已經研究過點和圓的位置關系，分別為點在圓內、點在圓上、點在圓外三種；還探究了直線和圓的位置關系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關系都有三種．今天我們要學習的內容是圓和圓的位置關系，那么結果是不是也是三種呢?沒有調查就沒有發(fā)言權．下面我們就來進行有關探討．

Ⅱ．新課講解

一、想一想

[師]大家思考一下，在現(xiàn)實生活中你見過兩個圓的哪些位置關系呢?

[生]如自行車的兩個車輪間的位置關系；車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關系；用一只手拿住大小兩個圓環(huán)時兩個圓環(huán)間的位置關系等．

[師]很好，現(xiàn)實生活中我們見過的有關兩個圓的位置很多．下面我們就來討淪這些位置關系分別是什么．

二、探索圓和圓的位置關系

在一張透明紙上作一個⊙O．再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關系?

[師]請大家先自己動手操作，總結出不同的位置關系，然后互相交流．

[生]我總結出共有五種位置關系，如下圖：

[師]大家的歸納、總結能力很強，能說出五種位置關系中各自有什么特點嗎?從公共點的個數和一個圓上的點在另一個圓的內部還是外部來考慮．

[生]如圖：(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；

(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；

(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的內部；

(4)內切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的內部；

(5)內含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的內部．

[師]總結得很出色，如果只從公共點的個數來考慮，上面的五種位置關系中有相同類型嗎?

[生]外離和內含都沒有公共點；外切和內切都有一個公共點，相交有兩個公共點．

[師]因此只從公共點的個數來考慮，可分為相離、相切、相交三種．

經過大家的討論我們可知：

投影片(§3．6A)

(1)如果從公共點的個數，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內部來考慮，兩個圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．

(2)如果只從公共點的個數來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離

外離外切

，相切

內含內切

三、例題講解

投影片(§3．6B)

兩個同樣大小的肥皂泡黏

在一起，其剖面如圖所示

(點O，O′是圓心)，分隔

兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，

TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大?。?/p>

分析：因為兩個圓大小相同，所以半徑OP=O′P＝OO′，又TP、NP分別為兩圓的切線，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°減去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．

解：∵OP＝OO′＝PO′，

∴△PO′O是一個等邊三角形．

∴∠OPO′=60°．

又∵TP與NP分別為兩圓的切線，

∴∠TPO=∠NPO′=90°．

∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°．

四、想一想

如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是軸對稱圖形嗎?如果是，它的對稱軸是什么?切點與對稱軸有什么位置關系?如果⊙O1與⊙O2內切呢?[如圖(2)]

[師]我們知道圓是軸對稱圖形，對稱軸是任一直徑所在的直線，兩個圓是否也組成一個軸對稱圖形呢?這就要看切點了是否在連接兩個圓心的直線上，下面我們用反證法來證明．反證法的步驟有三步：第一步是假設結論不成立；第二步是根據假設推出和已知條件或定理相矛盾的結論；第三步是證明假設錯誤，則原來的結論成立．

證明：假設切點丁不在O1O2上．

因為圓是軸對稱圖形．所以T關于O1O2的對稱點廣也是兩圓的公共點，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假沒不成立．

則T在O1O2上．

由此可知圖(1)是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線，切點與對稱軸的位置關系是切點在對稱軸上．jab88.COm

在圖(2)中應有同樣的結論．

通過上面的討論，我們可以得出結論：兩圓相內切或外切時，兩圓的連心線一定經過切點，圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形，對稱軸是它們的連心線．

五、議一議

投影片(§3．6C)

設兩圓的半徑分別為R和r．

(1)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關系?反之當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定外切嗎?

(2)當兩圓內切時(Rr)，圓心距d與R和r具有怎樣的關系?反之，當d與R和r滿足這一關系時，這兩個圓一定內切嗎?

[師]如圖，請大家互相交流．

[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點是A．因為切點A在連心線O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A＝R+r，即d=R+r：反之，當d＝R+r時，說明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線上，所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．

在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內切，切點是B.因為切點B在連心線O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，當d＝R-r時，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2=O1B-O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內切．

[師]由此可知，當兩圓相外切時，有d=R+r，反過來，當d=R+r時，兩圓相外切，即兩圓相外切d＝R+r

當兩圓相內切時，有d=R-r，反過來，當d＝R-r時，兩圓相內切，即兩圓相內切d＝R-r．

Ⅲ．課堂練習

隨堂練習

Ⅳ．課時小結

本節(jié)課學習了如下內容：

1．探索圓和圓的五種位置關系；

2．討論在兩圓外切或內切情況下，圖形的軸對稱性及對稱軸，以及切點和對稱軸的位置關系；

3．探討在兩圓外切或內切時，圓心距d與R和r之間的關系．

Ⅴ．課后作業(yè)

Ⅵ．活動與探究

已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．

分析：根據兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和，如果設⊙O3的半徑為r，則O1O3=O2O3＝R+r，連接OO3就有OO3⊙O1O2，所以OO2O3構成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r.

解：連接O2O3、OO3，

∴O2OO3＝90°，OO3＝2R-r

O2O3＝R+r，OO2＝R

∴(R+r)2=(2R-r)2+R2．

∴r=R

板書設計

3.6圓和圓的位置關系

一、1．想一想

2．探索圓和圓的位置-關系

3．例題講解

4．想一想

5．議一議

二、課堂練習

三、課時小結

四、課后作業(yè)

備課資料

參考練習

1．⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和4cm，若兩圓外切，則d＝_____；若兩圓內切；則d＝____．

2．如果兩個圓相切，那么切點和兩圓的圓心_____．

3．半徑為5cm的⊙O外一點P，則以點P為圓心且與⊙O相切的⊙P能畫_______個．

4．兩圓半徑之比為3：5，當兩圓內切時，圓心距為4cm，則兩圓外切時圓心距的長為_____．

5．兩圓內切時圓心距是2，這兩圓外切時圓心距是5，兩圓的半徑分別是______、

6．兩圓的半徑分別為10cm和R、圓心距為13cm，若這兩個圓相切，則R的值是

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圓和圓的位置關系(二)

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1、使學生掌握相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦這一性質，

2、通過例題與練習題的教學使學生進一步鞏固圓和圓的位置關系及本節(jié)所學習的性質．

3、逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括問題的能力及推理論證的能力．

教學重點：

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．

教學難點：

利用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質及兩圓相交常用的引輔助線的方法是本節(jié)課的難點．

教學過程：

一、新課引入：

同學們，上節(jié)課我們學習了在同一平面內圓和圓的位置關系及相切兩圓的連心線的性質．本節(jié)課我們在相切兩圓連心線的性質的基礎上，繼續(xù)來學習相交兩圓連心線的性質．教師出示板書：“7．13圓和圓的位置關系(二)”．如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上．那么將相切改成相交，這時連心線又有什么性質呢？教師這樣做有意識留給學生一種懸念，提示給學生能否用類比的方法去探索出結論．

二、新課講解：

為了使學生進一步來學習相交兩圓連心線的性質．向學生提出以下幾個問題：

(1)在平面內圓和圓有幾種位置關系？

(2)要判定圓和圓的位置關系你學過了什么方法？

(3)相切兩圓連心線有什么性質？

(4)如果把相切改成相交，那么連心線又有怎樣的性質呢？

教師引導學生能夠準確地回答上節(jié)課所學習的知識點，把本節(jié)課所要講的內容也拋給學生，啟發(fā)學生去畫圖——觀察——思考——分析——比較——探索出結論．

為了便于思考，教師把學生探索出的結論寫在黑板上：

相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦：

分析：設⊙O1與⊙O2相交于點A、B，O1O2既是⊙O1的對稱軸，又是⊙O2的對稱軸，所以直線O1O2是⊙O1、⊙O2所組成的圖形的對稱軸，將圖形沿O1O2折疊，上、下兩個半圓互相重合，它們的交點重合，所以點A與點B是對稱點．這就得到對稱點A、B的連線被對稱軸O1O2垂直平分．由此可得：

定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．

為了使學生能夠更好地應用相交兩圓連心線的性質和相切兩圓連心線的性質，出示兩組練習題：

練習一，判斷下列語句是否正確：

1．兩圓的連心線過切點，兩圓一定是內切．()

2．相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線．()

3．相切兩圓的連心線必過切點．()

這組題的目的是強化學生對相切兩圓、相交兩圓的性質的掌握，要求語言敘述準確而規(guī)范．

練習二，

(1)圖7-99，已知兩個等圓的半徑為5cm，公共弦長6cm，求圓心距．

本小題由學生回答，教師概括總結方法．

因為O1O2垂直平分AB，交AB于E，所以可得到由一條半徑和弦的一半構成的直角三角形，用勾股定理就得到O2E，從而得到O1O2的長．

(2)書上的例2已知兩個等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點．⊙O1經過點O2．求∠O1AB的度數．

由于通過分析上題學生已初步掌握構造直角三角形方法求解，對于此題可以說是上一題的特殊情況．教師為了不代替學生，讓學生參與到教學活動中，啟發(fā)學生分析解題思路，指導學生上黑板板演，就把例2做為練習題出現(xiàn)．

(3)如圖7-101，⊙O2與以O1為圓心的同心圓相交于A、B、C、D．

求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

分析：欲證明四邊形ABCD是等腰梯形，只需證明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．

這時，教師提出怎樣證明AB∥CD呢？

由學生來分析證明弦AB∥CD．總結出相交兩圓經常引的輔助線是公共弦，有時還可以引連心線．找一名中等生證明這道題，教師把證明過程寫在黑板上，做為參考．

證明：連結O1O2，

∵⊙O2與以O1為圓心的圓相交于A、B、C、D，

∴AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．

∴AB∥CD．

在⊙O2中，∵AB∥CD，

又∵AB≠CD，

∴四邊形ABCD是等腰梯形．

接下來投影出示例3

已知：如圖7-102，A是⊙O1、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點．如果過A的直線MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM與AN有什么關系呢？

教師對例3的處理不是直接給出證明，而是給出命題的題設，啟發(fā)學生探索能得到什么結論．這樣做一方面調動學生的積極性和主動性；另一方面考察學生的思維靈活性和深刻性．

由學生猜想的結論出發(fā)，進一步引導學生證明你的結論是否正確，最后由教師概括出證明的分析思路．

是O1O2中點，由平行線等分線段定理可得AC=AD，而得結論．

證明：過點O1、O2分別作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足為C、D，

又∵PA⊥MN，

∴PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，

∴AC=AD．

∴AM=AN．

鞏固練習：第139頁2題．

三、課堂小結：

本節(jié)課主要講了相交兩圓連心線垂直兩圓的公共弦的性質．

投影出示本節(jié)的知識結構圖：

本節(jié)課學到的方法：

兩圓相交常引輔助線有：(1)公共弦；(2)連心線；(3)構造由半徑、公共弦的一半組成的直角三角形．

四、布置作業(yè)

教材P．152中A組5、6、7、8、9．

圓和圓的位置關系教案

九年級數學直線與圓的位置關系1

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4.5直線與圓的位置關系（二）

班級姓名學號

學習目標

1．復習切線的概念，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。

2．理解切線的性質并能熟練運用.

學習重點：切線的判定方法、切線的性質的運用.

學習難點：對用“反證法”推理切線性質的理解.

教學過程

一、情境創(chuàng)設

1、已知圓的半徑等于5厘米，圓心到直線l的距離是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直線l和圓分別有幾個公共點？分別說出直線l與圓的位置關系。

2、回憶切線的定義。你有哪些方法可以判定直線與圓相切？

方法一：定義——唯一公共點

方法二：數量關系——“d=r”

3、如圖，A為⊙O上一點，你能經過

點A畫出⊙O的切線嗎？

二、探究學習

1.思考

（1）在上述畫圖過程中，你畫圖的依據是什么？（“d=r”）

（2）根據上述畫圖，你認為直線l具備什么條件就是⊙O的切線了？

2.總結

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.交流

判定直線與圓相切的方法：

方法一：定義——唯一公共點

方法二：數量關系——“d=r”

方法三：判定定理——2個條件：

①直線與圓有公共點、

②直線與過公共點的半徑垂直。

4.典型例題

例1.如圖，O是∠ABC的平分線上的一點，OD⊥BC于D，

以O為圓心、OD為半徑的圓與AB相切嗎？為什么？

例題小結：

①常用輔助線——判定直線與圓相切時，作出半徑是常用輔助線

②當直線與圓的公共點已知時，用判定定理，即只要證明直線與過公共點的半徑垂直即可證明是切線；當直線與圓公共點未知時，用“d=r”證明直線是圓的切線。

5.切線性質的探索

（1）如果已知直線與圓相切，那么能得到哪些結論？

性質一：直線與圓唯一公共點

性質二：數量關系——“d=r”

（2）如圖，直線l與⊙O相切于點A，直線l與

OA是否一定垂直？為什么？

6.總結

切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

（3）小結切線的性質：

性質一：直線與圓唯一公共點

性質二：數量關系——“d=r”

性質三：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

例2.如圖，AB是⊙O的直徑，AC＝AB，⊙O交BC于D。DE⊥AC于E，DE是⊙O的切線嗎？為什么？

五、課堂小結

1、理解切線的判定方法以及適用情況；

2、掌握了切線的性質；

3、作常用輔助線的方法。

【課后作業(yè)】

班級姓名學號

1．如圖AB為⊙O的弦，BD切⊙O于點B，OD⊥OA，與AB相交于點C，求證：BD＝CD。

2．如圖①，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點D。圖中互余的角有（）

A1對B2對C3對D4對

3．如圖②，PA切⊙O于點A，弦AB⊥OP，弦垂足為M，AB=4,OM=1,則PA的長為（）

ABCD

4．已知：如圖③，直⊙O線BC切于點C，PD是⊙O的直徑∠A=28°,∠B=26°,∠PDC=

5．如圖，AB是⊙O的直徑，MN切⊙O于點C，且∠BCM=38°，求∠ABC的度數。

6.如圖在△ABC中AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為F求證：直線DE是⊙O的切線

7．如圖，AB,CD,是兩條互相垂直的公路,∠ACP=45°,設計師想在拐彎處用一段圓弧形彎道把它們連接起來（圓弧在A,C兩點處分別與道路相切），你能在圖中畫出圓弧形彎道的示意圖嗎？