小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)的教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽整體的方法輔導(dǎo)教案。

作為老師的任務(wù)寫教案課件是少不了的，大家在用心的考慮自己的教案課件。只有規(guī)劃好了教案課件新的工作計(jì)劃，才能促進(jìn)我們的工作進(jìn)一步發(fā)展！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽整體的方法輔導(dǎo)教案”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

第二十五講整體的方法
我們知道成語(yǔ)“一葉障目”和“只見樹木，不見森林”，它們的意思是說(shuō)，如果過(guò)分關(guān)注細(xì)節(jié)，而忽視全局，我們就不會(huì)真正理解一個(gè)問(wèn)題．
解數(shù)學(xué)題也是這樣，在加強(qiáng)對(duì)局部的研究與分析的基礎(chǔ)上，從整體上把握問(wèn)題．所謂整體方法就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理．
整體方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程(組)、幾何解證等方面有廣泛的應(yīng)用，整體代人、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、設(shè)而不求、幾何中的補(bǔ)形等都是整體方法在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體運(yùn)用．
例題求解
【例1】若x、y、z滿足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，則分式的值為．(安慶市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥原式=，視x+3y與x+y+z為兩個(gè)整體，對(duì)方程組進(jìn)行整體改造．
【例2】若△ABC的三邊長(zhǎng)是a、b、c且滿足，，，則△ABC是()
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥三個(gè)等式結(jié)構(gòu)一樣，孤立地從一個(gè)等式入手，都導(dǎo)不出a、b、c的關(guān)系，不妨從整體疊加入手．
【例3】已知，求多項(xiàng)式的值．
思路點(diǎn)撥直接代入計(jì)算繁難，由已知條件得，兩邊平方有理化，可得到零值多項(xiàng)式，整體代入求值．
【例4】如圖，凸八邊形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2=∠A6，∠A3=∠A7，∠A4=∠A8，試證明：該凸八邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到8條邊的距離之和是一個(gè)定值．
(山東省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥將八邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來(lái)解決，想象完整四邊形截去4個(gè)角就得到八邊形，就可知向外作輔助線，關(guān)鍵是證明對(duì)邊平行．
【例5】已知4×4的數(shù)表，如果把它的任一行或一列中的所有數(shù)同時(shí)變號(hào)，稱為一次變換，試問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次變換，使表中的數(shù)全變?yōu)檎龜?shù)?

思路點(diǎn)拔若按要求去實(shí)驗(yàn)，則實(shí)驗(yàn)次數(shù)不能窮盡，每次變換只改變表中一行(或一列)中4個(gè)數(shù)的符號(hào)，但并不改變這4個(gè)數(shù)乘積的符號(hào)，這是解本例的關(guān)鍵．
注由“殘部”想“整體”，修殘補(bǔ)缺，向外補(bǔ)形，恢復(fù)原形，將其拓展為范圍更廣的、其特征更為明顯，更為熟悉的幾何圖形，這是解復(fù)雜幾何問(wèn)題的常用技巧．
從整體上考察問(wèn)題的數(shù)量性質(zhì)、表現(xiàn)形式是對(duì)整體上不變性質(zhì)、不變量的特性的把握．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．如果，則=．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
2．已知，那么=．
(2001年武漢市中考題)
3．已知是實(shí)數(shù)，且滿足，那么的值是．
(河南省競(jìng)賽題)
4．如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=，則該六邊形ABCDEF的面積是．
5．已知，，則的值為()
A．3D．4C．5D．6(2003年杭州市中考題)
6．買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本需58元；則買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本需()
A．20元B．25元C．30元D．35元
(江蘇省競(jìng)賽題)
7．已知a1，a2，…a2002均為正數(shù)，且滿足M=(a1+a2+…+a2001)(a2+a3+…+a2001－a2002)，N＝(a1+a2+…+a2001－a2002)(a2+a3+…+a2001)，則M與N之間的關(guān)系是()
A．MNB．MNC．M＝ND．無(wú)法確定
(2002年紹興市競(jìng)賽題)
8．已知，且，則等于()
A．105D．100C．75D．50
(北京市競(jìng)賽題)
9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這10個(gè)自然數(shù)填到圖中10個(gè)格子里，每個(gè)格子只填一個(gè)數(shù)，使得“田”字形的4個(gè)格子中所填數(shù)字之和都等于P，求戶的最大值．
(江蘇省競(jìng)賽題)
10．如圖，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度數(shù)．（大學(xué)生范文網(wǎng) wWW.1467.com.Cn）

11．設(shè)，，則的值等于．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
12．已知，，則2=．
(湖北省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
13．若，，則的值是．
14．正數(shù)x1、x2、x3、x4、x5、x6同時(shí)滿足，，，，，，則x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值為．
(上海市競(jìng)賽題)
15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy+x+y=9，z，則的值為()
A．6B．17C．1D．6或17
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=4－，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，則∠D等于()
A．60°B．67．5°C．75°D．無(wú)法確定(重慶市競(jìng)賽題)
17．若實(shí)數(shù)a、b滿足，，則的值為()
A－20B．2C．2或－20D．2或20
18．設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，，，，則x、y、z中至少有一個(gè)()
A．大于零B．等于零C．不大于零D．小于零
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
19．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5－，CD=6，求AD的長(zhǎng)．
20．如圖，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個(gè)整數(shù)M，求M的最小值并完成你的填圖．
21．求系數(shù)a、b、c間的關(guān)系式，使方程有實(shí)數(shù)解．
22．有三種物品，每件的價(jià)格分別為2元、4元和6元，現(xiàn)在用60元買這三種物品，總數(shù)共16件，而錢要恰好用完，則價(jià)格為6元的物品最多買幾件?價(jià)格為2元的物品最少買幾件?
(河南省競(jìng)賽題)

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八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-整體與完形

專題28整體與完形

閱讀與思考
許多幾何問(wèn)題，常因圖形復(fù)雜、不規(guī)則而給解題帶來(lái)困難，這些復(fù)雜、不規(guī)則的圖形，從整體考慮，可看作某種圖形的一部分，如果將它們補(bǔ)充完整，就可得到常見的特殊圖形，那么就能利用特殊圖形的特殊性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這就是解幾何問(wèn)題的補(bǔ)形法，常見的補(bǔ)形方法有：
1.將原圖形補(bǔ)形為最能體現(xiàn)相關(guān)定理、推論、公理的基本圖形；
2.將原圖形補(bǔ)形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；
3.將原圖形補(bǔ)形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形：
例題與求解
【例1】如圖，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝，∠C＝，則∠AFE＝_________度.(北京市競(jìng)賽試題)
解題思路：有平行的條件，不妨將六邊形補(bǔ)形為較為規(guī)整的平行四邊形.

【例2】設(shè)分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是（）.
A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不確定
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
解題思路：從化簡(jiǎn)已知等式入手，并補(bǔ)出相應(yīng)的圖形.

【例3】如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF，AG，與直線BC相交，易證.
若（1）BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；（2）BD為∠ABC的內(nèi)角平分線；（3）CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明.
（黑龍江省中考試題）
解題思路：既有平分線又有垂線，聯(lián)想到等腰三角形性質(zhì)，考慮將圖形補(bǔ)成等腰三角形.

【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝，∠BCD＝，AB＝，BC＝，
CD＝，求AD的長(zhǎng).（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）
解題思路：由于四邊形ABCD是一般四邊形，所以直接求AD比較困難，應(yīng)設(shè)法將AD轉(zhuǎn)化為特殊三角形的邊.
例4題圖例5題圖
【例5】如圖，凸八邊形中，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，∠＝∠，試證明：該凸八邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到8條邊的距離之和是一個(gè)定值.
（山東省競(jìng)賽試題）
解題思路：本例是一個(gè)幾何定值證明問(wèn)題，關(guān)鍵是將八邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題來(lái)解決，若連結(jié)對(duì)角線，則會(huì)破壞一些已知條件，應(yīng)當(dāng)考慮向外補(bǔ)形.

【例6】如圖，在△ABC中，∠ABC＝，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADC＝，且.將△ACD以直線AD為軸作軸對(duì)稱變換，得到△，連結(jié).
(1)證明：⊥;
(2)求∠C的大小.
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津賽區(qū)初賽試題）
解題思路：本題分別考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

能力訓(xùn)練
1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積為12，則BC＋CD＝_____________.（山東省競(jìng)賽試題）
2.如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝，EA＝AB＝BC＝，CD＝DE＝，則這個(gè)五邊形的面積為_______________.
（美國(guó)AHSME試題）
3.如圖，一個(gè)凸六邊形六個(gè)內(nèi)角都是，其中連續(xù)四條邊的長(zhǎng)依次為，則該六邊形的周長(zhǎng)為______________.
4.如圖，ABCDEF是正六邊形，M，N分別是邊CD，DE的中點(diǎn)，線段AM與BN相交于P，則

＝_________.（浙江省競(jìng)賽試題）
5.如圖，長(zhǎng)為的三條線段交于O點(diǎn)，并且∠＝∠＝∠＝，則三個(gè)三角形的面積和__________（填“＜”，“＝”，或“＞”）.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
6.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝，∠B＝∠D＝，BC＝，CD＝，則AB＝().
A.B.C.D.
（廣西壯族自治區(qū)中考試題）
7.如圖，在△ABC中，M為BC中點(diǎn)，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝，AC＝，則MN等于（）.
A.B.C.D.
8.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝，BE⊥AD于E，，則BE的長(zhǎng)為（）
A.B.C.D.
9.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，CD＝，∠B＝，∠C＝，則∠D等于（）
A.B.C.D.條件不夠，無(wú)法求出
（重慶市競(jìng)賽試題）

10.如圖，在△ABC中，E是AC中點(diǎn)，D是BC邊上一點(diǎn)，若BC＝，∠ABC＝，∠BAC＝，∠CED＝，求的值.
11.如圖，設(shè)是的斜邊長(zhǎng)，是直角邊，求證：.
（加拿大中學(xué)生競(jìng)賽試題）
12.如圖，已知八邊形ABCDEFGH所有的內(nèi)角都相等，而且邊長(zhǎng)都是整數(shù).求證：這個(gè)八邊形的對(duì)邊相等.
13.如圖，設(shè)P為△ABC的中位線DE上的一點(diǎn)，BP交AC于N，CP交AB于M，求證：.
（齊齊哈爾市競(jìng)賽試題）
14.一個(gè)圓內(nèi)接八邊形相鄰的四條邊長(zhǎng)是，另四條邊長(zhǎng)是，求八邊形的面積.

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)教案：由中點(diǎn)想到什么

第十八講由中點(diǎn)想到什么
線段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)，它關(guān)聯(lián)著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對(duì)稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么?常見的聯(lián)想路徑是：
1．中線倍長(zhǎng)；
2．作直角三角形斜邊中線；
3．構(gòu)造中位線；
4．構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結(jié)論：
例題求解
【例1】如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點(diǎn)，AB=10cm，則MD的長(zhǎng)為．
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
思路點(diǎn)撥取AB中點(diǎn)N，為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運(yùn)用創(chuàng)造條件．
注證明線段倍分關(guān)系是幾何問(wèn)題中一種常見題型，利用中點(diǎn)是一個(gè)有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線定理；
(2)運(yùn)用中位線定理；
(3)倍長(zhǎng)(或折半)法．
【例2】如圖，在四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=CD，另一組對(duì)邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN．則AB與MN的關(guān)系是()
A．AB=MNB．ABMNC．ABMND．上述三種情況均可能出現(xiàn)
(2001年河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽試題)

思路點(diǎn)撥中點(diǎn)M、N不能直接運(yùn)用，需增設(shè)中點(diǎn)，常見的方法是作對(duì)角線的中點(diǎn)．
【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE、CD，求證：CD=2EC．
(浙江省寧波市中考題)

思路點(diǎn)撥聯(lián)想到與中位線相關(guān)的豐富知識(shí)，將線段倍分關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為線段相等關(guān)系的證明，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)添輔助線．
【例4】已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證FG=(AB+BC+AC)．
若(1)BD、CF分別是△ABC的內(nèi)角平分線(如圖2)；
(2)BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．
(2003年黑龍江省中考題)

思路點(diǎn)撥圖1中FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系的求法(關(guān)鍵是作輔助線)，對(duì)尋求后兩個(gè)圖形中線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系起著重要作用，而由平分線、垂線發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)，這是解題的基礎(chǔ)．
注三角形與梯形的中位線．在位置上涉及到平行，在數(shù)量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關(guān)系和線段長(zhǎng)度的功能，在證明線段倍分關(guān)系、兩直線位置關(guān)系、線段長(zhǎng)度的計(jì)算等方面有著廣泛的應(yīng)用．
【例5】如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、L分別為MN、PQ的中點(diǎn)，求證：KL∥AE且KL=AE．
(2001年天津賽區(qū)試題)
思路點(diǎn)撥通過(guò)連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個(gè)中點(diǎn)的利用創(chuàng)造條件，這是解本例的突破口．
注需要什么，構(gòu)造什么，構(gòu)造基本圖形、構(gòu)造線段的和差(倍分)關(guān)系、構(gòu)造角的關(guān)系等，這是作輔助線的有效思考方法之一．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．BD、CE是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點(diǎn)，BC=8，則GH=．
(2003年廣西中考題)
2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點(diǎn)，則；若D2、E2分別是D1B、E1C的中點(diǎn)，則：若D3、E3分別是D2B、E2C的中點(diǎn).則……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點(diǎn)，則DnEn=(n≥1且n為整數(shù)).
(200l年山東省濟(jì)南市中考題)
3．如圖，△ABC邊長(zhǎng)分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值是．
4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線的長(zhǎng)等于cm．
(2002年天津市中考題)
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=()
A．40B．48C50D．56

6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，若AD=6cm，BC=18㎝，則EF的長(zhǎng)為()
A．8cmD．7cmC．6cmD．5cm
7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點(diǎn)C落在AB上的E點(diǎn)，DE、DF三等分∠ADC，AB的長(zhǎng)為6，則梯形ABCD的中位線長(zhǎng)為()
A．不能確定B．2C．D．+1
(2001年浙江省寧波市中考題)
8．已知四邊形ABCD和對(duì)角線AC、BD，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個(gè)命題：
①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；
②若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；
③若所得四邊形MNPQ為矩形，則AC⊥BD；
④若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD；
⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°；
⑥若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD．
以上命題中，正確的是()
A．①②B．③④C．③④⑤⑥D(zhuǎn)．①②③④
(2001年江蘇省蘇州市中考題)
9．如圖，已知△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE．
(2003年上海市中考題)
10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連結(jié)BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點(diǎn)．

11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F．
(1)求證：EF＝FB；
(2)S△BCE能否為S梯形ABCD的?若不能，說(shuō)明理由；若能，求出AB與CD的關(guān)系．
12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長(zhǎng)為．
(2002年四川省競(jìng)賽題)

13．四邊形ADCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC=．
(重慶市競(jìng)賽題)
14．四邊形ABCD中，ADBC，C、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線分別與EF的延長(zhǎng)線交于H、G，則∠AHE∠BGE(填“”或“=”或“”號(hào))
15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+，則S△ABC等于()
A．B．C．D．
16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點(diǎn)，設(shè)∠DAQ=α，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP＝2α，則CP的長(zhǎng)是()
A．1D．2C．3D．

17．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設(shè)△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系式是()
A．B．C．D．
18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到E、F，使DE=DF，過(guò)E、F分別作CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE=∠PBF．
(2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結(jié)論．
(山東省競(jìng)賽題)
20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結(jié)DE，設(shè)M為D正的中點(diǎn)．
(1)求證：MB=MC；
(2)設(shè)∠BAD=∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問(wèn)：MB；MC是否還能成立?并證明其結(jié)論．
(江蘇省競(jìng)賽題)

21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線MN，過(guò)A、B、C、D4個(gè)頂點(diǎn)分別作MN的垂線AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1．
(1)求證AA1+CCl=BB1+DDl；
(2)如圖乙，直線MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)A與點(diǎn)B、C、D位于直線MN兩側(cè)，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl之間存在什么關(guān)系?
(3)如圖丙，如果將MN再向上移動(dòng)，使其兩側(cè)各有2個(gè)頂點(diǎn)，這時(shí)過(guò)A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DD1之間又存在什么關(guān)系?

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽統(tǒng)計(jì)的思想方法輔導(dǎo)教案

【例題求解】
【例1】現(xiàn)有A，B兩個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)各有45名學(xué)生參加一次測(cè)驗(yàn)．每名參加者可獲得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分這幾種不同的分值中的一種．測(cè)試結(jié)果A班的成績(jī)?nèi)缦卤硭?，B班的成績(jī)?nèi)鐖D所示．
(1)由觀察所得，班的標(biāo)準(zhǔn)差較大；
(2)若兩班合計(jì)共有60人及格，問(wèn)參加者最少獲分才可以及格．
A班
分?jǐn)?shù)0123456789
人數(shù)1357686432
思路點(diǎn)撥對(duì)于(2)，數(shù)一數(shù)兩班在某一分?jǐn)?shù)以上的人數(shù)即可，憑直覺與估計(jì)得出答案．

注：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)，但是它們描述集中趨勢(shì)的側(cè)重點(diǎn)是不同的：
(1)平均數(shù)易受數(shù)據(jù)中少數(shù)異常值的影響，有時(shí)難以真正反映“平均”；
(2)若一組數(shù)據(jù)有數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)，則常用眾數(shù)來(lái)刻畫這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．
【例2】已知數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為，、、的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、的平均數(shù)為()
A．2a+3bB．C．6a+9bD．2a+b
思路點(diǎn)撥運(yùn)用平均數(shù)計(jì)算公式并結(jié)合已知條件導(dǎo)出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)．

【例3】某班同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽．將學(xué)生的成績(jī)(得分取整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組，繪成頻率分布直方圖(如圖)．圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高的比是1：3：6：4：2，最右邊—組的頻數(shù)是6．結(jié)合直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)該班共有多少名同學(xué)參賽?
(2)成績(jī)落在哪組數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的人數(shù)最多，是多少?
(3)求成績(jī)?cè)?0分以上(不含60分)的學(xué)生占全班參賽人數(shù)的百分率．
思路點(diǎn)撥讀圖、讀懂圖，從圖中獲取頻率、組距等相關(guān)信息．

【例4】為估計(jì)，一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0
(1)通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算)；
(2)2001年又劉該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是l0個(gè)樣本飯店每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率(2001年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與1999年相同)；
(3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07米3，求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅．計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：
每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5克，所用木材的密度為0.5×103千克／米3；
(4)假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來(lái)．
思路點(diǎn)撥用樣本的平均水平去估計(jì)總體的平均水平．

注：（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程是：從實(shí)際問(wèn)題中獲取必要的信息——分析處理有關(guān)信息——建立數(shù)學(xué)模型——解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．
（2）通過(guò)圖表獲取數(shù)據(jù)信息，收集、整理分析數(shù)據(jù)，再運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量的意義去分析，這是用統(tǒng)計(jì)的思想方法解決問(wèn)題的基本方式．
思路點(diǎn)撥
【例5】編號(hào)為1到25的25個(gè)彈珠被分放在兩個(gè)籃子A和B中，15號(hào)彈珠在籃子A中，把這個(gè)彈珠從籃子A移到籃子B中，這時(shí)籃子A中的彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，B中彈珠號(hào)碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加，問(wèn)原來(lái)在籃子A中有多少個(gè)彈珠?
思路點(diǎn)撥用字母分別表示籃子A、B彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運(yùn)用方程、方程組等知識(shí)求解．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．某校初二年級(jí)全體320名學(xué)生在電腦培訓(xùn)前后各參加了一次水平相同的考試，考分都以同一標(biāo)準(zhǔn)劃分成“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個(gè)等級(jí)．為了了解電腦培訓(xùn)的效果，用抽簽方式得到其中32名學(xué)生的兩次考試考分等級(jí)，所繪制的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．試結(jié)合圖示信息回答下列問(wèn)題：
(1)這32名學(xué)生培訓(xùn)前考分的中位數(shù)所在的等級(jí)是，培訓(xùn)后考分的中位數(shù)所在的等級(jí)是．
(2)這32名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)，考分等級(jí)“不合格”的百分比由下降到．
(3)估計(jì)該校整個(gè)初二年級(jí)中，培訓(xùn)后考分等級(jí)為“合格”與“優(yōu)秀”的學(xué)生共有名．
(4)你認(rèn)為上述估計(jì)合理嗎?理由是什么?
答：，理由

2．某商店3、4月份出售同一品牌各種規(guī)格的空調(diào)銷售臺(tái)數(shù)如下表：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：
(1)商店平均每月銷售空調(diào)(臺(tái))；
(2)商店出售的各種規(guī)格的空調(diào)中，眾數(shù)是(匹)；
(3)在研究6月份進(jìn)貨時(shí)，商店經(jīng)理決定(匹)的空調(diào)要多進(jìn)；(匹)的空調(diào)要少進(jìn)．
3．為了了解某中學(xué)初三年級(jí)250名學(xué)生升學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，求得．下面是50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布表：
分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率
60．5～70．5正3
70．5～80．5正正60．12
80．5～90．5正正90．18
90．5～100．5正正正正170．34
100．5～110．5正正0．2
110．5～120．5正50．1
合計(jì)501
根據(jù)題中給出的條件回答下列問(wèn)題：
(1)在這次抽樣分析的過(guò)程中，樣本是；
(2)頻率分布表中的數(shù)據(jù)=，=；
(3)估計(jì)該校初三年級(jí)這次升學(xué)考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為分；
(4)耷這次升學(xué)考試中，該校初三年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0．5～100．5范圍內(nèi)的人數(shù)約為人．
4．小明測(cè)得一周的體溫并登記在下表（單位：℃）
星期日一二三四五六周平均體溫
體溫36.636.737.037.3
36.937.136.9
其中星期四的體溫被墨跡污染，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得此日的體溫是()
A．36．?℃B．36．8℃C．36．9℃D．37．0℃
5．甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參加學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：
班級(jí)參加人數(shù)中位數(shù)方差平均字?jǐn)?shù)
甲55149191135
乙55151110135
某同學(xué)根據(jù)上表分析得出如下結(jié)論：①甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)；③甲班的成績(jī)的波動(dòng)情況比乙班的成績(jī)的波動(dòng)大，上述結(jié)論正確的是()
A．①②③B．①②C．①③D．②③
6．今年春季，我國(guó)部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制．下圖是某同學(xué)記載的5月1日至30日每天全國(guó)的SARS新增確診病例數(shù)據(jù)圖，將圖中記載的數(shù)據(jù)每5天作為一組，從左至右分為第一組至第六組，下列說(shuō)法：①第一組的平均數(shù)最大，第六組的平均數(shù)最??；②第二組的中位數(shù)為138；③第四組的眾數(shù)為28；其中正確的有()
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

7．某風(fēng)景區(qū)對(duì)5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變．有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變，平均日總收入持平．問(wèn)風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的？
（2）另一方面，游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對(duì)于調(diào)價(jià)前，實(shí)際上增加了約9.4%．問(wèn)游客是怎樣計(jì)算的？
（3）你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說(shuō)法較能反映整體實(shí)際？
8．甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績(jī)情況如圖所示．

（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?
平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)以上次數(shù)
甲71．21
乙5．4

（2）請(qǐng)從下列四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析.
①?gòu)钠骄鶖?shù)和方差相結(jié)合看；
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）；
③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上次數(shù)相結(jié)合看（分析誰(shuí)的成績(jī)好些）；
④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看（分析誰(shuí)更有潛力）．
9．明湖區(qū)一中對(duì)初二年級(jí)女生仰臥起坐的測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將數(shù)據(jù)整理后，畫出如下頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第二、第三、第四、第六小組的頻率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小組的頻數(shù)是36，根據(jù)所給的圖填空：
(1)第五小組的頻率是，請(qǐng)補(bǔ)全這個(gè)頻率分布圖；
(2)參加這次測(cè)試的女生人數(shù)是；若次數(shù)在24(含24次)以上為達(dá)標(biāo)(此標(biāo)準(zhǔn)為中考體育標(biāo)準(zhǔn))，則該校初二年級(jí)女生的達(dá)標(biāo)率為．
(3)請(qǐng)你用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，以中考體育標(biāo)準(zhǔn)對(duì)明湖區(qū)十二所中學(xué)初二女生仰臥起坐成績(jī)的達(dá)標(biāo)率作一個(gè)估計(jì)．

10．我國(guó)于2000年11月1日起進(jìn)行了第五次全國(guó)人口普查的登記工作，據(jù)第五次人口普查，我國(guó)每10萬(wàn)人中擁有各種受教育程度的人數(shù)如下：具有大學(xué)程度的為3611人；具有高中程度的為11146人；具有初中程度的為33961人；具有小學(xué)程度的為35701人．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下表：
受教育程度每10萬(wàn)人中所占百分比(％)(精確到0.01)
大學(xué)程度
高中程度
初中程度
小學(xué)程度
(2)以下各示意圖中正確的是()．(將正確示意圖數(shù)字代號(hào)填在括號(hào)內(nèi))

11．新華高科技股份有限公司董事會(huì)決定今年用13億資金投資發(fā)展項(xiàng)目，現(xiàn)有6個(gè)項(xiàng)目可供選擇(每個(gè)項(xiàng)目或者被全部投資，或者不被投資)，各項(xiàng)目所需投資金額和預(yù)計(jì)年均收益如下表：
項(xiàng)目ABCDEF
投資(億元)526468
收益(億元)0．550．40．60．40．9l
如果要求所有投資的項(xiàng)目的收益總額不得低于1．6億元，那么，當(dāng)選擇的投資項(xiàng)目是時(shí)，投資的收益總額最大．
12．新華社4月3日發(fā)布了一則由國(guó)家安全生產(chǎn)監(jiān)督管理局統(tǒng)計(jì)的信息；2003年1月至2月全國(guó)共發(fā)生事故17萬(wàn)多起，各類事故發(fā)生情況具體統(tǒng)計(jì)如下：
事故類型事故數(shù)量死亡人數(shù)(單位：人)死亡人數(shù)占各類事故總死亡人數(shù)的百分比
火災(zāi)事故(不含森林草原火災(zāi))54773610
鐵路路外傷亡事故19621409
工礦企業(yè)傷亡事故14171639
道路交通事故11581517290
合計(jì)17396720948
(1)請(qǐng)你計(jì)算出各類事故死亡人數(shù)占總死亡人數(shù)的百分比，填入上表(精確到0.01)；
(2)為了更清楚地表示出問(wèn)題(1)中的百分比，請(qǐng)你完成下面的扇形統(tǒng)計(jì)圖；
(3)請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)提出問(wèn)題(不需要作解答，也不要解釋，但所提的問(wèn)題應(yīng)是利用表中所提供數(shù)據(jù)能求解的)．
13．將最小的31個(gè)自然數(shù)分成A、B兩組，10在A組中，如果把10從A組移到B組，則A組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)增加，B組中各數(shù)的算術(shù)平均數(shù)也增加．問(wèn)A組中原有多少個(gè)數(shù)?
14．某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15道題，下表是對(duì)于做對(duì)(=0，1，2…15)道題的人數(shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)，如果又知其中做對(duì)4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6道題，做對(duì)10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4道題，問(wèn)這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人?
n0123…12131415
做對(duì)n道題的人數(shù)78102l…1563l
參考答案