小學(xué)三年級數(shù)學(xué)教案

八年級數(shù)學(xué)競賽例題雙曲線專題講解。

教案課件是老師需要精心準(zhǔn)備的，到寫教案課件的時候了。在寫好了教案課件計劃后，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！有沒有好的范文是適合教案課件？以下是小編收集整理的“八年級數(shù)學(xué)競賽例題雙曲線專題講解”，希望能為您提供更多的參考。

專題11雙曲線

閱讀與思考
形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實生活中普遍使用的模型，如通過改變電阻來控制電流的變化，從而使舞臺的燈光達到變幻的效果；又如過濕地時，在地面上鋪上木板，人對地面的壓強減小，從而使人不陷入泥中.
反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：
1.反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標(biāo)軸無限延伸，但不能與坐標(biāo)軸相交；
2.k的正負性，決定雙曲線大致位置及y隨x的變化情況；
3.雙曲線上的點是關(guān)于中心對稱的，雙曲線也是軸對稱圖形，對稱軸是直線及.
反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系.如在作圖時都要經(jīng)歷列表、描點、連線的過程；研究它們的性質(zhì)時，都是通過幾個具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.
反比例函數(shù)中的幾何意義是：等于雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線所得的矩形的面積，如圖：
（1）；
（2）.
求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，常通過解由這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到.
求符合某種條件的點的坐標(biāo)，常根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程（組），解方程（組）求得相關(guān)點的坐標(biāo).
解反比例函數(shù)有關(guān)問題時，應(yīng)充分考慮它的對稱性，這樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的周密性.
反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型之一，用反比例函數(shù)解決實際問題，既要分析問題情景，建立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識.
例題與求解
【例1】（1）如圖，已知雙曲線經(jīng)過矩形OABC邊AB的中點F且交BC于點E，四邊形OEBF的面積為2，則.
（蘭州市中考試題）

（2）如圖，△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，點P1，P2在函數(shù)的圖象上，斜邊OA1，A1A2都在x軸上，則點A2的坐標(biāo)是.
（南通市中考試題）
解題思路：對于（1），通過連線，把相關(guān)圖形的面積用k表示；對于（2），設(shè)，，把A，C兩點坐標(biāo)用a，b表示.www.lvshijia.net

【例2】如圖，P是函數(shù)圖象上一點，直線交x軸于點A，交y軸于點B，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F，則的值為.
（北京市競賽試題）
解題思路：設(shè)，把AF，BE用a，b的式子表示.

【例3】如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4.
（1）求k的值；
（2）若雙曲線上一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（3）過原點O的另一條直線l交于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標(biāo).
（福州市中考試題）
解題思路：對于（2），有下列不同的解法：
圖1圖2圖3
對于（3），需要思考的是，四邊形APBQ的形狀，P點與A點有怎樣的位置關(guān)系.
【例4】已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖，已知A點在第一象限且同時在上述兩個函數(shù)的圖象上，求A點坐標(biāo)；
（3）利用（2）的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由.
解題思路：對于（3），應(yīng)分類討論，并注意A點坐標(biāo)隱含的信息.

【例5】一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點M、N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、B，過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連接CD.
（1）若點A，B在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：
①；②.
（2）若點A，B分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論.
圖1圖2
（威海市中考試題）
解題思路：對于（1），通過連線證明面積相等，進而可證AB∥DC，則四邊形ANDC，DCMB為平行四邊形；（2）方法同（1）.

例5的拓展變化：
如圖，點M，N在反比例函數(shù)的圖象上，過點M作ME⊥x軸，過點N作NF⊥y軸，垂足分別為E、F，則MN∥EF.

【例6】點，與點C構(gòu)成邊長是3，4，5的直角三角形，如果點C在反比例函數(shù)的圖象上，求k可能取的一切值.
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題，運用了代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等思想方法.

能力訓(xùn)練
A級
1.已知是反比例函數(shù)，則.
2.若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的正整數(shù)k的值是.
（沈陽市中考試題）
3.已知雙曲線經(jīng)過點，如果，兩點在該雙曲線上，且，那么.（威海市中考試題）
4.已知函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三點，，，則，，的大小關(guān)系是.
5.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A，B兩點，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是.（荊門市中考試題）
6.如圖，B為雙曲線上一點，直線AB平行于y軸交直線于點A，若，則.（武漢市四月調(diào)考試題）
（第5題）（第6題）
7.如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點，過點A作AM⊥x軸于M點，連接BM，若，則k的值是（）
A.2B.C.D.4
（鄂州市中考試題）
（第7題）（第8題）
8.如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點為A、B，過A作y軸的平行線與過B作x軸的平行線相交于點C，則△ABC的面積為（）
A.8B.6C.4D.2
（深圳市中考試題）

9.函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）
（山西省中考試題）
10.如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點，AB⊥x軸于B，且.
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標(biāo)和△AOC的面積.
（黃岡市中考試題）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸、x軸分別交于點A、點B，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點、，過C點作CE⊥y軸于E，過點D作DF⊥x軸于F.
（1）求m，n的值；
（2）求直線AB的函數(shù)解析式；
（3）求證：△AEC≌△DFB.
（溫州市中考試題）

12.如圖所示，已知雙曲線的圖象上有兩點，，且，分別過，向x軸作垂線，垂足為B，D，過，向y軸作垂線，垂足分別為A，C.
（1）若記四邊形和四邊形的面積分別為，，周長分別為，，試比較和，和的大??；
（2）若P是雙曲線上一點，分別過P向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M，N.試問當(dāng)P在何處時四邊形PMON的周長最小，最小值為多少？
（黃岡市特長生選拔賽試題）

B級
1.已知，且與成反比例，與成反比例.且當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，.
2.直線與雙曲線交于，兩點，則.
（荊門市中考試題）
3.如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，C，自點A和點C作x軸的垂線，垂足分別為B和D，則四邊形ABCD的面積等于.
（北京市競賽試題）
（第3題）（第4題）
4.已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點C，B，與雙曲線交于點A，D，若，則k的值為.
（十堰市中考試題）
5.兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當(dāng)點P在的圖象上運動時，有以下結(jié)論：
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；
③PA與PB始終相等；
④當(dāng)點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點.
其中一定正確的是.
（咸寧市中考試題）
6.如圖，正方形OABC，ADEF的頂點A，D，C在坐標(biāo)軸上，點F在AB上，點B，E在函數(shù)的圖象上，則點E的坐標(biāo)是（）
A.B.
C.D.
（紹興市中考試題）
7.如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是曲線和，設(shè)P點在上，PE⊥x軸于點E，交于點A，PD⊥y軸于點D，交于點B，則四邊形PAOB的面積為（）
A.B.C.D.
（浙江省競賽試題）
8.等腰直角三角形ABC位于第一象限，，直角頂點A在直線上，其中A點的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線與△ABC有交點，則k的取值范圍是（）

A.B.
C.D.
（濟南市中考試題）

9.如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數(shù)的圖象上，點是函數(shù)的圖象上的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S.
（1）求B點坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；
（3）寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.
（溫州市中考試題）

10.如圖，已知直線交x軸于A，交y軸于B，P為反比例函數(shù)上一點，過P作x軸平行線交直線l于E，過P作y軸平行線交直線l于F.求的值.

11.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，.
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△MON的面積.
（太原市競賽試題）

12.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸，y軸分別交于點A和點B，且.這條曲線是函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是，由點P向x軸、y軸作垂線PM，PN（垂足分別為M，N），分別與直線AB相交于點E和點F.
（1）設(shè)交點E和F都在線段AB上（如圖），分別求E，F(xiàn)的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示E點坐標(biāo)，用b的代數(shù)式表示F點坐標(biāo)，只需寫出答案，不要求寫出計算過程）；
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用a，b的代數(shù)式表示）；
（3）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相似，請簡要說明理由；
（4）當(dāng)點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，是否有大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論.
（上海市競賽試題）

延伸閱讀

八年級數(shù)學(xué)競賽例題整式的乘除專題講解

專題01整式的乘除

閱讀與思考
指數(shù)運算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下5個公式：，，，，，．
學(xué)習(xí)指數(shù)運算律應(yīng)注意：
1．運算律成立的條件；
2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式或者多項式；
3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．
多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是：
1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；
2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；
3．演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止．
例題與求解
【例1】（1）若為不等式的解，則的最小正整數(shù)的值為．
（“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）
（2）已知，那么．（“華杯賽”試題）
（3）把展開后得，則．（“祖沖之杯”邀請賽試題）
（4）若則
．（創(chuàng)新杯訓(xùn)練試題）
解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求值，可考慮高次多項式用低次多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在允許取值范圍內(nèi)取任何一個值代入計算，故可考慮賦值法；對于（4），可考慮比較系數(shù)法．

【例2】已知，，則等于（）
A．2B．1C．D．（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：為指數(shù)，我們無法求出的值，而，所以只需求出的值或它們的關(guān)系，于是自然想到指數(shù)運算律．

【例3】設(shè)都是正整數(shù)，并且，求的值．（江蘇省競賽試題）
解題思路：設(shè)，這樣可用的式子表示，可用的式子表示，通過減少字母個數(shù)降低問題的難度．

【例4】已知多項式，求的值．
解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)系數(shù)對應(yīng)相等，從而可考慮用比較系數(shù)法．

【例5】是否存在常數(shù)使得能被整除？如果存在，求出的值，否則請說明理由．
解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式×商式”，運用待定系數(shù)法求出的值，所謂是否存在，其實就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解．

【例6】已知多項式能被整除，求的值．（北京市競賽試題）
解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出當(dāng)和時，原多項式的值均為0，從而求出的值．當(dāng)然本題也有其他解法．
能力訓(xùn)練
A級
1．（1）．（福州市中考試題）
（2）若，則．（廣東省競賽試題）
2．若，則．
3．滿足的的最小正整數(shù)為．（武漢市選拔賽試題）
4．都是正數(shù)，且，則中，最大的一個是．
（“英才杯”競賽試題）
5．探索規(guī)律：，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；，個位數(shù)是7；，個位數(shù)是1；，個位數(shù)是3；，個位數(shù)是9；…那么的個位數(shù)字是，的個位數(shù)字是．（長沙市中考試題）
6．已知，則的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
7．已知，那么從小到大的順序是（）
A．B．C．D．
（北京市“迎春杯”競賽試題）
8．若，其中為整數(shù)，則與的數(shù)量關(guān)系為（）
A．B．C．D．
（江蘇省競賽試題）

9．已知則的關(guān)系是（）
A．B．C．D．
（河北省競賽試題）
10．化簡得（）
A．B．C．D．
11．已知，
試求的值．

12．已知．試確定的值．

13．已知除以，其余數(shù)較被除所得的余數(shù)少2，求的值．
（香港中學(xué)競賽試題）

B級
1．已知則=．
2．（1）計算：=．（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）
（2）如果，那么．
（青少年數(shù)學(xué)周“宗滬杯”競賽試題）
3．（1）與的大小關(guān)系是（填“＞”“＜”“＝”）．
（2）與的大小關(guān)系是：（填“＞”“＜”“＝”）．
4．如果則=．（“希望杯”邀請賽試題）
5．已知，則．
（“五羊杯”競賽試題）
6．已知均為不等于1的正數(shù)，且則的值為（）
A．3B．2C．1D．
（“CASIO杯”武漢市競賽試題）
7．若，則的值是（）
A．1B．0C．—1D．2
8．如果有兩個因式和，則（）
A．7B．8C．15D．21
（奧賽培訓(xùn)試題）
9．已知均為正數(shù)，又，，則與的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．關(guān)系不確定
10．滿足的整數(shù)有（）個
A．1B．2C．3D．4

11．設(shè)滿足求的值．

12．若為整數(shù)，且，，求的值．
（美國猶他州競賽試題）

13．已知為有理數(shù)，且多項式能夠被整除．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若為整數(shù)，且．試比較的大小．
（四川省競賽試題）

八年級數(shù)學(xué)競賽例題分式方程專題講解

專題08分式方程

閱讀與思考
分母含有未知數(shù)的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化為整式方程，常用的方法有直接去分母、換元法等．
在解分式方程中，有可能產(chǎn)生增根．盡管增根必須舍去，但有時卻要利用增根，挖掘隱含條件．

例題與求解
【例1】若關(guān)于的方程＝－1的解為正數(shù)，則的取值范圍是______．
（黃岡市競賽試題）
解題思路：化分式方程為整式方程，注意增根的隱含制約．

【例2】已知，其中A，B，C為常數(shù)．求A＋B＋C的值．
（“五羊杯”競賽試題）
解題思路：將右邊通分，比較分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：
（1）；（“五羊杯”競賽試題）
（2）；（河南省競賽試題）
（3）＋＝3．（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）
解題思路：由于各個方程形式都較復(fù)雜，因此不宜于直接去分母．需運用解分式問題、分式方程相關(guān)技巧、方法解．

【例4】（1）方程的解是___________．（江蘇省競賽試題）

（2）方程的解是________．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：仔細觀察分子、分母間的特點，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，尋找解題的突破口．

【例5】若關(guān)于的方程只有一個解，試求的值與方程的解．
（江蘇省競賽試題）
解題思路：化分式方程為整式方程，解題的關(guān)鍵是對原方程“只有一個解”的準(zhǔn)確理解，利用增根解題．
【例6】求方程的正整數(shù)解．（“希望杯”競賽試題）
解題思路：易知都大于1，不妨設(shè)1＜≤≤，則，將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數(shù)的取值作出估計．逐步縮小其取值范圍，求出結(jié)果．

能力訓(xùn)練
A級
1．若關(guān)于x的方程有增根，則的值為________．（重慶市中考試題）
2．用換元法解分式方程時，如果設(shè)＝，并將原方程化為關(guān)于的整式方程，那么這個整式方程是___________．（上海市中考試題）
3．方程的解為__________．（天津市中考試題）
4．兩個關(guān)于的方程與有一個解相同，則＝_______．
（呼和浩特市中考試題）
5．已知方程的兩根分別為，，則方程的根是（）．
A．，B．，C．，D．，
（遼寧省中考試題）
6．關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是（）
A．＞－1B．＞－1且≠0
C．＜－1D．＜－l且≠－2
（孝感市中考試題）
7．關(guān)于的方程的兩個解是1＝，2＝，則關(guān)于的方程的兩個解是（）．
A．，B．－1，C．，D．，
8．解下列方程：
（1）；（蘇州市中考試題）
（2）．（鹽城市中考試題）

9．已知．求10＋5＋的值．

10．若關(guān)于的方程只有一個解（相等的兩根算作一個），求的值．
（黃岡市競賽試題）

11．已知關(guān)于的方程2＋2＋，其中為實數(shù).當(dāng)為何值時，方程恰有三個互不相等的實數(shù)根?求出這三個實數(shù)根.
（聊城市中考試題）

12．若關(guān)于的方程無解，求的值．
（“希望杯”邀請賽試題）

B級
1．方程的解是__________．
（“祖沖之杯”邀請賽試題）
2．方程的解為__________．
3．分式方程有增根，則的值為_________．
4．若關(guān)于的分式方程＝－1的解是正數(shù)，則的取值范圍是______．
（黑龍江省競賽試題）
5．（1）若關(guān)于x的方程無解，則＝__________．（沈陽市中考試題）
（2）解分式方程會產(chǎn)生增根，則＝______．（“希望杯”邀請賽試題）
6．方程的解的個數(shù)為（）．
A．4個B．6個C．2個D．3個
7．關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）．
A．＜lB．＜1且≠0C．≤1D．≤1且≠0
（山西省競賽試題）
8．某工程，甲隊獨做所需天數(shù)是乙、丙兩隊合做所需天數(shù)的倍，乙隊獨做所需天數(shù)是甲、丙兩隊合做所需天數(shù)的倍，丙隊獨做所需天數(shù)是甲、乙兩隊合做所需天數(shù)的倍，則的值是（）．
A．1B．2C．3D．4
（江蘇省競賽試題）
9．已知關(guān)于的方程（2－1）有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若原方程的兩個實數(shù)根為1，2，且，求的值.
（TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試顳）
10．求方程－＋＋2006＝0的正整數(shù)解.
（江蘇省競賽試題）

11．某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟危機影響，電腦價格不斷下降.今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元．如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元．今年銷售額只有8萬元．
（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元?
（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦．已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預(yù)計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案?
（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金a元．要使（2）中所有方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？（齊齊哈爾市中考試題）

八年級數(shù)學(xué)競賽例題心中有數(shù)專題講解

專題12心中有數(shù)

閱讀與思考
現(xiàn)代社會是一個數(shù)字化的社會，我們每個人每天都要和各種各樣的數(shù)字打交道，從國民生產(chǎn)總值、人均消費水平、人口自然增長率、股市綜合指數(shù)，到家庭的水、電、煤氣的月平均數(shù)，學(xué)生的身高、體重、考試成績，都與數(shù)字有關(guān).“用數(shù)據(jù)說話”已成為從事許多工作的基本要求，能用數(shù)據(jù)說話的人必須具備一定的統(tǒng)計知識.
對數(shù)據(jù)進行收集、整理、計算、分析，并在此基礎(chǔ)上作出科學(xué)的推斷，這就是數(shù)據(jù)分析，是統(tǒng)計學(xué)研究的基本范疇和方法，收集數(shù)據(jù)、量化處理的目的在于運用統(tǒng)計結(jié)果進行判斷和決策.
統(tǒng)計學(xué)的基本思想就是用樣本對總體進行估計、推理，即用樣本的平均水平、波動情況、分布規(guī)律等特征估計總體的平均水平、波動情況和分布規(guī)律，是從局部看整體的思想方法.

例題與求解
【例l】在對某班的一次數(shù)學(xué)測試成績進行統(tǒng)計分析中，各分數(shù)段的人數(shù)如圖所示（分數(shù)取正整數(shù)，滿分100分）.請觀察圖形，并回答下列問題：
（1）該班有________名學(xué)生.
（2）69.5~79.5這一組的頻數(shù)是_________，頻率是_________.
（3）請估算該班這次測驗的平均成績.
（黃岡市中考試題）
解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關(guān)信息.

【例2】某學(xué)生通過先求與的平均值，再求得數(shù)與的平均值來計算，，三個數(shù)的平均數(shù).當(dāng)時，這個學(xué)生的最后得數(shù)是（）
A.正確的B.總小于AC.總大于A
D.有時小于A，有時等于AE.有時大于A，有時等于A
（第二屆美國中學(xué)生邀請賽試題）
解題思路：按不同方法計算平均值，作差比較它們的大小.

【例3】某校九年級學(xué)生共有900人，為了解這個年級學(xué)生的體能，從中隨機抽取部分學(xué)生進行1min的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對這次測試結(jié)果的數(shù)據(jù)作出整理，下圖是這四名同學(xué)提供的部分信息：
甲：將全體測試數(shù)據(jù)分成6組繪成直方圖（如圖）；
乙：跳繩次數(shù)不少于105次的同學(xué)占96%；
丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數(shù)都是12；
?。旱冖?、③、④組的頻數(shù)之比為4：17：15．
根據(jù)這四名同學(xué)提供的材料，請解答如下問題：
（1）這次跳繩測試共抽取多少名學(xué)生？各組有多少人？
（2）如果跳繩次數(shù)不少于135次為優(yōu)秀，根據(jù)這次抽查的結(jié)果，估計全年級達到跳繩優(yōu)秀的人數(shù)為多少.
（3）以每組的組中值（每組的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)）作為這組跳繩次數(shù)的代表，估計這批學(xué)生1min跳繩次數(shù)的平均值．
（安徽省中考試題）
解題思路：本題考查了頻率、頻數(shù)的概念和對頻數(shù)直方圖的認識，要理解各組頻率之和為1，各組頻數(shù)之和等于總數(shù)，掌握好這些知識點，自然可以解決問題.
【例4】編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中，把這個彈珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加，籃子B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加．問原來在籃子A中有多少個彈珠？
（第十六屆江蘇競賽試題）
解題思路：用字母分別表示籃子A，B中的彈珠數(shù)及相應(yīng)的平均數(shù)，運用方程（組）來求解.

【例5】某次數(shù)學(xué)競賽共有15道題，下表是對于做對n（n=0，1，2，…，15）道題的人數(shù)的一個統(tǒng)計，如果又知其中做對4道題和4道以上的學(xué)生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學(xué)生每人平均做對4道題，問這個表至少統(tǒng)計了多少人？
問這個表至少統(tǒng)計了多少人？
n0123…12131415
做對n道題的人數(shù)781021…15631
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
解題思路：從統(tǒng)計表中可知做對0~3道題、12~15道題的相應(yīng)總?cè)藬?shù)和總題數(shù)，結(jié)合已知條件，運用方程（組）、不等式（組）等知識方法求解.

【例6】一次中考模擬考試中，兩班學(xué)生數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下：
分數(shù)5060708090100
人數(shù)三（3）251013146
三（4）441621212
請你根據(jù)學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)知識，判斷這兩個班在這次模擬考試中的數(shù)學(xué)成績誰優(yōu)誰次？并說明理由.
解題思路：這是一道開放性試題，看考慮問題是從哪一個側(cè)面入手.本題因未說明從何種角度來考慮，故我們應(yīng)多想幾套方案.

能力訓(xùn)練
A級

1.大連是一個嚴(yán)重缺水的城市，為鼓勵市民珍惜每一滴水，某居委會表彰了100個節(jié)約用水模范戶，5月份這100戶節(jié)約用水的情況如下表：
每戶節(jié)水量（單位：噸）11.21.5
節(jié)水戶數(shù)523018
那么，5月份這100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01噸）_________噸.
（大連市中考試題）
2.某班全體學(xué)生進行了一次籃球投籃練習(xí)，每人投球10個，每投進一球得1分．得分的部分情況如下表所示：
得分012…8910
人數(shù)754…341

已知該班學(xué)生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班

學(xué)生有___________人．
（江蘇競賽試題）
3.甲、乙兩名學(xué)生在相同的條件下各射靶10次，命中的環(huán)數(shù)如下：
甲：78686591074
乙：9578768677
所以應(yīng)確定_______去參加射擊比賽.
4.在綜合實踐課上，六名同學(xué)做的作品的數(shù)量（單位：件）分別是：5，7，3，，6，4，若這組數(shù)據(jù)
的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________件.
（包頭市中考試題）
5.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是（）
A.B.C.D.
（天津市中考試題）
6.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．設(shè)這些零件數(shù)的平均數(shù)為，眾數(shù)為，中位數(shù)為，那么（）
A.B.C.D.
（寧夏中考試題）
7.為了了解某區(qū)九年級7000名學(xué)生，從中抽查了500名學(xué)生的體重.就這個問題而言，下列說法正確的
是（）
A．7000名學(xué)生是總體B．每個學(xué)生是個體
C．500名學(xué)生是樣本D．樣本容量為500
8.已知1~99中有49個偶數(shù)，從這49個偶數(shù)中取出48個數(shù)，其平均數(shù)為，則未取的數(shù)字是（）
A．20B．28C．72D．78
（臺灣省中考試題）
9.甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示：
（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.
（安徽省中考試題）

10.某校要從九年級（1）班和（2）班中各選取10名女同學(xué)組成禮儀隊，選取的女生身高如下：（單位：厘米）
（1）班：168167170165168166171168167170
（2）班：165167169170165168170171168167
（1）補充完成下面的統(tǒng)計分析表
班級平均數(shù)方差中位數(shù)極差
（1）班1681686
（2）班1683.8
（2）請選一個合適的統(tǒng)計量作為選擇標(biāo)準(zhǔn)，說明哪一個班能被選取.
（2013寧夏回族自治區(qū)中考試題）

11.為估計一次性木質(zhì)筷子的用量，2011年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本.這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：
0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.
（1）通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350個營業(yè)日計算）；
（2）2013年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個樣本飯店每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2012年、2013年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率（2012年該縣飯店數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)均與2011年相同）；
（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一套中小學(xué)生桌椅需木材0.07，求該縣2013年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅?
計算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5，所用木材的密度為0.5×103；
（4）假如讓你統(tǒng)計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計知識去做，簡要地用文字表述出來．

12.由9位裁判給參加健美比賽的12名運動員評分.每位裁判對他認為的第1名運動員給1分，第2名運動員給2分，…，第12名運動員給12分，最后評分結(jié)果顯示：每個運動員所得的9個分數(shù)中高、低之差都不大于3.設(shè)各運動員的得分總和分別為，，…，，且，求的最大值.
(第十九屆江蘇省競賽試題)
B級

1.為制定本市初中七、八、九年級學(xué)生校服的生產(chǎn)計劃，有關(guān)部門準(zhǔn)備對180名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種調(diào)查方案：
A、測量少體校中180名男子籃球、排球隊員的身高；
B、查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計資料；
C、在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級中學(xué)，在這六所學(xué)校有關(guān)年級的（1）班中，用抽簽的方法分別選出10名男生，然后測量他們的身高．問：
（1）為了達到估計本市初中這三個年級男生身高分布的目的，你認為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合理，為什么？
答：選________；理由：______________________________________________________________
（2）下表中的數(shù)據(jù)是使用了某種調(diào)查方法獲得的：
初中男生身高情況抽樣調(diào)查表

七年級八年級九年級總計
（頻數(shù)）
143~1531230
153~1631896
163~173243339
173~18361512
183~193003
（注：每組可含最低值，不含最高值）
①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫表中的空格；
②根據(jù)填寫的數(shù)據(jù)繪制頻數(shù)分布直方圖．
（上海市中考試題）
2.為了檢查一批產(chǎn)品的合格率，從中檢查了100個產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：
數(shù)據(jù)

個數(shù)51015202015105
其中，，，…，是從小到大排列的兩位數(shù)，且每個兩位數(shù)與它的反序數(shù)（12的反序數(shù)是21）之和都為完全平方數(shù)，樣本的方差是________.
（遼寧錦州市競賽試題）

3.五名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為米，后兩名的平均身高為米，前兩名的平均身高為，后三名的平均身高為，則與比較（）
A.大B.大C.兩者相等D.無法確定
（“五羊杯”邀請賽試題）
4.已知數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為（）
A.B.C.D.
（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）
5.小林擬將1，2，…，這個數(shù)輸入電腦，求平均數(shù).當(dāng)他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入個數(shù)，平均數(shù)為，假設(shè)這個數(shù)輸入無誤，則漏輸入的一個數(shù)是（）
A.10B.53C.56D.67
（江蘇省競賽試題）
6.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．設(shè)該矩形的長QM=mm，寬MN=mm．
（1）求證：；
（2）當(dāng)矩形PQMN的面積最大時，它的長和寬是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，而、的值又恰好分別是，10，12，13，這5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求與的值．
（廣西壯族自治區(qū)中考試題）

7.某班參加一次智力競賽，共，，三道題，每題或者得滿分或者得0分．其中題滿分20分，、題滿分都為25分，競賽結(jié)果：每個學(xué)生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為29；答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為25；答對題的人數(shù)與答對題的人數(shù)之和為20，問這個班的平均成績是多少.
（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8.元旦聯(lián)歡會某班布置教室，同學(xué)們利用彩紙條粘成一環(huán)套一環(huán)的彩紙鏈，小敏測量了部分彩紙鏈的長度，她得到的數(shù)據(jù)如下表：
紙環(huán)數(shù)（個）
1234…
彩紙鏈長度(cm)
19365370…
（1）把上表中、的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點，猜想與的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；
（2）教室天花板對角線長10m，現(xiàn)需沿天花板對角線各拉一根彩紙鏈，則每根彩紙鏈至少要用多少個紙環(huán)？
（濟南市中考試題）
9.某射擊運動員在一次比賽中，前6次射擊已經(jīng)得到52環(huán)，該項目的記錄是89環(huán)（10次射擊，每次射擊環(huán)數(shù)只取1～10中的正整數(shù)）．
（1）如果他要打破記錄，第7次射擊不能少于多少環(huán)？
（2）如果他第7次射擊成績?yōu)?環(huán)，那么最后3次射擊中要有幾次命中10環(huán)才能打破記錄？
（3）如果他第7次射擊成績?yōu)?0環(huán)，那么最后3次射擊中是否必須至少有一次命中10環(huán)才有可能打破記錄？
（山東省中考試題）

10.“中國夢”關(guān)乎每個人的幸福生活.為進一步感知我們身邊的幸福，展現(xiàn)成都人追夢的風(fēng)采，我市某校開展了以“夢想中國，逐夢成都”為主題的攝影大賽，要求參賽學(xué)生每人交一件作品．現(xiàn)將參賽的50件作品的成績（單位：分）進行統(tǒng)計如下：
等級成績（用表示）
頻數(shù)頻率
A
0.08
B
35

C
110.22
合計
501
請根據(jù)上表提供的信息，解答下列問題：
（1）表中的的值為________，的值為_______；
（2）將本次參賽作品獲得A等級的學(xué)生依次用A1，A2，A3，…表示，現(xiàn)該校決定從本次參賽作品中獲得A等級學(xué)生中，隨機抽取兩名學(xué)生談?wù)勊麄兊膮①愺w會，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到學(xué)生A1和A2的概率．
（2013年成都市中考試題）