小學三年級數(shù)學教案

八年級數(shù)學競賽例題專題-面積法。

專題27面積法
閱讀與思考
平面幾何學的產(chǎn)生源于人們測量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角．
所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識來解決一些直接或間接與面積問題有關(guān)的數(shù)學問題的一種方法．有許多數(shù)學問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借助于有關(guān)面積的知識求解，常常簡捷明快．
用面積法解題的基本思路是：對某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計算，就可得到一個含邊或角的關(guān)系式，化簡這個面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果．
下列情況可以考慮用面積法：
（1）涉及三角形的高、垂線等問題；
（2）涉及角平分線的問題．
例題與求解
【例1】如圖，從等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個等邊三角形的邊長為______________．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手．
等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？
【例2】如圖，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的頂點C在DA上，點D在OB上，點F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()
A．3：1B．2：1
C．3：2D．5：3
解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時通過設(shè)元，即可把幾何問題代數(shù)化來解決．
【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點，F(xiàn)為AB上一點，且BE＝DF，BE與DF交于G，求證：∠BGC＝∠DGC.
（長春市競賽試題）
解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．
【例4】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點D、E、F.
求證：（1）；
（2）.（南京市競賽試題）
解題思路：過P點作平行線，產(chǎn)生比例線段.
【例5】如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點D，且，求的值.
解題思路：利用上例的結(jié)論，通過代數(shù)恒等變形求值.
（黃岡市競賽試題）
【例6】如圖，設(shè)點E，F(xiàn)，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且（是正數(shù)），求四邊形EFGH的面積．
（河北省競賽試題）
解題思路：連對角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比．
線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問題的常用技巧．轉(zhuǎn)化的基本知識有：
(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；
(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；
(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．
能力訓練
1．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD的中點，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.
（福建省中考試題）
2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，則CE＝__________.
（南寧市中考試題）
第1題圖第2題圖第3題圖
3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該八邊形的面積為____________.
（江蘇省競賽試題）
4.在△ABC中，三邊長為，，，表示邊上的高的長，，的意義類似，則(＋＋)的值為____________.（上海市競賽試題）
5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖中三個陰影部分的面積之和的最大值是__________.
（全國競賽試題）
6．如圖，過等邊△ABC內(nèi)一點P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．
A.B.C.D.
（湖北省黃岡市競賽試題）
第5題圖第6題圖第7題圖
7．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，則AD的長是()．
A．2B.C.3D.
8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所成的7個區(qū)域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關(guān)系式是()．
A.+=B.+=
C.+=D．+=
9．已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，，，△ABC的高為．若點P在一邊BC上（如圖1），此時，可得結(jié)論：＋＋＝.
請直接用上述信息解決下列問題：
當點P在△ABC內(nèi)（如圖2）、點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？若成立．請給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．
（黑龍江省中考試題）
10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD、BE、CF相交于P點，AP＝BP＝CP＝6，設(shè)PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．
（“希望杯”邀請賽試題）
11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求證：AE∥BD.
（加拿大數(shù)學奧林匹克試題）

12.如圖，在銳角△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上的三等分點.P，Q，R分別是△ADF，△BDE，△CEF的三條中線的交點.
(1)求△DEF與△ABC的面積比；
(2)求△PDF與△ADF的面積比；
(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比.
13．如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使，
若，求的值．（上海市競賽試題）
14.如圖，一直線截△ABC的邊AB，AC及BC的延長線分別交于F，E，D三點，求證：．
（梅涅勞斯定理）
15．如圖，在△ABC中，已知，求的值.
（“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽試題）

精選閱讀

八年級數(shù)學競賽例題專題-梯形

專題21梯形
閱讀與思考
梯形是一類具有一組對邊平行而另一組對邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).
解決梯形問題的基本思路是：通過適當添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見的輔助線的方法有：
（1）過一個頂點作一腰的平行線（平移腰）；
（2）過一個頂點作一條對角線的平行線（平移對角線）；
（3）過較短底的一個頂點作另一底的垂線；
（4）延長兩腰，使它們的延長線交于一點，將梯形還原為三角形．
如圖所示：

例題與求解
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長度分別為，，那么AB的長是___________.（荊州市競賽試題）
解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．
【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形．
（1）求四邊形ABCD四個內(nèi)角的度數(shù)；
（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎？若能，請你畫出大致的示意圖．
（山東省中考試題）
解題思路：對于（1）、（2），在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)系，從作出梯形的常見輔助線入手；對于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開想象的翅膀，就可設(shè)計出若干種圖形．

【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2，求梯形的高.
（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）
解題思路：由于題目條件中涉及對角線位置關(guān)系，不妨從平移對角線入手．
【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點P在線段AD上，問：滿足條件∠BPC＝900的點P有多少個？
（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）
解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點構(gòu)造等腰三角形．

【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對角線AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點S，P，Q分別為OD，OA，BC的中點．
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：多個中點給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.
【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點，求證：點P到邊AB的距離是AB的一半．
（山東省競賽試題）
解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運用條件EP＝PF的圖形．

能力訓練
A級
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.
（天津市中考試題）
2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)900至DE，連接AE，則△ADE的面積為______________.（寧波市中考試題）
3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長為30cm，則這個等腰梯形的腰長為______________.
4.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位線，G是BC邊上任一點，如果，那么梯形ABCD的面積為__________.（成都市中考試題）
5.等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則梯形的高和中位線的長之間的關(guān)系是()
A．＞B．＝C．＜D．無法確定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，則DC的長度是()
A.B．8C.D.E.
（美國高中考試題）
7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()
A.300B.450C.600D.900
（陜西省中考試
8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點P在BC上移動，則當PA＋PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考試題）
9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點P為BC邊上一點，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．
（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點，BD與EF相交于G．
求證：．
11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E、F分別是AB、AC的中點，CE⊥BF于點O．
求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考試題）
12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，過點E作EF//BC交CD于點F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求點E到BC的距離；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM⊥EF交BC于點M，過M作MN//AB交折線ADC于點N，連接PN，設(shè)EP＝．
①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由．
②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．（江西省中考試題)

B級
1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延長線于點F，則AF＝__________.
（山東省競賽試題）
2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝，設(shè)E為CG中點，F(xiàn)是AB中點，則EF長為_________.
（“希望杯”邀請賽試題）
3.用四條線段：作為四條邊，構(gòu)成一個梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值為_________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）
4.如圖，梯形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于O點，且AO：CO＝3：2，則兩條對角線將梯形分成的四個小三角形面積之比為_________.（安徽省中考試題）
第4題圖第5題圖第6題圖
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的面積為()
A．B．2SC．D．
（重慶市競賽試題）
6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，
DA的中點，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()
A．4B．C．5D．6
（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）
7.如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點，有以下四個命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC＝；②若∠BEC＝，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線，則∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線.其中真命題的個數(shù)是()
A．1個B．2個C．3個D．4個
（重慶市競賽試題）
8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中點，從M作AD的垂線交BC于N，則BN的長等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀請賽試題）
9.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中點，MN⊥AD.求證：
（山東省競賽試題）
10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線交線段EF于點M.求證：點M為EF的中點.
（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

11.已知一個直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對角線的長都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.
（“東方航空杯”上海市競賽試題）

12.如圖1，平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABD的邊BD的三等分點（）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.
（1）求值.
（2）已知，點P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運動，點Q從C同時出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.
（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點M，使過M且與PB，CQ分別交于S，T的直線把PQCB的面積分成相等的兩部分，若存在，請寫出點M的坐標及CM的長度；若不存在，請說明理由.

八年級數(shù)學競賽例題專題-相對相稱—對稱分析法

作為老師的任務寫教案課件是少不了的，大家應該在準備教案課件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有沒有出色的范文是關(guān)于教案課件的？下面是小編為大家整理的“八年級數(shù)學競賽例題專題-相對相稱—對稱分析法”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

專題26相對相稱—對稱分析法

閱讀與思考
當代美國數(shù)學家赫爾曼韋爾指出：對稱盡管你可以規(guī)定其含義或?qū)捇蛘?，然而從古到今都是人們用來理解和?chuàng)造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想.許多數(shù)學問題所涉及的對象具有對稱性（不僅包括幾何圖形中的對稱，而且泛指某些對象在某些方面如圖形、關(guān)系、地位等彼此相對又相稱）.
對稱分析法就是在解題時，充分利用自身條件的某些對稱性輔助解題的一種分析方法，初中階段主要研究下面兩種類型的對稱：
1.代數(shù)中的對稱式
如果把一個多項式的任意兩個字母互換后，所得的多項式不變就稱這個多項式為對稱式，對稱式的本質(zhì)反應的是多元多項式中字母地位相同，任何一個復雜的二元對稱式，都可以用最簡單對稱多項式，表示，一些對稱式的代數(shù)問題，常用最簡對稱式表示將問題解決.
2.幾何圖形的對稱
幾何圖形的對稱指的是軸對稱和中心對稱，一些幾何問題，如果我們作出圖形的對稱軸，或者作出已知點關(guān)于某線（某點）的對稱點，構(gòu)造出軸對稱圖形、中心對稱圖形，那么就能將分散的條件集中起來，容易找到解題途徑.
例題與求解
【例l】如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB，BC的中點，則PM+PN的最小值是.(荊門市中考試題)
解題思路：作M關(guān)于AC的對稱點，連MN交AC于點P，則PM+PN的值最小.
【例2】已知，均為正數(shù)，且，求W=的最小值.
（北京市競賽試題）
解題思路：用代數(shù)的方法求W的最小值較繁，的幾何意義是以a，b為邊的直角三角形的斜邊長，構(gòu)造圖形，運用對稱分析法求出W的最小值.
【例3】已知，求證：（四川省競賽試題）
解題思路：解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是：乘方、配方、換元和引入有理化因式，引入與已知等式地位相對相稱的有理化因式，本例可獲得簡證．

【例4】如圖，凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，
求證：BC＋AD＞AB＋CD.
（“祖沖之杯”邀請賽試題）
解題思路：解題的關(guān)鍵是將有關(guān)線段集中到同一三角形中去，以便運用三角形三邊關(guān)系定理，以AC為對稱軸，將部分圖形翻折．

【例5】如圖，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一點M，N，使BM＋MN的值最小，求這個最小值.（北京市競賽試題）
解題思路：要使BM＋MN的值最小，應該設(shè)法將折線BM＋MN拉直，不妨從作出B點關(guān)于AC的對稱點入手.

能力訓練
1.如圖，六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸.若∠AFC＋∠BCF＝，則∠AFE＋∠BCD的大小是.(武漢市中考試題)
(第1題圖)（第2題圖）（第3題圖）
2.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝2，點E在BC上，且AE＝EC，若將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是.
(濟南市中考試題)
3.如圖，∠AOB＝，P是∠AOB內(nèi)一點，PO＝10，Q，P分別是OA、OB上的動點，則△PQR周長最小值是.
4.比大的最小整數(shù)是.（西安交通大學少年班入學試題）
5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，則PE＋PC的最小值為（）.
A．B．C．D．
6.觀察下列平面圖形，其中是軸對稱圖形的有().
A．1個B．2個C．3個D．4個
(南京市中考試題)
7.如圖，一個牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事情所走的最短距離是（）.
A．英里B．16英里C．17英里D．18英里
（美國中學生競賽試題）
(第5題圖)（第7題圖）（第8題圖）
8.如圖，等邊△ABC的邊長為2，M為AB中點，P為BC上的點，設(shè)PA＋PM的最大值和最小值分別為S和L，則等于（）
A．B．C．D．
9.一束光線經(jīng)三塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應的度數(shù)，已知=，求與的值.（江蘇省競賽試題）

10.求代數(shù)式的最小值.
（“希望杯”邀請賽試題）

11.在一平直河岸同側(cè)有兩個村莊，到的距離分別是3km和2km，．現(xiàn)計劃在河岸上建一抽水站，用輸水管向兩個村莊供水．
方案設(shè)計
某班數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為，且（其中于點）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為，且（其中點與點關(guān)于對稱，與交于點）．

觀察計算
（1）在方案一中，km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學的思路計算，km（用含的式子表示）．
探索歸納
（1）①當時，比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＝”或“＜”）；
②當時，比較大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃健被颉埃肌保?；
（2）對（當時）的所有取值情況進行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應選擇方案一還是方案二？
(河北省中考試題)

12．如圖，已知平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（2，－3），B（4，－1）
（1）若P（，0）是軸上的一個動點，當△PAB的周長最短時，求的值；
（2）若C（，0），D（，0）是軸上的兩個動點，當四邊形ABDC的周長最短時，求a的值；
（3）設(shè)M，N分別為軸和y軸上的動點，問：是否存在這樣的點M（，0）、N（0，），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．
13.在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；
（2）若BD＝1，CD＝2，試求四邊形AEMF的面積．
(寧夏中考試題)
14.閱讀下列材料：
小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，現(xiàn)有一動點P按下列方式在矩形內(nèi)運動：它從A點出發(fā)，沿著AB邊夾角為45的方向作直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45的方向作直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊，沿著BC邊夾角為45的方向作直線運動，當P點碰到CD邊，再沿著與CD邊夾角為45的方向作直線運動…如圖1所示，問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次，P點第一次與D點重合時所經(jīng)過的路線的總長是多少？
小貝的思考是這樣開始的：如圖2，將矩形ABCD沿直線CD折疊，得到矩形A1B1CD，由軸對稱的知識，發(fā)現(xiàn)P2P3＝P2E，P1A＝P1E．
請你參考小貝的思路解決下列問題：
(1)P點第一次與D點重合前與邊相碰次，P點從A點出發(fā)到第一次與D點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是cm．
(2)進一步探究：改變矩形ABCD中AD、AB的長，且滿足AD＞AB，動點P從A點出發(fā)，按照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續(xù)兩次與邊相碰的位置在矩形ABCD相鄰的兩邊上．若P點第一次與B點重合前與邊相碰7次，則AB：AD的值為．

八年級數(shù)學競賽例題專題-配方法

專題25配方法
閱讀與思考
把一個式子或一個式子的部分寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.
配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.
配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應用，運用配方解題的關(guān)鍵在于：
(1)具有較強的配方意識，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如能聯(lián)想起配方法.
(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解
【例1】已知實數(shù)，，滿足，那么_____
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
解題思路：對題設(shè)條件實施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實數(shù)，，c滿足，則代數(shù)式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
解題思路：運用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項及完全平方式的形式.

配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負性，而非負數(shù)有以下重要性質(zhì)；
(1)非負數(shù)的最小值為零；
(2)有限個非負數(shù)的和為零，則每一個非負數(shù)都為零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解題思路：題設(shè)條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.
復合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項都是一個完全平方數(shù).
解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導過程即可.

幾個有趣的結(jié)論：
(1)
(2)
這表明：只出現(xiàn)1個奇數(shù)或只出現(xiàn)1個偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個.

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層時，可以使得這32個人不滿意的總分達到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對這個代數(shù)式進行恰當?shù)呐浞?，進而求出代數(shù)式的最小值.
把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質(zhì)達到增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.
配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得為完全平方數(shù)，求n的值.
(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.

能力訓練
1、計算=_________.
(“希望杯”邀請賽試題)
2、已知，則.
3、，y為實數(shù)，且，則+y的值為__________.
4、當＞2時，化簡代數(shù)式，得___________.
5、已知，當=________，y=______時，的值最小.
(全國通訊賽試題)

6、若，則M－N的值()
A、負數(shù)B、正數(shù)C、非負數(shù)D、可正可負
7、計算的值為()
A、1B、C、D、
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
8、設(shè)，,為實數(shù)，，則x，y，z中至少有一個值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全國初中數(shù)學競賽試題)
9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知實數(shù)，，c滿足，則a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省競賽試題)
解“存在”、“不存在”“至少存在一個”等形式的問題時，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：
設(shè)x1，x2，x3,…xn為實數(shù).
(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個為零；
(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個大于零；
(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個小于零.

11、解方程組(蘇州市競賽試題)

12、能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

13、已知，且，，為自然數(shù)，求，的值.
(天津市競賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且，求，的值.
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜＜160)；
(2)從經(jīng)濟效益來看，你認為該賓館如何制定房間單價，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？