小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)的教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-面積的計(jì)算。

專題23面積的計(jì)算

○閱○讀○與○思○考
計(jì)算圖形的面積是幾何問(wèn)題中一種重要題型，計(jì)算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要知識(shí)：
1.常見(jiàn)圖形的面積公式；
2．等積定理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；
3.等比定理：
(1)同底（或等底）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)高之比；同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)底之比.
(2)相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)線段之比的平方.
熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：
例題與求解
【例1】如圖，△ABC內(nèi)三個(gè)三角形的面積分別為5，8，10，四邊形AEFD的面積為，則＝________.（黃岡市競(jìng)賽試題）
解題思路：圖中有多對(duì)小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線段之比作為解題突破口.
【例2】如圖，在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面積等于()(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)
A．12B．14C．16D．18
解題思路：由中點(diǎn)想到三角形中位線，這樣△ABC與四邊形BCDE面積存在一定的關(guān)系.
【例3】如圖，依次延長(zhǎng)四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使BEAB＝CFBC＝DGCD＝AHDA＝，若S四邊形EFGH＝2S四邊形ABCD，求的值.
解題思路：添加輔助線將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面積比與線段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于的方程.
【例4】如圖，P，Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，PA與CQ相交于點(diǎn)E，且∠PAD＝∠QAD，求證：S矩形ABCD＝S△APQ.
解題思路：圖形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起來(lái)，促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

【例5】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度.過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，AE的長(zhǎng)為y.
(1)求出y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？(江西省中考試題)
解題思路：對(duì)于(1)利用△ADE∽△ABC可得y與的關(guān)系式；對(duì)于(2)先寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再求最大值.

【例6】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn).
求證：(1)PDAD＋PEBE＋PFCF＝1；
(2)PAAD＋PBBE＋PCCF＝2
解題思路：過(guò)點(diǎn)A，P分別作BC的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可以與面積聯(lián)系起來(lái)，把PAAD轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證明.

○能○力○訓(xùn)○練
A級(jí)
1．如圖，?ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm2，則S△CDF的值為_(kāi)_______.(濟(jì)南市中考試題)
2．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為23cm，P為正六邊形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各邊距離之和為_(kāi)______.
3．如圖，P是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD外一點(diǎn)，PB＝PC，△PBD的面積等于48，則△PBC的面積為_(kāi)____________.(北京市競(jìng)賽試題)

4．如圖，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面積分別為30，40，35，84，則△ABC的面積為_(kāi)_______.(浙江省競(jìng)賽試題)
5．如圖，已知AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，DE是Rt△ADC斜邊上的高，如果DC∶AD＝1∶2，S△DCE＝a，那么S△ABC等于()(金華市中考試題)
A．4aB．9aC．16aD．25a
6．如圖，已知M是?ABCD邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積與?ABCD的面積之比為（）（山西省中考試題）
A．16B．14C．13D．512
7．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若S△ADE＝2S△DCE，則S△ADES△ABC等于()
(浙江省寧波市中考試題)
A．14B．12C．23D．49
8．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分面積面積為（）cm2.(廣東省競(jìng)賽試題)
A．4B．23C．33D．43
9．如圖，平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′在正方形ABCD的中心，當(dāng)正方形A′B′C′D′繞A′轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形重合部分的面積必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？證明你的判斷.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
jAb88.cOm

10．如圖，設(shè)凸四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB，CD的中點(diǎn)分別為K，M.求證：S四邊形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..
11．如圖1，AB，CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，S△DMC，S△DAC，S△DBC分別表示△DMC，△DAC，△DBC的面積，當(dāng)AB∥CD時(shí)，有S△DMC＝S△DAC＋S△DBC2………..①.
(1)如圖2，若圖1中AB與CD不平行時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如圖3，若圖1中AB與CD相交于點(diǎn)O時(shí)，問(wèn)S△DMC與S△DAC和S△DBC有何相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論.（安徽省中考試題）
12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′.
(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB′時(shí)，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D，證明：△A′CD是等邊三角形；
(2)如圖2，連接A′A，B′B，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S△ACA′和S△BCB′.求證：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.
(3)如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A′B′的中點(diǎn)為P，AC＝a，連接EP，當(dāng)θ＝_____時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值是____________.（安徽省中考試題）

B級(jí)
1．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7cm2和11cm2，則△CDE的面積等于___________cm2.（武漢市競(jìng)賽試題）
2．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝PB＝10，并且P到CD邊的距離也等于10，那么正方形ABCD的面積是_______________.(北京市競(jìng)賽試題)
3．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC上，DFFC＝1，CEBE＝2，若△ADF的面積為m，四邊形AECF的面積為n(n＞m)，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)__________.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

4．如圖，圖形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于點(diǎn)O，若AC＝5，BD＝12，中位線長(zhǎng)為132，△AOB的面積為S1，△OCD的面積為S2，則S1＋S2＝_________.(山東省競(jìng)賽試題)

5．如圖，分別延長(zhǎng)△ABC的三邊AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，若S△ABC＝1，則S△A′B′C′等于().
A．18B．19C．24D．27
(山東省競(jìng)賽試題)
6．如圖，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)I，BD和AF相交于點(diǎn)H，那么四邊形BEIH的面積是()
A．13B．C．715D．815
(江蘇省競(jìng)賽試題)
7．如圖，矩形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，已知S△ABE＝S△ADF＝13SABCD，則S△AEFS△CEF的值等于()(北京市競(jìng)賽試題)
A．2B．3C．4D．5

8．(1)探究：如圖1，在?ABCD的形外分別作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，連接AC，EF.在圖中找一個(gè)與△FAE全等的三角形，并加以證明.
(2)應(yīng)用：以?ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖2，連接EF，GH，IJ，KL，若?ABCD的面積為5，則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積之和為_(kāi)___________.（長(zhǎng)春市中考試題）
9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底邊QR＝6cm，點(diǎn)B，C，Q，R在同一條直線l上，且C，Q兩點(diǎn)重合，如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為Scm2.
(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求S的值；
(2)當(dāng)4≤t≤10時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(廣州市中考試題)
10．有一根直尺的短邊長(zhǎng)為2cm，長(zhǎng)邊長(zhǎng)為10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角紙板，它的斜邊長(zhǎng)為12cm，如圖1將直尺的短邊DE放置與直角三角紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合將直尺沿AB方向平移，如圖2，設(shè)平移的長(zhǎng)為cm(0≤≤10)，直尺與三角形紙板重疊部分（圖中陰影部分）的面積Scm2.
(1)當(dāng)＝0時(shí)，S＝________，當(dāng)時(shí)，S＝________；
(2)當(dāng)0＜≤4時(shí)，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)4＜＜10時(shí)，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.(徐州市中考試題)

11．如圖，設(shè)H是等腰三角形ABC的三邊上的高線的交點(diǎn)，在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變?。ㄈ员３秩切螢榈妊切危@時(shí)的值變大、變小、還是不變?證明你的結(jié)論.

12．(1)請(qǐng)你在圖1中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；
(2)如圖2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)你在圖2中過(guò)點(diǎn)M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；
(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.開(kāi)發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn)P(4，2)處.為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路(路的寬不計(jì))，并且使這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分.你認(rèn)為直線l是否存在?若存在，求出直線l的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(陜西省中考試題)

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八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-梯形

專題21梯形
閱讀與思考
梯形是一類具有一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).
解決梯形問(wèn)題的基本思路是：通過(guò)適當(dāng)添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見(jiàn)的輔助線的方法有：
（1）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線（平移腰）；
（2）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線（平移對(duì)角線）；
（3）過(guò)較短底的一個(gè)頂點(diǎn)作另一底的垂線；
（4）延長(zhǎng)兩腰，使它們的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，將梯形還原為三角形．
如圖所示：

例題與求解
【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的長(zhǎng)度分別為，，那么AB的長(zhǎng)是___________.（荊州市競(jìng)賽試題）
解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形．
【例2】如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊形．
（1）求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；
（2）試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？若能，請(qǐng)你畫出大致的示意圖．
（山東省中考試題）
解題思路：對(duì)于（1）、（2），在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)系，從作出梯形的常見(jiàn)輔助線入手；對(duì)于（3），在（2）的基礎(chǔ)上，展開(kāi)想象的翅膀，就可設(shè)計(jì)出若干種圖形．

【例3】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2，求梯形的高.
（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）
解題思路：由于題目條件中涉及對(duì)角線位置關(guān)系，不妨從平移對(duì)角線入手．
【例4】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點(diǎn)P在線段AD上，問(wèn)：滿足條件∠BPC＝900的點(diǎn)P有多少個(gè)？
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
解題思路：根據(jù)AB＋DC＝AD這一關(guān)系，可以在AD上取點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形．

【例5】如圖，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，對(duì)角線AC，BD相交于O，∠ACD＝600，點(diǎn)S，P，Q分別為OD，OA，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：多個(gè)中點(diǎn)給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.
【例6】如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半．
（山東省競(jìng)賽試題）
解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要構(gòu)造能運(yùn)用條件EP＝PF的圖形．

能力訓(xùn)練
A級(jí)
1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，則下底角的度數(shù)是__________.
（天津市中考試題）
2.如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900至DE，連接AE，則△ADE的面積為_(kāi)_____________.（寧波市中考試題）
3．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周長(zhǎng)為30cm，則這個(gè)等腰梯形的腰長(zhǎng)為_(kāi)_____________.
4.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位線，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果，那么梯形ABCD的面積為_(kāi)_________.（成都市中考試題）
5.等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，則梯形的高和中位線的長(zhǎng)之間的關(guān)系是()
A．＞B．＝C．＜D．無(wú)法確定
6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝，∠BCD＝，∠CDA＝，則DC的長(zhǎng)度是()
A.B．8C.D.E.
（美國(guó)高中考試題）
7．如圖，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，則∠DBC的度數(shù)是()
A.300B.450C.600D.900
（陜西省中考試
8．如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA＋PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為()
A．B．C．D．3
（鄂州市中考試題）
9．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G．求證：PE＋PF＝BG．
（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F(xiàn)分別為AB，AC中點(diǎn)，BD與EF相交于G．
求證：．
11.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．
求證：（1）四邊形EBCF是等腰梯形；
（2）．（深圳市中考試題）
12.如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交CD于點(diǎn)F，AB＝4，BC＝6，∠B＝．
（1）求點(diǎn)E到BC的距離；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN//AB交折線ADC于點(diǎn)N，連接PN，設(shè)EP＝．
①當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（江西省中考試題)

B級(jí)
1.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延長(zhǎng)BD到E，使DE＝DB，作
EF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則AF＝__________.
（山東省競(jìng)賽試題）
2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD＝，設(shè)E為CG中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)為_(kāi)________.
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
3.用四條線段：作為四條邊，構(gòu)成一個(gè)梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長(zhǎng)的最大值為_(kāi)________.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）
4.如圖，梯形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，且AO：CO＝3：2，則兩條對(duì)角線將梯形分成的四個(gè)小三角形面積之比為_(kāi)________.（安徽省中考試題）
第4題圖第5題圖第6題圖
5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，若△DEC的面積為S，則四邊形ABCD的面積為()
A．B．2SC．D．
（重慶市競(jìng)賽試題）
6.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝，∠C＝，E，M，F(xiàn)，N分別為AB，BC，CD，
DA的中點(diǎn)，已知BC＝7，MN＝3，則EF的值為()
A．4B．C．5D．6
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）
7.如圖，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：①若AB＋DC＝BC，則∠BEC＝；②若∠BEC＝，則AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分線，則∠BEC＝；
④若AB＋DC＝BC，則CE是∠DCB的平分線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
（重慶市競(jìng)賽試題）
8.如圖，四邊形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是AD的中點(diǎn)，從M作AD的垂線交BC于N，則BN的長(zhǎng)等于()
A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm
（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
9.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中點(diǎn)，MN⊥AD.求證：
（山東省競(jìng)賽試題）
10.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線交線段EF于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).
（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11.已知一個(gè)直角梯形的上底是3，下底是7，且兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.
（“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題）

12.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABD的邊BD的三等分點(diǎn)（）交AB于E，AB＝12，四邊形OEBF的面積為16.
（1）求值.
（2）已知，點(diǎn)P從A出發(fā)以0.5cm/s速度沿AB、BD向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，四邊形PQCB為等腰梯形（如圖2）.
（3）在（2）條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點(diǎn)M，使過(guò)M且與PB，CQ分別交于S，T的直線把PQCB的面積分成相等的兩部分，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)及CM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-配方法

專題25配方法
閱讀與思考
把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.
配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.
配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見(jiàn)的等式有：
1、
2、
3、
4、
配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用配方解題的關(guān)鍵在于：
(1)具有較強(qiáng)的配方意識(shí)，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如能聯(lián)想起配方法.
(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開(kāi)又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解
【例1】已知實(shí)數(shù)，，滿足，那么_____
(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
解題思路：對(duì)題設(shè)條件實(shí)施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實(shí)數(shù)，，c滿足，則代數(shù)式的最大值是()
A、27B、18C、15D、12
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
解題思路：運(yùn)用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項(xiàng)及完全平方式的形式.

配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；
(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；
(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零.
【例3】已知，求a+b+c的值.
解題思路：題設(shè)條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.
復(fù)合根式的化簡(jiǎn)，含多元的根式等式問(wèn)題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù).
解題思路：，由此可猜想，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過(guò)程即可.

幾個(gè)有趣的結(jié)論：
(1)
(2)
這表明：只出現(xiàn)1個(gè)奇數(shù)或只出現(xiàn)1個(gè)偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無(wú)限多個(gè).

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問(wèn)：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：通過(guò)引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對(duì)這個(gè)代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞剑M(jìn)而求出代數(shù)式的最小值.
把代數(shù)式通過(guò)湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問(wèn)題條件的目的，這種解題方法叫配方法.
配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得為完全平方數(shù)，求n的值.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問(wèn)題.

能力訓(xùn)練
1、計(jì)算=_________.
(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
2、已知，則.
3、，y為實(shí)數(shù)，且，則+y的值為_(kāi)_________.
4、當(dāng)＞2時(shí)，化簡(jiǎn)代數(shù)式，得___________.
5、已知，當(dāng)=________，y=______時(shí)，的值最小.
(全國(guó)通訊賽試題)

6、若，則M－N的值()
A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、可正可負(fù)
7、計(jì)算的值為()
A、1B、C、D、
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
8、設(shè)，,為實(shí)數(shù)，，則x，y，z中至少有一個(gè)值()
A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)
9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個(gè)自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()
A、B、C、
D、E、
10、已知實(shí)數(shù)，，c滿足，則a+b+c的值等于()
A、2B、3C、4D、5
(河北省競(jìng)賽試題)
解“存在”、“不存在”“至少存在一個(gè)”等形式的問(wèn)題時(shí)，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：
設(shè)x1，x2，x3,…xn為實(shí)數(shù).
(1)若則x1，x2，x3,…xn中至少有(或存在)一個(gè)為零；
(2)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)大于零；
(3)若，則x1，x2，x3，…xn中至少有(或存在)一個(gè)小于零.

11、解方程組(蘇州市競(jìng)賽試題)

12、能使是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

13、已知，且，，為自然數(shù)，求，的值.
(天津市競(jìng)賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且，求，的值.
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價(jià)x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜＜160)；
(2)從經(jīng)濟(jì)效益來(lái)看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價(jià)，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？

八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

每個(gè)老師需要在上課前弄好自己的教案課件，是認(rèn)真規(guī)劃好自己教案課件的時(shí)候了。必須要寫好了教案課件計(jì)劃，未來(lái)的工作就會(huì)做得更好！究竟有沒(méi)有好的適合教案課件的范文？以下是小編收集整理的“八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽例題專題-關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

專題22關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想

閱讀與思考
線段的中點(diǎn)把線段分成相等的兩部分，圖形中出現(xiàn)中點(diǎn)，可以引起我們豐富的聯(lián)想：首先它和三角形的中線緊密聯(lián)系；若中點(diǎn)是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結(jié)論；其次，中點(diǎn)又與中位線息息相關(guān)；另外，中點(diǎn)還可以與中心對(duì)稱相連．
解答中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，如作中線倍長(zhǎng)、作直角三角形的斜邊上的中線、構(gòu)造三角形、梯形中位線、構(gòu)造中心對(duì)稱圖形等，如圖所示：
例題與求解
【例1】如圖，△ABC邊長(zhǎng)分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點(diǎn)，且BP⊥AD，M為BC的中點(diǎn)，則PM的值為_(kāi)__________．(安徽省競(jìng)賽試題)
解題思路：∠A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過(guò)作輔助線，點(diǎn)P可變?yōu)槟尘€段的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理解題．

【例2】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD所在的平面上移動(dòng)，始終保持EF∥AB，線段CF，DH的中點(diǎn)分別為M，N，則線段MN的長(zhǎng)度為()(北京市競(jìng)賽試題)

A．102B．172C．173D．2103
解題思路：連接CG，取CG的中點(diǎn)T，構(gòu)造三角形中位線、梯形中位線．

【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝AB，E為AB中點(diǎn)，連接CE，CD，
求證：CD＝2EC．(寧波市競(jìng)賽試題)
解題思路：圖形中有兩個(gè)中點(diǎn)E，B，聯(lián)想到與中點(diǎn)相關(guān)的豐富知識(shí)，將線段倍分關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為線段相等關(guān)系的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)添加輔助線．

【例4】如圖1，P是線段AB上一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，連接CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G，H．
(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，(1)中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；
(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．（營(yíng)口市中考試題）
圖①圖②圖③
解題思路：結(jié)論隨著條件的改變也許發(fā)生變化，但解決問(wèn)題的方法是一致的，即通過(guò)連線，為三角形中位線定理的應(yīng)用創(chuàng)造條件．

【例5】如圖，以△ABC的AB，AC邊為斜邊向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中點(diǎn)，求證：DM＝EM．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）
解題思路：顯然△DBM不全等于△ECM，必須通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形證明DM＝EM．

【例6】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM，BN分別交于P，Q兩點(diǎn)，PM，QN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求證：EF∥AB．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

解題思路：從圖形的形成過(guò)程，逐步探索相應(yīng)結(jié)論．將原問(wèn)題分解為多個(gè)小問(wèn)題．

○能○力○訓(xùn)○練
A級(jí)
1．如圖，若E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是____________．
(1)如果把條件中的四邊形ABCD依次改為矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他條件不變，那么所得的四邊形EFGH分別為_(kāi)______________________；
(2)如果把結(jié)論中的平行四邊形EFGH依次改為矩形、菱形、正方形，那么原四邊形ABCD應(yīng)具備的條件是_______________________．（湖北省黃岡市中考試題）
2．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)______________．(重慶市競(jìng)賽試題)

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，若BC＝16，DE＝5，則AD＝______________．（南京市中考試題）

4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，D，E為BC上的點(diǎn)，連接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______________．
（北京市中考試題）
5．A′，B′，C′，D′順次為四邊形ABCD的各邊的中點(diǎn)，下面條件中使四邊形A′B′C′D′為正方形的條件是（）
A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形
C．四邊形ABCD是等腰梯形D．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD
6．若等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，中位線長(zhǎng)為8cm，則該等腰梯形的面積為（）
A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2
7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，若AD＝6cm，BC＝18cm，則EF的長(zhǎng)為（）
A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm

8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，則EF＋GH＝（）
A．40B．48C．50D．56（泰州市中考試題）
第8題圖第9題圖
9．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于點(diǎn)D，M是BC的中點(diǎn)，求證：DM＝12AB．

10．如圖，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)P，Q，求證：AP＝AQ．

11．在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M．
（1）如圖1，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M⊥MH；
（2）將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；
（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說(shuō)明理由）
(2009年河北省中考試題)

12．在六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分別是邊AB，BC，DE，EF的中點(diǎn)，A1D1＝B1E1．求證：∠CDE＝∠AFE．

B級(jí)
1．如圖，正方形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)E，∠CAD的平分線AF交DE于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)F，若GE＝24，則FC＝_________________．
2．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)F，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，MN分別交BD，AC于點(diǎn)P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，則AC＝_________．（重慶市競(jìng)賽試題）
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC為邊分別向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M為AD的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，則∠MPN＝_________．（北京市競(jìng)賽試題）
4．如圖，已知A為DE的中點(diǎn)，設(shè)△DBC，△ABC，△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是（）
A．S2＝32(S1＋S3)B．S2＝12(S3―S1)C．S2＝12(S1＋S3)D．S2＝32(S3―S1)
5．如圖，在圖形ABCD中，AB∥DC，M為DC的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則()
A．MN＞12(AD＋BC)B．MN＜12(AD＋BC)
C．MN＝12(AD＋BC)D．無(wú)法確定MN與12(AD＋BC)的關(guān)系
6．如圖，凸四邊形ABCD的面積是a，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，那么圖中的陰影部分的面積為()
A．18aB．16aC．14aD．12a
（江蘇省競(jìng)賽試題）
7．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA，CB到點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE＝DF，過(guò)E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于點(diǎn)P．求證：∠PAE＝∠PBF．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8．如圖，銳角△ABC中，作高BD和CE，過(guò)頂點(diǎn)B，C分別作DE的垂線BF和CG，求證：EF＝DG．
（全俄奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝14(AB2＋AC2)．（北京市競(jìng)賽試題）

10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如圖1，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)．
(1)求證：MB＝MC；
(2)設(shè)∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，試問(wèn)：MB＝MC是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由．（江蘇省競(jìng)賽試題）

11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．
(1)如圖1，點(diǎn)C在OA邊上，點(diǎn)D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點(diǎn)，求證：OM⊥BC．
(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(α為銳角)，M為線段AD的中點(diǎn)．
①求證：OM＝12BC；
②OM⊥BC是否還成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

12．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN．
(1)延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)．
①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM＝PN．
(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)PM＝PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3))若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其他條件不變．請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM＝PN是否成立．不必說(shuō)明理由．（沈陽(yáng)市中考試題）