小學(xué)三角形教案

八年級上冊《三角形的邊》學(xué)案。

八年級上冊《三角形的邊》學(xué)案

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
三角形中相關(guān)元素的概念、按邊分類及三角形的三邊關(guān)系．
2．內(nèi)容解析
三角形是一種最基本的幾何圖形，是認(rèn)識其他圖形的基礎(chǔ)，在本章中，學(xué)好了三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)多邊形的相關(guān)內(nèi)容打好基礎(chǔ)，本節(jié)主要介紹與三角形的的概念、按邊分類和三角形三邊關(guān)系，使學(xué)生對三角形的有關(guān)知識有更為深刻的理解．
本節(jié)課的教學(xué)重點：三角形中的相關(guān)概念和三角形三邊關(guān)系．
本節(jié)課的教學(xué)難點：三角形的三邊關(guān)系．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．教學(xué)目標(biāo)
（1）了解三角形中的相關(guān)概念，學(xué)會用符號語言表示三角形中的對應(yīng)元素．
（2）理解并且靈活應(yīng)用三角形三邊關(guān)系．
2．教學(xué)目標(biāo)解析
（1）結(jié)合具體圖形，識三角形的概念及其基本元素．
（2）會用符號、字母表示三角形中的相關(guān)元素，并會按邊對三角形進(jìn)行分類．
（3）理解三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)，并會運用這一性質(zhì)來解決問題．
三、教學(xué)問題診斷分析
在探索三角形三邊關(guān)系的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、推理、交流等活動過程，培養(yǎng)學(xué)生的和推理能力和合作學(xué)習(xí)的精神．
四、教學(xué)過程設(shè)計
1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題
問題回憶生活中的三角形實例，結(jié)合你以前對三角形的了解，請你給三角形下一個定義．
師生活動：先讓學(xué)生分組討論，然后各小組派代表發(fā)言，針對學(xué)生下的定義，給出各種圖形反例，如下圖，指出其不完整性，加深學(xué)生對三角形概念的理解．
【設(shè)計意圖】三角形概念的獲得，要讓學(xué)生經(jīng)歷其描述的過程，借此培養(yǎng)學(xué)生的語言表述能力，加深學(xué)生對三角形概念的理解．
2．抽象概括，形成概念
動態(tài)演示“首尾順次相接”這個的動畫，歸納出三角形的定義．
師生活動：
三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會由抽象到具體的過程，培養(yǎng)學(xué)生的語言表述能力．
補(bǔ)充說明：要求學(xué)生學(xué)會三角形、三角形的頂點、邊、角的概念以及幾何表達(dá)方法．
師生活動：結(jié)合具體圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，讓學(xué)生學(xué)會由文字語言向幾何語言的過渡．
【設(shè)計意圖】進(jìn)一步加深學(xué)生對三角形中相關(guān)元素的認(rèn)知，并進(jìn)一步熟悉幾何語言在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用．
3．概念辨析，應(yīng)用鞏固
如圖，不重復(fù)，且不遺漏地識別所有三角形，并用符號語言表示出來．
1．以AB為一邊的三角形有哪些？
2．以∠D為一個內(nèi)角的三角形有哪些？
3．以E為一個頂點的三角形有哪些？
4．說出ΔBCD的三個角．
師生活動:引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)進(jìn)行思考，加深學(xué)生對三角形中相關(guān)元素概念的理解．
4．拓廣延伸，探究分類
我們知道，按照三個內(nèi)角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，如果要按照邊的大小關(guān)系對三角形進(jìn)行分類，又應(yīng)該如何分呢？小組之間同學(xué)進(jìn)行交流并說說你們的想法．
師生活動：通過討論，學(xué)生類比按角的分類方法按邊對三角形進(jìn)行分類，接著引出等腰三角形及等邊三角形的概念，引導(dǎo)學(xué)生了解等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系，強(qiáng)化學(xué)生對三角形按邊分類的理解．
三角形按邊分類：
【設(shè)計意圖】通過這一活動的設(shè)計，提高學(xué)生分類討論和歸納概括的能力，加深學(xué)生對三角形按邊分類的理解．
5．聯(lián)系實際，突破難點
情境引入：如右圖三角形中，假設(shè)有一只小蟲要從點B出發(fā)沿著三角形的邊爬到點C，它有幾條路線可選擇？各條路線的長一樣嗎？
師生活動：引導(dǎo)學(xué)生討論分析，得到兩條路線：
（1）B直接到C即BC；
（2）先由B到A再到C即BA+AC．
顯然，路線（1）中的BC要短一些，即：BCBA+AC．（為什么？一定要學(xué)生給出依據(jù)：兩點間線段最短）
最后，師生共同得到：
BCAB+ACACAB+BCABAB+AC
即三角形的兩邊之和大于第三邊．
【設(shè)計意圖】根據(jù)“兩點之間線段最短”這一幾何公理，推理出三角形任意兩邊之和大于第三邊，讓學(xué)生親歷知識的形成過程，同時加深對“三角形兩邊之和大于第三邊”的理解．
6．應(yīng)用鞏固
例用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？
解：（１）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm．
x+2x+2x=18．
解得x＝3.6．
所以，三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm．
（2）因為長為4的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論．
如果4cm長的邊為底邊，設(shè)腰長為xcm，
則4+2x=18
解得x＝7．
如果4cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm，
則2×4+x=18
解得x＝10．
因為4+410，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4的等腰三角形．
由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形．
引導(dǎo)學(xué)生通過解決這樣的應(yīng)用問題，特別是（2）中思想方法，讓學(xué)生學(xué)會什么情況下要用到分類討論的思想，并通過問題的解答過程加深對三角形三邊關(guān)系理解．
【設(shè)計意圖】設(shè)計有一定綜合性的題目，考查學(xué)生的靈活運用知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想，還能突破難點加深學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解，一舉多得．
補(bǔ)充說明：應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系時要靈活應(yīng)變，最簡潔的方法只需判斷兩小邊之和大于最大邊即可組成三角形．
師生活動：結(jié)合具體圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，活學(xué)活用．
7．總結(jié)反思
教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題．
（1）三角形的定義？三角形的相關(guān)元素的概念（邊、頂點、角）？三角形的表示方法．
（2）三角形按邊的分類．
（3）三角形三邊之間的關(guān)系．
師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生小結(jié)．
【設(shè)計意圖】學(xué)生共同總結(jié)，互相取長補(bǔ)短，再一次突出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重難點．
8．布置作業(yè)
教科書第8頁第1，2題．jaB88.com

相關(guān)知識

八年級上冊《全等三角形》學(xué)案

八年級上冊《全等三角形》學(xué)案

課題
12.1全等三角形
課時
課程標(biāo)準(zhǔn)
理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角
修改點
教材分析
本節(jié)是這一章的第一節(jié)，這是全章的開篇，也是全等的基礎(chǔ)，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以豐富和加深學(xué)生對已學(xué)圖形的認(rèn)識，同時為學(xué)習(xí)其他圖形打好基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。
課堂目標(biāo)
知識與技能1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性質(zhì)。2、能正確表示兩個全等三角形，能找出全等三角形的對應(yīng)元素。
過程與方法通過觀察、拼圖以及三角形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等活動，來感知兩個三角形全等，以及全等三角形的性質(zhì)。
情感態(tài)度與價值觀通過全等形和全等三角形的學(xué)習(xí)，認(rèn)識和熟悉生活中的全等圖形，認(rèn)識生活和數(shù)學(xué)的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
學(xué)情分析
學(xué)生在七年級學(xué)習(xí)了線段、角、平行線、以及三角形的相關(guān)知識，已初步具有簡單圖形的分析和辨識能力，八年級學(xué)生處于以形象思維為主要思維形式的時期。
學(xué)法指導(dǎo)
自主探究——觀察思考——得出結(jié)論
教學(xué)重點
探究全等三角形的性質(zhì)
教學(xué)難點
正確地識別全等三角形的對應(yīng)元素以及全等三角形性質(zhì)的熟練應(yīng)用
教具
PPT，三角板
教學(xué)過程
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教師活動
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
修改點
一、情景導(dǎo)入
二、新課講授

全等三角形教學(xué)設(shè)計

三、例題講解

三、課堂練習(xí)
三、小結(jié)
活動1：觀察下列圖案，指出這些圖案中形狀與大小相同的圖形
探究
（1）兩張紙重合后剪紙，得到的兩個圖形大小、形狀相同。它們能重合嗎?
（2）同一張底片洗出的兩張尺寸相同的照片大小、形狀相同。
它們能重合嗎?
概念：
能夠完全重合的兩個圖形稱為全等形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
觀察思考：
(1)把△ABC沿直線BC平移得到△DEF
(2)把△ABC沿直線BC翻折180度，得到△DBC
(2)把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到
△ADE
各圖中的三角形全等嗎？
結(jié)論：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
全等三角形的相關(guān)元素：
全等三角形教學(xué)設(shè)計（1）兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。
（2）“全等”用符號“≌”表示：
記作△ABC≌△DEF
注意：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。
全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。
幾何語言：
∵△ABC≌△DFE
∴AB=DF,BC=FE,AC=DE
∴∠A=∠D,∠B=∠F,
∠C=∠E。
例1：找出下列圖中一對全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。
總結(jié)：尋找對應(yīng)元素的規(guī)律
（1）有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；
（2）有公共角的，公共角是對應(yīng)角；
（3）有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；
（4）最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對應(yīng)角；
（5）對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角；
（6）根據(jù)書寫規(guī)范，按照對應(yīng)頂點找對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角。
例2：如圖,△ABD≌△EBC，
全等三角形教學(xué)設(shè)計

1、請找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角.
2、AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的長.
3、如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的長.
課本P32第2題，P33第1,2,3題
談收獲
學(xué)生舉例類似于生活中這樣的圖形
類比給出全等三角形的定義

全等三角形教學(xué)設(shè)計

讓學(xué)生自己找到全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)頂點

練習(xí)本上書寫全等符號
幾何語言的表述
教師板書

小組討論
觀察總結(jié)

學(xué)生口述
教師板書

總結(jié)知識點
讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，

利用多媒體動畫演示，讓學(xué)生觀察前后的圖形特征

加強(qiáng)學(xué)生的幾何語言表述

培養(yǎng)學(xué)生的合作意識

新知識的提升應(yīng)用
板
書
設(shè)
計
12.1全等三角形
一、情景導(dǎo)入五、例題講解
二、全等形、全等三角形的定義六、課堂練習(xí)
三、全等三角形的相關(guān)元素七、小結(jié)
四、全等三角形的性質(zhì)
堂清內(nèi)容:
1、全等形及全等三角形的概念
2、全等三角形的對應(yīng)元素
3、全等三角形的性質(zhì)
教學(xué)反思：
作業(yè)設(shè)計:
正式作業(yè)：課本P33第4,5題
家庭作業(yè)：績優(yōu)

11.1.1　三角形的邊

為了促進(jìn)學(xué)生掌握上課知識點，老師需要提前準(zhǔn)備教案，大家正在計劃自己的教案課件了。只有規(guī)劃好教案課件計劃，這樣我們接下來的工作才會更加好！有哪些好的范文適合教案課件的？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“11.1.1　三角形的邊”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

11.1.1三角形的邊

【教學(xué)目標(biāo)】
1.了解三角形的概念及分類，學(xué)會用符號語言表示三角形.
2.通過具體的實踐活動理解三角形三邊的不等關(guān)系.
【重點難點】
重點：1.了解三角形的概念及分類.
2.通過具體的實踐活動，理解三角形三邊的不等關(guān)系.
難點：1.在具體的圖形中不重復(fù)，且不遺漏地識別所有三角形.
2.三角形三邊不等關(guān)系的應(yīng)用.

┃教學(xué)過程設(shè)計┃
教學(xué)過程設(shè)計意圖
一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
問題1：出示教材第1頁圖片，你能找到哪些我們熟悉的圖形？
學(xué)生回答：三角形、四邊形等.
問題2：在小學(xué)，我們學(xué)過三角形，你了解三角形的哪些性質(zhì)？通過展示現(xiàn)實生活中建筑物的圖片，讓學(xué)生從常見圖形入手，降低知識難度，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣和積極性，并引入新課.
二、師生互動，探究新知
1.觀察三角形的構(gòu)成，探索三角形的概念
問題1：你能畫出一個三角形嗎？
讓學(xué)生畫出三角形，直觀感受三角形的構(gòu)成.
問題2：結(jié)合你畫的三角形，說明三角形是由什么組成的？
學(xué)生回答：三角形是由三條線段組成的.
問題3：什么叫三角形？
學(xué)生回答，教師歸納：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
2.自主學(xué)習(xí)三角形的表示方法及分類
閱讀教材第2頁到第3頁探究前內(nèi)容，回答下列問題.
問題1：根據(jù)右圖回答以下問題：
(1)在三角形中，什么叫邊？什么叫內(nèi)角？什么叫頂點？
(2)如何用符號表示三角形ABC?
(3)如何用小寫字母表示三角形ABC的三條邊？
學(xué)生回答：三角形邊、內(nèi)角、頂點的概念.三角形ABC用符號表示為△ABC.△ABC的邊AB為∠C所對的邊，可以用頂點C的小寫字母c表示，同樣，邊AC可用b表示，邊BC可用a表示.
問題2：如果將三角形分類，按照邊的關(guān)系可以分成幾類？按照角的關(guān)系又如何分類呢？
學(xué)生回答：三角形按照“有幾條邊相等”可以分為：
3.通過觀察實踐，理解三角形三邊關(guān)系
問題1：任意畫一個△ABC，假設(shè)有一只小蟲從點B出發(fā)，沿三角形的邊爬到點C，它有幾條線路可以選擇？各條線路的長一樣嗎？
學(xué)生回答：小蟲從點B出發(fā)沿三角形的邊爬到點C有2條線路：(1)從B→C，即線段BC的長；(2)從B→A→C，即線段BA與線段AC長之和：BA＋AC.
經(jīng)過測量可得BA＋AC＞BC，所以這兩條線路的長不一樣.
根據(jù)“兩點的所有連線中，線段最短”，說明BA＋AC＞BC.
問題2：聯(lián)系三角形的三邊，從問題1中你可以得到怎樣的結(jié)論？
學(xué)生回答：三角形兩邊的和大于第三邊.

本環(huán)節(jié)設(shè)計了階梯式的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了動手畫圖、回顧舊知、歸納總結(jié)三個過程.在歸納總結(jié)時，要留給學(xué)生一定的時間進(jìn)行思考和歸納，教師也要適時進(jìn)行引導(dǎo)和強(qiáng)調(diào).

自學(xué)三角形的表示方法，并能在具體的圖形中不重不漏地識別所有三角形.在表示方法上要注意：在表示△ABC時，三個頂點字母A，B，C的順序可以

改變，所以△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA表示的是同一個三角形.同時，要讓學(xué)生明白，并不是所有的圖形都可以用符號表示，目前只有角和三角形可以分別用“∠”和“△”表示.對于三角形的分類，教師要加以引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考.

通過觀察與實踐，經(jīng)歷猜想與推論的過程，理解三角形三邊的不等關(guān)系.在探究問題的時候，教師要留給學(xué)生一定的時間進(jìn)行思考和討論，同時要引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生運用各種不同的方法說明結(jié)論的正確性.
三、運用新知，解決問題
1.三角形是指()
A.由三條線段所組成的封閉圖形
B.由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形
C.由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形
D.由三條線段首尾順次相接組成的圖形
2.有三根木棒的長度分別為3cm，6cm和4cm，用這些木棒能否圍成一個三角形？為什么？通過漸進(jìn)式的練習(xí)，幫助學(xué)生從基礎(chǔ)出發(fā)，進(jìn)一步加深對三角形的認(rèn)識，形成初步技能.
四、課堂小結(jié)，提煉觀點
1.本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？
2.本節(jié)課你有哪些收獲？圍繞兩個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲.可以讓學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，暢所欲言，加強(qiáng)反思、提煉及知識的歸納，納入自己的知識結(jié)構(gòu)的能力.
五、布置作業(yè)，鞏固提升
1.必做題：教材第8頁第1、2題.
2.選做題：教材第8頁第6、7題.

【板書設(shè)計】
三角形的邊
三角形的概念三角形的分類練習(xí)
三邊關(guān)系定理解析
【教學(xué)反思】
本節(jié)的知識內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一部分有關(guān)三角形的知識的基礎(chǔ)上，對三角形進(jìn)行更深入的研究.在教學(xué)過程中，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生以已有的知識為出發(fā)點進(jìn)行深入思考，從而發(fā)現(xiàn)問題.
在教學(xué)設(shè)計上，注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考，注重交流合作，讓學(xué)生利用自己已有的知識，在獨立思考與交流合作中進(jìn)行更深入的探究，使學(xué)生在經(jīng)歷整個探究過程后，能夠更深入地理解和掌握三角形的概念及三邊的關(guān)系，并獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，提高探究能力和發(fā)現(xiàn)問題的能力.

三角形的邊與角

第九講三角形的邊與角
三角形是最基本的圖形之一，是研究其他復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，三角形的三邊相互制約，三個內(nèi)角之和為定值，邊與角之間有密切的聯(lián)系(如大角對大邊、大邊對大角等)，反映三角形的邊與角關(guān)聯(lián)的基本知識有：三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們在線段。角度的計算、圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用．
解與三角形的邊與角有關(guān)的問題時，往往要用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法(方程、不等式)解幾何計算題及簡單的證明題，按邊或角對三角形進(jìn)行分類．
熟悉以下基本圖形、并證明基本結(jié)論：
(1)∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2)若BD、CO分別為∠ABC、∠ACB的平分線，則∠BOC=90°+∠A；
(3)若BO、CO分別為∠DBC、∠ECB的平分線，則∠BOC=90°－∠A；
(4)若BE、CE分別為∠ABC、∠ACD的平分線，則∠E=∠A．

注：中線、角平分線、高是三角形中的重要線段，它們的差別在于高隨著三角形形狀的不同，可能在三角內(nèi)部、邊上或外部．
代數(shù)法解幾何計算問題的基本思路是通過設(shè)元，運用幾何知識建立方程(組)、不等式(組)，將問題轉(zhuǎn)化為解方程(組)或解不等式(組)．
例題求解
【例1】在△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且∠A∠B∠C，4∠C＝7∠A，則∠B的度數(shù)為．(北京市競賽題)
思路點撥設(shè)∠C＝x°，根據(jù)題設(shè)條件及三角形內(nèi)角和定理把∠A、∠B用x的代數(shù)式表示，建立關(guān)于x的不等式組．
【例2】以1995的質(zhì)因數(shù)為邊長的三角形共有()
A．4個B．7個C．13個D．60個
(河南省競賽題)
思路點撥1995=3×5×7×19，為做到計數(shù)的準(zhǔn)確，可將三角形按邊分類，注意三角形三邊應(yīng)滿足的關(guān)系制約．
【例3】(1)如圖，BE是∠ABD的平分線．CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．
(“希望杯”邀請賽試題)
(2)在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不與B、C重合，求∠BOC的度數(shù)．(“東方航空杯”——上海市競賽題)
思路點撥(1)運用凹邊形的性質(zhì)計算．(2)由O不與B、C重合知，∠B、∠C均非直角，這樣，△ABC既可能是銳角三角形又可能是鈍角三角形，故應(yīng)分兩種情況討論．
【例4】周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個?
(2003年河南省競賽題)
思路點撥不妨設(shè)三角形三邊為a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三邊關(guān)系定理及題設(shè)條件可確定c的取值范圍，以此作為解題的突破口．
注如圖，在凹四邊ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．請讀者證明．
解所研究的問題的圖形形狀不惟一或幾何固形位置關(guān)系不確定或與分類概念相關(guān)的命題時．往往用到分類討論法．

【例5】(1)用長度相等的100根火柴桿，擺放成一個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴桿的根數(shù)．
(大原市競賽題)
(2)現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n2)小段，每段的長為不小于l㎝的整數(shù)．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段．
(第17屆江蘇省競賽題)
思路點撥(1)設(shè)三角形各邊需用火柴桿數(shù)目分別為x、y、3x，綜合運用題設(shè)條件及三角形邊的關(guān)系等知識，建立含等式、不等式的混合組，這是解本例的突破口．
(2)因n段之和為定值150㎝，故欲n盡可能的大，必須每段的長度盡可能小，這樣依題意可構(gòu)造一個數(shù)列．
學(xué)力訓(xùn)練
1．若三角形的三個外角的比是2：3：4，則這個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是．
(2003年河南省競賽題)
2．一條線段的長為a，若要使3a—l，4a+1，12－a這三條線段組成一個三角形，則a的取值范圍是．
3．如圖，在△ABC中，兩條角平分線CD、BE相交于點F，∠A＝60°，則∠DFE＝度．

4．如圖，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，則∠DCE＝．
(用α、β表示)．(山東省競賽題)
5．若a、b、c為三角形的三邊，則下列關(guān)系式中正確的是()
A．B．
C．D．
(江蘇省競賽題)
6．△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足3A5B，3C≤2B，則這個三角形是()
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定
7．如圖，△ABC內(nèi)有三個點D、E、F，分別以A、B、C、D、E、F這六個點為頂點畫三角形，如果每個三角形的頂點都不在另一個三角形的內(nèi)部，那么，這些三角形的所有內(nèi)角之和為()
A．360°B．900°C．1260°D．1440°(重慶市競賽題)

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分線與∠B的外角平分線交于E點，連結(jié)AE，則∠AEB是()
A．50°B．45°C．40°D．35°(山東省競賽題)
9．如圖，已知∠3＝∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．
10．如圖，已知射線ox與射線oy互相垂直，B，A分別為ox、oy上一動點，∠ABx、∠BAy的平分線交于C．
問：B、A在ox、oy上運動過程中，∠C的度數(shù)是否改變?若不改變，求出其值；若改變，說明理由．

11．已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形共有個．
12．三角形的三個內(nèi)角分別為α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，則β的取值范圍．
13．已知△ABC的周長是12，三邊為a、b、c，若b是最大邊，則b的取值范圍是．
14．如圖，E和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長線上，CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，則∠F的大小是．
15．已知△ABC中，∠B=60°，∠C∠A，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，則△ABC的形狀是()
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定
(“希望杯”邀請賽試題)
16．不等邊三角形中，如果有一條邊長等于另外兩條邊長的平均值，那么，最大邊上的高與最小邊上的高的比值的取值范圍是()
A．B．C．1k2D．
17．已知三角形的三邊的長a、b、c都是整數(shù)，且a≤bc，若b=7，則這樣的三角形有()
A．14個B．28個C．21個D．49個
18．如果三角形的一個外角大于這個三角形的某兩個內(nèi)角的2倍，那么這個三角形一定是()
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．直角或鈍角三角形
19．如圖，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度數(shù)．

20．不等邊△ABC的兩條高長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長．
(美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)
21．將長度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4)的一根鉛絲折成各邊的長均為整數(shù)的三角形，記(a，b，c)為三邊的長，且滿足a≤b≤c的一個三角形．
(1)就n＝4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題意的(a，b，c)；
(2)有人根據(jù)(1)中的結(jié)論，便猜想：當(dāng)鉛絲的長度為2n(n為自然數(shù)且n≥4)時，對應(yīng)(a，b，c)的個數(shù)一定是n－3，事實上，這是一個不正確的猜想，請寫出n＝12時的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的個數(shù)；
(3)試將n=12時所有滿足題意的(a，b，c)，按照至少兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題)
22．閱讀以下材料并填空．
平面上有n個點(n≥2)，且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線?
(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；有5個點時，可連成l0條直線……
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S發(fā)現(xiàn)：
(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3．條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成1O條直線；
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：
點的個數(shù)可連成直線條數(shù)
21=S2=
33=S3=
46=S4=
510=S5=
…………
n
(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點以有n種取法，取第二個點B有(n－1)種取法，所以一共可連成n(n－1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2，即Sn=．
(4)結(jié)論：Sn=．
試探究以下問題：平面上有n(n≥3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析：當(dāng)僅有3個點時，可作個三角形；當(dāng)有4個點時，可作個三角形；當(dāng)有5個點時，可作個三角形．
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn,發(fā)現(xiàn)：(填下表)
點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)
3
4
5
…
n

(3)推理：
(4)結(jié)論：
(甘肅省中考題)