高中三角函數(shù)的教案

《角的平分線的性質(zhì)（第2課時）》導學設計。

《角的平分線的性質(zhì)（第2課時）》導學設計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理．

（二）內(nèi)容解析

本節(jié)課是學生在學習了角平分線的性質(zhì)的基礎上，進一步研究角平分線性質(zhì)定理的逆命題是否正確．

教科書首先提出了一個具有實際背景的問題，在公路和鐵路的交叉區(qū)域內(nèi)建一個集貿(mào)市場，學習了角平分線的性質(zhì)，學生可能猜想到集貿(mào)市場應建在公路和鐵路夾角的平分線上．教科書沒有直接給出答案，而是從另一個角度引導，將角的平分線的性質(zhì)的題設和結論交換位置，所得到的結論是否仍然成立？這就引出了“角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”．接著讓學生利用三角形全等證明這個結論．

本節(jié)課學習的內(nèi)容是全等三角形知識的運用和延續(xù)，是今后學習圓的內(nèi)心的基礎．

基于以上分析，本節(jié)課的教學重點是：角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理．

二、目標和目標解析

（一）目標

1．探索并證明角平分線性質(zhì)定理的逆定理．

2．會用角平分線性質(zhì)定理的逆定理解決問題．

（二）目標解析

達成目標1的標志是：學生能準確表述角平分線性質(zhì)定理的逆定理的內(nèi)容．能正確地寫出已知、求證，能運用三角形全等的“HL”判定方法和三角形的性質(zhì)證明角平分線的性質(zhì)的逆定理．

達成目標2的標志是：學生能利用角的平分線的性質(zhì)的逆定理證明與角相等的有關簡單問題．

三、教學問題診斷分析

本節(jié)課的學習中，學生在分清角的平分線的判定的條件和結論，并進行嚴格的邏輯證明過程中常常感到困難．例如，在用符號語言表述判定條件和結論時，不知“距離”應為“條件”還是“結論”．其主要原因是角的平分線的判定是以文字命題的形式給出的，其條件和結論具有一定的隱蔽性．教學時，教師要引導學生分析性質(zhì)中的條件和結論，正確寫出已知和求證．

基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：證明角平分線的判定定理．

四、教學過程設計

（一）引言

上節(jié)課我們已經(jīng)學習了角的平分線的性質(zhì)，如果把它的題設和結論調(diào)換位置，得到的命題還是真命題嗎？

【設計意圖】通過實際問題，復習角平分線的性質(zhì)定理．

（二）探索角平分線的判定定理

問題1寫出角的平分線的性質(zhì)的逆命題．

師生活動：教師提出問題，學生獨立思考．

追問1：上述逆命題成立嗎？你能證明這個結論的正確性嗎？

已知：如圖，QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．

求證：點Q在∠AOB的平分線上．

證明：∵QD⊥OA，QE⊥OB，

∴∠QDO和∠QEO都是直角．

在Rt△QDO和Rt△QEO中，

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）．

∴∠QOD＝∠QOE．

∴點Q在∠AOB的平分線上．

師生活動：教師首先引導學生寫出逆命題，分析命題的條件和結論，如果學生感到困難，可以讓學生將命題寫成“如果……那么……”的形式，最后讓學生畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證，并獨立完成證明過程．

角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．

用幾何語言表示為：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，

∴點Q在∠AOB的平分線上．

師生活動：讓學生分別用文字語言和符號語言概括角平分線的判定定理．

讓學生理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．

（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其他位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

問題2比較分析角平分線的性質(zhì)和判定，填寫下表：

角平分線的性質(zhì)
角平分線的判定
圖形
已知
結論

師生活動：學生獨立完成表格，教師點評補充．

【設計意圖】讓學生通過觀察、猜想、推理證明角平分線的判定定理，體會研究幾何問題的基本思路．通過表格將角平分線的性質(zhì)和判定進行比較，讓學生體會類比的思想．反思判定，可以讓學生進一步體會證明兩個角相等可以利用角平分線的判定，比證兩個三角形全等更簡捷．

（三）鞏固應用

1．如圖，要在S區(qū)建一個廣告牌P，使它到兩條高速公路的距離相等，離兩條公路交叉處500m，請你幫忙設計一下，這個廣告牌P應建于何處？（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）

分析：根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，可知點P在兩條公路形成的夾角的平分線上，設公路的交點為點O，計算可知OP=2.5cm．

2．如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P．

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點P到三邊的垂線段．

證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，

∵BM是∠ABC的角平分線且點P在BM上，

∴PD＝PE．（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

同理PF＝PE．

∴PD=PE=PF．

即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

追問：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？

∵PD=PF，PD⊥AB，PF⊥AC，

∴點P在∠A的平分線上．（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）

結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等．

3．如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點F到三邊的垂線段．

證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M，

∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，

∴FG＝FM．

又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，

∴FM＝FH．

∴FG＝FH．

∴點F在∠DAE的平分線上．

師生活動：學生獨立思考，然后小組交流，派代表回答，教師適時點拔，并板演證明過程．此時教師主要關注學生是否能夠想到如何構造輔助線，并準確地描述輔助線的作法．

【設計意圖】通過訓練，提高學生運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題的能力，培養(yǎng)學生的推理能力．

（四）小結與反思

1．角平分線的性質(zhì)定理和判定定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？

2．應用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理時，怎樣做輔助線？

【設計意圖】通過小結，梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，建立知識之間的聯(lián)系．

（五）課后作業(yè)

教科書第50頁練習第1、2題．

五、目標檢測設計

1．如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠C=50°，點D在AC上，AD=2cm，DE⊥BC于E，且DE=2cm，則∠ABD=

2．平面內(nèi)，到三角形三邊所在直線距離相等的點有（）．

A．4個B．3個C．2個D．1個

3．如圖，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD交BE于點E，求證：AE平分∠FAC．

精選閱讀

角平分線的性質(zhì)（第1課時）教學設計

一般給學生們上課之前，老師就早早地準備好了教案課件，大家在認真準備自己的教案課件了吧。只有制定教案課件工作計劃，可以更好完成工作任務！你們了解多少教案課件范文呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“角平分線的性質(zhì)（第1課時）教學設計”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

11.3角平分線的性質(zhì)（第1課時）

教學設計

教學目標：

知識與技能目標：

1、掌握作角的平分線和作直線垂線的方法

2、學握角平分線的性質(zhì)

情感態(tài)度目標：

1、在探討作角平分線的方法及角平分線的性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，

2、培養(yǎng)學生團結合作精神

教學重點：角平分線的性質(zhì)

教學難點：探索作角平分線的過程

教學工具：多媒體課件。直尺，圓規(guī)等

教學過程設計

程序

教師活動

學生活動

設計意圖

情境

引入

活動一：

問題：（1）在一張紙上任意畫一個角，用剪子剪下，有折疊的方法，如何確定角的平分線？

O問題（2）工人師傅常用作角器來作角的平分線。請看圖：

B

A

C

O

在△AOC和△BOC中

A

B

∴△AOC≌△BOC（SSS）

C

∴OC為∠AOB的角平分線

師：可見，這個作圖示因為保證了兩個條件：

1.OA＝OB

2.AC＝BC

所以作出來的射線OC是∠AOB的平分線！我們能否依據(jù)這個原理設計出一個作角平分線的方法呢？

學生實驗用折紙的方法得到角的平分線。

回答問題，觀看多媒體，

思考，回答問題

觀看多媒體

分析，思考，想象。

1回憶角的平分線定義

2.掌握作角的平分線的簡易方法。

復習己學知識點，為下面研究創(chuàng)造條件

訓練書寫數(shù)學語言

引出作角平分線的方法

講授新知識

活動二：尺規(guī)作角的平分線

畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．

３．作射線ＯＣ．

M

C

A

B

O

N

師收集學生的方案，總結一般方法。

出示多媒體，展示步驟。

A

O

B

E

D

P活動三：已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E

C求證:PD=PE

教師引導學生書寫過程

O

B

A

P

C

D

E

∴∠AOC=∠BOC

又∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°

在△PDO和△PEO中

∴△AOC≌△BOC（AAS）

∴PD＝PE

教師：板書：角平分線的性質(zhì)定理：

O

B

A

P

C

D

E

數(shù)學語言表述為：

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

觀看，回答問題

思考問題，

設計方案

思考，書寫

記憶，理解

記憶，理解

解決實際問題

拓展學生思維

引導角平分線的性質(zhì)定理

總結，規(guī)律化

規(guī)范語言，深化記憶定理

例題講解

概括提高

例已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.
求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.

證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F

∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上

∴PD=PE

（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

同理PE=PF.

∴PD=PE=PF.

D

E

F

A

B

C

P

M

N即點P到邊AB、BC、CA的距離相等

練習：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點Ｐ．求證：點Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．

Ｂ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

G

Ｐ

F

H證明：

∵BD平分∠CBG

PG⊥AGPH⊥BC

∴PH＝PG

同理PH＝PF

于是PH＝PF＝PG

本課小結：本課我們主要學習了兩個內(nèi)容

1.畫一個已知角的角平分線及畫一條已知直線的垂線；

2.角平分線的性質(zhì)：

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

O

B

A

P

C

D

E

∵OC平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD＝PE

學生小組討論，寫出過程

學生思考，寫出過程。

回答問題，概括整理

運用角平分線定理

運用定理，規(guī)范語言

加強記憶

作業(yè)布置

見配套練習

《角平分線的性質(zhì)》導學案

《角平分線的性質(zhì)》導學案
一、教學目標
（一）知識與技能
1.會作已知角的平分線；
2.了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；
3.會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明與計算.
（二）過程與方法
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.
（三）情感、態(tài)度與價值觀
在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.
二、教學重點、難點
重點：角的平分線的性質(zhì)的證明及應用；
難點：角的平分線的性質(zhì)的探究.
三、教法學法
三步導學的教學模式；自主探索,合作交流的學習方式
四，教學過程：
(一）復習：
（1)點到直線的距離:P
ABCD
2.角平分線的概念：A
OC
3.根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）
A
（二）新授
1.利用尺規(guī)作圖：作出一只角的角平分線
A
MD
ONC
2.探究：
(1)折一折：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為直角邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？
（2）畫一畫
畫一∠AOB的角平分線OC,點P在OC上任意一點，取點P的三個不同位置，過P點做垂線段PD.PE。并測量PD.PE的長。將三次數(shù)據(jù)記錄下來，你會有什么發(fā)現(xiàn)？
A
C
O
B
（3）理論證明：
已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E
求證:PD=PE

結論：角平分線上的點到角兩邊的距離相等
幾何語言：
∵∠1=∠2,
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）
實踐應用
例。如圖△ABC中的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,CA的距離相等，A
N
M
P
BC
三，當堂檢測練習：
（1）下列描述對不對？
已知如圖，AD平分∠BAC.DC⊥AC.DB⊥ABB
求證：DB=CD
證明：(1)∵AD平分∠BAC
∴DB=CDD
(2)∵DC⊥AC.DB⊥AB
∴DB=CD
（3)∵AD平分∠BAC
DC⊥AC.DB⊥ABAC
∴DB=CD
2.如圖1，∠1=∠2,PD⊥OA.PE⊥OB，垂足分別是D.E。結論：（1）PD=PE
(2)0D=OE(3)∠DPO=∠EPO(4)PD=POA
D
正確的有：————————————————————————
P
O
EB
2.如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,且DE=5.8cm，BC=11.2cm，則BD=————————B
E
D
CA

角平分線的性質(zhì)

為了促進學生掌握上課知識點，老師需要提前準備教案，大家在仔細規(guī)劃教案課件。將教案課件的工作計劃制定好，未來工作才會更有干勁！你們會寫一段優(yōu)秀的教案課件嗎？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“角平分線的性質(zhì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

教學目標
1.了解角平分線的性質(zhì)，并運用其解決一些實際問題。
2.經(jīng)歷操作，推理等活動，探索角平分線的性質(zhì)，發(fā)展空間觀念，在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達。

教材分析
重點：角平分線性質(zhì)的探索。
難點：角平分線性質(zhì)的應用。

教學方法：
預學----探究----精導----提升

教學過程
一創(chuàng)設問題情境，預學角平分線的性質(zhì)
閱讀課本P128-P129，并完成預學檢測。

二合作探究
如圖，OC為∠AOB的角平分線,P為OC上任意一點。
提問：
1.如何畫出∠AOB的平分線？
2.若點P到角兩邊的距離分別為PD,PE，量一量，PD,PC是否相等？你能說明為什么嗎？
讓學生活動起來，通過測量，比較，得出結論。
教師鼓勵學生大膽猜測，肯定它們的發(fā)現(xiàn)。

歸納：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。

三想一想，鞏固角平分線的性質(zhì)
三條公路兩兩相交，為更好的使公路得到維護，決定在三角區(qū)建立一個公路維護站，那么這個維護站應該建在哪里？才能使維護站到三條公路的距離都相等？
三做一做，拓展課題
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關系。
讓學生充分討論，鼓勵學生自主完成。
教師歸納：
因為射線AP是△ABC的外角∠CAE平分線，
所以PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
所以PB+PD=PB+PE
又PB+PE＞BE（三角形兩邊之和大于第三邊）
所以PB+PD＞BE

思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，則射線BP有怎樣的性質(zhì)？點P又有怎樣的位置？

四課堂練習
課本P130練習

五小結
本節(jié)課學習了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等，反過來，到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，三角形的三條角平分線交于一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。

六作業(yè)
1.課本P130習題A組T1,T2
2.基礎訓練同步練習。
3.選作拓展題。

七課后反思：
新舊教法對比：新教法更有利于培養(yǎng)學生合作學習的能力。
學生對于角平分線的性質(zhì)可以倒背如流，但就是容易把到角兩邊的距離看錯，在以后的教學中要多加強對距離的認識。

學案
學習目標：
1了解角平分線的性質(zhì)。
2并運用角平分線的性質(zhì)解決一些實際問題。

預學檢測：
1角平分線上任意一點到相等。
2⑴如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．
⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別
為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．

學點訓練：
1．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D．下列結論中錯誤的是()
A．PC=PDB．OC=OD
C．∠CPO=∠DPOD．OC=PC
2．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，
若AC=10cm，則△DBE的周長等于()
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
鞏固練習：
已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD

拓展提升：
如圖，P為△ABC的外角平分線上一點，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分別是垂足，試探索BE與PB+PD的大小關系。