一元二次方程高中教案

浙教版初二數(shù)學(xué)下冊《二次根式》單元知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。

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浙教版初二數(shù)學(xué)下冊《二次根式》單元知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次根式

1、定義：一般地,形如√ā(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式.當(dāng)a0時(shí),√a表示a的算數(shù)平方根,√0=0

2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

3.二次根式√ā的簡單性質(zhì)和幾何意義

二、二次根式的性質(zhì)

形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以a≥0是√a為二次根式的前提條件，如√5，√(x2+1)，

√(x-1)(x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

三、二次根式的運(yùn)算[筆稿范文網(wǎng) gx86.coM]

二次根式的運(yùn)算主要是研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的加減：

需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式(即同類二次根式)的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。

注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時(shí)，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù).

(2)二次根式的乘除：

注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式.

精選閱讀

初二數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：二次根式的定義

初二數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：二次根式的定義

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
二次根式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規(guī)律探索性問題;2.利用二次根式解決長度、高度計(jì)算問題，根據(jù)已知量，求出一些長度或高度，或設(shè)計(jì)省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個(gè)過程需要用到二次根式的計(jì)算，其實(shí)就是化簡求值。
常見考法
(1)設(shè)計(jì)一些規(guī)律探索問題提高學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力;(2)聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)一些方案探究題。
誤區(qū)提醒
(1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規(guī)律，并運(yùn)用這種規(guī)律解決問題;
(2)不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題。
【典型例題】小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長、寬比為3：2，不知道能否裁出來，正在發(fā)愁你能幫他解決嗎?

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以a≥0是√a為二次根式的前提條件，如√5，√(x2+1)，
√(x－1)(x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍
1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≥0時(shí)√a有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。
2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，√a沒有意義。
知識(shí)點(diǎn)三：二次根式√a(a≥0)的非負(fù)性
√a(a≥0)表示a的算術(shù)平方根，也就是說，√a(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即
√a≥0(a≥0)。
注：因?yàn)槎胃健蘟表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)(a≥0)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即√a≥0(a≥0)，這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若√a＋√b=0，則a=0,b=0；若√a＋|b|=0，則a=0,b=0；若√a＋b2=0，則a=0,b=0。
知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（√a）的性質(zhì)
(√a)2=a(a≥0)
文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。
注：二次根式的性質(zhì)公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若a≥0，則
a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.
知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)
√a2=|a|
文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。
注：
1、化簡√a2時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即√a2=|a|=a(a≥0)；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即√a2=|a|=－a(a﹤0)；
2、√a2中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，√a2一定有意義；
3、化簡√a2時(shí)，先將它化成|a|，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡。
知識(shí)點(diǎn)六：(√a)2與√a2的異同點(diǎn)
1、不同點(diǎn)：(√a)2與√a2表示的意義是不同的，(√a)2表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而√a2表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在(√a)2中，而√a2中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但(√a)2與√a2都是非負(fù)數(shù)，即(√a)2≥0，√a2≥0。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，(√a)2=a(a≥0)，而√a2=|a|。
2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即a≥0時(shí)，
(√a)2=√a2；a﹤0時(shí)，(√a)2無意義，而√a2=|a|=－a.

二次根式復(fù)習(xí)教案(浙教版)

第一章二次根式
復(fù)習(xí)目標(biāo)
1、能夠比較熟練應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.
2、能過比較熟練進(jìn)行二次根式的運(yùn)算.
3、會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題.
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，二次根式的運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用.
復(fù)習(xí)引入
本章知識(shí)梳理
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)引入
1.形如的代數(shù)式叫做二次根式.（即一個(gè)的算術(shù)平方根叫做二次根式）
強(qiáng)調(diào)：二次根式被開方數(shù)不小于0
2.二次根式的性質(zhì)：
（a≥0），
=
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b＞0）
3.二次根式的運(yùn)算：
二次根式乘法法則
（a≥0，b≥0）
二次根式除法法則
（a≥0，b＞0）
二次根式的加減：類似于合并同類項(xiàng)，把相同二次根式的項(xiàng)合并.
二次根式的混合運(yùn)算：原來學(xué)習(xí)的運(yùn)算律（結(jié)合律、交換律、分配律）仍然適用，原來所學(xué)的乘法公式（如）仍然適用.
內(nèi)容組織
例1求下列二次根式中字母的取值范圍
（1）；（2）；
說明：二次根式被開方數(shù)不小于0，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式（組）
練習(xí)：求下列二次根式中字母的取值范圍
（1）；（2）
例2化簡：
（1）；（2）
說明：應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡
例3、計(jì)算：
（1）；（2）
（3）

例4解方程：
處理：提示——這是一元一次方程，未知數(shù)的系數(shù)是二次根式，由學(xué)生敘述，教師板書.
例5在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，）到原點(diǎn)的距離是_________
例6一個(gè)臺(tái)階如圖，階梯每一層高15cm，寬25cm，長60cm.一只螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)最短路程是多少
說明：轉(zhuǎn)化到同一平面中去（鋪平——平面展開圖），應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短；鋪平后樓梯的平面展開圖是什么圖形？就可根據(jù)什么求出AB的長？

課堂小結(jié)
1.（參考：D）
A.2xB.0或2xC.-2x或2xD.-2x
2.則x的取值范圍是.（參考：x≤0）
3.成立的條件是（）（參考：D）
說明：注意二次根式中字母的取值條件.
提示：估計(jì)根號(hào)10約是幾點(diǎn)幾？（即根號(hào)10在3~4之間）整數(shù)部分是3，那小數(shù)部分是多少呢？（準(zhǔn)確地說根號(hào)10減去3）然后由學(xué)生去算.
5.請(qǐng)計(jì)算的值
將根號(hào)內(nèi)的3換成其他正數(shù)，結(jié)果怎樣？你能從計(jì)算中發(fā)現(xiàn)什么運(yùn)算規(guī)律？（請(qǐng)用文字描述或用字母標(biāo)示出來）
布置作業(yè)

教學(xué)反思
在學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，也有值得反思的地方，八（8）班的學(xué)生在老師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的積極性并不差，遇到困難有畏難情緒、對(duì)老師的依賴性太強(qiáng)、學(xué)習(xí)的競爭意識(shí)和自我要求明顯缺乏。因此在以后的教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的預(yù)習(xí)指導(dǎo)。

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

21.1二次根式

1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式；
（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；
（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡二次根式，而，，5，都是最簡二次根式。
3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如,,就是同類二次根式，因?yàn)?2，=3，它們與的被開方數(shù)均為2。
4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如與，a+與a-，-與+，互為有理化因式。

二次根式的性質(zhì)：
1.(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即≥0;
2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：()2=a(a≥0)；
3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即=|a|=
4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=（a≥0,b0）。

21.2二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（≥0，≥0）。

說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；

（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡。

2.二次根式的除法

兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（≥0，＞0）。

說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡。

3.最簡二次根式

一個(gè)二次根式如果滿足下列兩個(gè)條件：

（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含分母。

這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

說明：

（1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡二次根式；

（2）被開方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡；

（3）二次根式化簡到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。

21.3二次根式的加減

1.同類二次根式
（1）定義：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。
注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。
（2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開方數(shù)不變。

2.二次根式的加減
（1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。
（2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。
一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：
i）將每一個(gè)二次根式都化簡成最簡二次根式
ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組
iii）合并同類二次根式

3.二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。
（2）在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。
（3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4.分母有理化
（1）我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如形式的分式的分母有理化
綜合起來，常見的有理化因式有：①的有理化因式為，②的有理化因式為，③的有理化因式為，④的有理化因式為，⑤的有理化因式為
（2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的。