小學(xué)數(shù)學(xué)教案二年級

人教版數(shù)學(xué)九年級上冊二次根式知識點(diǎn)總結(jié)。

人教版數(shù)學(xué)九年級上冊二次根式知識點(diǎn)總結(jié)

21.1二次根式

1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式；
（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；
（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡二次根式，而，，5，都是最簡二次根式。
3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如,,就是同類二次根式，因?yàn)?2，=3，它們與的被開方數(shù)均為2。
4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如與，a+與a-，-與+，互為有理化因式。

二次根式的性質(zhì)：
1.(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即≥0;
2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：()2=a(a≥0)；
3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即=|a|=
4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=（a≥0,b0）。

21.2二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（≥0，≥0）。

說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；

（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。

2.二次根式的除法

兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（≥0，＞0）。

說明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；JAb88.cOM

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進(jìn)行化簡。

3.最簡二次根式

一個(gè)二次根式如果滿足下列兩個(gè)條件：

（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含分母。

這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

說明：

（1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡二次根式；

（2）被開方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡；

（3）二次根式化簡到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。

21.3二次根式的加減

1.同類二次根式
（1）定義：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。
注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。
（2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被開方數(shù)不變。

2.二次根式的加減
（1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。
（2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。
一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：
i）將每一個(gè)二次根式都化簡成最簡二次根式
ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組
iii）合并同類二次根式

3.二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的。
（2）在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。
（3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4.分母有理化
（1）我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如形式的分式的分母有理化
綜合起來，常見的有理化因式有：①的有理化因式為，②的有理化因式為，③的有理化因式為，④的有理化因式為，⑤的有理化因式為
（2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的。

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浙教版初二數(shù)學(xué)下冊《二次根式》單元知識點(diǎn)總結(jié)

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浙教版初二數(shù)學(xué)下冊《二次根式》單元知識點(diǎn)總結(jié)

一、二次根式

1、定義：一般地,形如√ā(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式.當(dāng)a0時(shí),√a表示a的算數(shù)平方根,√0=0

2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式.√ā(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

3.二次根式√ā的簡單性質(zhì)和幾何意義

二、二次根式的性質(zhì)

形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以a≥0是√a為二次根式的前提條件，如√5，√(x2+1)，

√(x-1)(x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

三、二次根式的運(yùn)算

二次根式的運(yùn)算主要是研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的加減：

需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式(即同類二次根式)的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。

注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時(shí)，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù).

(2)二次根式的乘除：

注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式.

八年級數(shù)學(xué)下冊《二次根式》知識點(diǎn)總結(jié)

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八年級數(shù)學(xué)下冊《二次根式》知識點(diǎn)總結(jié)
二次根式
【知識回顧】
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最簡二次根式：必須同時(shí)滿足下列條件：
⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。
4.二次根式的性質(zhì)：
（1）（）2=（≥0）；（2）
5.二次根式的運(yùn)算：
（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．
=（a≥0，b≥0）；（b≥0，a0）．
（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．

【典型例題】
1、概念與性質(zhì)
例1下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序號）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范圍
（1）；（2）
例3、在根式1)，最簡二次根式是（）
A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)
例4、已知：
例5、（2009龍巖）已知數(shù)a，b，若=b－a，則()
A.abB.abC.a≥bD.a≤b
2、二次根式的化簡與計(jì)算
例1.將根號外的a移到根號內(nèi)，得()
A.；B.－；C.－；D.
例2.把（a－b）－1a－b化成最簡二次根式
例3、計(jì)算：
例4、先化簡，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如圖，實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡：

4、比較數(shù)值
（1）、根式變形法
當(dāng)時(shí)，①如果，則；②如果，則。
例1、比較與的大小。
（2）、平方法
當(dāng)時(shí)，①如果，則；②如果，則。
例2、比較與的大小。
（3）、分母有理化法
通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較與的大小。
（4）、分子有理化法
通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
例4、比較與的大小。
（5）、倒數(shù)法
例5、比較與的大小。
（6）、媒介傳遞法
適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。
例6、比較與的大小。
（7）、作差比較法
在對兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：
①；②
例7、比較與的大小。

（8）、求商比較法
它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a0，b0時(shí)，則：
①；②
例8、比較與的大小。
5、規(guī)律性問題
例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：
，驗(yàn)證：；
驗(yàn)證:.
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.

九年級數(shù)學(xué)下冊《二次函數(shù)》知識點(diǎn)總結(jié)蘇教版

九年級數(shù)學(xué)下冊《二次函數(shù)》知識點(diǎn)總結(jié)蘇教版

一、二次函數(shù)

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

二、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

2拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

3二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向。

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開口;

當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開口。

三、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式

待定系數(shù)法只是一種方法，是一套固定程序，并不是什么公式。就比如說二次函數(shù)，有一種一般表達(dá)式y(tǒng)=ax+bx+c(a≠0)，那么a、b、c叫做系數(shù)，它們未知，有待確定所以叫“待定系數(shù)法”。

待定系數(shù)法就是要想辦法找出這個(gè)二次函數(shù)過的三個(gè)已知點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x1、x2、x3、y1、y2、y3都是已知數(shù))，把它們代入表達(dá)式ax1+by1+c=0ax2+by2+c=0ax3+by3+c=0解這三個(gè)方程可以求出a、b、c就算出了二次函數(shù)表達(dá)式。有時(shí)候也不一定非要把這三個(gè)數(shù)都求出來，只是要它們之間的某些關(guān)系。

四、二次函數(shù)與一元二次方程

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

五、用二次函數(shù)解決問題

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;

(2)把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來;

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式;

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.