一元二次方程高中教案

初中數(shù)學(xué)《二次根式》教案。

初中數(shù)學(xué)《二次根式》教案

一、教材分析
“二次根式”是《課程標(biāo)準(zhǔn)》“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容。本章是在第13章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究二次根式的概念，性質(zhì)，和運(yùn)算。本章內(nèi)容與已學(xué)內(nèi)容“實數(shù)”“整式”“勾股定理”聯(lián)系緊密，同時也是以后將要學(xué)習(xí)的“銳角三角函數(shù)”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。第一節(jié)研究了二次根式的概念和性質(zhì)。它是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵，它也是學(xué)習(xí)二次根式的化簡和運(yùn)算的依據(jù)。
二、教學(xué)目標(biāo)
課標(biāo)要求：學(xué)生要學(xué)會學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)，要為學(xué)生終生學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，根據(jù)教學(xué)大綱和新課標(biāo)的要求，根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的特點我確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)
1、了解二次根式的概念
2、了解二次根式的基本性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)二次根式的基本性質(zhì)的過程，發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力。
3、通過對二次根式的概念和性質(zhì)的探究，提高數(shù)學(xué)探究能力和歸納表達(dá)能力。
4、學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性與創(chuàng)造性，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，并提高應(yīng)用的意識。
教學(xué)重點:二次根式的概念和基本性質(zhì)
教學(xué)難點:二次根式的基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用
三、教法和學(xué)法
教學(xué)活動的本質(zhì)是一種合作，一種交流。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，本節(jié)課主要采用自主學(xué)習(xí)，合作探究，引領(lǐng)提升的方式展開教學(xué)。依據(jù)學(xué)生的年齡特點和已有的知識基礎(chǔ)，本節(jié)課注重加強(qiáng)知識間的縱向聯(lián)系，，拓展學(xué)生探索的空間，體現(xiàn)由具體到抽象的認(rèn)識過程。為了為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，例如在“銳角三角函數(shù)”一章中，會遇到很多實際問題，在解決實際問題的過程中，要遇到將二次根式化成最簡二次根式等，本課適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，讓學(xué)生養(yǎng)成聯(lián)系和發(fā)展的觀點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣。
四、教學(xué)過程
活動一：根據(jù)學(xué)生已有知識探究二次根式的概念
1.探究二次根式概念
由四個實際問題（三個幾何問題，一個物理問題）入手，設(shè)置問題情境，讓學(xué)生感受到研究二次根式來源于生活又服務(wù)于生活。
思考：用帶有根號的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點？
（1）要做一個兩條直角邊的長分別為7cm和4cm的三角尺，斜邊的長應(yīng)為
cm
（2）面積為S的正方形的邊長為
（3）要修建一個面積為6.28m2的圓形噴水池，它的半徑為m（∏取3.14）
（4）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位:s）與開始落下時的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，則t=
學(xué)生發(fā)現(xiàn)所填結(jié)果都表示一個數(shù)的算術(shù)平方根，教師引導(dǎo)學(xué)生用一個式子表示這些有共同特點的式子。學(xué)生表示為，此時教師啟發(fā)學(xué)生回憶已學(xué)平方根的性質(zhì)讓學(xué)生總結(jié)出a這一條件。在此基礎(chǔ)上總結(jié)出二次根式的概念。
2.例題評析
例1：下列式子，，-2，，，哪些為二次根式？
練習(xí)：x取何值時下列各式有意義
（1）（2）（3）（4）
通過4小題的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會二次根式概念的初步應(yīng)用。加深對二次根式定義的理解，并注重新舊知識間的聯(lián)系，用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，總結(jié)出解題規(guī)律：求未知數(shù)的取值范圍即轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)大于等于0分母不為0列不等式或不等式組解決問題。
活動二：探究二次根式的性質(zhì)1
1.探究（a）與0的關(guān)系
學(xué)生分類討論探究出：（a）是一個非負(fù)數(shù)，此時歸納出二次根式的第一個性質(zhì)：雙重非負(fù)性。培養(yǎng)學(xué)生的分類討論和概括能力。
例2：，則
變式：，則
活動三：探究二次根式的性質(zhì)2
探究（）2=a（a）
由課本具體的正數(shù)和零入手來研究二次根式的第二個性質(zhì)，首先讓學(xué)生通過探究活動感受這條結(jié)論，然后再從算術(shù)平方根的意義出發(fā)，結(jié)合具體例子對這條結(jié)論進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，得出一般的結(jié)論，并發(fā)現(xiàn)開平方運(yùn)算與平方運(yùn)算的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維方式，提高歸納、總結(jié)的能力。
例3：（2）（3）
前兩題學(xué)生口述教師板書，后面的兩題由學(xué)生板演引導(dǎo)學(xué)生分析（2）（4）實質(zhì)是積的乘方和分式的乘方
拓展：反之（a）如為后面的化最簡二次根式（簡單的分母有理化）做好鋪墊。
例4：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式
活動四：探究二次根式的性質(zhì)3
3.探究
在活動三的基礎(chǔ)上出示課本第4頁的探究：
；；=；
并增加；；
引導(dǎo)學(xué)生比較活動三與活動四探究中兩組題目的不同之處，活動三中的題目是對非負(fù)數(shù)先進(jìn)行開平方運(yùn)算，再進(jìn)行平方運(yùn)算；而活動四中的題目正好相反，是先進(jìn)行平方運(yùn)算，再進(jìn)行開平方運(yùn)算。再次由特殊到一般的讓學(xué)生歸納出二次根式的又一個性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生觀察、對比的能力和意識。
此時引導(dǎo)學(xué)生談一談對（）2和的聯(lián)系和區(qū)別
相同點：都有平方和開平方運(yùn)算
運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)數(shù)
僅當(dāng)a時，（）2=
不同點：從形式和運(yùn)算順序看：（）2先開方后平方，先平方后開方
從a的取值范圍看：（）2（a），（a為任意數(shù)）
從運(yùn)算結(jié)果看：（）2=a（a），（a為任意數(shù)）可能為a，可能為-a
例5：化簡
（3）
練習(xí)：（1）若，則的取值范圍為
（2），則
活動五：回顧所學(xué)過的式子的共同特點，發(fā)現(xiàn)它們都是用基本運(yùn)算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，這樣的式子為代數(shù)式。讓學(xué)生對所學(xué)知識有一個整體的認(rèn)識。
活動六：課堂小結(jié)
1.本節(jié)課你有什么收獲和體會？（從知識、方法、規(guī)律和注意點等方面談）教師相機(jī)引領(lǐng)提升。
2.布置作業(yè)
（1）閱讀課本第1頁至第5頁
（2）課本習(xí)題21.1第1、2、3、4、7
（3）預(yù)習(xí)二次根式的乘除法
五、板書設(shè)計
二次根式
一、二次根式的概念例1：例3：
形如的式子叫做二次根式
二、二次根式的性質(zhì)例2：例4：
1.（a）是一個非負(fù)數(shù)
2.（）2=a（a）學(xué)生板演……www.lvshijia.net

相關(guān)知識

二次根式教案

作為老師的任務(wù)寫教案課件是少不了的，大家應(yīng)該在準(zhǔn)備教案課件了。只有規(guī)劃好新的教案課件工作，這對我們接下來發(fā)展有著重要的意義！有沒有出色的范文是關(guān)于教案課件的？下面是小編為大家整理的“二次根式教案”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

二次根式

21.1二次根式

【知識與技能】

1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目.

2.理解（a≥0）是非負(fù)數(shù)和()2=a.

3.理解=a（a≥0）并利用它進(jìn)行計算和化簡.

【過程與方法】

1.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

2.通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出()2=a（a≥0），最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

3.通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究并利用這個結(jié)論解決具體問題.

【情感態(tài)度】

通過具體的數(shù)據(jù)體會從特殊到一般、分類的數(shù)學(xué)思想，理解二次根式的概念及二次根式的有關(guān)性質(zhì).

【教學(xué)重點】

1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

2.（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；()2=a（a≥0）及其運(yùn)用.

3.

【教學(xué)難點】

利用“（a≥0）”解決具體問題.

關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

回顧：

當(dāng)a是正數(shù)時，表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，沒有意義.

【教學(xué)說明】通過對算術(shù)平方根的回顧引入二次根式的概念.

二、思考探究，獲取新知

概括：（a≥0）表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)，它的平方等于a.即有：

（1）≥0；（2）()2=a（a≥0）.

形如（a≥0）的式子叫做二次根式.

注意：在中，a的取值必須滿足a≥0，即二次根式的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

思考：等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分別計算對應(yīng)的的值，看看有什么規(guī)律.

概括：當(dāng)a≥0時，=a；當(dāng)a＜0時，=-a.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.x取什么實數(shù)時，下列各式有意義？

2.計算下列各式的值：

【教學(xué)說明】可由學(xué)生搶答完成，再由老師總結(jié)歸納.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.師生共同回顧二次根式的概念及有關(guān)性質(zhì)：（1）()2=a（a≥0）；（2）當(dāng)a≥0時，=a；當(dāng)a＜0時，=-a.

2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，還有哪些疑問？請與同伴交流.

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識點，讓學(xué)生大膽發(fā)言，進(jìn)行知識提煉和知識歸納.

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題21.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)的“課時作業(yè)”部分.

本節(jié)課從復(fù)習(xí)算術(shù)平方根入手引入二次根式的概念，再通過特殊數(shù)據(jù)的計算，理解二次根式的有關(guān)性質(zhì)，經(jīng)歷觀察、歸納、分類討論等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識與技能，體驗教學(xué)活動的方法.

二次根式學(xué)案

課題1.1二次根式

課時
教學(xué)
目標(biāo)1.經(jīng)歷二次根式概念的發(fā)生過程
2.了解二次根式的概念
3.理解二次根式何時有意義，何時無意義，會在簡單情況下求根號內(nèi)所有含字母的取值范圍
4.會求二次根式的值
教學(xué)
設(shè)想教學(xué)重點：二次根式的概念
教學(xué)難點：例1的第（2）（3）題學(xué)生不容易理解.

教學(xué)程序與策略
一、預(yù)習(xí)檢測：
二、合作交流：
做一做：課本P4的填空
你認(rèn)為所得的各代數(shù)式的共同特點是什么?
象這樣表示的算術(shù)平方根，且根號中含有字母的代數(shù)式叫做二次根式
為了方便起見，我們把一個數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式.如

三、鞏固練習(xí)：求下列二次根式中字母a的取值范圍：
1.

2.當(dāng)x=-4時，求二次根式的值

解：將x=-4代入二次根式得
==3
說明：與求代數(shù)式的值類比.
課內(nèi)練習(xí)：p5T1T2
四、拓展提高：

2.物體自由下落時，下落距離h（米）可用公式h=5t2來估計,其中t（秒）表示物體下落所經(jīng)過的時間.
（1）把這個公式變形成用h表示t的公式
（2）一個物體從54.5米高的塔頂自由下落，落到地面需幾秒（精確到0.1秒）?
三、課堂小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)，教師適當(dāng)提問補(bǔ)充.
談一談：本節(jié)課你有什么收獲？
四、堂堂清：
作業(yè)本（1）；課本作業(yè)題
五、教學(xué)反思

二次根式復(fù)習(xí)

每個老師不可缺少的課件是教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣我們接下來的工作才會更加好！你們會寫一段適合教案課件的范文嗎？下面是小編幫大家編輯的《二次根式復(fù)習(xí)》，僅供參考，大家一起來看看吧。

§3.4二次根式復(fù)習(xí)（九年級下數(shù)學(xué)308）——研究課

班級________姓名____________

一.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．能夠比較熟練應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡；

2．能夠比較熟練進(jìn)行二次根式的運(yùn)算；

3．會運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算解決簡單的實際問題．

二．學(xué)習(xí)重點：二次根式的性質(zhì)應(yīng)用及運(yùn)算．

學(xué)習(xí)難點：二次根式的應(yīng)用．

三．教學(xué)過程

知識網(wǎng)絡(luò)圖

知識點梳理

1.一般地，式子叫做二次根式.特別地，被開方數(shù)不小于.

2.二次根式的性質(zhì)：

⑴a．(a)；⑵(a)2＝(a)；⑶a2＝_____.

3.二次根式乘法法則：

⑴ab＝(a≥0，b≥0)；⑵ab＝(a≥0，b≥0).

4.二次根式除法法則：

⑴ab＝(a≥0，b＞0)；⑵ab＝(a≥0，b＞0).

5.化簡二次根式實際上就是使二次根式滿足：⑴；

⑵；⑶.

6.經(jīng)過化簡后，的二次根式，稱為同類二次根式.

7.一般地，二次根式相加減，先化簡每個二次根式，然后.

8.實數(shù)中的運(yùn)算律、乘法公式同樣適用于二次根式的混合運(yùn)算

邊講邊練

Ⅰ.二次根式有意義求取值范圍

1.要使x－2有意義，則x的取值范圍是.

變式：若分別使1x－2，1x－2，3－xx－2有意義，那么x的取值范圍又該如何？

2.要使13－x有意義，則x的取值范圍是.

3.使x＋1，1x，(x－3)0三個式子都有意義的x的取值范圍是.

4.使x＋1x－1＝x2－1成立的條件；1－xx－2＝1－xx－2成立的條件是.

5.若y=2x－5＋5－2x－3．則2xy＝.

Ⅱ.二次根式的非負(fù)性求值

1.已知a＋2＋b－1＝0，那么(a＋b)2011＝.

2.已知x，y是實數(shù)，且3x＋4＋y2－6y＋9＝0，則xy＝.

3.若4x－8＋x－y－m＝0，當(dāng)y＞0時，則m的取值范圍.

4.若a－3與2－b互為相反數(shù)，那么代數(shù)式－1a＋6b的值為.

5.已知△ABC的三邊a、b、c滿足a2＋b＋c－1－2＝10a＋2b－4－22，則△ABC為.

Ⅲ.利用公式a2＝a化簡

1.(－7)2＝；（2）(3－π)2＝；(3)62＝

2.已知x＜1，則化簡x2－2x＋1的結(jié)果＝；若＜0，化簡a－3－a2=.

3.當(dāng)a＝2時，代數(shù)式a＋1－2a＋a2＝；化簡(a－1)11－a＝.

5.(a－3)2＝3－a成立，則a的取值范圍是______.

6.若x3＋4x2＝－xx＋4，則x的取值范圍是.

7.若x－1＝12，則代數(shù)式1x－x2－2＋1x2的值為.

8.已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(a＋c)2－b－c.

9.若－3≤x≤2時，試化簡│x－2│＋(x＋3)2＋x2－10x＋25.

Ⅳ.最簡與同類二次根式

1.下列各式中，不能再化簡的二次根式是（）

A．3a2B．23C．24D．30

2.下列各式中，是最簡二次根式是（）

A．8B．70C．99D．1x

3.下列是同類二次根式的一組是（）

A．12，－32，18B．5，75，1245C．4x3，22xD．a(chǎn)1a，a3b2c

4.若二次根式2a－4與6是同類二次根式，則a的值為．

5.化簡后，根式b－a3b和2b－a＋2是同類根式，那么a=_____，b=______.

Ⅴ.二次根式的運(yùn)算

1.化簡：⑴312＝；⑵15＋16＝；⑶18a＝.

2.計算：212－613＋8＝.

3.計算12(2－3)＝.

4.計算⑴(2＋3)(2－3)＝；⑵(5－2)2010(5＋2)2011＝.

5.下列各式①33＋3=63；②177=1；③2＋6=8=22；④243=22，其中錯誤的有（）

A．3個B．2個C．1個D．0個

6.下列各式計算正確的是（）

A．2＋3＝5B．2＋2＝22C．33－2＝22D．12－102＝6－5

7.計算：

⑴32－212－13－62⑵239x＋6x4－2x1x

⑶(48－413)－(313－40.5)⑷(218－18)－(12＋2－213)

⑸23x18x＋12xx8－x22x3⑹(32－45)2⑺(3－22)(22－3)

⑻(1－23)(1＋23)－(1＋3)2⑼(3＋2－5)(3―2―5)

8.若x＝5＋32，y＝5—32，求代數(shù)式的值.

⑴x2－xy＋y2⑵xy＋yx

9.觀察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6……將你猜想到的規(guī)律用一個式子來表示：.

10.有這樣一類題目：將a±2b化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2＋n2＝a且mn＝b，則將a±2b將變成m2＋n2±2mn，即變成(m＋n)2開方，從而使得a±2b化簡.

例如，5±26＝3＋2＋26＝(3)2＋(2)2＋22×3＝(3＋2)2，

∴5±26＝(3＋2)2＝(3＋2)

請仿照上例解下列問題：

（1）8－215；（2）4＋23