高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案附答案。

學(xué)案27平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．
自主梳理
1．向量數(shù)量積的定義
(1)向量數(shù)量積的定義：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．
(2)向量數(shù)量積的性質(zhì)：
①如果e是單位向量，則ae＝ea＝__________________；
②非零向量a，b，a⊥b________________；
③aa＝________________或|a|＝________________；
④cos〈a，b〉＝________；
⑤|ab|____|a||b|.
2．向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律：ab＝________；
(2)分配律：(a＋b)c＝________________；
(3)數(shù)乘向量結(jié)合律：(λa)b＝________________.
3．向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與度量公式
(1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ab＝________________________；
(2)設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b________________________；
(3)設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
則|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.
(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.
自我檢測
1.（2010湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,則AB→AC→等于()
A．－16B．－8C．8D．16
2．(2010重慶)已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()
A．0B．22C．4D．8
3．(2011福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，則λ等于()
A．－2B．2C.12D．－12
4.平面上有三個點A（-2，y），B（0，），C（x，y），若AB→⊥BC→，則動點C的軌跡方程為________________．
5.（2009天津）若等邊△ABC的邊長為2，平面內(nèi)一點M滿足CM→＝16CB→＋23CA→，則MA→MB→＝________.
探究點一向量的模及夾角問題
例1(2011馬鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；
（3）若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面積．

變式遷移1(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是()
A．1B．2
C.2D.22
(2)已知i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a與b的夾角為銳角，實數(shù)λ的取值范圍為________．
探究點二兩向量的平行與垂直問題
例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的長度是a－kb的長度的3倍(k0)．
(1)求證：a＋b與a－b垂直；
(2)用k表示ab；
(3)求ab的最小值以及此時a與b的夾角θ.

變式遷移2(2009江蘇)設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.

探究點三向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用
例3已知向量a＝cos32x，sin32x，
b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

變式遷移3（2010四川）已知△ABC的面積S=AB→AC→＝3，且cosB＝35，求cosC.

1．一些常見的錯誤結(jié)論：
(1)若|a|＝|b|，則a＝b；(2)若a2＝b2，則a＝b；(3)若a∥b，b∥c，則a∥c；(4)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(5)|ab|＝|a||b|；(6)(ab)c＝a(bc)；(7)若ab＝ac，則b＝c.以上結(jié)論都是錯誤的，應(yīng)用時要注意．
2．平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a與b的夾角.
向量表示坐標(biāo)表示
向量a的模|a|＝aa＝a2
|a|＝x21＋y21

a與b的數(shù)量積ab＝|a||b|cosθab＝x1x2＋y1y2
a與b共線的充要條件A∥b(b≠0)a＝λba∥bx1y2－x2y1＝0
非零向量a，b垂直的充要條件a⊥bab＝0a⊥bx1x2＋y1y2＝0
向量a與b的夾角cosθ＝ab|a||b|
cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22

3.證明直線平行、垂直、線段相等等問題的基本方法有：
（1）要證AB=CD，可轉(zhuǎn)化證明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.
（2）要證兩線段AB∥CD，只要證存在唯一實數(shù)≠0，使等式AB→＝λCD→成立即可．
（3）要證兩線段AB⊥CD，只需證AB→CD→＝0.
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，ab＝0，則實數(shù)m的值為()
A．－32B.32
C．2D．6
2．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實數(shù)k的值為()
A．－6B．－3
C．3D．6
3.已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，ab0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于()
A．30°B．－150°
C．150°D．30°或150°
4．(2010湖南)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為()
A.135B.655
C.6513D.1313
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010湖南長沙一中月考)設(shè)a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈π2，π，若ab＝25，則sinα＝________.
7．(2010廣東金山中學(xué)高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
8．已知向量m＝(1,1)，向量n與向量m夾角為3π4，且mn＝－1，則向量n＝__________________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)，在線段OC上是否存在點M，使MA→⊥MB→，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10．(12分)(2011杭州調(diào)研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cosπ2－θ，sinπ2－θ)．
(1)求證：a⊥b；
(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，滿足x⊥y，試求此時k＋t2t的最小值．

11．(14分)(2011濟南模擬)已知a＝(1,2sinx)，b＝2cosx＋π6，1，函數(shù)f(x)＝ab(x∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若f(x)＝85，求cos2x－π3的值．

答案自主梳理
1．(1)ab＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①|(zhì)a|cos〈a，e〉②ab＝0③|a|2aa④ab|a||b|
⑤≤2.(1)ba
(2)ac＋bc(3)λ(ab)3.(1)a1b1＋a2b2(2)a1b1＋a2b2＝0(3)a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22
(4)(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12
自我檢測
2．B[|2a－b|＝2a－b2
＝4a2－4ab＋b2＝8＝22.]
3．D[由(a＋λb)b＝0得ab＋λ|b|2＝0，
∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]
4．y2＝8x(x≠0)
解析由題意得AB→＝2，－y2，
BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
即2，－y2x，y2＝0，化簡得y2＝8x(x≠0)．
5．－2
解析合理建立直角坐標(biāo)系，因為三角形是正三角形，故設(shè)C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，這樣利用向量關(guān)系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→MB→＝－2.
課堂活動區(qū)
例1解(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，
∴ab＝－6.
∴cosθ＝ab|a||b|＝－64×3＝－12.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.
(2)|a＋b|＝a＋b2
＝|a|2＋2ab＋|b|2
＝16＋2×－6＋9＝13.
(3)∵AB→與BC→的夾角θ＝2π3，
∴∠ABC＝π－2π3＝π3.
又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，
∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC
＝12×4×3×32＝33.
變式遷移1(1)C[∵|a|＝|b|＝1，ab＝0，
展開(a－c)(b－c)＝0|c|2＝c(a＋b)
＝|c||a＋b|cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ，
∴|c|的最大值是2.]
(2)λ12且λ≠－2
解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴ab0且ab不同向．
即|i|2－2λ|j|20，∴λ12.
當(dāng)ab同向時，由a＝kb(k0)得λ＝－2.
∴λ12且λ≠－2.
例2解題導(dǎo)引1.非零向量a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0.
2．當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時，要把a、b用已知的不共線的向量表示．但要注意運算技巧，有時把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡化運算，要因題而異．
解(1)由題意得，|a|＝|b|＝1，
∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b與a－b垂直．
(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2kab＋b2＝k2＋2kab＋1，
(3|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6kab.
由條件知，k2＋2kab＋1＝3(1＋k2)－6kab，
從而有，ab＝1＋k24k(k0)．
(3)由(2)知ab＝1＋k24k＝14(k＋1k)≥12，
當(dāng)k＝1k時，等號成立，即k＝±1.
∵k0，∴k＝1.
此時cosθ＝ab|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
故ab的最小值為12，此時θ＝π3.
變式遷移2(1)解因為a與b－2c垂直，
所以a(b－2c)
＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，
得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2
＝17－15sin2β≤42.
又當(dāng)β＝－π4時，等號成立，所以|b＋c|的最大值為42.
(3)證明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，
所以a∥b.
例3解題導(dǎo)引與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及其應(yīng)用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，向量模、夾角的坐標(biāo)運算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識．
解(1)ab＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，
|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22
＝2＋2cos2x＝2|cosx|，
∵x∈－π3，π4，∴cosx0，
∴|a＋b|＝2cosx.
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝2cosx－122－32.
∵x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx＝12時，f(x)取得最小值－32；
當(dāng)cosx＝1時，f(x)取得最大值－1.
變式遷移3解由題意，設(shè)△ABC的角B、C的對邊分別為b、c，則S＝12bcsinA＝12.
AB→AC→＝bccosA＝30，
∴A∈0，π2，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝1010，cosA＝31010.
由題意cosB＝35，得sinB＝45.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－1010.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[因為ab＝6－m＝0，所以m＝6.]
2．D[由(2a＋3b)(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k＝6.]
3．C[∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，
∴sin∠BAC＝12.又ab0，
∴∠BAC為鈍角．∴∠BAC＝150°.]
4．C[由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2.
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B[因為ab＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以，a在b上的投影為|a|cos〈a，b〉
＝ab|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]
6.35
解析∵ab＝cos2α＋2sin2α－sinα＝25，
∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，∴sinα＝35.
7．120°
解析設(shè)a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0.
又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cosθ＝0.
∴cosθ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.
8．(－1,0)或(0，－1)
解析設(shè)n＝(x，y)，由mn＝－1，
有x＋y＝－1.①
由m與n夾角為3π4，
有mn＝|m||n|cos3π4，
∴|n|＝1，則x2＋y2＝1.②
由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
9．解設(shè)存在點M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分)
∵MA→⊥MB→，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.
∴M點坐標(biāo)為(2,1)或225，115.
故在線段OC上存在點M，使MA→⊥MB→，且點M的坐標(biāo)為(2,1)或(225，115)．………(12分)
10．(1)證明∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin－θsinπ2－θ
＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)
(2)解由x⊥y得，xy＝0，
即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，
∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)
又|a|2＝1，|b|2＝1，
∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分)
∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3
＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)
故當(dāng)t＝－12時，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………(12分)
11．解(1)f(x)＝ab＝2cosx＋π6＋2sinx
＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx
＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3.…………………………………………………………(5分)
由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是
π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π3.
又因為2sinx＋π3＝85，
所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分)
即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝45.
所以cos2x－π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………(14分)

精選閱讀

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運算學(xué)案附答案

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，教師要準備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學(xué)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？以下是小編為大家精心整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運算學(xué)案附答案”，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

學(xué)案45空間向量及其運算

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．
自主梳理
1．空間向量的有關(guān)概念
(1)空間向量：在空間中，具有______和______的量叫做空間向量．
(2)相等向量：方向______且模______的向量．
(3)共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是______________________________．

推論如圖所示，點P在l上的充要條件是：OP→＝OA→＋ta①
其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，則①可化為OP→＝___________________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.
(4)共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb，推論的表達式為MP→＝xMA→＋yMB→或?qū)臻g任意一點O有，OP→＝__________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.
2．空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OA→＝a，OB→＝b，則________叫做向量a與b的夾角，記作________，其范圍是________________，若〈a，b〉＝π2，則稱a與b______________，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a，b，則______________________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作________，即______________________________．
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
①結(jié)合律：(λa)b＝____________________；
②交換律：ab＝________；
③分配律：a(b＋c)＝________________.
4．空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則ab＝____________________.
(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則a∥b(b≠0)____________________，__________，________________，
a⊥b_________________________________________(a，b均為非零向量)．
(3)模、夾角和距離公式
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則|a|＝aa＝_____________________________________________________________，
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝_________________________________________________________.
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
則|AB→|＝__________________________________________________________________.
自我檢測
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，則()
A．x＝1，y＝1B．x＝12，y＝－12
C．x＝16，y＝－32D．x＝－16，y＝32
2．(2011青島月考)
如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，則下列向量中與B1M→相等的向量是()
A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋c
C.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c
3．(2011廣州調(diào)研)在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，則|AC′→|＝________.
4．有下列4個命題：
①若p＝xa＋yb，則p與a、b共面；
②若p與a、b共面，則p＝xa＋yb；
③若MP→＝xMA→＋yMB→，則P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，則MP→＝xMA→＋yMB→.
其中真命題的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個點________(填共面或不共面)．
探究點一空間基向量的應(yīng)用
例1已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.

變式遷移1
如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，則異面直線AF和CE所成角的余弦值為________．

探究點二利用向量法判斷平行或垂直
例2(2011合肥調(diào)研)兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，點M、N分別在BD、AE上，且AN＝DM.
(1)求證：MN∥平面EBC；(2)求MN長度的最小值．

變式遷移2
如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．
求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.

探究點三利用向量法解探索性問題
例3(2011泉州月考)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別
為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)設(shè)G是OC的中點，證明FG∥平面BOE；
(2)在△AOB內(nèi)是否存在一點M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出點M到OA，OB的距離；若不存在，說明理由．

變式遷移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點．
(1)求直線BE與A1C所成的角的余弦值；
(2)在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，請說明理由．
1．向量法解立體幾何問題有兩種基本思路：一種是利用基向量表示幾何量，簡稱基向量法；另一種是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示幾何量，簡稱坐標(biāo)法．
2．利用坐標(biāo)法解幾何問題的基本步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)準確表示涉及到的幾何量．(2)通過向量的坐標(biāo)運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系．(3)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)幾何問題．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．下列命題：
①若A、B、C、D是空間任意四點，則有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件；
③若a、b共線，則a與b所在直線平行；
④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)則P、A、B、C四點共面．其中假命題的個數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
2.
如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點，則直線OM()
A．既垂直于AC，又垂直于MN
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．與AC、MN都不垂直
3．(2011紹興月考)
如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是()
A．45°B．60°
C．90°D．120°
4．設(shè)點C(2a＋1，a＋1,2)在點P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)確定的平面上，則a等于()
A．16B．4C．2D．8
5．在直角坐標(biāo)系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x軸把直角坐標(biāo)系折成120°的二面角，則AB的長度為()
A.2B．211C．32D．42
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.
(2011信陽模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點，E為AD的中點，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，則λ＝________.
7．(2011銅川模擬)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：
①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.
其中能夠化簡為向量BD1→的是________．(填所有正確的序號)
8．(2011麗水模擬)
如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點E的坐標(biāo)為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)
如圖所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求證：E、B、F、D1四點共面；
(2)若點G在BC上，BG＝23，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1.

10．(12分)(2009福建)如圖，
四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點．
(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
(2)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

11．(14分)(2011汕頭月考)
如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點．
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長；
(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．

學(xué)案45空間向量及其運算
自主梳理
1．(1)大小方向(2)相同相等(3)存在實數(shù)λ，使得a＝λbOA→＋tAB→(4)OM→＋xMA→＋yMB→12.xa＋yb＋zc3.(1)①∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos〈a，b〉abab＝|a||b|cos〈a，b〉
(2)①λ(ab)②ba③ab＋ac4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)ab＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)a21＋a22＋a23
a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12
自我檢測
1．C[∵a∥b，∴2x1＝1－2y＝39，
∴x＝16，y＝－32.]
2．A[B1M→＝B1A1→＋A1A→＋AM→
＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→
＝－a＋c＋12(a＋b)＝－12a＋12b＋c.]
3.97
解析∵AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，
∴|AC′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→AD→＋2AD→AA′→＋2AA′→AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，
∴|AC′→|＝97.
4．B[①正確．②中若a、b共線，p與a不共線，則p＝xa＋yb就不成立．③正確．④中若M、A、B共線，點P不在此直線上，則MP→＝xMA→＋yMB→不正確．]
5．共面
解析AB→＝(3,4,5)，AC→＝(1,2,2)，AD→＝(9,14,16)，設(shè)AD→＝xAB→＋yAC→，
即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)．
∴x＝2y＝3，從而A、B、C、D四點共面．
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引欲證a⊥b，只要把a、b用相同的幾個向量表示，然后利用向量的數(shù)量積證明ab＝0即可，這是基向量證明線線垂直的基本方法．
證明如圖所示
.
設(shè)OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.
∵OM→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，
ON→＝12(OA→＋OC→)＝12(a＋c)，
∴PM→＝PO→＋OM→＝－12a＋12(b＋c)
＝12(b＋c－a)，
QN→＝QO→＋ON→＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b)．
∴PM→QN→＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)]
＝14[c2－(a－b)2]＝14(|OC→|2－|BA→|2)
∵|AB→|＝|OC→|，∴PM→QN→＝0.
即PM→⊥QN→，故PM⊥QN.
變式遷移123
解析設(shè){AB→，AC→，AD→}為空間一組基底，
則AF→＝12AB→＋12AC→，
CE→＝12CA→＋12CD→＝12CA→＋12(AD→－AC→)
＝－AC→＋12AD→.
∴AF→CE→＝12AB→＋12AC→－AC→＋12AD→
＝－12AB→AC→－12AC→2＋14AB→AD→＋14AC→AD→
＝－14AB→2－12AC→2＋18AB→2＋18AC→2
＝－12AC→2.
又|AF→|＝|CE→|＝32|AC→|，∴|AF→||CE→|＝34|AC→|2.
∴cos〈AF→，CE→〉＝AF→CE→|AF→||CE→|＝－12AC→234|AC→|2＝－23.
∴異面直線AF與CE所成角的余弦值為23.
例2解題導(dǎo)引
如圖所示，建立坐標(biāo)系后，要證MN平行于平面EBC，只要證MN→的橫坐標(biāo)為0即可．
(1)證明如圖所示，以BA→、BC→、BE→為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，
設(shè)ANAE＝DMDB＝λ，則MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→
＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．
∵0λ1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN→的橫坐標(biāo)為0.
∴MN→平行于平面yBz，即MN∥平面EBC.
(2)解由(1)知|MN→|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1
＝2λ－122＋12，
∴當(dāng)λ＝12時，MN取得長度的最小值為22.
變式遷移2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.
則點N、E的坐標(biāo)分別為
22，22，0、(0,0,1)．
∴NE→＝－22，－22，1.
又點A、M的坐標(biāo)分別為(2，2，0)、22，22，1，
∴AM→＝－22，－22，1.
∴NE→＝AM→且NE與AM不共線．
∴NE∥AM.
又∵NE平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)得，AM→＝－22，－22，1，
∵D(2，0,0)，F(xiàn)(2，2，1)，B(0，2，0)，
∴DF→＝(0，2，1)，BF→＝(2，0,1)．
∴AM→DF→＝0，AM→BF→＝0.∴AM→⊥DF→，AM→⊥BF→，
即AM⊥DF，AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，
∴AM⊥平面BDF.
例3解題導(dǎo)引建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后，寫出各點坐標(biāo)．第(1)題證明FG→與平面BOE的法向量n垂直，即FG→n＝0即可．第(2)題設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用MF→∥n即可解出，然后檢驗解的合理性．
(1)證明
如圖，連接OP，以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.
則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，
B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．
由題意，得G(0,4,0)．
因為OB→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，
所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．
由FG→＝(－4,4，－3)，得nFG→＝0.
又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.
(2)解設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，
則FM→＝(x0－4，y0，－3)．
因為FM⊥平面BOE，所以FM→∥n，
因此x0＝4，y0＝－94，
即點M的坐標(biāo)是4，－94，0.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組x0，y0，x－y8.
經(jīng)檢驗，點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組．
所以，在△AOB內(nèi)存在一點M，使PM⊥平面BOE.
由點M的坐標(biāo)，得點M到OA，OB的距離分別為4，94.
變式遷移3解
(1)以點B為原點，以BA、BC、BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝22AC＝2a，
∴A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，C1(0，2a,3a)，
E0，22a，32a，A1(2a,0,3a)，
∴BE→＝0，22a，32a，A1C→＝(－2a，2a，－3a)，
cos〈BE→，A1C→〉＝BE→A1C→|BE→||A1C→|＝－72a2112a×13a＝－7143143.
∴直線BE與A1C所成的角的余弦值為7143143.
(2)假設(shè)存在點F，使CF⊥平面B1DF，
并設(shè)AF→＝λAA1→＝λ(0,0,3a)＝(0,0,3λa)(0λ1)，
∵D為A1C1的中點，∴D22a，22a，3a，
B1D→＝22a，22a，3a－(0,0,3a)＝22a，22a，0，
B1F→＝B1B→＋BA→＋AF→＝(0,0，－3a)＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa)＝(2a,0,3a(λ－1))，
CF→＝CA→＋AF→＝(2a，－2a,0)＋(0,0,3λa)
＝(2a，－2a,3λa)．
∵CF⊥平面B1DF，∴CF→⊥B1D→，CF→⊥B1F→，
CF→B1D→＝0CF→B1F→＝0，即3λa×0＝09λ2－9λ＋2＝0，
解得λ＝23或λ＝13
∴存在點F使CF⊥面B1DF，且
當(dāng)λ＝13時，|AF→|＝13|AA1→|＝a，
當(dāng)λ＝23時，|AF→|＝23|AA1→|＝2a.
課后練習(xí)區(qū)
1．C[②③④均不正確．]
2．A[以D為坐標(biāo)原點，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，設(shè)棱長為2，則M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴AC→＝(－2,2,0)，MN→＝(0,1,1)，OM→＝(－1，－1,1)，
∴OM→AC→＝0，OM→MN→＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.]
3．B[
如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，C1(2,0,2)，
∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，
∴cos〈EF→，BC1→〉＝228＝12.
∵〈EF→，BC1→〉∈[0°，180°]
∴EF與BC1所成的角是60°.]
4．A[由PC→＝λ1PA→＋λ2PB→得：
(2a－1，a＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)，
∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2解得a＝16.]
5．B[
過A、B分別作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸，垂足分別為A1和B1，則AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，
∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→，
∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.]
6.12
解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，
又EF→＝ED→＋DC→＋CF→，
∴2EF→＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→＋DC→)，∴λ＝12.
7．①②
解析①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；
④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋(A1A→＋DD1→)＝B1D1→≠BD1→.
8．(1,1,1)
解析設(shè)DP＝y(tǒng)0，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E1，1，y2，DP→＝(0,0，y)，AE→＝－1，1，y2.
∴cos〈DP→，AE→〉＝DP→AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y(tǒng)8＋y2＝33.
解得y＝2，∴E(1,1,1)．
9．證明(1)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則BE→＝(3,0,1)，BF→＝(0,3,2)，
BD1→＝(3,3,3)．(2分)
所以BD1→＝BE→＋BF→.
故BD1→、BE→、BF→共面．
又它們有公共點B，∴E、B、F、D1四點共面．(6分)
(2)設(shè)M(0,0，z)，則GM→＝0，－23，z.
而BF→＝(0,3,2)，
由題設(shè)，得GM→BF→＝－23×3＋z2＝0，得z＝1.(8分)
∴M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴ME→＝(3,0,0)．
又BB1→＝(0,0,3)，BC→＝(0,3,0)，∴ME→BB1→＝0，
∴ME→BC→＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又∵BB1∩BC＝B，∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)
10.
解(1)如圖所示，以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.
依題意，得D(0,0,0)，
A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，
E12，1，0.(2分)
∴NE→＝－12，0，－1，
AM→＝(－1,0,1)．
∵cos〈NE→，AM→〉＝NE→AM→|NE→||AM→|＝－1252×2＝－1010，
∴異面直線NE與AM所成角的余弦值為1010.
(6分)
(2)假設(shè)在線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN.
∵AN→＝(0,1,1)，可設(shè)AS→＝λAN→＝(0，λ，λ)，
又EA→＝12，－1，0，
∴ES→＝EA→＋AS→＝12，λ－1，λ.(8分)
由ES⊥平面AMN，
得ES→AM→＝0，ES→AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.(10分)
故λ＝12，此時AS→＝0，12，12，|AS→|＝22.
經(jīng)檢驗，當(dāng)AS＝22時，ES⊥平面AMN.
故線段AN上存在點S，
使得ES⊥平面AMN，此時AS＝22.(12分)
11．(1)證明設(shè)AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.
由題意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60°.
MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→
＝12(q＋r－p)，(2分)
∴MN→AB→＝12(q＋r－p)p
＝12(qp＋rp－p2)
＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB
又∵CD→＝AD→－AC→＝r－q，
∴MN→CD→＝12(q＋r－p)(r－q)
＝12(qr－q2＋r2－qr－pr＋pq)
＝12(a2cos60°－a2＋a2－a2cos60°－a2cos60°＋a2cos60°)
＝0，∴MN⊥CD.(4分)
(2)解由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，
∴|MN→|2＝MN→2＝14(q＋r－p)2
＝14[q2＋r2＋p2＋2(qr－pq－rp)]
＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22
＝14×2a2＝a22.
∴|MN→|＝22a，∴MN的長為22a.(9分)
(3)解設(shè)向量AN→與MC→的夾角為θ.
∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，
MC→＝AC→－AM→＝q－12p，
∴AN→MC→＝12(q＋r)q－12p
＝12q2－12qp＋rq－12rp
＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°
＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.(12分)
又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，
∴AN→MC→＝|AN→||MC→|cosθ
即32a32acosθ＝a22.
∴cosθ＝23，(13分)
∴向量AN→與MC→的夾角的余弦值為23，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為23.(14分)

《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時都會提前最好準備，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師能夠井然有序的進行教學(xué)。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

《平面向量的數(shù)量積》學(xué)案

教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及簡單應(yīng)用
教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及應(yīng)用
教學(xué)難點：對平面向量數(shù)量積應(yīng)用的準確把握
教學(xué)過程：
題型一：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算
【例題1】.關(guān)于平面向量，有下列5個命題：
①若，則
②‖
③
④
⑤非零向量和滿足，則與的夾角為
其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）
【例題2】.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則AB→AC→＝________.
(2)若向量＝(1,1)，＝(2,5)，＝(3，x)，滿足條件(8－)＝30，則x＝__________.

題型二：向量的夾角與模
【例題3】.已知||＝4，||＝3，(2－3)(2＋)＝61.
(1)求與的夾角θ；
(2)求|＋|；
(3)若AB→＝，BC→＝，求△ABC的面積．

變式訓(xùn)練1：已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是

變式訓(xùn)練2：已知平面向量且。
題型三：向量數(shù)量積的應(yīng)用
【例題4】.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值為。

變式訓(xùn)練：已知

課堂練習(xí)：
1、已知＝(2,3)，＝(－4,7)，則在方向上的投影為______．
2、設(shè)x，y∈R，向量＝(x,1)，＝(1，y)，＝(2，－4)，且⊥，∥，則|＋|＝________.
3、已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則DE→CB→的值為__________
DE→DC→的最大值為________．
4、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則|PA|2＋|PB|2|PC|2＝______.
5、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB→AF→＝2，則AE→BF→的值是________．
課堂小結(jié)：

平面向量的數(shù)量積

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會到學(xué)習(xí)的快樂，減輕高中教師們在教學(xué)時的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“平面向量的數(shù)量積”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
2、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測案（2）
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測】
1、求下列各組中兩個向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=
2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時，向量+與－3垂直？
（3）為何值時，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實數(shù)的值。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積（2）
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
3、掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；
4、掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的等價條件。
【課前預(yù)習(xí)】
1、（1）已知向量和的夾角是，||=2，||=1，則(+)2=，|+|=。
（2）已知：||=2，||=5，=－3，則|+|=，|－|=。
（3）已知||=1，||=2，且(－)與垂直，則與的夾角為
2、設(shè)軸上的單位向量，軸上的單位向量，則=，=，=，=，若=，=，則=+.=+。
3、推導(dǎo)坐標(biāo)公式：=。
4、（1）=，則||=___________；，則||=。
（2）=；（3）⊥；（4）//。
5、已知=，=，則||=，||=，=，
=；=。

【課堂研討】
例1、已知=，=，求(3－)(－2)，與的夾角。

例2、已知||=1，||=，+=，試求：
（1）|－|（2）+與－的夾角

例3、在中，設(shè)=，=，且是直角三角形，求的值。

【學(xué)后反思】
1、平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義；2、數(shù)量積的性質(zhì)及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用。

課題:2.4平面向量的數(shù)量積檢測案（2）
班級：姓名：學(xué)號：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測】
1、求下列各組中兩個向量與的夾角：
（1）=，=（2）=，=

2、設(shè)，，，求證：是直角三角形。
3、若=，=，當(dāng)為何值時：
（1）（2）（3）與的夾角為銳角

【課后鞏固】
1、設(shè)，，是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有：
①()－()=②||－|||－
|③()－()不與垂直④(3+4)(3－4)=9||2－16||2
⑤若為非零向量，=，且≠，則⊥（－）
2、若=，=且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是。
3、已知=，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為。
4、已知若=，=，則+與－垂直的條件是
5、的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，判斷三角形的形狀。

6、已知向量=，||=2，求滿足下列條件的的坐標(biāo)。
（1）⊥（2）

7、已知向量=，=。
（1）求|+|和|－|；（2）為何值時，向量+與－3垂直？
（3）為何值時，向量+與－3平行？

8、已知向量，，，其中分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量。
（1）若能構(gòu)成三角形，求實數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（2）是直角三角形，求實數(shù)的值。

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示