高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)集合的概念與運(yùn)算學(xué)案1含答案。

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助高中教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。你知道如何去寫(xiě)好一份優(yōu)秀的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)集合的概念與運(yùn)算學(xué)案1含答案”，相信能對(duì)大家有所幫助。

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

學(xué)案1集合的概念與運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：
1.能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.
2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.
3.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.4.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．

自主梳理
1．集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．
2．元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)∈或表示．
3．集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．
4．集合間的基本關(guān)系
對(duì)任意的x∈A，都有x∈B，則AB(或BA)．
若AB，且在B中至少有一個(gè)元素x∈B，但xA，則A?B(或B?A)．
若AB且BA，則A＝B.
5．集合的運(yùn)算及性質(zhì)
設(shè)集合A，B，則A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
設(shè)全集為U，則UA＝{x|x∈U且xA}．
A∩＝，A∩BA，A∩BB，
A∩B＝AAB.
A∪＝A，A∪BA，A∪BB，
A∪B＝BAB.
A∩UA＝；A∪UA＝U.
自我檢測(cè)
1．(2011長(zhǎng)沙模擬)下列集合表示同一集合的是()
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案C
2．(2009遼寧)已知集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|－5x5}，則M∩N等于()
A．{x|－5x5}B．{x|－3x5}
C．{x|－5x≤5}D．{x|－3x≤5}
答案B
解析畫(huà)數(shù)軸，找出兩個(gè)區(qū)間的公共部分即得M∩N＝{x|－3x5}．
3．(2010湖北)設(shè)集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，則A∩B的子集的個(gè)數(shù)是()
A．4B．3C．2D．1
答案A
解析易知橢圓x24＋y216＝1與函數(shù)y＝3x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A∩B包含兩個(gè)元素，故A∩B的子集個(gè)數(shù)是4個(gè)．
4．(2010濰坊五校聯(lián)考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，則M∩N等于()
A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}
C．{(－2，1)，(2，1)}D．
答案B
解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
5．(2011福州模擬)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，則a＝________.
答案－1或2
解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合．
由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.

探究點(diǎn)一集合的基本概念
例1(2011沈陽(yáng)模擬)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求b－a的值．
解題導(dǎo)引解決該類(lèi)問(wèn)題的基本方法為：利用集合中元素的特點(diǎn)，列出方程組求解，但解出后應(yīng)注意檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是否符合元素的互異性．
解由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}可知a≠0，則只能a＋b＝0，則有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：
a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②
由①得a＝－1，b＝1，符合題意；②無(wú)解．
∴b－a＝2.
變式遷移1設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求實(shí)數(shù)a，b.
解由元素的互異性知，
a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，
得a2＝1，ab＝b，或a2＝b，ab＝1，解得a＝－1，b＝0.
探究點(diǎn)二集合間的關(guān)系
例2設(shè)集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則下列關(guān)系中正確的是()
A．M＝NB．M?N
C．M?ND．M∈N
解題導(dǎo)引一般地，對(duì)于較為復(fù)雜的兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合，要判斷它們之間的關(guān)系，應(yīng)先確定集合中元素的形式是數(shù)還是點(diǎn)或其他，屬性如何．然后將所給集合化簡(jiǎn)整理，弄清每個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)或范圍，再判斷它們之間的關(guān)系．
答案A
解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.
變式遷移2設(shè)集合P＝{m|－1m0}，Q＝{m|mx2＋4mx－40對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，且m∈R}，則下列關(guān)系中成立的是()
A．P?QB．Q?P
C．P＝QD．P∩Q＝
答案A
解析P＝{m|－1m0}，
Q：m0，Δ＝16m2＋16m0，或m＝0.
∴－1m≤0.
∴Q＝{m|－1m≤0}．
∴P?Q.

探究點(diǎn)三集合的運(yùn)算
例3設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．
(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求A∩B和A∪B；
(2)若(RA)∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解題導(dǎo)引解決含參數(shù)問(wèn)題的集合運(yùn)算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的相互關(guān)系，注意分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及空集的特殊性．
解(1)A＝{x|12≤x≤3}．
當(dāng)a＝－4時(shí)，B＝{x|－2x2}，
∴A∩B＝{x|12≤x2}，
A∪B＝{x|－2x≤3}．
(2)RA＝{x|x12或x3}．
當(dāng)(RA)∩B＝B時(shí)，BRA，
即A∩B＝.
①當(dāng)B＝，即a≥0時(shí)，滿(mǎn)足BRA；
②當(dāng)B≠，即a0時(shí)，B＝{x|－－ax－a}，
要使BRA，需－a≤12，
解得－14≤a0.
綜上可得，a的取值范圍為a≥－14.
變式遷移3(2011阜陽(yáng)模擬)已知A＝{x||x－a|4}，B＝{x||x－2|3}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，
A＝{x|－3x5}，
B＝{x|x－1或x5}．
∴A∩B＝{x|－3x－1}．
(2)∵A＝{x|a－4xa＋4}，
B＝{x|x－1或x5}，且A∪B＝R，
∴a－4－1a＋451a3.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3)．
分類(lèi)討論思想在集合中的應(yīng)用
例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值組成的集合；
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值組成的集合．
【答題模板】
解(1)P＝{－3,2}．當(dāng)a＝0時(shí)，S＝，滿(mǎn)足SP；[2分]
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax＋1＝0的解為x＝－1a，
為滿(mǎn)足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，
即a＝13或a＝－12.[4分]
故所求集合為{0，13，－12}．[6分]
(2)當(dāng)m＋12m－1，即m2時(shí)，B＝，滿(mǎn)足BA；[8分]
若B≠，且滿(mǎn)足BA，如圖所示，
則m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.[10分]
故m2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．[12分]
【突破思維障礙】
在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問(wèn)題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段即是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分類(lèi)時(shí)要遵循“不重不漏”的分類(lèi)原則，然后對(duì)于每一類(lèi)情況都要給出問(wèn)題的解答．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
(1)容易忽略a＝0時(shí)，S＝這種情況．
(2)想當(dāng)然認(rèn)為m＋12m－1忽略“”或“＝”兩種情況．（趣祝福 wWw.Zfw152.coM）

解答集合問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意五點(diǎn)：
1．注意集合中元素的性質(zhì)——互異性的應(yīng)用，解答時(shí)注意檢驗(yàn)．
2．注意描述法給出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．
3．注意的特殊性．在利用AB解題時(shí)，應(yīng)對(duì)A是否為進(jìn)行討論．
4．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀(guān)化，一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示，元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，同時(shí)注意端點(diǎn)的取舍．
5．注意補(bǔ)集思想的應(yīng)用．在解決A∩B≠時(shí)，可以利用補(bǔ)集思想，先研究A∩B＝的情況，然后取補(bǔ)集．

(滿(mǎn)分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．滿(mǎn)足{1}?A{1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)是()
A．2B．3C．4D．8
答案B
解析A＝{1}∪B，其中B為{2,3}的子集，且B非空，顯然這樣的集合A有3個(gè)，
即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
2．(2011杭州模擬)設(shè)P、Q為兩個(gè)非空集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是()
A．9B．8C．7D．6
答案B
解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是8.
3．(2010北京)集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，則P∩M等于()
A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}
答案B
解析由題意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
4．(2010天津)設(shè)集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x|1x5，x∈R}．若A∩B＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}
答案C
解析由|x－a|1得－1x－a1，
即a－1xa＋1.
由圖可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.
5．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|x24}，N＝{x|2x－1≥1}，則右圖中陰影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1x≤2}D．{x|x2}
答案C
解析題圖中陰影部分可表示為(UM)∩N，集合M為{x|x2或x－2}，集合N為{x|1x≤3}，由集合的運(yùn)算，知(UM)∩N＝{x|1x≤2}．
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011紹興模擬)設(shè)集合A＝{1,2}，則滿(mǎn)足A∪B＝{1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù)是________．
答案4
解析由題意知B的元素至少含有3，因此集合B可能為{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7．(2009天津)設(shè)全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx1}，若A∩(UB)＝{m|m＝2n＋1，
n＝0,1,2,3,4}，則集合B＝________.
答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N*|lgx1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(UB)＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
8．(2010江蘇)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝____.
答案1
解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011煙臺(tái)模擬)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B.
解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x0}＝{x|x－3或x0}．(6分)
如圖所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x－3或x0}＝R.(9分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x－3或x0}
＝{x|－6≤x－3，或0x≤1}．(12分)
10．(12分)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}．若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解當(dāng)a＝0時(shí)，顯然BA；(2分)
當(dāng)a0時(shí)，
若BA，如圖，
則4a≤－12，－1a2，(5分)
∴a≥－8，a－12.∴－12a0；(7分)
當(dāng)a0時(shí)，如圖，若BA，
則－1a≤－12，4a≥2，(9分)

∴a≤2，a≤2.∴0a≤2.(11分)
綜上知，當(dāng)BA時(shí)，－12a≤2.(12分)
11．(14分)(2011岳陽(yáng)模擬)已知集合A＝{x|x－5x＋1≤0}，B＝{x|x2－2x－m0}，
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求實(shí)數(shù)m的值．
解由x－5x＋1≤0，
所以－1x≤5，所以A＝{x|－1x≤5}．(3分)
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，B＝{x|－1x3}，
則RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因?yàn)锳＝{x|－1x≤5}，
A∩B＝{x|－1x4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此時(shí)B＝{x|－2x4}，符合題意，
故實(shí)數(shù)m的值為8.(14分)

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學(xué)案25平面向量及其線(xiàn)性運(yùn)算
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義.6.了解向量線(xiàn)性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．
自主梳理
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量的定義：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用來(lái)表示向量.有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，記作________或_______．
(4)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向是________．
(5)單位向量：長(zhǎng)度為_(kāi)___單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．與a平行的單位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一組平行向量都可以移到同一直線(xiàn)上．規(guī)定：0與任一向量______．
(7)相等向量：長(zhǎng)度______且方向______的向量．
2．向量的加法運(yùn)算及其幾何意義
（1）已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB→=a，BC→=b，則向量AC→叫做a與b的，記作，即=AB→+BC→=，這種求向量和的方法叫做向量加法的.?
（2）以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)OA→就是a與b的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的.
(3)加法運(yùn)算律
a＋b＝________(交換律)；
(a＋b)＋c＝____________(結(jié)合律)．
3．向量的減法及其幾何意義
(1)相反向量
與a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，記作______．
(2)向量的減法
①定義a－b＝a＋________，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的____________．
②如圖，AB→＝a，，AD→＝b，則AC→＝，DB→＝____________.
4．向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義
(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作______，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝______；
②當(dāng)λ0時(shí)，λa與a的方向______；當(dāng)λ0時(shí)，λa與a的方向______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝______.
(2)運(yùn)算律
設(shè)λ，μ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則
①λ(μa)＝________.(結(jié)合律)
②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)
(3)兩個(gè)向量共線(xiàn)定理：向量b與a(a≠0)共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
5．重要結(jié)論
PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)G為△ABC的________；
PA→＋PB→＋PC→＝0P為△ABC的________．
自我檢測(cè)
1.（2010四川）設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)BC外，BC→＝16，|，|則|AM→|等于()
A．8B．4C．2D．1
2．下列四個(gè)命題：
①對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，則a＝b；
③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n；
④若a＝b，b＝c，則a＝c，
其中正確命題的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
3.在ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M為BC的中點(diǎn)，則MN→等于()
A．－14a＋14bB．－12a＋12b
C．a(chǎn)＋12bD．－34a＋34b
4.（2010湖北）已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB→＋AC→＝m，成立，則m等于()
A．2B．3C．4D．5
5.（2009安徽）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝______.
探究點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念辨析
例1①有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段；
②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；
③向量AB→與向量CD→共線(xiàn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn)；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命題中正確的個(gè)數(shù)為()
A．1B．2C．3D．0
變式遷移1下列命題中正確的有________(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào))．
①|(zhì)a|＝|b|a＝b；
②若a＝b，b＝c，則a＝c；
③|a|＝0a＝0；
④若A、B、C、D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則AB→＝DC→四邊形ABCD是平行四邊形．
探究點(diǎn)二向量的線(xiàn)性運(yùn)算
例2（2011開(kāi)封模擬）已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證：EF→＝12(AB→＋DC→)．

變式遷移2（2011深圳模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，試用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.

探究點(diǎn)三共線(xiàn)向量問(wèn)題
例3如圖所示，平行四邊形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M為AB中點(diǎn)，N為BD靠近B的三等分點(diǎn)，求證：M、N、C三點(diǎn)共線(xiàn).

變式遷移3設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(xiàn)．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)；
（2）如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值．

1.若點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則OP→＝12(OA→＋OB→)．如圖所示．
2．證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向量與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)．
3．三點(diǎn)共線(xiàn)的性質(zhì)定理：
（1）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，則AB→＝λBC→.
（2）若平面上三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，則OC→＝λOA→＋μO(píng)B→，且λ＋μ＝1.
(滿(mǎn)分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．若O、E、F是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是()
A.EF→＝OF→＋OE→Ｂ.ＥF→＝OF→－OE→
Ｃ.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→
2.設(shè)a，b為不共線(xiàn)向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是()
A.AD→＝BC→B.AD→＝2BC→
C.AD→＝－BC→D.AD→＝－2BC→
3．(2011杭州模擬)設(shè)a，b是任意的兩個(gè)向量，λ∈R，給出下面四個(gè)結(jié)論：
①若a與b共線(xiàn)，則b＝λa；
②若b＝－λa，則a與b共線(xiàn)；
③若a＝λb，則a與b共線(xiàn)；
④當(dāng)b≠0時(shí)，a與b共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ＝λ1，使得a＝λ1b.
其中正確的結(jié)論有()
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
4.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足BD→＝2DC→，則AD→等于()
A.23b＋13cB.53c－23b
C.23b－13cD.13b＋23c
5.（2010廣東中山高三六校聯(lián)考）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，則λ等于（）
A.23B.13C．－13D．－23
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.（2009湖南）如下圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，則x＝______，y＝__________.
7.已知＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→，則OP→＝_________.
8.（2011青島模擬）O是平面上一點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12時(shí)，則PA→(PB→＋PC→)的值為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)若a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a，tb，13(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上？

10.(12分)在△ABC中，BE與CD交于點(diǎn)P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.

11．(14分)(2011黃山模擬)已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)．
（1）求GA→＋GB→＋GO→；
（2）若PQ過(guò)△ABO的重心G，且，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求證：1m＋1n＝3.

答案自主梳理
1.（1）大小方向（2）有向線(xiàn)段（3）長(zhǎng)度|a|?|
(4)任意的(5)1個(gè)±a|a|(6)相同相反非零共線(xiàn)向量平行(7)相等相同2.(1)和a＋ba＋bAC→三角形法則(2)平行四邊形法則(3)b＋aa＋(b＋c)3.(1)長(zhǎng)度相等方向相反－a(2)①(－b)相反向量②a＋ba－b4.(1)λa①|(zhì)λ||a|②相同相反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb5.(1)重心(2)重心
自我檢測(cè)
1.

2．C[①根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算可判斷其正確；②當(dāng)m＝0時(shí)，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故②錯(cuò)誤；③正確；④由于向量相等具有傳遞性，故④正確．]
3.A[由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，
又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b
＝－14a＋14b.]
4．B[由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D，
則AM→＝23AD→，①
因?yàn)锳D為中線(xiàn)，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，
即2AD→＝mAM→，②
聯(lián)立①②可得m＝3.]
5.43
解析設(shè)AB→＝a，AD→＝b，
那么AE→＝a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，
AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，
∴λ＋μ＝43.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1D[①不正確，向量可以用有向線(xiàn)段表示，但向量不是有向線(xiàn)段；
②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)也互相平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；
③不正確，共線(xiàn)向量所在的直線(xiàn)可以重合，也可以平行；
④不正確，如果b＝0時(shí)，則a與c不一定平行．
所以應(yīng)選D.]
變式遷移1②③④
解析①模相同，方向不一定相同，
故①不正確；
②兩向量相等，要滿(mǎn)足模相等且方向相同，故向量相等具備傳遞性，②正確；
③只有零向量的模才為0，故③正確；
④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四邊形對(duì)邊平行且相等．故④正確．
故應(yīng)選②③④.
例2證明方法一如圖所示，
在四邊形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①
在四邊形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②
①＋②得
(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴FC→＋FB→＝0，DE→＋AE→＝0.
∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，
即EF→＝(AB→＋DC→)．
方法二取以A為起點(diǎn)的向量，應(yīng)用三角形法則求證．
∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE→＝12AD→.
∵F是BC的中點(diǎn)，∴AF→＝12（AB→＋AC→)．
又AC→＝AD→＋DC→，
∴AF→＝12（AB→＋AD→＋DC→)＝12（AB→＋DC→)＋12AD→
＝12（AB→＋DC→)＋AE→
∴EF→＝AF→－AE→＝12（AB→＋DC→)．
即EF→＝12（AB→＋DC→)．
變式遷移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→
例3解題導(dǎo)引(1)在平面幾何中，向量之間的關(guān)系一般通過(guò)兩個(gè)指定的向量來(lái)表示，向量共線(xiàn)應(yīng)存在實(shí)數(shù)λ使兩向量能互相表示．
(2)向量共線(xiàn)的判斷(或證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線(xiàn)．
證明在△ABD中BD→＝AD→－AB→.
因?yàn)锳B→＝a,AD→＝b，所以BD→＝b－a.
由共線(xiàn)向量定理知：CM→∥CN→，
又∵CM→與CN→有公共點(diǎn)C，∴M、N、C三點(diǎn)共線(xiàn)．
變式遷移3（1）證明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2)＝CD→．
∴AC→與CD→共線(xiàn)．
又∵AC→與CD→有公共點(diǎn)C，∴A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)．
（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴AC→與CD→共線(xiàn)．
從而存在實(shí)數(shù)λ使得AC→＝λCD→
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.
解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值為43.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[由減法的三角形法則知EF→＝OF→－OE→.]
3．D[題目考查兩向量共線(xiàn)的充要條件，此定理應(yīng)把握好兩點(diǎn)：(1)與λ相乘的向量為非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正確．]
5.
6．1＋3232
解析
作DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，設(shè)AB＝AC＝1BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62.
由∠DBF＝45°，
得DF＝BF＝62×22＝32，
所以BF→＝32AB→FD→＝32AC→，
所以AD→＝AB→＋BF→＋FD→＝（）AB→＋32AC→.
7.1λa＋λ－1λb
＝a＋λ－1λ(b－a)＝1λa＋λ－1λb.
8．0
解析由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12，得AP→－（AB→＋AC→)，即點(diǎn)P為△ABC中BC邊的中點(diǎn)，
∴PB→＋PC→＝0.
∴PA→(PB→＋PC→)＝PA→0＝0.
9．解設(shè)OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，……………………………………………………………(4分)
AB→＝OB→－OA→＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，只需AC→＝λAB→，
即－23a＋13b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴－23＝－λ，13＝λt.∴λ＝23，t＝12.……………………………………………………(11分)
∴當(dāng)t＝12時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．……………………………………………(12分)
10．解
取AE的三等分點(diǎn)M，
使|AM|＝13|AE|，連結(jié)DM.
設(shè)|AM|＝t，則|ME|＝2t.
又|AE|＝14|AC|，
∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，
|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.
∴|DP|＝211|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)
＝13AB→＋211－13AB→＋AC→
＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.……………………………………………………………(12分)
11．(1)解∵點(diǎn)G是△ABO的重心，
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)證明∵M(jìn)是AB邊的中點(diǎn)，∴OM→＝12(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∵P、G、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，∴PG→∥GQ→，
且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使PG→＝λGQ→.…………………………………………………(5分)
，
∴(13－m)a＋13b＝λ[－13a＋(n－13)b]．…………………………………………………(8分)
又因?yàn)閍、b不共線(xiàn)，所以
13－m＝－13λ13＝λn－13，……………………………………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故1m＋1n＝3.……………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算學(xué)案附答案

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的教師教學(xué)。那么一篇好的教案要怎么才能寫(xiě)好呢？以下是小編為大家精心整理的“高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算學(xué)案附答案”，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

學(xué)案45空間向量及其運(yùn)算

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直．
自主梳理
1．空間向量的有關(guān)概念
(1)空間向量：在空間中，具有______和______的量叫做空間向量．
(2)相等向量：方向______且模______的向量．
(3)共線(xiàn)向量定理
對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是______________________________．

推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是：OP→＝OA→＋ta①
其中a叫直線(xiàn)l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，則①可化為OP→＝___________________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.
(4)共面向量定理
如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb，推論的表達(dá)式為MP→＝xMA→＋yMB→或?qū)臻g任意一點(diǎn)O有，OP→＝__________________或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOM→，其中x＋y＋z＝____.
2．空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．
3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律
(1)數(shù)量積及相關(guān)概念
①兩向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA→＝a，OB→＝b，則________叫做向量a與b的夾角，記作________，其范圍是________________，若〈a，b〉＝π2，則稱(chēng)a與b______________，記作a⊥b.
②兩向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a，b，則______________________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作________，即______________________________．
(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)b＝____________________；
②交換律：ab＝________；
③分配律：a(b＋c)＝________________.
4．空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則ab＝____________________.
(2)共線(xiàn)與垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則a∥b(b≠0)____________________，__________，________________，
a⊥b_________________________________________(a，b均為非零向量)．
(3)模、夾角和距離公式
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
則|a|＝aa＝_____________________________________________________________，
cos〈a，b〉＝ab|a||b|＝_________________________________________________________.
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，
則|AB→|＝__________________________________________________________________.
自我檢測(cè)
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，則()
A．x＝1，y＝1B．x＝12，y＝－12
C．x＝16，y＝－32D．x＝－16，y＝32
2．(2011青島月考)
如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，則下列向量中與B1M→相等的向量是()
A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋c
C.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c
3．(2011廣州調(diào)研)在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，則|AC′→|＝________.
4．有下列4個(gè)命題：
①若p＝xa＋yb，則p與a、b共面；
②若p與a、b共面，則p＝xa＋yb；
③若MP→＝xMA→＋yMB→，則P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，則MP→＝xMA→＋yMB→.
其中真命題的個(gè)數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)這四個(gè)點(diǎn)________(填共面或不共面)．
探究點(diǎn)一空間基向量的應(yīng)用
例1已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.

變式遷移1
如圖，在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AF和CE所成角的余弦值為_(kāi)_______．

探究點(diǎn)二利用向量法判斷平行或垂直
例2(2011合肥調(diào)研)兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD與正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，點(diǎn)M、N分別在BD、AE上，且AN＝DM.
(1)求證：MN∥平面EBC；(2)求MN長(zhǎng)度的最小值．

變式遷移2
如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．
求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.

探究點(diǎn)三利用向量法解探索性問(wèn)題
例3(2011泉州月考)如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別
為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明FG∥平面BOE；
(2)在△AOB內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出點(diǎn)M到OA，OB的距離；若不存在，說(shuō)明理由．

變式遷移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)．
(1)求直線(xiàn)BE與A1C所成的角的余弦值；
(2)在線(xiàn)段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．向量法解立體幾何問(wèn)題有兩種基本思路：一種是利用基向量表示幾何量，簡(jiǎn)稱(chēng)基向量法；另一種是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示幾何量，簡(jiǎn)稱(chēng)坐標(biāo)法．
2．利用坐標(biāo)法解幾何問(wèn)題的基本步驟是：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)準(zhǔn)確表示涉及到的幾何量．(2)通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，研究點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系．(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)幾何問(wèn)題．
(滿(mǎn)分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．下列命題：
①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線(xiàn)的充要條件；
③若a、b共線(xiàn)，則a與b所在直線(xiàn)平行；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)則P、A、B、C四點(diǎn)共面．其中假命題的個(gè)數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
2.
如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)OM()
A．既垂直于AC，又垂直于MN
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．與AC、MN都不垂直
3．(2011紹興月考)
如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF和BC1所成的角是()
A．45°B．60°
C．90°D．120°
4．設(shè)點(diǎn)C(2a＋1，a＋1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)確定的平面上，則a等于()
A．16B．4C．2D．8
5．在直角坐標(biāo)系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x軸把直角坐標(biāo)系折成120°的二面角，則AB的長(zhǎng)度為()
A.2B．211C．32D．42
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.
(2011信陽(yáng)模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若EF→＝λ(AB→＋DC→)，則λ＝________.
7．(2011銅川模擬)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，給出以下向量表達(dá)式：
①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→；④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.
其中能夠化簡(jiǎn)為向量BD1→的是________．(填所有正確的序號(hào))
8．(2011麗水模擬)
如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)
如圖所示，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面；
(2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝23，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1.

10．(12分)(2009福建)如圖，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn)．
(1)求異面直線(xiàn)NE與AM所成角的余弦值；
(2)在線(xiàn)段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線(xiàn)段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．(14分)(2011汕頭月考)
如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．
(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的長(zhǎng)；
(3)求異面直線(xiàn)AN與CM所成角的余弦值．

學(xué)案45空間向量及其運(yùn)算
自主梳理
1．(1)大小方向(2)相同相等(3)存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λbOA→＋tAB→(4)OM→＋xMA→＋yMB→12.xa＋yb＋zc3.(1)①∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos〈a，b〉abab＝|a||b|cos〈a，b〉
(2)①λ(ab)②ba③ab＋ac4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)ab＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)a21＋a22＋a23
a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12
自我檢測(cè)
1．C[∵a∥b，∴2x1＝1－2y＝39，
∴x＝16，y＝－32.]
2．A[B1M→＝B1A1→＋A1A→＋AM→
＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→
＝－a＋c＋12(a＋b)＝－12a＋12b＋c.]
3.97
解析∵AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，
∴|AC′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→AD→＋2AD→AA′→＋2AA′→AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，
∴|AC′→|＝97.
4．B[①正確．②中若a、b共線(xiàn)，p與a不共線(xiàn)，則p＝xa＋yb就不成立．③正確．④中若M、A、B共線(xiàn)，點(diǎn)P不在此直線(xiàn)上，則MP→＝xMA→＋yMB→不正確．]
5．共面
解析AB→＝(3,4,5)，AC→＝(1,2,2)，AD→＝(9,14,16)，設(shè)AD→＝xAB→＋yAC→，
即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)．
∴x＝2y＝3，從而A、B、C、D四點(diǎn)共面．
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引欲證a⊥b，只要把a(bǔ)、b用相同的幾個(gè)向量表示，然后利用向量的數(shù)量積證明ab＝0即可，這是基向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的基本方法．
證明如圖所示
.
設(shè)OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.
∵OM→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，
ON→＝12(OA→＋OC→)＝12(a＋c)，
∴PM→＝PO→＋OM→＝－12a＋12(b＋c)
＝12(b＋c－a)，
QN→＝QO→＋ON→＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b)．
∴PM→QN→＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)]
＝14[c2－(a－b)2]＝14(|OC→|2－|BA→|2)
∵|AB→|＝|OC→|，∴PM→QN→＝0.
即PM→⊥QN→，故PM⊥QN.
變式遷移123
解析設(shè){AB→，AC→，AD→}為空間一組基底，
則AF→＝12AB→＋12AC→，
CE→＝12CA→＋12CD→＝12CA→＋12(AD→－AC→)
＝－AC→＋12AD→.
∴AF→CE→＝12AB→＋12AC→－AC→＋12AD→
＝－12AB→AC→－12AC→2＋14AB→AD→＋14AC→AD→
＝－14AB→2－12AC→2＋18AB→2＋18AC→2
＝－12AC→2.
又|AF→|＝|CE→|＝32|AC→|，∴|AF→||CE→|＝34|AC→|2.
∴cos〈AF→，CE→〉＝AF→CE→|AF→||CE→|＝－12AC→234|AC→|2＝－23.
∴異面直線(xiàn)AF與CE所成角的余弦值為23.
例2解題導(dǎo)引
如圖所示，建立坐標(biāo)系后，要證MN平行于平面EBC，只要證MN→的橫坐標(biāo)為0即可．
(1)證明如圖所示，以BA→、BC→、BE→為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1,0,0)，D(1,1,0)，E(0,0,1)，B(0,0,0)，
設(shè)ANAE＝DMDB＝λ，則MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→
＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．
∵0λ1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN→的橫坐標(biāo)為0.
∴MN→平行于平面yBz，即MN∥平面EBC.
(2)解由(1)知|MN→|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1
＝2λ－122＋12，
∴當(dāng)λ＝12時(shí)，MN取得長(zhǎng)度的最小值為22.
變式遷移2證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.
則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為
22，22，0、(0,0,1)．
∴NE→＝－22，－22，1.
又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別為(2，2，0)、22，22，1，
∴AM→＝－22，－22，1.
∴NE→＝AM→且NE與AM不共線(xiàn)．
∴NE∥AM.
又∵NE平面BDE，AM平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)得，AM→＝－22，－22，1，
∵D(2，0,0)，F(xiàn)(2，2，1)，B(0，2，0)，
∴DF→＝(0，2，1)，BF→＝(2，0,1)．
∴AM→DF→＝0，AM→BF→＝0.∴AM→⊥DF→，AM→⊥BF→，
即AM⊥DF，AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，
∴AM⊥平面BDF.
例3解題導(dǎo)引建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)．第(1)題證明FG→與平面BOE的法向量n垂直，即FG→n＝0即可．第(2)題設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用MF→∥n即可解出，然后檢驗(yàn)解的合理性．
(1)證明
如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.
則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，
B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．
由題意，得G(0,4,0)．
因?yàn)镺B→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，
所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．
由FG→＝(－4,4，－3)，得nFG→＝0.
又直線(xiàn)FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.
(2)解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0,0)，
則FM→＝(x0－4，y0，－3)．
因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以FM→∥n，
因此x0＝4，y0＝－94，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)是4，－94，0.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組x0，y0，x－y8.
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組．
所以，在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使PM⊥平面BOE.
由點(diǎn)M的坐標(biāo)，得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為4，94.
變式遷移3解
(1)以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BA、BC、BB1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝22AC＝2a，
∴A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，C1(0，2a,3a)，
E0，22a，32a，A1(2a,0,3a)，
∴BE→＝0，22a，32a，A1C→＝(－2a，2a，－3a)，
cos〈BE→，A1C→〉＝BE→A1C→|BE→||A1C→|＝－72a2112a×13a＝－7143143.
∴直線(xiàn)BE與A1C所成的角的余弦值為7143143.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF，
并設(shè)AF→＝λAA1→＝λ(0,0,3a)＝(0,0,3λa)(0λ1)，
∵D為A1C1的中點(diǎn)，∴D22a，22a，3a，
B1D→＝22a，22a，3a－(0,0,3a)＝22a，22a，0，
B1F→＝B1B→＋BA→＋AF→＝(0,0，－3a)＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa)＝(2a,0,3a(λ－1))，
CF→＝CA→＋AF→＝(2a，－2a,0)＋(0,0,3λa)
＝(2a，－2a,3λa)．
∵CF⊥平面B1DF，∴CF→⊥B1D→，CF→⊥B1F→，
CF→B1D→＝0CF→B1F→＝0，即3λa×0＝09λ2－9λ＋2＝0，
解得λ＝23或λ＝13
∴存在點(diǎn)F使CF⊥面B1DF，且
當(dāng)λ＝13時(shí)，|AF→|＝13|AA1→|＝a，
當(dāng)λ＝23時(shí)，|AF→|＝23|AA1→|＝2a.
課后練習(xí)區(qū)
1．C[②③④均不正確．]
2．A[以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建系，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則M(0,0,1)，N(0,1,2)，O(1,1,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴AC→＝(－2,2,0)，MN→＝(0,1,1)，OM→＝(－1，－1,1)，
∴OM→AC→＝0，OM→MN→＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.]
3．B[
如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，C1(2,0,2)，
∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，
∴cos〈EF→，BC1→〉＝228＝12.
∵〈EF→，BC1→〉∈[0°，180°]
∴EF與BC1所成的角是60°.]
4．A[由PC→＝λ1PA→＋λ2PB→得：
(2a－1，a＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)，
∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2解得a＝16.]
5．B[
過(guò)A、B分別作AA1⊥x軸，BB1⊥x軸，垂足分別為A1和B1，則AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，
∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→，
∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.]
6.12
解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，
又EF→＝ED→＋DC→＋CF→，
∴2EF→＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→＋DC→)，∴λ＝12.
7．①②
解析①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；
③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；
④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋(A1A→＋DD1→)＝B1D1→≠BD1→.
8．(1,1,1)
解析設(shè)DP＝y(tǒng)0，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E1，1，y2，DP→＝(0,0，y)，AE→＝－1，1，y2.
∴cos〈DP→，AE→〉＝DP→AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y(tǒng)8＋y2＝33.
解得y＝2，∴E(1,1,1)．
9．證明(1)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則BE→＝(3,0,1)，BF→＝(0,3,2)，
BD1→＝(3,3,3)．(2分)
所以BD1→＝BE→＋BF→.
故BD1→、BE→、BF→共面．
又它們有公共點(diǎn)B，∴E、B、F、D1四點(diǎn)共面．(6分)
(2)設(shè)M(0,0，z)，則GM→＝0，－23，z.
而B(niǎo)F→＝(0,3,2)，
由題設(shè)，得GM→BF→＝－23×3＋z2＝0，得z＝1.(8分)
∴M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴ME→＝(3,0,0)．
又BB1→＝(0,0,3)，BC→＝(0,3,0)，∴ME→BB1→＝0，
∴ME→BC→＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又∵BB1∩BC＝B，∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)
10.
解(1)如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.
依題意，得D(0,0,0)，
A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，
E12，1，0.(2分)
∴NE→＝－12，0，－1，
AM→＝(－1,0,1)．
∵cos〈NE→，AM→〉＝NE→AM→|NE→||AM→|＝－1252×2＝－1010，
∴異面直線(xiàn)NE與AM所成角的余弦值為1010.
(6分)
(2)假設(shè)在線(xiàn)段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN.
∵AN→＝(0,1,1)，可設(shè)AS→＝λAN→＝(0，λ，λ)，
又EA→＝12，－1，0，
∴ES→＝EA→＋AS→＝12，λ－1，λ.(8分)
由ES⊥平面AMN，
得ES→AM→＝0，ES→AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.(10分)
故λ＝12，此時(shí)AS→＝0，12，12，|AS→|＝22.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS＝22時(shí)，ES⊥平面AMN.
故線(xiàn)段AN上存在點(diǎn)S，
使得ES⊥平面AMN，此時(shí)AS＝22.(12分)
11．(1)證明設(shè)AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.
由題意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.
MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→
＝12(q＋r－p)，(2分)
∴MN→AB→＝12(q＋r－p)p
＝12(qp＋rp－p2)
＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB
又∵CD→＝AD→－AC→＝r－q，
∴MN→CD→＝12(q＋r－p)(r－q)
＝12(qr－q2＋r2－qr－pr＋pq)
＝12(a2cos60°－a2＋a2－a2cos60°－a2cos60°＋a2cos60°)
＝0，∴MN⊥CD.(4分)
(2)解由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，
∴|MN→|2＝MN→2＝14(q＋r－p)2
＝14[q2＋r2＋p2＋2(qr－pq－rp)]
＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22
＝14×2a2＝a22.
∴|MN→|＝22a，∴MN的長(zhǎng)為22a.(9分)
(3)解設(shè)向量AN→與MC→的夾角為θ.
∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，
MC→＝AC→－AM→＝q－12p，
∴AN→MC→＝12(q＋r)q－12p
＝12q2－12qp＋rq－12rp
＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°
＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.(12分)
又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，
∴AN→MC→＝|AN→||MC→|cosθ
即32a32acosθ＝a22.
∴cosθ＝23，(13分)
∴向量AN→與MC→的夾角的余弦值為23，從而異面直線(xiàn)AN與CM所成角的余弦值為23.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)曲線(xiàn)與方程學(xué)案含答案

學(xué)案55曲線(xiàn)與方程

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：了解曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
自主梳理
1．曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)
在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1)__________________都是這個(gè)方程的______．
(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是________________，那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)．
2．平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問(wèn)題
(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線(xiàn)的方程；
(2)通過(guò)曲線(xiàn)的方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì)．
3．求曲線(xiàn)方程的一般方法(五步法)
求曲線(xiàn)(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示________________________；
(2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝____________；
(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0為_(kāi)_______；
(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在________．
自我檢測(cè)
1．(2011湛江月考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線(xiàn)2x2－y＝0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，－1)與點(diǎn)P連線(xiàn)中點(diǎn)的軌跡方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一動(dòng)圓與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()
A．雙曲線(xiàn)的一支B．橢圓
C．拋物線(xiàn)D．圓
3．(2011佛山模擬)已知直線(xiàn)l的方程是f(x，y)＝0，點(diǎn)M(x0，y0)不在l上，則方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲線(xiàn)是()
A．直線(xiàn)lB．與l垂直的一條直線(xiàn)
C．與l平行的一條直線(xiàn)D．與l平行的兩條直線(xiàn)
4．若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且|MN|＝6，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PM→PN→＝0，則P點(diǎn)的軌跡是()
A．圓B．橢圓C．雙曲線(xiàn)D．拋物線(xiàn)
5．(2011江西)若曲線(xiàn)C1：x2＋y2－2x＝0與曲線(xiàn)C2：y(y－mx－m)＝0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究點(diǎn)一直接法求軌跡方程
例1動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)連線(xiàn)的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線(xiàn)．

變式遷移1已知兩點(diǎn)M(－2,0)、N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為_(kāi)_____________．
探究點(diǎn)二定義法求軌跡方程
例2(2011包頭模擬)已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)．

變式遷移2在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B－a2，0，Ca2，0，且滿(mǎn)足條件sinC－sinB＝12sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程
例3如圖所示，從雙曲線(xiàn)x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線(xiàn)x＋y＝2的垂線(xiàn)，垂足為N.求線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

變式遷移3已知長(zhǎng)為1＋2的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且AP→＝22PB→.求點(diǎn)P的軌跡C的方程．

分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

例(12分)
過(guò)定點(diǎn)A(a，b)任作互相垂直的兩直線(xiàn)l1與l2，且l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與y軸交于點(diǎn)N，如圖所示，求線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．
多角度審題要求點(diǎn)P坐標(biāo)，必須先求M、N兩點(diǎn)，這樣就要求直線(xiàn)l1、l2，又l1、l2過(guò)定點(diǎn)且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再消去k1即得點(diǎn)P軌跡方程．
【答題模板】
解(1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為k1，則k1≠0.因?yàn)閘1⊥l2，
所以l2的斜率為－1k1，
l1的方程為y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程為y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1＝b＋ak1，[6分]
設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，MN中點(diǎn)為a2，b2，其坐標(biāo)滿(mǎn)足方程③.
綜合(1)(2)知所求MN中點(diǎn)P的軌跡方程為2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思維障礙】
引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù)，寫(xiě)出l1、l2的直線(xiàn)方程，求出M、N的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線(xiàn)l1的斜率是否存在．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
當(dāng)AM⊥x軸時(shí)，AM的斜率不存在，此時(shí)MN中點(diǎn)為a2，b2，易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點(diǎn)a2，b2.
1．求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表達(dá)成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱(chēng)之為直接法．用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)，列式，代換，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略．(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線(xiàn)的定義)，可從曲線(xiàn)定義出發(fā)直接寫(xiě)出軌跡方程，或從曲線(xiàn)定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件不易表達(dá)或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法．(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
2．本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)容易忽略直線(xiàn)斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)考慮是否符合曲線(xiàn)的定義．
(滿(mǎn)分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果M是線(xiàn)段F1P的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()
A．圓B．橢圓
C．雙曲線(xiàn)的一支D．拋物線(xiàn)
2．(2011唐山模擬)已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，則點(diǎn)C的軌跡為()
A．雙曲線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)的一支
C．橢圓D．線(xiàn)段
3．長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，AC→＝2CB→，則點(diǎn)C的軌跡是()
A．線(xiàn)段B．圓C．橢圓D．雙曲線(xiàn)
4．(2011銀川模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)．直線(xiàn)l是圓O的一條切線(xiàn)，若經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)，則拋物線(xiàn)焦點(diǎn)所在的軌跡是()
A．雙曲線(xiàn)B．橢圓
C．拋物線(xiàn)D．圓
5．已知F1、F2是橢圓x24＋y23＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|－|MF2|＝2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()
A．雙曲線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)的一個(gè)分支
C．兩條射線(xiàn)D．一條射線(xiàn)
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_____________．
8．平面上有三點(diǎn)A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知拋物線(xiàn)y2＝4px(p0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．

10．(12分)(2009寧夏，海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線(xiàn)上的一點(diǎn)，|OP||OM|＝λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)．

11．(14分)(2011石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，－3)和F2(0，3)為焦點(diǎn)、離心率為32的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線(xiàn)C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)|OM→|的最小值．
學(xué)案55曲線(xiàn)與方程
自主梳理
1．(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)解(2)曲線(xiàn)上的點(diǎn)3.(1)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(2){M|p(M)}(4)最簡(jiǎn)形式(5)曲線(xiàn)上
自我檢測(cè)
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
當(dāng)m＝0時(shí)，C2：y＝0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)m≠0時(shí)，要滿(mǎn)足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線(xiàn)y＝m(x＋1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線(xiàn)相切時(shí)，m＝±33，
即直線(xiàn)處于兩切線(xiàn)之間時(shí)滿(mǎn)足題意，
則－33m0或0m33.
綜上知－33m0或0m33.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引①在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線(xiàn)類(lèi)型時(shí)，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；
②由于已知條件中，直線(xiàn)PA、PB的斜率存在，因此軌跡曲線(xiàn)應(yīng)除去A、B兩點(diǎn)；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲線(xiàn)有以下幾種情況：
1°AB0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
2°A＝B0，表示圓；
3°0AB，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
4°A0B，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；
5°A0B，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)；
6°A，B0，無(wú)軌跡．
解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則kAP＝y(tǒng)x－a，kBP＝y(tǒng)x＋a.
由題意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴點(diǎn)P的軌跡方程為kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式即y＝0，點(diǎn)P的軌跡是直線(xiàn)AB(除去A、B兩點(diǎn))．
(2)當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)(除去A、B兩點(diǎn))．
②若k0，(*)式可化為x2a2＋y2－ka2＝1.
1°當(dāng)－1k0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))；
2°當(dāng)k＝－1時(shí)，(*)式即x2＋y2＝a2，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點(diǎn))；
3°當(dāng)k－1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))．
變式遷移1y2＝－8x
解析由題意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移項(xiàng)兩邊平方，化簡(jiǎn)得y2＝－8x.
例2解題導(dǎo)引(1)由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線(xiàn)的定義，是雙曲線(xiàn)的一支還是兩支，能否確定實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等，以便直接寫(xiě)出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化；
(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念，前者要指出曲線(xiàn)的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)．
解
如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則
由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|＝r－1；
由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線(xiàn)的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴點(diǎn)M的軌跡方程為4x29－4y27＝1(x0)．
變式遷移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A點(diǎn)軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)右支，其中實(shí)半軸長(zhǎng)為a4，焦距為|BC|＝a.
∴虛半軸長(zhǎng)為a22－a42＝34a，由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程得為16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解題導(dǎo)引相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法．其題目特征是：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程)，只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中，整理即可得點(diǎn)A的軌跡方程．
解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直線(xiàn)x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直線(xiàn)x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
聯(lián)立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
變式遷移3解設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因?yàn)閨AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化簡(jiǎn)得x22＋y2＝1.∴點(diǎn)P的軌跡方程為x22＋y2＝1.
課后練習(xí)區(qū)
1．B[
如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a(設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
連接MO，由三角形的中位線(xiàn)可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓．]
2．B[A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以點(diǎn)C軌跡為雙曲線(xiàn)的一支．]
3．C[設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線(xiàn)上，
所以由拋物線(xiàn)的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離AM、BN(如圖所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
過(guò)O作OR⊥l，由于l是圓O的一條切線(xiàn)，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線(xiàn)，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓．]
5．D[因?yàn)閨F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以軌跡為一條射線(xiàn)．]
6．4π
解析設(shè)P(x，y)，由題知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圓的面積為4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
設(shè)A(x，y)，y≠0，則Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化簡(jiǎn)得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，
∴A不能落在x軸上，即y≠0.
方法二
定義法．如圖所示，
設(shè)A(x，y)，D為AB的中點(diǎn)，過(guò)A作AE∥CD交x軸于E，
則E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距離為常數(shù)6.
∴A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共線(xiàn)，故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y≠0.
故A點(diǎn)軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解設(shè)M(x，y)，直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證也符合上式．
故M的軌跡方程為x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以橢圓C的方程為x216＋y27＝1.(4分)
(2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①當(dāng)λ＝34時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2＝112，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)．
軌跡是兩條平行于x軸的線(xiàn)段．(7分)
②當(dāng)λ≠34時(shí)，方程變形為x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
當(dāng)0λ34時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足－4≤x≤4的部分．
當(dāng)34λ1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿(mǎn)足－4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓．(12分)
11．解(1)橢圓的方程可寫(xiě)為y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲線(xiàn)C的方程為x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)镻在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切線(xiàn)AB的方程為y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
設(shè)A(x,0)和B(0，y)，由切線(xiàn)方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，
由x0，y0滿(mǎn)足C的方程，得點(diǎn)M的軌跡方程為1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)x2－1＝4x2－1，即x＝3時(shí)，上式取等號(hào)．
故|OM→|的最小值為3.(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)雙曲線(xiàn)學(xué)案含答案

學(xué)案52雙曲線(xiàn)

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．
自主梳理
1．雙曲線(xiàn)的概念
平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫________．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線(xiàn)的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數(shù)且a0，c0；
(1)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________；
(2)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是________；
(3)當(dāng)________時(shí)，P點(diǎn)不存在．
2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

圖形

性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸
對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(－a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線(xiàn)y＝±bax
y＝±abx

離心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

實(shí)虛軸線(xiàn)段A1A2叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)
a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線(xiàn)為_(kāi)_______________，其漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______，離心率為_(kāi)_______．
自我檢測(cè)
1．(2011安徽)雙曲線(xiàn)2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知雙曲線(xiàn)x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，點(diǎn)P(3，y0)在該雙曲線(xiàn)上，則PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線(xiàn)l過(guò)雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武漢調(diào)研)已知點(diǎn)(m，n)在雙曲線(xiàn)8x2－3y2＝24上，則2m＋4的范圍是__________________．
5．已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線(xiàn)x24－y212＝1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究點(diǎn)一雙曲線(xiàn)的定義及應(yīng)用
例1已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程．

變式遷移1已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
探究點(diǎn)二求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是x－2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

變式遷移2(2011安慶模擬)已知雙曲線(xiàn)與橢圓x29＋y225＝1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于145，則雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)___________．
探究點(diǎn)三雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例3已知雙曲線(xiàn)的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線(xiàn)方程；
(2)設(shè)F1和F2是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大?。?/p>

變式遷移3已知雙曲線(xiàn)C：x22－y2＝1.
(1)求雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程；
(2)已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．記λ＝MP→MQ→，求λ的取值范圍．
方程思想的應(yīng)用
例(12分)過(guò)雙曲線(xiàn)x23－y26＝1的右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面積；
(3)求證：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度審題(1)要求弦長(zhǎng)|AB|需要A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長(zhǎng)公式，這就需要先求直線(xiàn)AB；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上這個(gè)條件．
【答題模板】
(1)解由雙曲線(xiàn)的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．
直線(xiàn)AB的方程為y＝33(x－3)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直線(xiàn)AB的方程變形為3x－3y－33＝0.
∴原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)證明
如圖，由雙曲線(xiàn)的定義得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思維障礙】
寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程、雙曲線(xiàn)方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|，再求點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離從而求面積，最后利用雙曲線(xiàn)的定義求證等式成立．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
在直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式Δ0，而導(dǎo)致錯(cuò)解．
1．區(qū)分雙曲線(xiàn)中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線(xiàn)中c2＝a2＋b2；雙曲線(xiàn)的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)．
2．雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的漸近線(xiàn)方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的漸近線(xiàn)方程是y＝±abx.
3．雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義，若滿(mǎn)足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系數(shù)法，其步驟是：①定位：確定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；②設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線(xiàn)方程；③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)．
(滿(mǎn)分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()
A．雙曲線(xiàn)B．雙曲線(xiàn)左邊一支
C．雙曲線(xiàn)右邊一支D．一條射線(xiàn)
2．設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)x29－y216＝1上，若F1、F2為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長(zhǎng)等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011寧波高三調(diào)研)過(guò)雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線(xiàn)FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P.若M為線(xiàn)段FP的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為()
A.2B.3C．2D.5
4．雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是()
A．相交B．相離C．相切D．內(nèi)含
5．(2011山東)已知雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的兩條漸近線(xiàn)均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線(xiàn)的方程為()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011上海)設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線(xiàn)y2m－x29＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m＝________.
7．設(shè)圓過(guò)雙曲線(xiàn)x29－y216＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線(xiàn)上，則此圓心到雙曲線(xiàn)中心的距離為_(kāi)_____．
8．(2011銅陵期末)已知以雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_______．
三、解答題(共38分)
9．(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線(xiàn)方程：
(1)與雙曲線(xiàn)x29－y216＝1有共同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－3，23)；
(2)與雙曲線(xiàn)x216－y24＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(32，2)．

10．(12分)(2011廣東)設(shè)圓C與兩圓(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點(diǎn)M(355，455)，F(xiàn)(5，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

11．(14分)(2010四川)已知定點(diǎn)A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線(xiàn)l：x＝12，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線(xiàn)l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于B、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N.
(1)求E的方程；
(2)試判斷以線(xiàn)段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由．

學(xué)案52雙曲線(xiàn)
自主梳理
1．雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)焦距(1)ac雙曲線(xiàn)(2)a＝c兩條射線(xiàn)(3)ac3.等軸雙曲線(xiàn)y＝±xe＝2
自我檢測(cè)
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直線(xiàn)l過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直，因此直線(xiàn)l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依題意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線(xiàn)的定義可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴當(dāng)滿(mǎn)足|PF1|＋|PA|最小時(shí)，|PF|＋|PA|最?。?br> 由雙曲線(xiàn)的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值為|AF1|＝5，
故所求最小值為9.
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引求曲線(xiàn)的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線(xiàn)類(lèi)型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線(xiàn)，還是雙曲線(xiàn)的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性．
解設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由雙曲線(xiàn)的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)的下半支上．
所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
變式遷移1解
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)M的軌跡是以
C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴點(diǎn)M的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解題導(dǎo)引根據(jù)雙曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選取方程的形式，當(dāng)焦點(diǎn)不能定位時(shí)，則應(yīng)分兩種情況討論．解決本題的方法有兩種：一先定位，避免了討論；二利用其漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系，同樣避免了對(duì)雙曲線(xiàn)方程類(lèi)型的討論．在共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系x2a2－y2b2＝λ(參數(shù)λ≠0)中，當(dāng)λ0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λ0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．
解方法一∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2yp＝3，
∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上．
從而有ab＝12，∴b＝2a.
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為y2a2－x24a2＝1，
由于點(diǎn)P(4,3)在此雙曲線(xiàn)上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴雙曲線(xiàn)方程為y25－x220＝1.
方法二∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x24－y2＝0.
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求雙曲線(xiàn)方程為x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
變式遷移2y24－x212＝1
解析由于在橢圓x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±4)，離心率e＝45.根據(jù)題意知，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)也應(yīng)在y軸上，坐標(biāo)為(0，±4)，且其離心率等于145－45＝2.故設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線(xiàn)的方程為y24－x212＝1.
例3解題導(dǎo)引雙曲線(xiàn)問(wèn)題與橢圓問(wèn)題類(lèi)似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀(guān)點(diǎn)”“直接法或待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程”“數(shù)形結(jié)合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－5,0)，
F2(5,0)，離心率e＝53，
漸近線(xiàn)方程為y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
變式遷移3解(1)因?yàn)閍＝2，b＝1，且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線(xiàn)方程為y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范圍是(－∞，－1]．
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±bax，
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為C(3,0)．
又漸近線(xiàn)方程與圓C相切，
即直線(xiàn)bx－ay＝0與圓C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦點(diǎn)F2(a2＋b2，0)為圓心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知條件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由題意可知所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，
(2分)
設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2a2－y2b2＝1，
由題意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以雙曲線(xiàn)的方程為49x2－y24＝1.(6分)
方法二設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
將點(diǎn)(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以雙曲線(xiàn)方程為x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2－y2b2＝1.由題意c＝25.(8分)
又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求雙曲線(xiàn)的方程為x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.
圓(x＋5)2＋y2＝4的圓心為F1(－5，0)，半徑為2，
圓(x－5)2＋y2＝4的圓心為F(5，0)，半徑為2.
由題意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圓C的圓心軌跡是以F1(－5，0)，F(xiàn)(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，其方程為x24－y2＝1.(6分)
(2)由圖知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直線(xiàn)MF的方程為y＝－2x＋25，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此時(shí)y＝－255.(11分)
∴當(dāng)||MP|－|FP||取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(655，－255)．(12分)
11．解(1)設(shè)P(x，y)，
則x－22＋y2＝2x－12，
化簡(jiǎn)得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①當(dāng)直線(xiàn)BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，與雙曲線(xiàn)方程x2－y23＝1聯(lián)立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由題意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，
則x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因?yàn)閤1，x2≠－1，
所以直線(xiàn)AB的方程為y＝y(tǒng)1x1＋1(x＋1)．
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②當(dāng)直線(xiàn)BC與x軸垂直時(shí)，其方程為x＝2，則B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程為y＝x＋1，
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為12，32，F(xiàn)M→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
綜上，F(xiàn)M→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F.(14分)