高中牛頓第二定律教案

第二章函數(shù)學(xué)案。

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時能夠胸有成竹，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？小編特地為大家精心收集和整理了“第二章函數(shù)學(xué)案”，相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。

第二章函數(shù)
2、1函數(shù)的概念
2、1、1函數(shù)及其表示法
第一部分走進(jìn)預(yù)習(xí)
【預(yù)習(xí)】教材第29～43頁，了解：
1、函數(shù)的定義
2、函數(shù)的表示法。
第二部分走進(jìn)課堂
2、1、1函數(shù)及其表示
【復(fù)習(xí)】1、初中函數(shù)的定義
2、在初中我們學(xué)習(xí)了哪些具體函數(shù)？
指出：現(xiàn)在，我們學(xué)習(xí)了集合的概念，我們想從兩集合間的關(guān)系的角度來研究函數(shù)及其表示法。
【探索新知】函數(shù)及其表示法
例子1、一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m。
炮彈距地面的高度h（單位m）隨時間t(單位s)變化的規(guī)律是：。
炮彈飛行時間t的變化范圍是數(shù)集
≤≤。
炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集
≤≤。
例子2、如圖的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979～2001年的變化情況。
時間t的變化范圍是數(shù)集≤≤。
臭氧層空洞的面積S的變化范圍是數(shù)集≤≤。

例子3、下表是“1991年～2001年”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況：
時間（年）19911992199319941995199619971998199920002001
城鎮(zhèn)家庭恩格爾系數(shù)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9
問題：例子1、2、3有什么共同的特征？
知識點一
函數(shù)的定義：
知識點二
函數(shù)的表示法：

再看例子：
1、下列對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)？

2、下列曲線表示函數(shù)嗎？

3、用函數(shù)的定義解釋下列函數(shù)，并求出其定義域和值域。
(1),,
(2),,
問題：函數(shù)有幾個要素？

例子：下列兩函數(shù)是否相同？
1、

相關(guān)閱讀

第二章復(fù)習(xí)（二）

[教學(xué)目標(biāo)]

鞏固和應(yīng)用本章知識。提高綜合分析能力和解決實際問題的能力。

[教學(xué)過程]

1．化學(xué)平衡常數(shù)K表示反應(yīng)進(jìn)行的程度

（1）K值越大，表示反應(yīng)進(jìn)行的程度越大，反應(yīng)物轉(zhuǎn)化率也越大。

（2）K值不隨濃度的改變而改變，但隨著溫度的改變而改變。

2．化學(xué)平衡的移動

（1）勒沙持列原理：如果改變影響平衡的一個條件（如濃度、壓強和溫度等），平衡就向著能夠減弱這種改變的方向移動。其中包含：①影響平衡的因素只有濃度、壓強、溫度三種；②原理的適用范圍是只有一項條件變化的情況（溫度或壓強或一種物質(zhì)的濃度），當(dāng)多項條件同時發(fā)生變化時，情況比較復(fù)雜；③平衡移動的結(jié)果只能減弱（不可能抵消）外界條件的變化。

（2）平衡移動就是一個“平衡狀態(tài)→不平衡狀態(tài)→新的平衡狀態(tài)”的過程。一定條件下的平衡體系，條件改變后，可能發(fā)生平衡移動?？煽偨Y(jié)如下：

（3）平衡移動與轉(zhuǎn)化率的變化：不要把平衡向正反應(yīng)方向移動與反應(yīng)物轉(zhuǎn)化率的增大等同起來。具體分析可參考下表：

反應(yīng)實例

條件變化與平衡移動方向

達(dá)新平衡后轉(zhuǎn)化率變化

2SO2+O2

2SO3（氣）+熱

增大O2濃度，平衡正移

SO2的轉(zhuǎn)化率增大，O2的轉(zhuǎn)化率減小

增大SO3濃度，平衡逆移

從逆反應(yīng)角度看，SO3的轉(zhuǎn)化率減小

升高溫度，平衡逆移

SO2、O2的轉(zhuǎn)化率都減小

增大壓強，平衡正移

SO2、O2的轉(zhuǎn)化率都增大

2NO2（氣）N2O4

體積不變時，無論是加入NO2或者加入N2O4

NO2的轉(zhuǎn)化率都增大（即新平衡中N2O4的含量都會增大）

2HIH2+I2（氣）

增大H2的濃度，平衡逆移

H2的轉(zhuǎn)化率減小，I2的轉(zhuǎn)化率增大

增大HI的濃度，平衡正移

HI的轉(zhuǎn)化率不變

增大壓強，平衡不移動

轉(zhuǎn)化率不變

例1在恒溫恒容的容器中進(jìn)行反應(yīng)H22H-Q，若反應(yīng)物濃度由0.1mol·L-1降到0.06mol·L-1需20s，那么由0.06mol·L-1降到0.024mol·L-1，需反應(yīng)的時間為（）

（A）等于18s（B）等于12s（C）大于18s（D）小于18s

[思路分析]氫分子分解成氫原子的變化，同樣可以用化學(xué)反應(yīng)速率規(guī)律進(jìn)行分析研究。這道題無法準(zhǔn)確計算，但可以根據(jù)化學(xué)反應(yīng)速率知識用數(shù)學(xué)估算法快速解答。從0.1mol·L-1降到0.06mol·L-1需20s，這段時間內(nèi)的平均反應(yīng)速率為

=0.002mol·L-1·s-1）

若由0.06mol/L降到0.024mol·L-1所需時間為t，由于起始濃度減小，反應(yīng)速率減慢，必有：t=18（s）。

[答案]C。

例2為了進(jìn)一步提高合成氨的生產(chǎn)效益，科研中最有開發(fā)價值的是（）。

（A）尋求H2的新來源（B）研制耐高溫高壓的新材料合成塔

（C）研制低溫下活性較大的催化劑（D）研制高溫下活性較大的催化劑

[思路分析]合成氨反應(yīng)：N2+3H22NH3+熱

大家知道，目前工業(yè)上采用的合成氨反應(yīng)條件是高溫（500℃）、高壓（200~300atm）、催化劑。選擇500℃主要考慮到該溫度下催化劑活性最大，有利于合成氨反應(yīng)保持足夠的反應(yīng)速率，而從轉(zhuǎn)化率角度看，溫度越低越有利。選擇高壓有兩方面作用，一是提高反應(yīng)速率、二是提高轉(zhuǎn)化率。所以從實際生產(chǎn)角度出發(fā)，若能找到一種較低溫度下就具有催化活性的催化劑，既有利于提高轉(zhuǎn)化率，又可保持較大的反應(yīng)速率，所以這是一個最有開發(fā)價值的科研方向。

[答案]C。

例3已知：氫氧化鈣在水中存在下列溶解平衡

Ca(OH)2(固)Ca2++2OH-

在火力發(fā)電廠燃燒煤的廢氣中往往含有SO2、O2、N2、CO2等。為了除去有害氣體SO2并變廢為寶，常常用粉末狀的碳酸鈣或熟石灰的懸濁液洗滌廢氣，反應(yīng)產(chǎn)物為石膏。

（1）寫出上述兩個反應(yīng)的化學(xué)反應(yīng)方程式：

SO2和CaCO3懸濁液反應(yīng)_____________________；

SO2和Ca(OH)2懸濁液反應(yīng)_________________________。

（2）說明用熟石灰的懸濁液（而不用澄清石灰水）洗滌廢氣的理由：_______________。

（3）在英國進(jìn)行的一個研究結(jié)果表明：高煙囪可以有效地降低地表面SO2的濃度。在二十世紀(jì)的60~70年代的十年間，由發(fā)電廠排放出的SO2增加了35%，但由于建造高煙囪的結(jié)果，地面SO2的濃度降低了30%之多。

請你從全球環(huán)境保護(hù)的角度，分析這種方法是否可??？________________。

[思路分析]（1）題中告訴我們反應(yīng)產(chǎn)物為“石膏”，所以要注意不能寫成產(chǎn)物是亞硫酸鈣的反應(yīng)式。實際上，無論用碳酸鈣懸濁液還是熟石灰懸濁液，反應(yīng)中應(yīng)包含兩個過程：一是SO2與之反應(yīng)生成亞硫酸鈣，再是亞硫酸鈣被氧氣氧化生成硫酸鈣。

（2）這里要注意，工業(yè)生產(chǎn)的實際是要吸收大量的SO2廢氣，而氫氧化鈣微溶于水，澄清石灰水中氫氧化鈣濃度小，不利于吸收大量的SO2。

（3）增加煙囪的高度，只能降低地表面的SO2的濃度，不能消除SO2。

[答案]（1）反應(yīng)式為：

2SO2+2CaCO3+O2+4H2O=2[CaSO4·2H2O]+CO2↑

2SO2+2Ca(OH)2+O2+2H2O=2[CaSO4·2H2O]

（2）氫氧化鈣微溶于水，澄清石灰水中氫氧化鈣濃度小，不利于吸收大量的SO2。用懸濁液來吸收，由于溶解平衡的移動，可以大量吸收SO2。

（3）不可取，因為SO2的排放總量沒有減少，所以進(jìn)一步形成的酸雨仍會造成對全球環(huán)境的危害。

例4高爐煉鐵中發(fā)生的基本反應(yīng)之一如下：

FeO(固)+CO(氣)Fe(固)+CO2(氣)-Q。

其平衡常數(shù)可表示為K=[CO2]/[CO]，已知1100℃時K=0.263?；瘜W(xué)平衡常數(shù)只與溫度有關(guān)，不隨濃度和壓強的變化而變化。

（1）溫度升高，化學(xué)平衡移動后達(dá)到新的平衡，高爐內(nèi)CO2和CO的體積比值____，平衡常數(shù)K值_____（本小題空格均備選：增大、減小或不變）

（2）1100℃時測得高爐中c(CO2)=0.025mol·L-1，c(CO)=0.1mol·L-1，在這種情況下，該反應(yīng)是否處于化學(xué)平衡狀態(tài)____(選填“是”或“否”)，此時，化學(xué)反應(yīng)速率是υ正___υ逆（選填大于、小于或等于），其原因是___________。

[思路分析]（1）反應(yīng)的正方向是吸熱反應(yīng)，升高溫度平衡向正反應(yīng)方向移動，所以平衡常數(shù)K=[CO2]/[CO]要增大。

（2）平衡時，二氧化碳、一氧化碳的濃度比值等于平衡常數(shù)，若比值不等于平衡溶液，就處于非平衡狀態(tài)。將c(CO2)=0.025mol·L-1，c(CO)=0.1mol·L-1代入可得：

==0.250.263

所以此時不是平衡狀態(tài)，為了使?jié)舛戎档扔谄胶獬?shù)，二氧化碳濃度將增大，一氧化碳濃度將減小。所以，平衡將向正反應(yīng)方向移動，正反應(yīng)速率大于逆反應(yīng)速率。

[答案]（1）增大，增大；（2）否，大于，此時[CO2]/[CO]0.263，因溫度不變，K值不變，為增大[CO2]/[CO]比值，需υ正υ逆。

補充練習(xí)：

1．環(huán)境保護(hù)是我國的基本國策。在硝酸生產(chǎn)過程中，為消除對大氣的污染，并變廢為寶，常用于吸收尾氣中氮氧化物的是（）。

（A）水（B）稀硫酸（C）活性炭（D）燒堿溶液

2．你認(rèn)為減少酸雨產(chǎn)生的途徑可采取的措施是①少用煤作燃料②把工廠煙囪造高③燃料脫硫④在已酸化的土壤中加石灰⑤開發(fā)新能源（）。

（A）①②③（B）②③④⑤（C）①③⑤（D）①③④⑤

3．在合成氨生產(chǎn)過程中，為防止催化劑中毒用銅氨液法除去變換后的一氧化碳：

該吸收反應(yīng)很難進(jìn)行，則吸收反應(yīng)的條件應(yīng)為（）。

（A）10000Kpa，-70℃（B）10000Kpa，10℃

（C）10000Kpa，80℃（D）10Kpa，80℃

4．在配制氰化鉀溶液時，有揮發(fā)性劇毒氫氰酸生成，為了阻止氫氰酸的生成可采用的最佳方法是（）。

（A）低溫冷凍（B）加入氫氧化鉀（C）加入鹽酸（D）加熱

16．可逆反應(yīng)2SO2（氣）+O2（氣）2SO3（氣）在向逆反應(yīng)方向進(jìn)行時，正反應(yīng)速率和逆反應(yīng)速率（）。

（A）大于（B）小于（C）等于（D）不能肯定

5．下列反應(yīng)A+B=C+D反應(yīng)速率最大的一組是（）。

（A）常溫下，20mL含A和B各0.001mol

（B）常溫下，100mL含A和B各0.01mol

（C）常溫下，0.1mol/L的A和B溶液各10mL混合

（D）標(biāo)準(zhǔn)狀況下，0.1mol/L的A和B溶液各20mL混合

6．若在透明的圓筒中裝入NO2，迅速壓縮，就其發(fā)生變化來說，下列說法正確的是（）。

（A）顏色變深（B）顏色變淺

（C）顏色不變（D）先變深后慢慢變淺

7．如圖所示，表示反應(yīng)：

X（氣）+Y（氣）2Z（氣）+Q（Q0）平衡移動的情況。圖中時間t2與t3間曲線變化的影響因素是（）。

（A）增大壓強

（B）降溫（C）增大Z的濃度（D）增大Y的濃度

8．一定條件下，在密閉容器里進(jìn)行如下可逆反應(yīng)：

S2Cl2(橙黃色液體)+Cl2(氣)2SCl2(鮮紅色液體)+61.16kJ。下列說法正確的是（）。

（A）單位時間里生成nmolS2Cl2的同時也生成nmolCl2

（B）達(dá)到平衡時，若升高溫度，壓強不變，反應(yīng)混合溶液顏色變淺

（C）達(dá)到平衡時，單位時間里消耗nmolS2Cl2的同時也生成nmolCl2

（D）其它條件不變，增加氯氣，平衡向正反應(yīng)方向移動，氯氣的轉(zhuǎn)化率一定升高

9．接觸法制硫酸中，進(jìn)入接觸室的氣體組成為（體積）：SO27%，O211%，N282%。在一定條件下達(dá)到平衡時，二氧化硫的轉(zhuǎn)化率為77%，則平衡時氣體總體積是反應(yīng)前的（）。

（A）38.5%（B）77%（C）6.4%（D）97.3%

10．把氮氣和氫氣以1:1物質(zhì)的量比混勻后分成四等份，分別同時充入A、B、C、D四種裝有催化劑的真空密閉容器中（容器的容積固定），在保持相同溫度的條件下，四個容器中的合成氨反應(yīng)相繼達(dá)到化學(xué)平衡狀態(tài)。分析表中實驗數(shù)據(jù)后回答問題（用A、B、C、D填寫）：

容器代號

A

B

C

D

平衡時混合物的平均分子相對質(zhì)量

16

17

平衡時N2的轉(zhuǎn)化率

20%

平衡時H2的轉(zhuǎn)化率

30%

（1）都達(dá)到平衡時，_____容器中NH3的物質(zhì)的量所占比例最大。

（2）達(dá)到平衡所需時間最長的容器代號是________。

（3）四個容器容積由小到大的排列次序是_______。

11．在一定條件下，NO2和SO2很容易發(fā)生反應(yīng)生成NO和SO3氣體，該反應(yīng)為不可逆反應(yīng)?，F(xiàn)將NO和SO2的混合氣體通入容積為100mL的密閉容器中，充滿后用帶有導(dǎo)管的塞子密封，再向其中通入氧氣，使發(fā)生反應(yīng)（忽略NO2與N2O4的轉(zhuǎn)化式。

（1）欲保持容器中壓強不變，則通入氧氣的體積V(mL)的大小范圍應(yīng)為______________。

（2）若要使最后容器中只含有NO2和SO3兩種氣體，則需通入氧氣的體積是_______mL。

（3）若向容器中通入40mL氧氣后才出現(xiàn)紅棕色，且不再褪色，則原混合氣體中NO的體積為________________________mL。

12．在物理和化學(xué)中，有些原理、定律具有相似性。如物理中有機(jī)械守恒定律，化學(xué)中有質(zhì)量守恒定律。比較它們有助于我們的學(xué)習(xí)。

（1）1834年，物理學(xué)家楞次（1804~1865）概括了各種實驗結(jié)果，得到如下結(jié)論：感應(yīng)電流具有這樣的方向，就是感應(yīng)電流的磁場總要阻礙引起電流的磁通量的變化。這就是楞次定律。

請寫出與楞次定律相似的化學(xué)原理或定律：____________，其內(nèi)容是：_____________。該原理在______________等工業(yè)生產(chǎn)中有重要應(yīng)用。

（2）在物理學(xué)的勻變速直線運動中常用圖來分析速度、時間和位移的關(guān)系。時間t時質(zhì)點的位移相當(dāng)于下圖甲中陰影部分所占的面積?，F(xiàn)在容積為2L的密閉容器中進(jìn)行某一可逆反應(yīng)：

A（氣）+2B（氣）3C（氣）

其中B物質(zhì)的正反應(yīng)速率、逆反應(yīng)速率隨時間變化的關(guān)系如圖乙所示，則圖乙中陰影部分的面積可表示_____________________________。

補充練習(xí)答案：

1D，2C，3B，4B，5C，6D，7BD，8A，9D，

10．（1）A，（2）C，（3）ADBC。

11．（1）0V50mL。（2）50。（3）20。

12．（1）勒沙特列原理（或平衡移動原理）；如果改變影響平衡的一個條件，平衡就向著能夠減弱這種改變的方向移動；合成氨。

第二章 堿金屬

教、學(xué)法指導(dǎo)

1.主要內(nèi)容：

①堿金屬元素的原子結(jié)構(gòu)特點，堿金屬原子的性質(zhì)與原子結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

②堿金屬元素制法、用途、存在與堿金屬元素性質(zhì)的關(guān)系。

③堿金屬元素性質(zhì)的相似性和遞變性，堿金屬元素單質(zhì)和重要化合物性質(zhì)、制法、用途及焰色反應(yīng)。

2.學(xué)習(xí)重點：

鈉的化學(xué)性質(zhì)和堿金屬元素性質(zhì)比較。

考點與命題

鈉是典型的活潑金屬，其化合物Na202、NaOH、Na2C03、NaHC03分別作為過氧化物、強堿、強堿弱酸鹽、酸式鹽的代表，在無機(jī)化學(xué)中都有非常重要的地位，因而都成為命題的重點物質(zhì)，它們是物質(zhì)推斷、鑒別及有關(guān)實驗、計算的常見物質(zhì)。近幾年的高考命題主要側(cè)重于三方面：一是鈉及其化合物的性質(zhì)推斷；二是堿金屬元素性質(zhì)；三是有關(guān)鈉及其化合物的計算。后者主要出現(xiàn)在選擇題中。

第一節(jié)鈉

1.鈉的性質(zhì)

金屬鈉很軟，用刀切開可以看到它具有銀白色的金屬光澤，是熱和電的良導(dǎo)體；它的密度為0.97g／cm3，比水的密度還小；而且熔點(97.8℃)、沸點(882.9℃)都較低。

(1)跟氧氣反應(yīng)：

與空氣接觸緩慢氧化：4Na+02=2Na20

在空氣(或氧氣)中燃燒：2Na+02?Na202(黃色火焰)以上反應(yīng)說明Na202比Na20穩(wěn)定。

(2)在氯氣中燃燒：2Na+Cl2=NaCl(白煙)

(3)鈉與硫混合研磨即生成Na2S2Na+S=Na2S

(4)鈉與水反應(yīng)，可見到下列現(xiàn)象：

①鈉投入水中并浮在水面上--密度小于水。②鈉立即跟水反應(yīng)，并放出熱量，發(fā)出嘶嘶響聲，產(chǎn)生氣體。③同時鈉熔成一個閃亮的小球并在水面上向各方向迅速游動最后消失——熔點低。④反應(yīng)后的水溶液使酚酞變紅——與水反應(yīng)生成NaOH。

(5)鈉與酸反應(yīng)：鈉與酸的反應(yīng)比水反應(yīng)更激烈，極易爆炸，要特別小心。

2Na+2H2O=2NaOH+H2↑

2.鈉的存放和取用

少量金屬鈉可保存在煤油里，大量的金屬鈉則存人在鐵筒中用石蠟密封。取用時一般先用鑷子把鈉從煤油中夾出來，并用濾紙把表面的煤油吸干，然后用小刀切下綠豆大小的一塊再做有關(guān)實驗。

3.鈉的存在與用途

自然界中鈉只能以化合態(tài)的形態(tài)存在，主要以氯化鈉的形式存在。鈉是一種強還原劑，工業(yè)上用它還原金屬鈦、鋯、鈮等；另外鈉和鉀的合金在常溫下呈液態(tài)，是原子反應(yīng)堆的導(dǎo)熱劑；鈉也可用于制高壓鈉燈。

鈉與鹽溶液的反應(yīng)(實質(zhì)上是先與水反應(yīng)生成NaOH，NaOH再與鹽反應(yīng))：

①與CuS04溶液反應(yīng)

2Na+2H20=Na0H+H2↑(1)

CuS04+2NaOH＝Na2S04+Cu(OH)2(2)

合并(1)(2)得

2Na+2H20+CuS04=Na2SO4+Cu(OH)2↓+H2↑

②與FeCl3溶液反應(yīng)

6Na+6H20+2FeCl3=6NaCl+2Fe(OH)3↓+3H2↑

注意：鈉和鹽溶液反應(yīng)，不能置換出鹽中的金屬，這是因為金屬陽離子在水中一般是以水合離子形式存在，即金屬離子周圍有一定數(shù)目的水分子包圍著，不能和鈉直接接觸。

典型例題解析

例1將4.6g鈉與1.6g硫粉迅速混合起來，并放在石棉網(wǎng)上加熱，反應(yīng)后生成的固體是()

A.黃色固體混合物D.硫粉與硫化鈉

C.過氧化鈉與硫化鈉D.氧化鈉與硫化鈉

[解析]在加熱條件下，鈉既能與硫化合生成Na2S，也能與空氣中的氧氣反應(yīng)生成Na202，而鈉又是過量的，所以除生成Na2S外還有Na202生成，故答案為A、C。

[答案]AC

下列滅火劑能用于撲滅金屬鈉著火的是()

A.干冰B.黃沙

C.干粉(含NaHC03)滅火劑D.泡沫滅火劑

[解析]由于鈉的化學(xué)性質(zhì)非常活潑，能與多種物質(zhì)起反應(yīng)。高溫下可與C02反應(yīng)，故A項是不正確的。C項中NaHC03受熱既生成水也產(chǎn)生C02，D項中有水等，這些物質(zhì)都與鈉反應(yīng)，故C、D兩項也不正確。

[答案]B

第二章二次函數(shù)與命題(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第二章二次函數(shù)與命題

一、基礎(chǔ)知識
1．二次函數(shù)：當(dāng)0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-∞，x0]上隨自變量x增大函數(shù)值減小（簡稱遞減），在[x0,-∞）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當(dāng)a0時，情況相反。
3．當(dāng)a0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c0…②及ax2+bx+c0…③與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下（記△=b2-4ac）。
1）當(dāng)△0時，方程①有兩個不等實根，設(shè)x1,x2(x1x2)，不等式②和不等式③的解集分別是{x|xx1或xx2}和{x|x1xx2}，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2）當(dāng)△=0時，方程①有兩個相等的實根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分別是{x|x}和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。
3）當(dāng)△0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點。
當(dāng)a0時，請讀者自己分析。
4．二次函數(shù)的最值：若a0，當(dāng)x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a0，則當(dāng)x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間[m,n]上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，當(dāng)x0∈[m,n]時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(x0);當(dāng)x0m時。f(x)在[m,n]上的最小值為f(m)；當(dāng)x0n時，f(x)在[m,n]上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。
定義1能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。
注1“p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。
定義2原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
注2原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。
注3反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。
二、方法與例題
1．待定系數(shù)法。
例1設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).
【解】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),
則由已知f(α)=β,f(β)=α相減并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因為方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因為f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。
【解】因為-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5,f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函數(shù)的性質(zhì)。
例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根。
【證明】若a0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的x∈R,f(x)-x0即f(x)x，從而f(f(x))f(x)。
所以f(f(x))x，所以方程f(f(x))=x無實根。
注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。
4．利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。
例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的兩根x1,x2滿足0x1x2,
（Ⅰ）當(dāng)x∈(0,x1)時，求證：xf(x)x1；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對稱，求證：x0
【證明】因為x1,x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（Ⅰ）當(dāng)x∈(0,x1)時，x-x10,x-x20,a0，所以f(x)x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]0，所以f(x)x1.
綜上，xf(x)x1.
（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=,
所以，
所以
5．構(gòu)造二次函數(shù)解題。
例5已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。
【證明】方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.
構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)20,f(-1)=(a-1)20,f(0)=1-a20,即△0，
所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。
6．定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。
例6當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值。
【解】y=1-,令u,則0u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且當(dāng)即x=3時，ymin=.
例7設(shè)變量x滿足x2+bx≤-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。
【解】由x2+bx≤-x(b-1)，得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2時，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（舍去）。
ⅱ)--(b+1)，即b-2時，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函數(shù)，
所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.
綜上，b=-.
7.一元二次不等式問題的解法。
例8已知不等式組①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。
【解】因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a,x2=1-a,
若a≤0，則x1x2.①的解集為ax1-a，由②得x1-2a.
因為1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無解。
若a0，?。┊?dāng)0a時，x1x2,①的解集為ax1-a.
因為0ax1-a1，所以不等式組無整數(shù)解。
ⅱ）當(dāng)a=時，a=1-a，①無解。
ⅲ）當(dāng)a時，a1-a，由②得x1-2a，
所以不等式組的解集為1-axa.
又不等式組的整數(shù)解恰有2個，
所以a-(1-a)1且a-(1-a)≤3，
所以1a≤2，并且當(dāng)1a≤2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0，1。
綜上，a的取值范圍是1a≤2.
8．充分性與必要性。
例9設(shè)定數(shù)A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0①
對一切實數(shù)x,y,z都成立，問A，B，C應(yīng)滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示條件）
【解】充要條件為A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先證必要性，①可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0②
若A=0，則由②對一切x,y,z∈R成立，則只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，則因為②恒成立，所以A0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再證充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，
1）若A=0，則由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
綜上，充分性得證。
9．常用結(jié)論。
定理1若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】因為-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m0，則-m≤x≤m等價于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.綜上定理1得證。
定理2若a,b∈R,則a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,則x+y≥
(證略)
注定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．下列四個命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。
2．由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_________.①p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b};④p:QR,q:N=Z.
3.當(dāng)|x-2|a時，不等式|x2-4|1成立，則正數(shù)a的取值范圍是________.
4.不等式ax2+(ab+1)x+b0的解是1x2，則a,b的值是____________.
5.x1且x2是x-1的__________條件，而-2m0且0n1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的__________條件.
6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_________.
7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2個，則m的取值范圍是_________.
8.R為全集，A={x|3-x≥4},B=,則(CRA)∩B=_________.
9.設(shè)a,b是整數(shù)，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，點（2，1）∈A，但點（1，0）A，（3，2）A則a,b的值是_________.
10．設(shè)集合A={x||x|4},B={x|x2-4x+30}，則集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。
12．對任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．若不等式|x-a|x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
2．使不等式x2+(x-6)x+90當(dāng)|a|≤1時恒成立的x的取值范圍是_________.
3．若不等式-x2+kx-40的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_________.
4．若集合A={x||x+7|10},B={x||x-5|k}，且A∩B=B，則k的取值范圍是_________.
5．設(shè)a1、a2,b1、b2,c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_________條件。
6．若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
7．已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_________條件。
8．已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_________.
9．已知a0，f(x)=ax2+bx+c，對任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)f(1+2x-x2)，求x的取值范圍。
10．已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)|x|≤1時，|f(x)|≤1,
(1)求證：|c|≤1;
(2)求證：當(dāng)|x|≤1時，|g(x)|≤2;
(3)當(dāng)a0且|x|≤1時，g(x)最大值為2，求f(x).
11.設(shè)實數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a≥0,m0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0x01.
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．不等式|x|3-2x2-4|x|+30的解集是_________.
2．如果實數(shù)x,y滿足：，那么|x|-|y|的最小值是_________.
3．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，1），（3，5），f(0)0，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_________.
4.已知f(x)=|1-2x|,x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________個實根。
5．若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一個實根，則m取值范圍是_________.
6．若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，則p+q2=_________.
7.對一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(ab)的值恒為非負(fù)實數(shù)，則的最小值為_________.
8．函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac.那么b2-4ac_________4.（填、=、）
9．若abcd，求證：對任意實數(shù)t-1,關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個不等的實根。
10．某人解二次方程時作如下練習(xí)：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1。證明：這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。
11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上滿足|f(x)|≤1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,a100，試問滿足|f(x)|≤50的整數(shù)x最多有幾個？
2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a0)，對于給定的負(fù)數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l(a)，使得在整個區(qū)間[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。
3．設(shè)x1,x2,…,xn∈[a,a+1]，且設(shè)x=,y=,求f=y-x2的最大值。
4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R,且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,則對于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù)m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。
6．設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)滿足下列條件：
1）當(dāng)x∈R時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
2）當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)≤;
3）f(x)在R上最小值為0。
求最大的m(m1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f(x+t)≤x.
7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。
8．設(shè)a,b,A,B∈R+,aA,bB，若n個正數(shù)a1,a2,…,an位于a與A之間，n個正數(shù)b1,b2,…,bn位于b與B之間，求證：
9．設(shè)a,b,c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c,|x|≤1，求使下列條件同時滿足的a,b,c的值：
（?。?381;
（ⅱ）g(x)max=444;
（ⅲ）g(x)min=364.

北師大版高一數(shù)學(xué)必修1第二章函數(shù)教案

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